Bài giảng giải tích 1 bài 13

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 13 §2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT) Vi phân toàn phần Định nghĩa f(x, y) xác định D   2, M0(x0 ; y0)  D Nếu  A, B không phụ thuộc vào x, y để có f = Ax + By + x + y, lim   0, lim    x 0  y 0  x 0  y 0 ta bảo hàm f khả vi M0 có df(M0) = Ax + By vi phân toàn phần hàm f M0 Hàm f gọi khả vi miền D  f khả vi  M  D Chú ý f(x, y) khả vi M0(x0 ; y0)  f(x, y) liên tục M0(x0 ; y0) Ví dụ Xét tính khả vi hàm số sau (0 ; 0) a) u = x + 2y b) u = 2x + y  x3y , x2  y   c) f  x, y    x  y  x2  y  0, (f không liên tục (0 ; 0)  không khả vi)  2 ,  x, y    ,   x  y  sin x  y2 d) f  x, y    0,  x, y    ,    x tan y ,  x, y    ,   2 x  y e) f  x, y    0,  x, y    ,   (f không liên tục (0 ; 0)  không khả vi)  x sin y ,  f) f  x, y    x  y 0,   x, y    ,  (không khả vi)  x, y    ,  Định lí f(x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận M0(x0 ; y0)  f(x, y) khả vi M0(x0 ; y0) có dz = f’x x + f’y y Ví dụ Tính vi phân toàn phần z a) z  ln  x  y  b) u  , du  3, 4,  2 x y c) z  arctan xy z z d) 1) u  x y A(3 ;1 ;2) (dx+6ln3dy) 2) u  x y A(3 ;1 ;2) (dx+6ln2dy) Chú ý Dựa vào vi phân để tính gần đúng: f(x0 + x, y0 + y)  f(x0, y0) + f’x(x0, y0)x + f’y(x0, y0)y Ví dụ Tính gần a) (1,02)3(0,97)2 b)  4,05 2   2,93 2 58 c) (1,04)2,02 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo d) ln  1,03  0,98 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  1 e) sin32 cos59 f) Tính gần biến thiên hàm số z  x  3y x biến thiên từ x1 = y  3x đến x2 = 2,5 y từ y1 = đến y2 = 3,5 g) Hình chữ nhật có hai cạnh a = 10cm b = 24cm Đường chéo l thay đổi cạnh a dài thêm 4mm cạnh b ngắn 1mm? Tính giá trị gần so sánh với giá trị h) Chiều cao hình nón h = 30cm, bán kính đáy R = 10cm Thể tích thay đổi tăng h thêm 3mm giảm R 1mm? i) ln  0,02  1,03  (0,03) l) A  1,04    2,03   3 m) A   3,04    2,02  n) 1) 3 k) 1,97 2  4e0,06 (2,01) (2,02) (2,015) 2  2,98    4,01  (1,89) 2) 3 1,97    3,02   (-2,085) Vi phân hàm hợp, tính bất biến, dạng vi phân Cho hàm f: B     , : D    B  f   u  x, y  , v  x, y    f  u  x, y  , v  x, y    x, y   Định lí f có đạo hàm riêng liên tục B, u, v có đạo hàm riêng liên tục D f  có đạo hàm riêng  f u f v  f u f v f      ; f      x u x v x y u y v y Chú ý dz f f   1/ z = f(x, y), y = y(x) có   y x dx x y dz f   f   2/ z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) có  x t  y t dt x y Ví dụ Tính dz dz x a) b) , z  uv , u  sin x, v  cos x , z  , x  et , y  ln t dx dt y dz y c) z  x  , z  arctan , y  x dx x z z x d) , , z  arctan , x  u sin v , y  u cos v u v y e zx  y  z  du dx a2  f) Cho z=f(x(t),y(t)), hàm f(x,y), x=g(t), y=h(t) khả vi có g(3)=2, dz g (3)  , h(3)=7, h(3)  4 , fx (2,7)  (3)  2 Tính fy (2,7) (8) dt Cho z=f(x(t),y(t)), hàm f(x,y), x=g(t), y=h(t) khả vi có g(3)=0, dz g (3)  5 , h(3)=7, h(3)  fy (0,7)  (3)  3 Tính fx (0,7) (7) dt e) u  , y  a sin x, z  cos x , tính 59 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Tính bất biến vi phân cấp 1: f f du  dv u v Phép toán: u, v hàm khả vi, ta có  u  vdu  udv d  u  v   du  dv , d  uv   udv  vdu , d    ,v  v  v2 Đạo hàm hàm ẩn Khái niệm hàm ẩn: Hệ thức F(x, y) = xác