PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§6, §7, §8) §6 Giới hạn hàm số Đặt vấn đề a) lim 2x ? x 1 ? x 0 x b) lim ? x x c) lim I Định nghĩa ĐN1 x0 điểm tụ X (U ( xo ) \ xo ) X , > ĐN2 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Ta bảo lim f x a (xn) X, xn x0, xn x0 f(xn) a x x0 ĐN3 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Ta bảo lim f x a > bé tuỳ ý, () > 0: < |x x0| < () |f(x) a| < x x0 Chú ý ĐN2 ĐN3 Ví dụ lim x Ví dụ lim cos x 2 x 0 x II Tính chất phép toán 1) Tính chất a) lim f x a, x x0 lim f x b a = b x x0 b) lim f x a lim f x a x x0 x x0 c) f(x) = c lim f x c x x0 d) f(x) h(x) g(x), x U x0 ; lim f x a lim g x lim h x a x x0 x x0 x x0 e) lim f x a , f(x) c, x U x0 \ x0 a c x x0 f) lim f x a , a > p f(x) > p, x U0 x0 \ x0 x x0 Phép toán a) lim f x a, lim g x b lim f x g x a b x x0 x x0 x x0 f x a , (b 0) x x0 g x b b) lim f x a, lim g x b lim f x g x a.b lim x x0 x x0 x x0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Khử dạng vô định a) Các dạng vô định ; ; 0. ; ; 1 ; 00 ; 0 b) Khử dạng vô định Sử dụng phép biến đổi đại số giới hạn đặc biệt x sin x 1 lim ; lim e x 0 x x x Ví dụ lim x 0 x4 2 x x 2 Ví dụ lim x 1 x x b) lim cos x 0 3 Ví dụ lim x tan x 2 x 1 cot2 x Ví dụ a) lim cos x x 0 tan x ( 1) x x sinx c) lim x 0 sin x (e 2) ( e9 ) III Giới hạn hàm hợp, phía, vô cực Giới hạn hàm hợp lim u x u0 , lim f u a lim f u x a x x0 u u0 x x0 Giới hạn phía Định nghĩa lim f x a > bé tuỳ ý, () > 0: < x x0 < () |f(x) a| < x x0 Định nghĩa lim f x b > bé tuỳ ý, () > 0: < x0 x < () |f(x) b| < x x0 Mối liên hệ giới hạn phía giới hạn lim f x a lim f x a lim f x x x0 x x0 x x0 Giới hạn vô cực giới hạn vô cực Định nghĩa lim f x a (xn) có lim f xn a n x Định nghĩa lim f x a > bé tuỳ ý, N() > 0: |x| > N() |f(x) a| < x Chú ý ĐN6 ĐN7 Ví dụ lim x x2 x Ví dụ lim x x x 2x x 1 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ lim thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 x x Ví dụ lim sin x sin x x x 1 2 b) lim cos x x lim f x (xn) có lim f xn Ví dụ a) lim cos x cos x 1 (0), x Định nghĩa (0) x2 ( e 2 ) n x Định nghĩa lim f x N > lớn tuỳ ý, (N) > 0: |x x0| < (N) |f(x)| > N x x0 Khi ta bảo f ( x ) giới hạn x x0 §7 Vô bé, vô lớn Đặt vấn đề I Vô bé I Định nghĩa (x) VCB, x x0 lim x x x0 Tính chất a) (x) VCB, x x0, c = const c(x) VCB x x0 n b) i(x), i 1, n VCB x x0 i x VCB x x i 1 c) (x) VCB x x0, f(x) bị chặn U (x0) (x)f(x) VCB, x x0 Liên hệ VCB giới hạn Định lí lim f ( x ) L f(x) L VCB x x0 (hay f(x) = L + (x), (x) VCB) x x0 So sánh VCB Giả sử (x), (x) VCB x x0 x Định nghĩa (x) (x) lim 1 x x0 x x a \{0} x x0 x x Định nghĩa (x) VCB cấp cao VCB (x) x x0 lim 0 x x0 x Ví dụ a) sinx x, ex x, ln(1 + x) x, (1 + x) x x ex b) Cho x , x e 1 x x Chứng minh x x x Định nghĩa (x) VCB cấp với VCB (x) x x0 lim PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c) Cho x e 1 2x x , x ex Chứng minh x x x d) So sánh hai VCB sau x tan( x ) e( x 1) 1, x cos x ln x trình x 1 (2 VCB bậc) Ứng dụng tìm giới hạn x x lim x x0 x x x0 x a) (x) x , (x) x , x x0 lim e x 1 tan x 1 3x 4x Ví dụ lim Ví dụ lim x 0 x 0 1 x sin2 x b) (x) VCB cấp cao (x) x x0 (x) + (x) (x) Ví dụ lim ( 4) x sin x x3 x 0 c) (x), (x) VCB x x0; m x k x , (x) VCB có cấp thấp nhất; k 1 n x k x , 1(x) VCB có cấp thấp x x lim x x0 x x x0 1 x lim k 1 x sin3 x tan4 x Ví dụ a) lim x 0 b) 1) lim x ln(1 x ) x 0 x 3) lim x 0 4x x x8 tan x x (e2 x 1) x 2x (2) 