Chương này cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương 4: Phương trình vi phân cấp • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - I – Định nghĩa II – Các dạng phương trình vi phân: – Phương trình vi phân tách biến – Phương trình vi phân tuyến tính cấp – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp – Phương trình vi phân tồn phần – Phương trình Bernoulli I Các khái niệm Cho mạch điện hình bên Điện nguồn E thời điểm t: E(t) volt Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry) Dòng điện chạy qua thời điểm t I(t) ampe Theo định luật Ohm: dịng điện thời điểm t tính cơng thức: dI (t ) L RI (t ) E (t ) dt Ptrình vi phân cấp I Các khái niệm Định nghĩa Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân một vài hàm cần tìm gọi phương trình vi phân Phương trình chứa đạo hàm biến độc lập gọi phương trình vi phân thường (Differential Equation) Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE) I Các khái niệm Định nghĩa Cấp cao đạo hàm phương trình vi phân gọi cấp phương trình vi phân ' y y '' ( x) x sin x x phương trình vi phân cấp d3y d2y 2x e dx dx3 phương trình vi phân cấp 2u 2u 1 xy x phương trình đạo hàm riêng cấp I Các khái niệm Định nghĩa Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n F ( x, y, y ' , , y ( n ) ) Ví dụ: (1) (3 y x e y ) y ' ( y x) Nếu giải y ( n ) : y ( n ) ( x, y, y ' , , y ( n 1) ) Ví dụ: x xy dy x y dx Giải được: 2 dy x y y' dx x xy I Các khái niệm Định nghĩa Nghiệm phương trình (1) khoảng I hàm y ( x ) xác định I cho thay vào (1) ta đồng thức Đồ thị nghiệm y ( x ) gọi đường cong tích phân Ví dụ: Phương trình vi phân y y có nghiệm x y Cx, C R ' thỏa phương trình vi phân cho I Các khái niệm Định nghĩa Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp F ( x, y , y ' ) (2) Nếu giải y ' : y ' ( x, y ) (3) Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1: ' y y xe dạng (3) x ( y x )dy ( xy y )dx ' ' y xy y dạng (3) phương trình Clairaut, dạng (2) I Các khái niệm Bài toán Cauchy Bài tốn Cauchy tốn tìm nghiệm phương trình (2) (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) y ( x0 ) y0 (4) Nghiệm phương trình (2) (3) họ đường cong tích phân phụ thuộc số C Nghiệm tốn Cauchy đường cong tích phân qua điểm cho trước ( x0 , y0 ) I Các khái niệm Ví dụ: Phương trình vi phân y y x ' nghiệm phương trình họ đương cong tích phân: y Cx , C R Xét toán Cauchy y y 0, y (1) x ' Ta có C 13 C Nghiệm toán Cauchy y x3 Ví dụ Giải phương trình (3 x y 7)dx x3 ydy P x y P ( x, y ) x y Q P y x2 y x y Q 2 Q ( x, y ) x y 6x y x Đây phương trình vi phân tồn phần 2 Nghiệm tổng qt: u ( x, y ) C x y x y u ( x, y ) P ( x, y )dx Q(0, y )dy (3 x y 7)dx 0dy 0 u ( x, y ) x y x Nghiệm tổng quát: x3 y x C Ví dụ Giải (2 x ye xy )dx (1 xe xy )dy y (0) P Q xy xy e xye e xy xye xy y x Phương trình vi phân toàn phần Nghiệm tổng quát: u ( x, y ) C y x xy 0y u ( x, y ) (2 x ye )dx (1 0e )dy x e 0 xy x y y0 Nghiệm tổng quát: x e xy