Bài giảng giải tích 1 bài 4

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§9, §10) §9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Tiếp theo) Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao Định nghĩa f(n)(x) = (f(n  1)(x))' Ví dụ    cos  x  n   2  (n) b) y = x ,    , tính y a) y = cosx, y n  c) y = loga|x|, tính y(n) Quy tắc  f(n)(x), g(n)(x) 1) (f(x))(n) = f(n)(x) 2) (f(x)  g(x))(n) = f(n)(x)  g(n)(x) n 3)  f  x  g  x   n   Cnk f k   x  g n k   x  k 0 Ví dụ y = x lnx, tính y(5) Ví dụ y = sinax cosbx, tính y(20) Ví dụ y = x2 cosx, tính y(30) Ví dụ y  , tính y(n) x 1  2x Ví dụ a) y  x , tính y(n) ((2)ne2x(n +  2x)) e (n  2)!3n 1  (n) b) y  x ln(1  x ) , tính y ( 3x  n ) n 1  x  t2 t2  x  3t  2t e te c) y  f ( x ),  , tính f   x  , f   x  (f   , f   ) 2 t2   t  y  te  x  t  et 2et t         d) y  f ( x ),  , tính f x , f x ( f  2(1  e ) , f  ) 2t  et  y  2t  e e) f(x) = x2 sin(1  x) Tính f(50)(1) (100) f) f(x) = (1  x)2 cos x Tính f(51)(0) (102) g) Cho f  x   ln 2x  2x  x  Tính f  2n  0 b) Vi phân cấp cao Định nghĩa dnf = d(dn  1f) x biến số độc lập ta có dnf = f(n)(x)dxn Ví dụ y = x3ex, tính d10y 18 ((2n  1)!) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Vi phân cấp cao tính bất biến Ví dụ y = x3, x = t2, có d2y  y(2)dx2 10 ( 8! C11 dx11 ) a) y = (x + 1)2 ln(2x + 3), tính d11y(1), Ví dụ b) y  (1  x )ln(2x  1) , tính d10y(1) Ví dụ 10 Ví dụ 11 ( 7!C10 29 dx10 ) a) f  x   e x sin x , tính d22f(0) (211dx22) b) f  x   e x cos x , tính d20f(0) (210dx20) a) f ( x )  ( x  1)ln(1  x ) Tính d7f(0) (540 dx7) b) f ( x )  ( x  1)ln(1  x ) Tính d7f(0) (540 dx7) § 10 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG  Đặt vấn đề Các định lí hàm khả vi Định lí Fermat f(x) xác định (a ; b), f(x) đạt cực trị c  (a ; b),  f'(c) f'(c) = Ví dụ a) y = x2, x  (1 ; 2) b) y = |x|, x  (1 ; 1) Định lí Rolle f(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b), f(a) = f(b)   c  (a ; b) cho f'(c) = Ví dụ f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3), x  [3 ; 1]  Ví dụ f(x) = x2 + 2x, x    ;  Ví dụ f  x    x , x  [1 ; 1]  1  Ví dụ f(x) khả vi [0 ; 1], f'(0).f'(1) < CMR  c  (0 ; 1): f'(c) = Ví dụ a) Cho a = b + c CMR phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = có nghiệm thuộc khoảng (1 ; 0) b) Cho a + b + c = CMR phương trình ax3 + 2bx + 2c = có nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) x n c) CMR: Với số tự nhiên lẻ n, phương trình x   arctan t  dt có  không nghiệm thực phân biệt x n d) CMR: Với số tự nhiên lẻ n, phương trình x   arccot t  dt có  không nghiệm thực phân biệt e) Cho 6a = 4b + 3c CMR phương trình ax3 + bx2 + c = có nghiệm khoảng (2 ; 0) 19 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Lagrange f(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b)   c  (a ; b): f  b   f a   f  c  ba Ví dụ f(x) = x(x + 1), x  [0 ; 2] Ví dụ f(x) = |x|(x  1), x  [1 ; 2] Ví dụ CMR: |arctana  arctanb|  |a  b| Ví dụ 10 a) Chứng minh VCB (x)  (x), x  +, (x) = arctan2(x + 1)  arctan2x, (x) = arccot 1  x  1 x2 b) Chứng minh VCB (x)  (x), x  +, 2 (x) = arccot (2  x)  arccot (1  x), (x)  4arctan 1  x  n c) Chứng minh  ln2 , d) Chứng minh n  k k 1  e) Tìm a để   x   tan  xa  tan 1  xa 1 x2 n  2n  k  ln2 k 1 VCB bậc với x4 x  + (2) f) Tìm a để   x   tan  xa  tan  xa VCB bậc với x6 x  + (3) g) Hàm số f  x   x ( x  1) ,  x  có thỏa mãn định lý Lagrange ? công (thỏa mãn, c  thức Lagrange có cho hàm ? ) h) Cho xi , y i  (a; b ), xi  y i , i  1, n CMR f khả vi (a;b) tồn số n c  (a; b ), cho n  [f(xi )-f(yi )]  f (c ) ( xi  y i ) i 1 i 1 Định lí Cauchy f(x), g(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b)   c  (a ; b): (f(b)  f(a))g'(c) = (g(b)  g(a))f'(c) Ngoài ra, g'(x)  0,  x  (a ; b) có f  b   f a  f  c   g  b   g a  g c  Ví dụ 11 f(x) = x2, g(x) = x3, x  [1 ; 2] Ví dụ 12 f(x) = |x|(x + 1), g(x) = x, x  [2 ; 1] Ví dụ 13 a) 1) CMR  x > có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1) 2) CMR  x > có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1) 20 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 4 b) 1) Cho phương trình x  a1x  a2 x  a3 x  a4  ,  ak  , có bốn k 1 nghiệm thực phân biệt CMR : 3(a1)  8a2 2) Cho f(x) liên tục [0,1], khả vi (0,1), có f(0)=0, f(1)=1 +) CMR : phương trình f(x)=1-x có nghiệm khoảng (0,1) +) CMR : Tồn hai số a, b  (0,1) : f (a )f (b )  4 c) Cho phương trình x  a1x  a2 x  a3 x  a4  ,  ak  , có bốn k 1 nghiệm thực phân biệt CMR : 3(a1)  8a2 d) Hàm số f  x   x ( x  1) , g  x   x  1, 1  x  có thỏa mãn định lý Cauchy ? công thức Cauchy có cho hàm ? (không thỏa mãn, c  HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 21 )