PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§1 §5) Tổng quan Phương pháp học §1 Các tập hợp số , , , Đặt vấn đề I Sơ lược yếu tố logic Điều kiện cần đủ PQ PQ Mệnh đề tương đương P Q Chứng minh logic a) Phương pháp bắc cầu: (P Q, Q R) (P R) b) Phương pháp phủ định: (P Q) ( Q P ) c) Phương pháp phản ví dụ Phương pháp quy nạp Cần chứng minh mệnh đề T(n) n Giả sử có +) T(1) +) T(k) T(k + 1) đúng, k Khi T(n) n n n 1 Ví dụ + + + n = , n 3 II Các tập hợp số Sự cần thiết mở rộng tập hợp số Hệ tiên đề tập hợp số thực a) (+, ): a, b, c có a + b , a.b giao hoán, kết hợp b) a, b ! x : a + x = b c) a, b , a ! x : a.x = b d) a, b a b b a quan hệ thứ tự có tính chất phản đối xứng, bắc cầu PGS TS Nguyễn Xuân Thảo e) Tiên đề supremum thao.nguyenxuan@hust.edu.vn A , A bị chặn có supremum A , A bị chặn có infimum Chú ý Từ nhận tính chất biết phổ thông, chẳng hạn T/c Archimede: a, b , a > n : na > b trù mật : a, b , a < b r : a < r < b § TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ CÁC TÍNH CHẤT Đặt vấn đề a, Định nghĩa a a, a0 a0 Tính chất a) |x| < a, a > a < x < a b) |x| > b, b > x > b x < b c) |a + b| |a| + |b| d) |ab| = |a||b| e) a a ,b0 b b § HÀM SỐ Đặt vấn đề Định nghĩa X , tương ứng f: X hàm số thoả mãn: +) x X f(x) +) x1 = x2 f(x1) = f(x2) Khi X tập xác định, {f(x), x X} tập giá trị Ví dụ Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu 128ft/s Tên lửa chuyển động lên xuống theo đường thẳng Bằng thực nghiệm, độ cao tên lửa cho công thức f(t) = 128t 16t2 Ví dụ x x y Ví dụ Tìm tập xác định y x cos x Ví dụ a) Tìm tập giá trị y sin x cos x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) Tìm tập xác định tập giá trị y lg(1 2sinx) 7 ( ( k 2 ; k 2 );( ;lg3) ) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 Ví dụ Tìm f(x) biết f x x , x > x Một số khái niệm a) Đồ thị hàm y = f(x) {(x, f(x)), x TXĐ} b) y = f(x) chẵn x MXĐ có f(x) = f(x) Ví dụ y 1 x 1 x c) y = f(x) lẻ x MXĐ có f(x) = f(x) Ví dụ a) y = ax ax, a > b) y sinx cos2 x (không chẵn, không lẻ) d) Hàm y = f(x) tuần hoàn T 0: f(x + T) = f(x), x TXĐ Số T > bé để f(x + T) = f(x), x gọi chu kì Ví dụ y tan x đ) Hàm hợp: y = f(x), x = (t), có hàm hợp y = f f((t)) e) Hàm ngược: y = f(x), TXĐ X, TGT: Y có hàm ngược x = (y) +) (f )(y) = y, y Y +) ( f)(x) = x, x X Hàm ngược hàm y=f(x) thường ký hiệu y f 1( x ) Ví dụ a) y x với 1 x 0, có x y , y [0 ; 1] x b) f ( x ) x x x2 , ( ,0] ( y log2 : [2, ) ( ,0] ) § HÀM SỐ SƠ CẤP Định nghĩa Các hàm số sơ cấp x, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx, hàm lượng giác ngược Các hàm số sơ cấp a) y = x, TXĐ: phụ thuộc , đồ thị (1 ; 1), b) y = ax, < a 1, TXĐ: , TGT: y > 0, đồng biến a > 1, nghịch biến a < PGS TS Nguyễn Xuân Thảo x+y a x y xy =a a , a thao.nguyenxuan@hust.edu.vn = a / ay x c) y = logax, < a 1, TXĐ: x > 0, TGT: , đồng biến a > 1, nghịch biến a < x logaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x| loga|y|, logax = loga|x|; y y = logax có hàm ngược x = ay d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx e) Các hàm lượng giác ngược +) y = arcsinx: [1 ; 1] ; hàm ngược hàm y = sin x 2 +) y = arccosx: [1 ; 1] [0 ; ] hàm ngược hàm y = cosx +) y = arctanx: ( ; ) ; hàm ngược hàm y = tan x 2 +) y = arccotx : ( ; ) (0 ; ) hàm ngược hàm y = cotx Hàm số sơ cấp Định nghĩa Tạo nên từ hàm số sơ cấp số hữu hạn phép tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hàm hợp số Ví dụ y x+sinx Ví dụ y = |x| x Ví dụ y sin t 2dt § DÃY SỐ Đặt vấn đề Định nghĩa x1, x2, , xn, , xi Giới hạn a) Định nghĩa lim xn a, a > 0, bé tuỳ ý, N(): n > N() có |xn a| < n Định nghĩa Khi lim x n M > 0, lớn tuỳ ý, N: n > N có |xn| > M, ta nói dãy số n phân kì b) Tính chất 1) lim xn a , a > p (a < p) N: n > N có xn > p (xn < p) n 2) lim xn a , xn p (xn p) a p (a p) n PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 3) lim xn a , lim x n b a = b n thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n 4) lim xn a M > 0: |xn| M, n n c) Phép toán Có lim xn a , lim y n b , ta có n n xn a , b 0, yn 0, n n y n b lim xn y n a b ; lim xn y n ab ; lim n n d) Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 1) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn dãy đơn điệu tăng (giảm) bị chặn (dưới) có giới hạn 2) Tiêu chuẩn kẹp Có xn yn zn, lim x n a lim zn lim y n a n n n 3) Tiêu chuẩn Cauchy lim xn a > 0, N(): m, n > N có |xm xn| < n Ví dụ Cho dãy xn: x1 2, xn 1 xn Chứng minh {xn} hội tụ tìm giới hạn Ví dụ Cho dãy xn: x1 0, xn 1 1 xn Chứng minh {xn} hội tụ 2 xn tìm giới hạn HAVE A GOOD UNDERSTANDING!