Bài giảng giải tích 1 bài 1

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§1  §5)  Tổng quan  Phương pháp học §1 Các tập hợp số , , ,   Đặt vấn đề I Sơ lược yếu tố logic Điều kiện cần đủ PQ PQ Mệnh đề tương đương P  Q Chứng minh logic a) Phương pháp bắc cầu: (P  Q, Q  R)  (P  R) b) Phương pháp phủ định: (P  Q)  ( Q  P ) c) Phương pháp phản ví dụ Phương pháp quy nạp Cần chứng minh mệnh đề T(n)  n   Giả sử có +) T(1) +) T(k)  T(k + 1) đúng, k   Khi T(n)  n    n  n  1  Ví dụ + + + n =   ,  n     3 II Các tập hợp số Sự cần thiết mở rộng tập hợp số        Hệ tiên đề tập hợp số thực a)  (+, ): a, b, c   có a + b   , a.b   giao hoán, kết hợp b)  a, b    ! x   : a + x = b c)  a, b   , a   ! x   : a.x = b d)  a, b    a  b b  a quan hệ thứ tự có tính chất phản đối xứng, bắc cầu PGS TS Nguyễn Xuân Thảo e) Tiên đề supremum thao.nguyenxuan@hust.edu.vn    A   , A bị chặn có supremum      A   , A bị chặn có infimum   Chú ý Từ nhận tính chất biết phổ thông, chẳng hạn  T/c Archimede:  a, b   , a >   n   : na > b   trù mật  :  a, b   , a < b   r   : a < r < b § TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ CÁC TÍNH CHẤT  Đặt vấn đề a, Định nghĩa a   a, a0 a0 Tính chất a) |x| < a, a >  a < x < a b) |x| > b, b >  x > b x < b c) |a + b|  |a| + |b| d) |ab| = |a||b| e) a a  ,b0 b b § HÀM SỐ  Đặt vấn đề Định nghĩa X   , tương ứng f: X   hàm số thoả mãn: +) x  X  f(x)   +) x1 = x2  f(x1) = f(x2) Khi X tập xác định, {f(x), x  X} tập giá trị Ví dụ Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu 128ft/s Tên lửa chuyển động lên xuống theo đường thẳng Bằng thực nghiệm, độ cao tên lửa cho công thức f(t) = 128t  16t2 Ví dụ x  x  y  Ví dụ Tìm tập xác định y  x cos  x Ví dụ a) Tìm tập giá trị y  sin x  cos x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) Tìm tập xác định tập giá trị y  lg(1  2sinx)  7 ( (   k 2 ;  k 2 );( ;lg3) ) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 Ví dụ Tìm f(x) biết f    x   x , x > x Một số khái niệm a) Đồ thị hàm y = f(x) {(x, f(x)), x  TXĐ} b) y = f(x) chẵn   x  MXĐ có f(x) = f(x) Ví dụ y  1  x   1  x  c) y = f(x) lẻ   x  MXĐ có f(x) = f(x) Ví dụ a) y = ax  ax, a > b) y  sinx  cos2 x (không chẵn, không lẻ) d) Hàm y = f(x) tuần hoàn   T  0: f(x + T) = f(x),  x  TXĐ Số T > bé để f(x + T) = f(x),  x gọi chu kì Ví dụ y  tan x đ) Hàm hợp: y = f(x), x = (t), có hàm hợp y = f   f((t)) e) Hàm ngược: y = f(x), TXĐ X, TGT: Y có hàm ngược x = (y)  +) (f )(y) = y,  y  Y +) (  f)(x) = x,  x  X Hàm ngược hàm y=f(x) thường ký hiệu y  f 1( x ) Ví dụ a) y   x với 1  x  0, có x    y , y  [0 ; 1] x b) f ( x )   x x  x2  , ( ,0] ( y  log2 : [2, )  ( ,0] ) § HÀM SỐ SƠ CẤP Định nghĩa Các hàm số sơ cấp x, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx, hàm lượng giác ngược Các hàm số sơ cấp a) y = x, TXĐ: phụ thuộc , đồ thị  (1 ; 1),   b) y = ax, < a  1, TXĐ:  , TGT: y > 0, đồng biến a > 1, nghịch biến a < PGS TS Nguyễn Xuân Thảo x+y a x y xy =a a , a thao.nguyenxuan@hust.edu.vn = a / ay x c) y = logax, < a  1, TXĐ: x > 0, TGT:  , đồng biến a > 1, nghịch biến a < x logaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x|  loga|y|, logax =  loga|x|; y y = logax có hàm ngược x = ay d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx e) Các hàm lượng giác ngược    +) y = arcsinx: [1 ; 1]    ;  hàm ngược hàm y = sin x  2 +) y = arccosx: [1 ; 1]  [0 ; ] hàm ngược hàm y = cosx    +) y = arctanx: ( ; )    ;  hàm ngược hàm y = tan x  2 +) y = arccotx : ( ; )  (0 ; ) hàm ngược hàm y = cotx Hàm số sơ cấp Định nghĩa Tạo nên từ hàm số sơ cấp số hữu hạn phép tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hàm hợp số Ví dụ y  x+sinx Ví dụ y = |x| x Ví dụ y  sin t 2dt  § DÃY SỐ  Đặt vấn đề Định nghĩa x1, x2, , xn, , xi   Giới hạn a) Định nghĩa lim xn  a, a      > 0, bé tuỳ ý,  N():  n > N() có |xn  a| <  n  Định nghĩa Khi lim x n     M > 0, lớn tuỳ ý,  N:  n > N có |xn| > M, ta nói dãy số n  phân kì b) Tính chất 1) lim xn  a , a > p (a < p)  N: n > N có xn > p (xn < p) n  2) lim xn  a , xn  p (xn  p)  a  p (a  p) n  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 3) lim xn  a , lim x n  b  a = b n  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n  4) lim xn  a  M > 0: |xn|  M, n n  c) Phép toán Có lim xn  a , lim y n  b , ta có n  n  xn a  , b  0, yn  0,  n n  y n b lim  xn  y n   a  b ; lim  xn y n   ab ; lim n  n  d) Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 1) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn  dãy đơn điệu tăng (giảm) bị chặn (dưới)  có giới hạn 2) Tiêu chuẩn kẹp Có xn  yn  zn, lim x n  a  lim zn  lim y n  a n  n  n  3) Tiêu chuẩn Cauchy  lim xn  a    > 0, N(): m, n > N có |xm  xn| <  n  Ví dụ Cho dãy xn: x1  2, xn 1   xn Chứng minh {xn} hội tụ tìm giới hạn Ví dụ Cho dãy xn: x1  0, xn 1  1  xn  Chứng minh {xn} hội tụ  2 xn  tìm giới hạn HAVE A GOOD UNDERSTANDING!