y C Điều kiện 02 e0.1 C C Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: x e xy y Ví dụ Giải (x e x/ y )dx e x (1 )dy y x/ y y (0) Q x x/ y P x x/ y 2e 2e x y y y Phương trình vi phân toàn phần Nghiệm tổng quát: u ( x, y ) C y x u ( x, y ) ( x e x/ y )dx 1dy 2 x x y x/ y ye y1 x ye x / y y y C 2 0/ Điều kiện 2e C C x2 Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: ye x / y 2 Nghiệm tổng quát: II.4 Phương trình vi phân Bernoulli Dạng ' y p ( x) y q ( x) y , 1, Cách giải: Chia hai vế cho y : y' (1 ) (1 ) p ( x) 1 (1 )q ( x) y y ' (1 ) y 1 Đặt z y z ' (1 ) y y ' y z ' (1 ) p ( x) z (1 )q ( x) Đây phương trình vi phân tuyến tính với hàm z(x) Ví dụ Giải xy ' y y ln x, y (1) 1 ln x y y y x x ' Phương trình Bernoulli ' y 1 ln x y Chia hai vế cho y : x x y ln x 1 ' Đặt z y , ta có: z z x x ln x Giải pt tuyến tính: z x C ln x Cx x x z (1) Điều kiện C y (1) Nghiệm pt: z ln x y ln x ' 2/3 Ví dụ Giải y x y 3( x x ) y , y (0) Phương trình Bernoulli / 2 / ' y z y y Đặt z y y Có phương trình tuyến tính: z ' x z x5 x 3 x x x x x3 x3 z e e C e Ce 3 x 1/ x3 x3 Nghiệm tổng quát pt cho: y e Ce Điều kiện y(0) = 1, suy C = 1 1 / 1/ ' x 1/ x3 x3 Nghiệm toán Cơsi: y e e Đường cong tích phân thỏa tốn Cơsi: y(0) = Bài tập Nhận dạng giải phương trình vi phân 1) y ' cosh( x y ) 2) xy ' y xy ' 3) x y xy y y 4) y ' , y (0) 1 x 5) x3 y ' y ( x y ) 6) y dx y x dy 7) y ' sin x y ln y 0, y ( / 2) e 8) sin y cos xdy cos y sin xdx, y (0) / 9) x y ' xy y 10) (xy x)dx ( y x y )dy x y 11) y x y ' 2 ' 12) y x y xyy ' 13) (3 y xy x )dx ( x xy )dy 14) xy ' y x y 15) y x dy xy 0, y (0) 2 y xy x ' 16) y , y (1) 1 y xy x ' 17) y xy xe x2 18) ydx ( y x)dy 19) ( y ' y ) x ( x 1)e x y 20) xy x, y (1) 1 x ' 21) x x dy ( y yx x )dx, y (1) / 2 y xy x ' 22) y , y (1) 1 y xy x x y x y 23) y sin sin 2 ' 1 y 24) y xy (1 x ) ' 25) ydx ( y x)dy 26) y ' ( x y )2 27) x xy y dy y dx dx dy 28) 2 x xy y y xy ' xy y y 29) tan x x y xy ' 30) 2, y (1) ' x yy y 31) y x, y (0) 1 x ' 32) (1 e x ) yy ' e y , y (0) 33) y ' x y x5 x , y (0) 2y x 34) y 2x y ' 3x y 35) y x y 1 ' y 36) y y2 x 1 ' 37) xy ' y x y 2y y 38) y x cos x ' 39) xy ' y y ln x 40) (e x 1) y ' (e x 1) y (3 2e x ) y 41) y x y x ' 42) xy ' y x y 3 43) (2 x3 xy )dx (2 y x y )dy xdy ydx 44) dx 2 x y x y 45) e y dx ( xe x y )dy 46) xdx ydy ydx xdy 2 x x y 2 y xy x 47) y ' y2 2 48) (2 y xy )dx ( x x y )dy ... sách Jean – Marie Monier, giải tích tập II.1 Phương trình vi phân tách biến Dạng f ( x)dx g ( y )dy Cách giải: tích phân hai vế ta f ( x)dx g ( y )dy C Ví dụ Giải pt dy dx 0 2 1... Các khái niệm Bài toán Cauchy Bài tốn Cauchy tốn tìm nghiệm phương trình (2) (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) y ( x0 ) y0 (4) Nghiệm phương trình (2) (3) họ đường cong tích phân phụ... Cơsi: y e e Đường cong tích phân thỏa tốn Cơsi: y(0) = Bài tập Nhận dạng giải phương trình vi phân 1) y '' cosh( x y ) 2) xy '' y xy '' 3) x y xy y y 4) y '' , y (0) 1 x