Bài giảng giải tích 1 bài 15

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 15 §3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ (TT) III Cực trị có điều kiện Đặt vấn đề  Ta thường gặp toán tìm cực trị biểu thức với điều kiện ràng buộc biến  Tuy nhiên việc thay điều kiện ràng buộc vào hàm ban đầu để đưa toán biết thuận lợi Ta cần khắc phục nào?  Phương pháp nhân tử Lagrange khắc phục khó khăn trên, công cụ quan trọng kinh tế, hình học vi phân lý thuyết học nâng cao Cực trị hàm số z = f(x, y) với điều kiện g(x, y) = Tìm giá trị cực trị hàm số z = f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = Đặt L(x, y, ) = f(x, y) + g(x, y) L L L Ta có  0,  0,  , biến  gọi biến Lagrange x y  Như toán tìm cực trị z = f(x, y) với điều kiện ràng buộc g(x,y)=0 chuyển toán cực trị hàm L(x, y, ) Đây phương pháp nhân tử Lagrange Phương pháp nhân tử Lagrange quan trọng lý thuyết, thực hành có ưu điểm sau:  Không phải băn khoăn tính đối xứng toán lựa chọn biến độc lập  Việc đưa thêm vào  biến khác khử ràng buộc  Dễ dàng mở rộng cho trường hợp nhiều biến nhiều ràng buộc Ví dụ Tìm cực trị có điều kiện x y a) z  x  y 2,  1 c) z  xy , x  y  b) z  x  2y , x  y  d) z  xy , x  y  2x e) z  x m  y m  m  1 , x  y  2,  x, y   1 1 f) z   ,   x y x y a2 2) Cực trị hàm số u = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = Tìm cực trị hàm w = f(x, y, z), với điều kiện g(x, y, z) = Đặt L(x, y, z, ) = f(x, y, z) + g(x, y, z) Có L L L L  0,  0,  0, 0 x y z  Như toán tìm cực trị hàm w = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = chuyển toán tìm cực trị hàm: L(x, y, z, ) = f(x, y, z) + g(x, y, z) Ví dụ Tìm cực trị có điều kiện 67 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn a) u  xy 2z 3, x  y  z  a, b) c) d) e)  x  0, y  0, z  0, a   x2 y u  x y z ,   z2   u  sin x sin y sin z, x  y  z   x  0, y  0, z   u  xyz, xy  yz  zx  8,  x, y , z   1 u  x  y  z,    x y z 2 f) u  x  2y  2z, x  y  z  x n  y n  zn g) u  , x  y  z  s  x  0, y  0, z  0, s   , n > 3) Cực trị hàm u = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = Tương tự đặt L = f(x, y, z)  g(x, y, z)  h(x, y, z) có L L L L L  0,  0,  0,  0, 0 x y z   Bài toán tìm cực trị với hai điều kiện ràng buộc nói chuyển toán tìm cực trị hàm L(x, y, z, , ) = f(x, y, z)  g(x, y, z) – h(x, y, z) Ví dụ Tìm cực trị với điều kiện a) u  xy  xz, x  y  2, x  z   x  0, y  0, z   b) u  xyz, x  y  z  5, xy  yz  zx  Chú ý: Trong kinh tế, phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng để giải toán tối đa hoá tổng sản lượng công ty, phụ thuộc vào ràng buộc tài nguyên sẵn có cố định, chẳng hạn: P = f(x, y) = Axy, với điều kiện  +  = 1, P sản lượng (tính đô la) biểu diễn qua x đơn vị vốn y đơn vị lao động IV Giá trị lớn nhất, bé Cách tìm 1 Tìm điểm dừng (trong miền mở biên) 2 So sánh giá trị hàm số điểm dừng Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, bé a) z = x2y, x2 + y2  b) z = x2 + y2  2x  y, x  0, y  0, x + y  c) z = sinx + siny + sin(x + y),  x, y  /2 d) u = x + y + z, x2 + y2  z  e) Tìm hình hộp chữ nhật tích lớn nội tiếp ellipsoide f) Tìm điểm mặt cầu x2 + y2 + z2 = mà tổng bình phương khoảng cách từ điểm đến ba điểm M1(1 ; ; 0), M2(2 ; ; 1), M3(0 ; ; 2) bé 68 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo g) Tìm ellipsoide x2 a2  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn y2 b2  z2 c2  qua (1 ; ; 3) tích bé (a  b c  ) x2 y h) Tìm điểm ellip   gần nhất, xa tới đường thẳng 3x  y  = i) z  xy   x  y  ,  x  2,  y  (max z = 1, z =  4) k) z = x2 + y2 + x + y, x + y + = 0, x = 0, y = (max z = 2, z =  ) x2 l) z  x  y , miền đóng  y2  (max z = 9, z = 9) 2 m) z  x  y , miền đóng x  y2 1 (max z = 4, z = 4) o) Tìm bán trục Ellipse: 5x2 + 8xy + 5y2 = p 1) z  cos x  cos y  cos  x  y  ,  x, y  2) z  sin x y xy  sin  sin ,  x, y   2  ( Max z  , Min z  1) ( Max z  3 , Min z  1) q 1) Tìm điểm thuộc y  2x cho gần điểm A(1,4) ( M(2,2) ) 2) Tìm điểm thuộc ellipse 4x  y  cho xa điểm A(1,0) 3 ( M(- , 63 ) , N(- ,63) ) 8 8 Thank you and Good bye! 69