Chương này gồm có các nội dung: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương Phương trình vi phân tuyến tính cấp Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - I – Phương trình vi phân tuyến tính cấp tổng quát II – Phương trình vi phân tuyến tính hệ số III- Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp I Phương trình vi phân tuyến tính cấp Định nghĩa phương trình khơng Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không '' ' y p ( x) y q( x) y f ( x), (1) p ( x), q ( x), f ( x) hàm liên tục Định nghĩa phương trình Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai y '' p ( x) y ' q ( x) y 0, (2) p ( x ), q ( x ) hàm liên tục I Phương trình vi phân tuyến tính cấp Cấu trúc nghiệm phương trình khơng ytq y0 yr ytq nghiệm tổng quát pt không y0 nghiệm tổng quát pt yr nghiệm riêng pt không Tập hợp nghiệm phương trình khơng gian chiều: y0 c1 y1 ( x ) c2 y2 ( x ) y1 ( x ) nghiệm riêng pt (2) Tìm nghiệm thứ hai dạng: y2 y1 ( x) u ( x) y2' y1' u y1u ' ; y2'' y1''u y1' u ' y1u '' y1''u y1' u ' y1u '' p y1' u y1u ' qy1u y1'' py1' '' qy1 u y1u y1' '' ' ' y u y py u 0 py1 u 1 ' Đặt z u ' , có phương trình tách biến y1 z ' y1' py1 z u e p ( x ) dx y12 ( x ) dx e p ( x ) dx y2 ( x) y1 ( x) dx y1 ( x) I Phương trình vi phân tuyến tính cấp Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp biến thiên số: yr c1 ( x ) y1 ( x ) c2 ( x ) y2 ( x ) yr' C1' ( x) y1 C1 ( x) y1' ( x) C2' ( x) y2 C2 ( x) y2' ( x) yr'' C1'' y1 C1' y1' C1' y1' C1' y1'' C2'' y2 C2' y2' C2' y2' C2 y2'' Thay vào pt (1): yr'' p ( x) yr' q ( x ) yr f ( x) ' 1 ' ' 1 ' 2 ' ' 2 C y C y C y C y f ( x) Nghiệm riêng: yr Giải hệ tìm C1' , C2' Suy C1 ( x), C.2 ( x) Nghiệm tổng quát (1): ytq y0 yr KẾT LUẬN: Để giải phương trình y '' p ( x) y ' q ( x) y f ( x) cần tìm nghiệm riêng y1 ( x) pt e p ( x ) dx Từ nghiệm y1 ( x) suy ra: y2 ( x) y1 ( x) dx y1 ( x) Tìm nghiệm yr c1 ( x) y1 ( x) c2 ( x) y2 ( x) C1' y1 C2' y2 ' ' ' ' C y C y2 1 f ( x) C1 ( x), C2 ( x) yr Nghiệm tổng quát pt không nhất: ytq y0 yr Ví dụ Giải phương trình x y '' xy ' y x (1) ' Phương trình chuẩn: y y y x x x ' '' Phương trình nhất: y y y (2) x x Đoán nghiệm riêng pt nhất: y1 ( x) x '' Tìm nghiệm riêng thứ hai (2): dx x e e p ( x ) dx y2 ( x) y1 ( x) dx x dx x ln x x y1 ( x) Tìm nghiệm riêng pt (1) PP biến thiên số Trong ta đoán được: y x3 Nghiệm tổng quát (1): ytq y0 yr C1 x C2 x ln | x | x3 y '' tan x y ' y Ví dụ Giải phương trình Đốn nghiệm riêng: y1 ( x) sin