Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 (tt) - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Chương 1 - Giới hạn và liên tục (tiếp theo). Chương này gồm có những nội dung chính sau: Giới hạn của hàm số (Hàm số, giới hạn của hàm số, vô cùng bé, vô cùng lớn). Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương 1: Giới hạn liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Định nghĩa (vô lớn) Hàm số y = f(x) gọi vô lớn (VCL) x  x0 lim f ( x)   x  x0 Ví dụ f ( x )  x  3cos x vô lớn x  , lim x  3cos x   x  Định nghĩa Cho f(x) g(x) hai vô lớn x  x0 f ( x)  k Giả sử xlim  x0 g ( x ) 1) Nếu k   , f(x) gọi VCL bậc cao g(x) f ( x)  ( g ( x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, f(x) g(x) hai VCL cấp 3) Nếu k  , f(x) g(x) hai VCL tương đương f ( x)  g ( x) Qui tắc ngắt bỏ VCL Toå ng hữ u hạn cá c VCL lim x x Tổ ng hữ u hạn cá c VCL VCL bậ c cao nhấ t củ a tử  lim x x VCL bậ c cao nhấ t củ a mẫ u Ví dụ I  lim x  x2   x  x x2   x Tử tổng ba VCL: x  x   2x  x Mẫu tổng hai VCL: 3x I  lim  x  x 2 x 4  x 3x x  2x Liên tục hàm số Định nghĩa Hàm y  f ( x) gọi liên tục x0 , xác định điểm lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Định nghĩa Nếu hàm khơng liên tục x0, ta nói hàm gián đoạn điểm f(x) tiến đến f(a) Khi x tiến đến a đồ thị liền nét (không đứt đoạn) điểm (a, f(a)) Định nghĩa Cho x0 điểm gián đoạn đồ thị hàm số y  f ( x) 1) Điểm gián đoạn loại một: giới hạn trái f(x0-) phải f(x0+) tồn hữu hạn x0 điểm khử được: f(x0-) = f(x0+) x0 điểm nhảy: f ( x0  )  f ( x0  ) bước nhảy: h  f ( x0  )  f ( x0  ) 2) Điểm gián đoạn loại hai: loại Một hai giới hạn (trái phải) không tồn tồn vô x = điểm gián đoạn loại khử f ( x)   x  x = điểm nhảy: gián đoạn không khử Ví dụ Khảo sát tính liên tục  sin x , x0  f ( x)   x  1, x0  sin x x  0, f ( x)  hàm sơ cấp nên liên tục MXĐ x sin x sin x Tại x = 0: lim lim  1 1 x 0 x x 0  x x = điểm nhảy     Bước nhảy: h  f 0  f 0   ( 1)  Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn f ( x)  arctan x Tập xác định: D f  R \ 0  Tại x = 0: lim arctan  x 0  x  lim arctan   x 0  x x = điểm nhảy      f     ( )   Bước nhảy: h  f   Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn f ( x)  x arctan x Tập xác định: D f  R \ 0 Tại x = 0: lim x arctan  x 0  x lim x arctan  x 0  x x = điểm gián đoạn khử Ví dụ Tìm a, b để hàm liên tục   / 2;3 / 2  x cos( x / 2) , x    / 2,3  / , x  0, x      sin x  f ( x)   a, x0  b, x    x cos( x / 2) lim f ( x)  lim 1 x 0 x 0 sin x lim f ( x) x   a  x cos( x / 2)   lim  x  sin x b  Ví dụ Tìm a, b để hàm liên tục toàn TXĐ x, | x |  f ( x)    x  ax  b, | x |   lim f ( x)  lim x  ax  b  a  b  x 1 x 1  a  b   lim f ( x)  lim x   f (1) x 1 x 1 lim f ( x)  lim x  1  f (1) x 1 x 1   lim f ( x)  lim x  ax  b   a  b x 1 x 1 Vậy a = 1, b = -1   a  b   1 Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn Tập xác định: x f ( x)  sin x D f  R \ k , k  Z  Tại x0  k0 , k0  : x lim không tồn x  k0 sin x Các điểm điểm gián đoạn loại hai Tại x0  : x lim 1 x  sin x x0 = điểm gián đoạn khử Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn u tỷ 1, x làsốhữ f ( x)    0, x làsốvôtỷ Tập xác định: R Hàm khơng có giới hạn điểm (Vì sao??) Tất điểm điểm gián đoạn loại hai Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn u tỷ  x, x làsốhữ f ( x)    0, x làsốvôtỷ Tập xác định: R Hàm khơng có giới hạn điểm khác Các điểm khác không điểm gián đoạn loại hai Tại điểm x = 0: lim f ( x)   f (0) x 0 Hàm liên tục x = Bài tập I) Chứng tỏ hàm sau không liên tục x0  x  1, x  1) f ( x)    x , x0 x0  1  , x0 2) f ( x)   x  0, x  x0  1  2, x0 3) f ( x)   x  1, x  x0  4) f ( x)  sign( x  1) x0  1 II) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng x0 1/( x  1),  1) f ( x)   ( x  1) ,  x    x, x2  2) f ( x)  cos x | x  2| 3) f ( x)  x2 | x  1| 4) f ( x)  x x x   /  n loại hai x= -2, điểm nhảy, h =2 x= 0: loại hai, x= 1: điểm nhảy, h = -2 III) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng arcsin x 1) f ( x)  sin x x 2) f ( x)  cos x 3) f ( x)  ln | x  1| 4) f ( x)  5) y  e x /(1 x ) 1/| x| x= 0, khử x   /  n loại hai x= 0, x= 2: loại hai, x = 1: khử x= -1, x= 1: loại hai x= 0, khử IV) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng 1) f ( x)  arctan x x= 0, khử 2) f ( x)  sin( x  lg( x  1)) liên tục MXĐ 1 x 3) f ( x)  ln x 1 x x= 0, khử |x| 4) f ( x)  arctan x x= 0, điểm nhảy, h=2 x 1 5) y  arctan(1/ x) x= 0, điểm nhảy, h= /  V) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng 1) f ( x)  ln ln(1  x ) 2) f ( x )  sign( x  x  3) 31/ x  21/ x 3) f ( x)  1/ x 1/ x 2 x= 0, loại hai x= -1, điểm nhảy, h = -2 x= 3, điểm nhảy, h = x= 0, điểm nhảy, h = 5 / x  cos x 4) f ( x)  tan(arcsin | x |) liên tục MXĐ 5) y  (sin x)sin x x= 0, khử V) Tìm giá trị a để hàm liên tục  (1  x) n  , x  0, n  N  1) f ( x)   x R  a, x0  an a  1/  x cot(2 x), x  0,| x |  / 2) f ( x)   (   / 2,  / 2) a , x   (arcsin x)cot x, x  3) f ( x)   a, x0   sinh x , x0  4) y   x  a, x0 R (-1,1) a 1 a 1 VI) Chứng minh pt sau có nghiệm x 3) x  arctan x  a; a  x 4) x   sin x  1,    1) x   2) x  e  x VII) CMR pt  4x VIII) CMR pt x sin x  1/ có vơ số nghiệm có hai nghiệm thực IX) CMR pt 10 x 1  x có nghiệm x0  ... b  x ? ?1 x ? ?1  a  b   lim f ( x)  lim x   f (1) x ? ?1 x ? ?1 lim f ( x)  lim x  ? ?1  f (? ?1) x ? ?1 x ? ?1   lim f ( x)  lim x  ax  b   a  b x ? ?1 x ? ?1 Vậy a = 1, b = -1   a... x)  5) y  e x / (1? ?? x ) ? ?1/ | x| x= 0, khử x   /  n loại hai x= 0, x= 2: loại hai, x = 1: khử x= -1 , x= 1: loại hai x= 0, khử IV) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng 1) f ( x)  arctan... đoạn đồ thị, phân loại chúng 1) f ( x)  ln ln (1  x ) 2) f ( x )  sign( x  x  3) 31/ x  21/ x 3) f ( x)  1/ x 1/ x 2 x= 0, loại hai x= -1 , điểm nhảy, h = -2 x= 3, điểm nhảy, h = x= 0,