PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI CHƯƠNG II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN §1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Đặt vấn đề I Định nghĩa Định nghĩa f(x) (a ; b), F(x) nguyên hàm f(x) F’(x) = f(x), x (a ; b) Ví dụ a) f(x) = 2010 d) f(x) = sinx g) f(x) = x2 lnx c) f(x) = x, f) y = x2ex i) f(x) = x3 sinx b) f(x) = e) f(x) = lnx h) f(x) = x cosx Định lí F’(x) = f(x), x (a ; b), tập tất nguyên hàm f(x) F(x) + C Định nghĩa f x dx F x C Tính chất a) f(x) liên tục (a ; b) f x dx f x dx , g x dx f x g x dx f x dx g x dx , , Toán tử có khả nghịch trái, khả nghịch phải d d c) f ( x ) dx f ( x ) d) f ( x ) dx f ( x ) C dx dx b) Tuyến tính Bảng số tích phân thông dụng x 1 C, 1 x dx ln x C, 1 cos2 x x sin2 x dx cot x C tan x C a x dx arctan x C sin xdx cos x C dx 1 1 x dx arcsin x C x a dx ln a C II Các phương pháp tính Đổi biến số Mệnh đề Nếu g t dt G t C g w x w x dx G w x C 30 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Mệnh đề Nếu thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 g x ’(x)dx = G(x) + C g t dt G( t ) C , t = (x) có hàm ngược x = 1(t) Ví dụ a) d) 12 x x dx sin3 x dx cos x x2 g) dx 4x tan x sin2 x dx 2x h) a2 x dx f) x i) ex dx 1 x2 x 2dx 1 x2 2x (x ln x C ) ln 2 2x 1dx n) e) 1 x2 ln2 x dx x ln x sin2 x ( ln C ) sin2 x cot x m) dx c) cos2 x ( ln C) cos2 x cos2 x dx k) b) x 3dx Tích phân phần Các hàm u, v khả vi, có udv uv vdu Ví dụ 2 5x cos3 xdx x e) dx cos2 x ln xdx d) arcsin x dx a) g) k) x ln b) 1 x dx 1 x h) x ln x x 1 x arcsin x dx 1 x sin ln x dx x cos x f) dx sin3 x c) i) a2 x dx dx Ví dụ a) xdx e x x 12 c 1) 2) e x ( C ) x 1 arccot 2x dx arctan d 1) 2) 2x dx x ln(1 x ) e2 x x ln(1 x ) e3 x dx dx b) 1 x dx x 2e x e x ( C ) x ( 2 x arccot 2x 2x 1 C ) ( 2 x 1 arctan x x 1 C ) ( e 2 x (2x 1)ln(1 x ) 1 C ) ( e 3 x (3 x 1)ln(3 x 1) 1 C ) 31 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo e 1) ln( x thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 3)dx ln( x 1) 2 x ( ln( x 2) arctan ln x C ) x 1 3 2) ln( x 2) ( x 1)2 dx ln( x 1) 2 ( ln( x 1) arctan x ln x C ) x 2 5 Sử dụng lớp hàm có tính chất đặc biệt Ví dụ x x e dx d) x ne x dx a) x cos xdx e) x n cos xdx b) 10 x sin xdx f) x n sin xdx c) Tích phân vài lớp hàm khác a) Hàm hữu tỉ R x Pm x , Pm(x), Qn(x) đa thức bậc m, n x Qn x (m