định hay nhiều hàm ẩn y theo x Tương tự, hệ thức F(x, y, z) = xác định hay nhiều hàm ẩn z theo biến số x y F  x, y , z, u, v   Hệ hai phương trình  xác định hay nhiều cặp hàm số ẩn G  x, y , z, u, v   u, v ba biến số x, y, z Định lí F(x0, y0) = 0, F(x, y) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0) F’y(M0)  hệ thức F(x, y) = xác định hàm ẩn y = f(x) lân cận điểm x0, thoả mãn y(x0) = y0 khả vi liên tục lân cận này, có F  (M ) y   x0    x Fy (M0 ) z = z(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y)  dz  Ví dụ Cho x2 + y2 = r2, tính y  Định lí F(x0, y0, z0) = 0, F(x, y, z) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0, z0) F’z(M0)  0, hệ thức F(x, y, z) = xác định hàm ẩn z = f(x, y) lân cận (x0, y0) thoả mãn z(x0, y0) = z0 liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận này, có Fy F zx ( x0 ; y )   x  M0  , zy ( x0 ; y )    M0  Fz Fz Định lí F(x0, y0, z0, u0, v0) = 0, G(x0, y0, z0, u0, v0) = 0, hàm F(x, y, z, u, v), G(x, y, z, u, v) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0, z0, u0, v0) định thức D  F , G  Fu Fv D   0, D  u, v  Gu Gv F  x, y , z, u, v   hệ thức  xác định hai hàm ẩn u = f(x, y, z), v = g(x, y, z) G x , y , z , u , v     lân cận (x0, y0, z0), thoả mãn u(x0, y0, z0) = u0, v(x0, y0, z0) = v0, hàm u, v liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận có D F, G  D F, G  ux ( x0 ; y ; z0 )   (M0 ) ; v x ( x0 ; y ; z0 )   (M ) D D  x, v  D D  u, x  Tương tự có uy ( x0 ; y ; z0 ), v y ( x0 ; y ; z0 ), uz ( x0 ; y ; z0 ), v z ( x0 ; y ; z0 ) Ví dụ a) z3  3xyz = a3, tính dz b) + xy  ln(exy + exy) = 0, tính dy 60 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  x  y  z  d)  , tính dy, dz 2  x  y  z  e) x = u cosv, y = u sinv, z = u2, tính vi phân toàn phần dz f) x = v cosu  u cosv + sinu, y = v sinu  u sinv  cosu, z = (u  v)2, tính dz g) Phương trình x.eyz = y + z + xác định hàm ẩn z(x, y) Tính dz(0 ; 0) (dx  dy) h 1) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định phương trình z  yex/z = Tính dz(0 ; 1) (dx + dy) y/z 2) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định phương trình xe  z = Tính dz(1 ; 0) (dx  dy) xz i 1) Phương trình x + 2y + z = ye xác định hàm ẩn z = z(x, y) Tính dz(0 ; 1) (2dx  dy) yz 2) Phương trình xe = 2x  y  z xác định hàm ẩn z = z(x, y) Tính dz(1 ; 0) (dx  2dy) c) x y  ln  10 , tính dz z z   3) Phương trình y z  x  z  2 xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh zx  y 2zy  x   4) Phương trình x z  y  z  xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh x 2zx  y2 zy  3 (  dx  dy ) 9 (  dx  dy ) 3 k 1) x  2y  3z   x  y  z Tính dz 1;  1 2) x  2y  z   x  y  z Tính dz  1; 1 l 1) sin( x  z)  e y  z , tính zx  zy (1) 2) cos( z  y )  e z  x , tính zx  zy (1) m 1) Cho x  z  y  z   1 CMR x 2zx  zy  2) Cho y  z  x  z   1 CMR zx  y 2zy  n 1) Cho yz  ln( x  z ) Tính zx , zy ( zx  2)Cho x  z  arctan( yz ) Tính zx , zy ( zx  z( x  z ) , zy  ) y ( x  z)  1  y ( x  z)  ( yz )2  y  ( yz ) o 1)Cho x  2xy  2yz  z3  Tính zx (1;0) , zy (1;0) 2) Cho 2x 2y  y  x 2z  z3  Tính zx (0;1) , zy (0;1) 61 , zy  z  y  ( yz )2 ( 1;  ) ( ; ) ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Have a good understanding! 62