PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đặt vấn đề I Định nghĩa f(x) xác định U x0 , f'(x0) = a f ( x0 x ) f ( x0 ) a x 0 x lim Ví dụ y = 2010, tính y' Ví dụ y = x3, tính y’ Ví dụ y = ax, < a 1, tính y' Ví dụ y = |x|, xét y'(0), y'(-1) a) Ý nghĩa hình học f'(x0) hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) x = x0 b) Ý nghĩa học Xét chất điểm M chuyển động thẳng, không với quãng đường S(t) tính từ điểm O Khi vận tốc tức thời S (t ) S (t ) t0 v (t0 ) lim S(t0 ) t t0 t t0 Ví dụ Một người xe máy với vận tốc 30km/h nửa đoạn đường 20km/h nửa thứ hai Hỏi vận tốc trung bình bao nhiêu? (24km/h) Ví dụ Một tên lửa bắn thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 m/s đạt độ cao t giây S = tv0 16t2 a) Tìm vận tốc thời điểm t b) Mất để tên lửa đạt tới độ cao tối đa? c) Tính vận tốc tên lửa chạm đất d) Vận tốc ban đầu để tên lửa chạm đất sau bắn 15 giây c) Ý nghĩa thực tế dy suất biến đổi y theo x dx Ví dụ Cho hình tròn bán kính r, ta có S = r2, ta có S' = 2r Như suất biến đổi diện tích hình tròn theo bán kính chu vi Ví dụ Một thang dài 13ft đứng dựa vào tường chân thang bị trượt xa tường với tốc độ không đổi 6ft/s Đầu thang chuyển động xuống nhanh chân thang cách tường 5ft? Ví dụ Người ta hút dầu khỏi thùng để làm Biết sau hút t phút lượng dầu lại thùng V = 40(50 t)2 lít a) Tìm lượng dầu hút trung bình 20 phút ( v tb 13 40.502 40.302 3200 (l/p)) 20 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b) Tìm tốc độ dầu hút khỏi thùng thời điểm t = 20 phút ( v 20 (40.502 v )t 10 2400 l/p) Ví dụ 10 Một thùng hình nón với đỉnh phía có chiều cao 12 ft đường kính đáy 12ft bơm đầy nước với tốc độ không đổi 4ft3/phút Hãy tính tốc độ biến đổi chiều cao cột nước ( y 2 a) nước sâu 2ft ) b) nước sâu 8ft ( y ) 16 Ví dụ 11 a) Chứng minh rằng: 1) 2arctan x arcsin 2x 1 x2 2) 2arccot x arccos b) 2x 1 x2 5 , x 1 xarc cot , x , f x x x 0 Cho ( f ( x ) arc cot , x 1 x2 2x 1 x4 tính f x , x 0; y ) c) 1) Chứng minh phương trình x sinx x 2, có nghiệm thực x 2) Cho f x 3 x e , x , tính f x 0 (3) Đạo hàm phía, mối liên hệ với liên tục, đạo hàm hàm ngược a) Đạo hàm phía Định nghĩa f x0 x f x0 f x0 x f x0 ; f x0 lim x 0 x 0 x x f x0 lim Nhận xét f'(x0) f'(x0 + 0) = f'(x0 0) Ví dụ y x , xét y'(1 0) b) Liên hệ đạo hàm liên tục f'(x0) f(x) liên tục x0 Ngược lại không đúng, ví dụ y x liên tục x0 = f'(0) c) Đạo hàm hàm số ngược +) Hàm số x = (y) có hàm ngược y = f(x) 14 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) y = f(x) liên tục x0 = (y0) +) '(y0) Khi ta có f x0 y0 Ví dụ y = arccot x, tính y' Ví dụ a) y = arcsin x, tính y' b) 1) Cho hàm f, g khả vi, g ( x ) f 1( x ) Đặt G( x ) , tính G(2) , biết g(x ) ( ) f (3) , f (3) 2) Cho hàm f, g khả vi, g ( x ) f 1( x ) Đặt G( x ) eg (x) , tính G(2) , biết f (3) , f (3) ( ) 3) Cho hàm