x Tìm nghiệm riêng thứ hai (2): tan xdx e p ( x ) dx y2 ( x) y1 ( x) dx sin x e dx y1 ( x) sin x 2x ' 2y y 0 Ví dụ Giải phương trình y x 1 x 1 '' Đốn nghiệm riêng: y1 ( x) x Tìm nghiệm riêng thứ hai (2): 2x dx x 1 e p ( x ) dx y2 ( x) y1 ( x) dx x e x2 y1 ( x) dx II Ptrình vi phân tuyến tính cấp hệ số Định nghĩa phương trình khơng hệ số Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình y '' py ' qy f ( x), (1) p, q số, f(x) hàm liên tục Định nghĩa phương trình hệ số Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình y '' py ' qy 0, (2) p, q số 1 dx 1 I ln | x 1| ln | x 1| ln | x | 2 x 2x x 6 2 1/ 1/ x 1 x ln ( x 1)1/ 2 ln 2ln x 2 cosh x ln(1 x ) ( x ) Câu 2 8 x x0 x 3 12 Hàm dấu tích phân hàm ln âm Xét tích phân hàm - f(x) 12 cosh x ln(1 x ) 12 x f ( x) 3 3 x x x3 Tích phân hội tụ 3 Câu y1 x arctan x , y x arctan x Ta có y1 ( x) y2 ( x), x [0,1] V0 x y22 y12 dx ( x arctan x) ( x arctan x) dx 0 V0 x x arctan xdx 2 Câu Đây phương trình Bernoulli với 1/ ' y y x z x z 2 ' y y' y y x 2 Đặt z z Ce x / x Nghiệm tổng quát pt y Ce x / x y Câu Phương trình đặc trưng: k 3k k1 k2 x Nghiệm phương trình nhất: y0 C1e C2e 2x Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: yr yr1 yr2 Nghiệm riêng y y y x yr1 x '' ' Nghiệm riêng y y y 5sin x : yr cos x sin x 4 '' ' Nghiệm tổng quát phương trình cho: ytq C1e C2e x cos x sin x 4 x 2x 1 0 4 4 1 1 Câu A 11 8 P D 3 0 3 8 2 Đặt Y P 1 X Ta có: Y ' DY P 1F (t ) y1' 0 y1 4 / 4 / et ' y2 3 y2 / 3 8 / 2t y3' 0 3 y3 8 / / / y1' y2' y' y1 et 8t / 3 y2 8et / 6t 3 y3 8et / 16t / y1 (t ) C1et tet 8t / / y2 (t ) C2 e3t 2et / 2t / y (t ) C e 3t 2et / 16t / 16 / 27 Suy nghiệm tổng quát hệ Đề mẫu cuối kỳ Câu Tính sinh x ln(1 x ) lim x0 tan x x Câu Tìm tiệm cận đường cong cho ptrình x4 y |x| I Câu Tính tích phân dx 1x 3x 2x Câu Tính tất , để tích phân sau hội tụ ln x I 1 x arctan x dx Câu Tìm diện tích bề mặt trịn xoay quay miền D giới hạn x a (t sin t ), y a (1 cos t ), t 2 ; a quanh trục Oy Câu Giải phương trình vi phân y ' x y x y Câu Giải phương trình vi phân cấp y '' y ' y e2 x cos x Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp khử x1' ' x2 x' x1 x x3 t x1 x2 x3 2t x1 x2 x3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút Giải đề mẫu cuối kỳ Câu -3 x 3 sinh x ln(1 x ) x ( x ) tan x x (x ) sinh x ln(1 x) x3 lim lim x 0 x 0 x / tan x x Câu Tiệm cận đứng: x f ( x) x 2, x a lim lim x x x x|x| 2, x x4 a b lim f ( x) ax lim 2x x x x a 2 b lim f ( x ) ax x Có