PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 13 §2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT) Vi phân toàn phần Định nghĩa f(x, y) xác định D 2, M0(x0 ; y0) D Nếu A, B không phụ thuộc vào x, y để có f = Ax + By + x + y, lim 0, lim x 0 y 0 x 0 y 0 ta bảo hàm f khả vi M0 có df(M0) = Ax + By vi phân toàn phần hàm f M0 Hàm f gọi khả vi miền D f khả vi M D Chú ý f(x, y) khả vi M0(x0 ; y0) f(x, y) liên tục M0(x0 ; y0) Ví dụ Xét tính khả vi hàm số sau (0 ; 0) a) u = x + 2y b) u = 2x + y x3y , x2 y c) f x, y x y x2 y 0, (f không liên tục (0 ; 0) không khả vi) 2 , x, y , x y sin x y2 d) f x, y 0, x, y , x tan y , x, y , 2 x y e) f x, y 0, x, y , (f không liên tục (0 ; 0) không khả vi) x sin y , f) f x, y x y 0, x, y , (không khả vi) x, y , Định lí f(x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận M0(x0 ; y0) f(x, y) khả vi M0(x0 ; y0) có dz = f’x x + f’y y Ví dụ Tính vi phân toàn phần z a) z ln x y b) u , du 3, 4, 2 x y c) z arctan xy z z d) 1) u x y A(3 ;1 ;2) (dx+6ln3dy) 2) u x y A(3 ;1 ;2) (dx+6ln2dy) Chú ý Dựa vào vi phân để tính gần đúng: f(x0 + x, y0 + y) f(x0, y0) + f’x(x0, y0)x + f’y(x0, y0)y Ví dụ Tính gần a) (1,02)3(0,97)2 b) 4,05 2 2,93 2 58 c) (1,04)2,02 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo d) ln 1,03 0,98 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 e) sin32 cos59 f) Tính gần biến thiên hàm số z x 3y x biến thiên từ x1 = y 3x đến x2 = 2,5 y từ y1 = đến y2 = 3,5 g) Hình chữ nhật có hai cạnh a = 10cm b = 24cm Đường chéo l thay đổi cạnh a dài thêm 4mm cạnh b ngắn 1mm? Tính giá trị gần so sánh với giá trị h) Chiều cao hình nón h = 30cm, bán kính đáy R = 10cm Thể tích thay đổi tăng h thêm 3mm giảm R 1mm? i) ln 0,02 1,03 (0,03) l) A 1,04 2,03 3 m) A 3,04 2,02 n) 1) 3 k) 1,97 2 4e0,06 (2,01) (2,02) (2,015) 2 2,98 4,01 (1,89) 2) 3 1,97 3,02 (-2,085) Vi phân hàm hợp, tính bất biến, dạng vi phân Cho hàm f: B , : D B f u x, y , v x, y f u x, y , v x, y x, y Định lí f có đạo hàm riêng liên tục B, u, v có đạo hàm riêng liên tục D f có đạo hàm riêng f u f v f u f v f ; f x u x v x y u y v y Chú ý dz f f 1/ z = f(x, y), y = y(x) có y x dx x y dz f f 2/ z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) có x t y t dt x y Ví dụ Tính dz dz x a) b) , z uv , u sin x, v cos x , z , x et , y ln t dx dt y dz y c) z x , z arctan , y x dx x z z x d) , , z arctan , x u sin v , y u cos v u v y e zx y z du dx a2 f) Cho z=f(x(t),y(t)), hàm f(x,y), x=g(t), y=h(t) khả vi có g(3)=2, dz g (3) , h(3)=7, h(3) 4 , fx (2,7) (3) 2 Tính fy (2,7) (8) dt Cho z=f(x(t),y(t)), hàm f(x,y), x=g(t), y=h(t) khả vi có g(3)=0, dz g (3) 5 , h(3)=7, h(3) fy (0,7) (3) 3 Tính fx (0,7) (7) dt e) u , y a sin x, z cos x , tính 59 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Tính bất biến vi phân cấp 1: f f du dv u v Phép toán: u, v hàm khả vi, ta có u vdu udv d u v du dv , d uv udv vdu , d ,v v v2 Đạo hàm hàm ẩn Khái niệm hàm ẩn: Hệ thức F(x, y) = xác định hay nhiều hàm ẩn y theo x Tương tự, hệ thức F(x, y, z) = xác định hay nhiều hàm ẩn z theo biến số x y F x, y , z, u, v Hệ hai phương trình xác định hay nhiều cặp hàm số ẩn G x, y , z, u, v u, v ba biến số x, y, z Định lí F(x0, y0) = 0, F(x, y) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0) F’y(M0) hệ thức F(x, y) = xác định hàm ẩn y = f(x) lân cận điểm x0, thoả mãn y(x0) = y0 khả vi liên tục lân cận này, có F (M ) y x0 x Fy (M0 ) z = z(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y) dz Ví dụ Cho x2 + y2 = r2, tính y Định lí F(x0, y0, z0) = 0, F(x, y, z) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0, z0) F’z(M0) 0, hệ thức F(x, y, z) = xác định hàm ẩn z = f(x, y) lân cận (x0, y0) thoả mãn z(x0, y0) = z0 liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận này, có Fy F zx ( x0 ; y ) x M0 , zy ( x0 ; y ) M0 Fz Fz Định lí F(x0, y0, z0, u0, v0) = 0, G(x0, y0, z0, u0, v0) = 0, hàm F(x, y, z, u, v), G(x, y, z, u, v) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0, z0, u0, v0) định thức D F , G Fu Fv D 0, D u, v Gu Gv F x, y , z, u, v hệ thức xác định hai hàm ẩn u = f(x, y, z), v = g(x, y, z) G x , y , z , u , v lân cận (x0, y0, z0), thoả mãn u(x0, y0, z0) = u0, v(x0, y0, z0) = v0, hàm u, v liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận có D F, G D F, G ux ( x0 ; y ; z0 ) (M0 ) ; v x ( x0 ; y ; z0 ) (M ) D D x, v D D u, x Tương tự có uy ( x0 ; y ; z0 ), v y ( x0 ; y ; z0 ), uz ( x0 ; y ; z0 ), v z ( x0 ; y ; z0 ) Ví dụ a) z3 3xyz = a3, tính dz b) + xy ln(exy + exy) = 0, tính dy 60 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x y z d) , tính dy, dz 2 x y z e) x = u cosv, y = u sinv, z = u2, tính vi phân toàn phần dz f) x = v cosu u cosv + sinu, y = v sinu u sinv cosu, z = (u v)2, tính dz g) Phương trình x.eyz = y + z + xác định hàm ẩn z(x, y) Tính dz(0 ; 0) (dx dy) h 1) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định phương trình z yex/z = Tính dz(0 ; 1) (dx + dy) y/z 2) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định phương trình xe z = Tính dz(1 ; 0) (dx dy) xz i 1) Phương trình x + 2y + z = ye xác định hàm ẩn z = z(x, y) Tính dz(0 ; 1) (2dx dy) yz 2) Phương trình xe = 2x y z xác định hàm ẩn z = z(x, y) Tính dz(1 ; 0) (dx 2dy) c) x y ln 10 , tính dz z z 3) Phương trình y z x z 2 xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh zx y 2zy x 4) Phương trình x z y z xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh x 2zx y2 zy 3 ( dx dy ) 9 ( dx dy ) 3 k 1) x 2y 3z x y z Tính dz 1; 1 2) x 2y z x y z Tính dz 1; 1 l 1) sin( x z) e y z , tính zx zy (1) 2) cos( z y ) e z x , tính zx zy (1) m 1) Cho x z y z 1 CMR x 2zx zy 2) Cho y z x z 1 CMR zx y 2zy n 1) Cho yz ln( x z ) Tính zx , zy ( zx 2)Cho x z arctan( yz ) Tính zx , zy ( zx z( x z ) , zy ) y ( x z) 1 y ( x z) ( yz )2 y ( yz ) o 1)Cho x 2xy 2yz z3 Tính zx (1;0) , zy (1;0) 2) Cho 2x 2y y x 2z z3 Tính zx (0;1) , zy (0;1) 61 , zy z y ( yz )2 ( 1; ) ( ; ) ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Have a good understanding! 62