f, g khả vi, biết f (g ( x )) x , f ( x ) (f ( x ))2 Tìm g(x) ( arct anx C ) c) Chứng minh hàm số f ( x ) x ln( x 1) có hàm số ngược g ( x ) f 1( x ) Tính g (2) ( ) Phép toán công thức a) Phép toán Các hàm f, g khả vi x0 (f g)'(x0) = f'(x0) g'(x0) (f.g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) f x0 g x0 g x0 f x0 f x0 , g(x0) g g x 0 b) Đạo hàm hàm sơ cấp Ta dẫn công thức vài hàm (x)' = x c' = tan x cos x (ax)’ = ax lna arccos x 1 x2 arccot x Ví dụ Tìm k để hàm số f x liên tục x = k arcsin x cos , x a) f x x 0, x 0 (k > 2) 15 loga x x ln a 1 x2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn k arctan x sin , x b) f x x 0, x 0 (k > 2) 1 x cos x , x0 Ví dụ Tính f (0) , f ( x ) x ln 1 2x x0 0, (0) c) Đạo hàm hàm hợp y'u(u0), u'x(x0) y = y(u(x)) có đạo hàm x0 có y'x(x0) = y'u(u0).u'x(x0) Ví dụ y = (x 1)(x 2) (x 2009), tính y'(1) 2 x, Ví dụ y x x , x 3, x 2 2 x , tính y' x3 (2008!) x 2 1, ( 2x 1, x ) 1, x 3 Ví dụ y = xx, tính y' Ví dụ Chứng minh rằng: - Đạo hàm hàm chẵn hàm lẻ - Đạo hàm hàm lẻ hàm chẵn - Đạo hàm hàm tuần hoàn hàm tuần hoàn có chu kì x Ví dụ y = x x , tính y’ Ví dụ Chứng minh a) 3arctan x arctan( x 2) 4arctan( x 1), x b) 2arccot x arccot( x 2) 3arccot( x 1), x Ví dụ 4 a) CMR arctanx arctany ln 4 b) CMR arccotx arccoty ln x2 y2 y2 x2 , x, y: x y > , x, y: x y > Ví dụ CMR f(x) liên tục với x x arccot , x a) f ( x ) x 0, x0 x arctan , x b) f ( x ) x 0, x 0 x sin , x c) f ( x ) x 0, x0 x cos , x d) f ( x ) x 0, x 0 Vi phân 16 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn a) Định nghĩa f(x) xác định U x0 , có f = Ax + (x), A phụ thuộc vào x0 không phụ thuộc vào x, (x) VCB cấp cao so với x ta nói f(x) khả vi x0 có df = Ax Ví dụ y = 2x + 3, tính dy b) Ý nghĩa hình học Nếu A f df Nhận xét Ax tuyến tính x nên đơn giản f nhiều c) Ứng dụng tính gần f(x0 + x) f(x0) + df(x0) 4,01 Ví dụ a) Tính gần b) Tính gần 0,06 0,06 (1,02) Ví dụ Một mảnh kim loại hình vuông, cạnh 20cm, nung nóng cạnh dãn 0,1cm Tính gần phần diện tích mảnh kim loại dãn d) Liên hệ đạo hàm khả vi f'(x0) = A df(x0) = Ax Ví dụ d ex Ví dụ d x3 x d x 3x 1 d x2 e) Tính bất biến vi phân cấp y = f(x) khả vi, x = (t) khả vi dy = f'(x)dx Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao Định nghĩa f(n)(x) = (f(n 1)(x))' Ví dụ y = x, y(n) = ? y = sinx, y n sin x n 2 Quy tắc f(n)(x), g(n)(x) có 1) (f(x) g(x))(n) = f(n)(x) g(n)(x) n 2) f x g x n Cnk f k x g n k x (Quy tắc Leibnitz) k 0 Ví dụ y = x lnx, tính y(5) Ví dụ y = sinax cosbx, tính y(20) Ví dụ y = x2 cosx, tính y(30) Ví dụ y Ví dụ Tính y(n), n a) y 2x e2x n ( 2 e 2 x n 2x ) 17 x 1 , tính y(n) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) y x ln(1 x ) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( n !3 n 1 1 x n 3x n ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 18