PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 12 CHƯƠNG III HÀM SỐ NHIỀU BIẾN §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Đặt vấn đề I Các khái niệm Định nghĩa n = {(x1, x2, , xn)}, xi }, x = (x1, x2, , xn) gọi điểm hay vectơ Phép toán: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) x = (x1, x2, , xn), n Khoảng cách: (x, y) = xi y i 2 i 1 Định nghĩa M0 n , lân cận M0 Sr(M0) = {M n : (M, M0) < r, < r } Định nghĩa A n , M n điểm A Sr(M) A M điểm biên A Sr A , Sr CA , Sr(M) Định nghĩa A n mở A chứa điểm (Khi kí hiệu Ao) A đóng A chứa điểm biên (Khi kí hiệu A ) A bị chặn (giới nội) Sr(M) A A compact A đóng giới nội A liên thông x, y A nối với đường cong liên tục A A n miền A mở liên thông A n miền đóng A liên thông đóng Miền D đơn liên D giới hạn mặt kín Miền D đa liên D giới hạn nhiều mặt kín rời đôi II Hàm nhiều biến Định nghĩa Ánh xạ f: D : gọi hàm hai biến số Ánh xạ f: D : gọi hàm ba biến số Khi D gọi TXĐ hàm số, tập giá trị = {f(M), M D} Ví dụ a) z x y d) z x y x2 y b) z e) z 53 x y a2 4a2 x y PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c) u x ln 1 x y z f) z cos x y g) u arcsin x arcsin y arcsin z Ý nghĩa hình học: Vận dụng vào đồ trắc địa, nhờ sử dụng đường mức: f(x, y) = c Việc vẽ đồ thị hàm hai biến số có khác biệt đột phá so với hàm biến số (đã nghiên cứu tỉ mỉ chương I) Khi n = vẽ đồ thị kết hợp với sử dụng đường mức sử dụng phần mềm có để nhận đồ thị cách trực tiếp Khi n 3, mô tả đồ thị hàm số thông qua mặt mức không gian chiều Bản đồ địa hình đồi Đồ thị hàm số z = xy Giới hạn hàm nhiều biến Ví dụ xy a) lim lim y 0 x 0 x y xy b) lim lim x 0 y 0 x y c) lim y kx x 0 xy x2 y Định nghĩa Ta bảo Mn(xn ; yn) M0(x0 ; y0) lim x n x0 lim y n y n n Định nghĩa Cho f(x, y) xác định D, x0 ; y D Ta bảo lim f x, y l Mn(xn ; yn) M0(x0 ; y0) lim f xn , y n l n x , y x0 , y hoặc: > bé tuỳ ý, () > 0: d(M0 ; M) < |f(M) l| < , M(x ; y) D Ví dụ xy 2 a) lim d) lim x y cos x ; y ; x y x ; y ; xy b) xy lim x ; y ; x y x2 y c) lim x ; y ; x y g) x3 lim (không có) x ; y ; x y y 54 2 2 x y e) lim x y x ; y ; f) x 2y lim x ; y ; x y (không có) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Các phép toán Tương tự hàm biến số Hàm liên tục Định nghĩa Hàm f(M) xác định D, M0 D, ta bảo hàm f(M) liên tục M0 lim f M f M0 D M M0 Hàm f(M) gọi liên tục D f(M) liên tục điểm D Ví dụ Xét tính liên tục điểm (0 ; 0) xy , x2 y 2 e x y , 2 x ; y ; b) z x y a) z 0, x ; y 0 ; 0 x2 y 0, x 2y x4 y , x ; y 0 ; 0 , x ; y 0 ; 0 c) z x y d) z x y x ; y 0 ; 0 x ; y 0 ; 0 0, 0, x2 x2 y , x ; y 0 ; 0 e 1) z x y (không liên tục, a) x ; y 0 ; 0 a, xy y , x ; y 0 ; 0 cos 2) z (không liên tục, a) x y2 x ; y 0 ; 0 a, x arcsin2 y y arcsin2 x , x ; y 0 ; 0 f 1) z x4 y x ; y 0 ; 0 a, (a = 0, liên tục; a 0, không liên tục) y arctan2 x x arctan2 y , 2) z x4 y x ; y 0 ; 0 a, x ; y 0 ; 0 (a = 0, liên tục; a 0, không liên tục) g) Tìm a để (0 ; 0) điểm liên tục hàm số 2x 2y xy , x2 y 2 1) z x y (0) x2 y a, x 2y 2xy , x2 y 2 2) z x y x2 y a, (0) 55 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn h) Tìm a để (0 ; 0) điểm liên tục hàm số x (e2 y 1) 2y (e x 1) , ( x, y ) (0, 0) 1) z x2 y ( x, y ) (0, 0) a, y (e3 x 1) x (e y 1) , ( x, y ) (0, 0) 2) z x2 y ( x, y ) (0, 0) a, (0) (0) Định nghĩa Hàm f(M) liên tục D > bé tuỳ ý, () > 0: M’, M’’ D: d(M’ ; M’’) < |f(M’) f(M’’)| < Ví dụ Xét tính liên tục hàm f = x + y + Chú ý f liên tục f liên tục §2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng Định nghĩa u = f(x , y) xác định D , ta định nghĩa đạo hàm riêng f x0 x, y f x0, y fx x0 ; y f x0 ; y lim x 0 x x f x0, y y f x0, y fy x0 ; y f x0 ; y lim y 0 y y Chú ý d d 1/ fx x0 , y f x, y ; fy x0, y f x0, y dx dy x x0 y y 2/ Tương tự có định nghĩa fx x0 , y 0, z0 fy x0, y 0, z0 d f x, y 0, z0 ; dx x x0 d d f x0, y , z0 ; fz x0, y 0, z0 f x0 , y , z dz dy z z0 y y Ví dụ z a) u x y , tính u’x(1 ; ; 3), u’y(1 ; ; 3), u’z(1 ; ; 3) z b) u , tính u’x(3 ; ; 5), u’y(3 ; ; 5), u’z(3 ; ; 5) 2 x y c) u arctan x y , tính u’x, u’y d) z 1 logy x , tính z’x, z’y x tan y , e) f x, y x y 0, x, y 0, , tính f’x(0, 0), f’y(0, 0) x, y 0, 56 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( fx ; , fy ; ) x sin y , f) f x, y x y 0, x, y 0, , tính f’x(0, 0), f’y(0, 0) x, y 0, ( fx ; , fy ; ) y2 x z z g) z arctan , tính A = x xy y2 3x y x y x2 y z z h) z arctan , tính A = y xy x2 3y x y x ( 2x y x2 y ( ) 2xy x2 y ) i) Tính đạo hàm riêng cấp : 1 u e x 2y 2 z , A(1,1,-1) ( e6 ) 18 , A(1,-1,1) ( e6 ) u e x 2 2 y 3 z Have a good understanding! 57