hai tiệm cận xiên: y x, y 2 x I 1/ Câu Câu Đặt t x I 1 d (t 1) (t 1) 1/ x2 dt dx 2 t t 1/ 3 x x (t 1) / ln x f ( x) x 1 x arctan x d (t 1) / t 1 arcsin arcsin 1/ 2 ln x x ln x / 3 2/3 x x Nếu / 1/ , tích phân hội tụ với Nếu / 1/ , tích phân phân kỳ với Nếu / 1/ , tích phân hội tụ 1 Câu x a (t sin t ), y a (1 cos t ), t 2 x ' (t ) a a cos t ' ' x (t ) y (t ) y ' (t ) a sin t 2 S0 y 2 t 4a sin 2 2 x(t ) x (t ) y (t ) ' ' dt 2 S0 y 2 t a (t sin t ) 4a sin dt 4a 2 2 2 S0 y 2 t (t sin t ) sin 2dt t t 4a t sin sin t sin dt 16 a 2 2 x y 1 ' ' Câu y Đặt u x y u y x y 1 ' u2 du u u u u 1 du dx dx u u u u 2 ' u ln u ln u x C 3 x y ln x y ln x y x C 3 2t 2t Câu Nghiệm tổng quát pt nhất: y0 C1e C2te Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: yr yr1 yr2 '' ' Nghiệm riêng y y y e 2x 2x : yr1 x e '' ' Nghiệm riêng y y y cos x : yr2 cos x sin x 25 25 Nghiệm tổng quát phương trình cho: 2x ytq C1e C2 xe x e cos x sin x 25 25 2x Câu x1' ' x2 x' 2x x1 x x3 t x1 x2 x3 2t x1 x2 x3 Lấy pt đầu cộng với lần pt thứ hai hệ x1' x2' x1 x3 t 4t (1) Lấy lần pt đầu trừ lần pt thứ ba hệ x1' x3' x1 x3 2t (2) '' Đạo hàm hai vế pt thứ 3: x3 x1' x3' Thay vào (1): x3'' 19 x1' 18 x3' 24 x1 21x3 3t 12t (3) x2' Khử x1 pt (2) (3): x3'' x1' x3' 3 x3 - 9t 12t Khử x1' pt (2) (3): x3'' 16 x3' 4 x1 x3 - 27t 36t Đạo hàm hai vế (5): x3''' 16 x3''' 4 x1' - x3' - 54t 36 Rút x1' thay vào (4): x3''' x3'' x3' x3 3t 8t 3t 23t 79 t 2t 3t Giải pt này: x3 (t ) C1e C2e C3e 2 Thay vào (4) ta x1 (t ) Thay vào đầu hệ ta x2 (t ) (4) (5) (6) Bài tập 1) y '' y ' y 2e x '' ' 2) y y y sin x 3) y '' y ' y x '' ' 4) y y y 3e 2x 5) y '' y ' y e x (3 x) 6) 2y '' y ' x x 7) 2y '' y ' 29 x sin x y C1e x C2e x / e x y C1e C2e cos x sin x 74 74 y e x C1 cos x C2 sin x x 6x x x 2x y C1e C2e (3 x 3)e 2x 8) y '' y ' 100 xe x cos x 9) y '' y ' y 3e2 x 10) y '' y ' y sin x cos x 11) y '' y ' y sin x 12) y '' y ' y sinh x 13) y '' y cos x 14) y '' y sin x 2e x 15) 5y '' y ' y e x cosh x ... sin x yr' ( A Bx)cos x ( B Ax)sin x yr'' -2 A - Bx sin x B - Ax cos x yr'' yr cos x -2 A - Bx sin x B - Ax cos x x A cos x B sin x cos x 2 A sin... cách đạo hàm phương trình khử hàm chưa biết Ưu điểm Giải hệ phương trình nhanh Nhược điểm Rất khó giải hệ nhiều phương trình, nhiều hàm Ví dụ Giải hệ phương trình x1' ' x2 x1 x2 x1... x1 x3 3et - t (1) Lấy pt đầu trừ pt thứ hệ ' x1 ' x3 t x1 x3 e - 2t (2) Đạo hàm hai vế pt đầu: Thay vào pt (1): x2' x1' x1'' et x1' x1'' x1 x3 2et - t (3) Khử x3