PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§9, §10) §9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Tiếp theo) Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao Định nghĩa f(n)(x) = (f(n 1)(x))' Ví dụ cos x n 2 (n) b) y = x , , tính y a) y = cosx, y n c) y = loga|x|, tính y(n) Quy tắc f(n)(x), g(n)(x) 1) (f(x))(n) = f(n)(x) 2) (f(x) g(x))(n) = f(n)(x) g(n)(x) n 3) f x g x n Cnk f k x g n k x k 0 Ví dụ y = x lnx, tính y(5) Ví dụ y = sinax cosbx, tính y(20) Ví dụ y = x2 cosx, tính y(30) Ví dụ y , tính y(n) x 1 2x Ví dụ a) y x , tính y(n) ((2)ne2x(n + 2x)) e (n 2)!3n 1 (n) b) y x ln(1 x ) , tính y ( 3x n ) n 1 x t2 t2 x 3t 2t e te c) y f ( x ), , tính f x , f x (f , f ) 2 t2 t y te x t et 2et t d) y f ( x ), , tính f x , f x ( f 2(1 e ) , f ) 2t et y 2t e e) f(x) = x2 sin(1 x) Tính f(50)(1) (100) f) f(x) = (1 x)2 cos x Tính f(51)(0) (102) g) Cho f x ln 2x 2x x Tính f 2n 0 b) Vi phân cấp cao Định nghĩa dnf = d(dn 1f) x biến số độc lập ta có dnf = f(n)(x)dxn Ví dụ y = x3ex, tính d10y 18 ((2n 1)!) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Vi phân cấp cao tính bất biến Ví dụ y = x3, x = t2, có d2y y(2)dx2 10 ( 8! C11 dx11 ) a) y = (x + 1)2 ln(2x + 3), tính d11y(1), Ví dụ b) y (1 x )ln(2x 1) , tính d10y(1) Ví dụ 10 Ví dụ 11 ( 7!C10 29 dx10 ) a) f x e x sin x , tính d22f(0) (211dx22) b) f x e x cos x , tính d20f(0) (210dx20) a) f ( x ) ( x 1)ln(1 x ) Tính d7f(0) (540 dx7) b) f ( x ) ( x 1)ln(1 x ) Tính d7f(0) (540 dx7) § 10 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG Đặt vấn đề Các định lí hàm khả vi Định lí Fermat f(x) xác định (a ; b), f(x) đạt cực trị c (a ; b), f'(c) f'(c) = Ví dụ a) y = x2, x (1 ; 2) b) y = |x|, x (1 ; 1) Định lí Rolle f(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b), f(a) = f(b) c (a ; b) cho f'(c) = Ví dụ f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3), x [3 ; 1] Ví dụ f(x) = x2 + 2x, x ; Ví dụ f x x , x [1 ; 1] 1 Ví dụ f(x) khả vi [0 ; 1], f'(0).f'(1) < CMR c (0 ; 1): f'(c) = Ví dụ a) Cho a = b + c CMR phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = có nghiệm thuộc khoảng (1 ; 0) b) Cho a + b + c = CMR phương trình ax3 + 2bx + 2c = có nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) x n c) CMR: Với số tự nhiên lẻ n, phương trình x arctan t dt có không nghiệm thực phân biệt x n d) CMR: Với số tự nhiên lẻ n, phương trình x arccot t dt có không nghiệm thực phân biệt e) Cho 6a = 4b + 3c CMR phương trình ax3 + bx2 + c = có nghiệm khoảng (2 ; 0) 19 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Lagrange f(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b) c (a ; b): f b f a f c ba Ví dụ f(x) = x(x + 1), x [0 ; 2] Ví dụ f(x) = |x|(x 1), x [1 ; 2] Ví dụ CMR: |arctana arctanb| |a b| Ví dụ 10 a) Chứng minh VCB (x) (x), x +, (x) = arctan2(x + 1) arctan2x, (x) = arccot 1 x 1 x2 b) Chứng minh VCB (x) (x), x +, 2 (x) = arccot (2 x) arccot (1 x), (x) 4arctan 1 x n c) Chứng minh ln2 , d) Chứng minh n k k 1 e) Tìm a để x tan xa tan 1 xa 1 x2 n 2n k ln2 k 1 VCB bậc với x4 x + (2) f) Tìm a để x tan xa tan xa VCB bậc với x6 x + (3) g) Hàm số f x x ( x 1) , x có thỏa mãn định lý Lagrange ? công (thỏa mãn, c thức Lagrange có cho hàm ? ) h) Cho xi , y i (a; b ), xi y i , i 1, n CMR f khả vi (a;b) tồn số n c (a; b ), cho n [f(xi )-f(yi )] f (c ) ( xi y i ) i 1 i 1 Định lí Cauchy f(x), g(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b) c (a ; b): (f(b) f(a))g'(c) = (g(b) g(a))f'(c) Ngoài ra, g'(x) 0, x (a ; b) có f b f a f c g b g a g c Ví dụ 11 f(x) = x2, g(x) = x3, x [1 ; 2] Ví dụ 12 f(x) = |x|(x + 1), g(x) = x, x [2 ; 1] Ví dụ 13 a) 1) CMR x > có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1) 2) CMR x > có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1) 20 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 4 b) 1) Cho phương trình x a1x a2 x a3 x a4 , ak , có bốn k 1 nghiệm thực phân biệt CMR : 3(a1) 8a2 2) Cho f(x) liên tục [0,1], khả vi (0,1), có f(0)=0, f(1)=1 +) CMR : phương trình f(x)=1-x có nghiệm khoảng (0,1) +) CMR : Tồn hai số a, b (0,1) : f (a )f (b ) 4 c) Cho phương trình x a1x a2 x a3 x a4 , ak , có bốn k 1 nghiệm thực phân biệt CMR : 3(a1) 8a2 d) Hàm số f x x ( x 1) , g x x 1, 1 x có thỏa mãn định lý Cauchy ? công thức Cauchy có cho hàm ? (không thỏa mãn, c HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 21 )