2) lim x 0 (2) 4) lim x 0 x ln(1 x ) x 2sin4 x x (e3 x 1) x 3x5 (3) (3) II Vô lớn Định nghĩa f(x) xác định U (x0) (có thể trừ x0), f(x) VCL x x0 lim f x x x0 Chú ý Hàm VCL không bị chặn Ví dụ f(x) = x sinx không bị chặn VCL Liên hệ VCB VCL a) f(x) VCB, x x0 f(x) VCL x x0 f x : PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn VCB x x0 f x So sánh VCL Giả sử A(x), B(x) VCL x x0, Ax a) A(x) VCL cấp cao VCL B(x), x x0 lim x x0 B x Ax b) A(x), B(x) VCL cấp, x x0 lim a 0 x x0 B x b) f(x) VCL, x x0 Ax x x0 B x c) A(x), B(x) VCL tương đương, x x0 lim Ứng dụng tìm giới hạn a) Cho VCL tương đương A(x) A x , B(x) B x , Ax Ax x x0 lim lim x x0 B x x x0 B x b) Cho A(x), B(x) VCL x x0; m Ax Ak x , A (x) VCL có cấp cao nhất; k 1 n Bx Bk x , B (x) VCL có cấp cao k 1 A x A x lim x x0 B x x x0 B1 x lim 9x x3 x Ví dụ lim x 2009 x 3x x Ví dụ Tính giới hạn cot( x 1) a) lim (2 x ) x 1 (e 2009 2) cot(1 x ) b) lim (2 x ) x 1 x (1 x )ln(1 x ) (1 )ln(1 x ) ( 2ln ) d) lim x 0 x 2x e) 1) Tìm a để VCB sau tương đương x : 1 ( x ) ln(1 )sin (x) , (a=1) x x ax 2) Tìm a để VCB sau tương đương x : c) lim x 0 ( x ) ln(1 ax2 ) (x) ( x 1) , (a=-0,5) 3) lim x 0 t anx sinx ln(1 x ) , ( ) 10 3x 4x3 (e ) ( 2ln3 ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn § HÀM SỐ LIÊN TỤC Đặt vấn đề I Hàm liên tục Định nghĩa f(x) liên tục x0 +) f(x) xác định U (x0) +) lim f ( x ) f ( x0 ) ( lim f x ) x x0 f(x) liên tục trái x0 x 0 +) f(x) xác định U (x0) {x < x0} +) lim f ( x ) f ( x0 ) x x0 Tương tự ta có ĐN liên tục phải Định nghĩa f(x) liên tục (a ; b) f(x) liên tục x (a ; b) f(x) liên tục [a ; b] f(x) liên tục (a ; b), liên tục trái b liên tục phải a x sin , Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục x = 0: f x x a, sin x 1, Ví dụ a) Tìm a để y x 1 a, liên tục x = ( a) sin x 1, b) Tìm a để y x 1 a, liên tục x = 1 Ví dụ x 1 x 1 x 1 x 1 ( a) a sin arccot x , x a) Tìm a để y cosln x cosln x x , x liên tục x = (a = 0) a cos arctan x , x b) Tìm a để y sinln x x sinln x, x liên tục x = (a = 0) 11 x0 x0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ln(1 x ) sinx x 0 c) Tìm a để y x sin x a x 0 1 cos2x d) Xét tính liên tục f ( x ) ln(1 x ) liên tục x = x0 ( ) (chỉ liên tục x ) x 0 Tính liên tục hàm sơ cấp Mọi hàm số sơ cấp liên tục khoảng mà hàm số xác định Phép toán Cho f(x), g(x) liên tục x0 f(x) g(x) liên tục x0, f(x)g(x) liên f x tục x0 liên tục x0 g(x0) g x Ý nghĩa f(x) liên tục [a ; b] đồ thị đường liền nét Tính chất Định lí (Weierstrass 1) f(x) liên tục [a ; b] f(x) bị chặn [a ; b] Định lí (Weierstrass 2) f(x) liên tục [a ; b] f(x) đạt giá trị lớn bé [a ; b] Định lí (Bolzano-Cauchy) f(x) liên tục [a ; b], M = max f , N = f , a ; b a ; b [m ; M] c [a ; b]: f(c) = Hệ f(x) liên tục [a ; b], f(a)f(b) < c (a ; b): f(c) = Điểm gián đoạn Định nghĩa f(x) xác định U (x0), gián đoạn x0 f(x) không liên tục x0 f(x) xác định U (x0)\{x0} ta bảo f(x) gián đoạn x0 Định nghĩa Điểm gián đoạn x0 hàm f(x) điểm gián đoạn loại lim f x , lim f x x x0 x x0 Các điểm gián đoạn lại gọi điểm gián đoạn loại sin x Ví dụ f x x Ví dụ f x ex Ví dụ Phân loại điểm gián đoạn hàm số a) f ( x ) x 1 1 x (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1) 12 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) f ( x ) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1) x 1 1 x Ví dụ Các điểm sau điểm gián đoạn loại hàm số a) x = ; f ( x ) cot x 23 II Hàm số liên tục (loại 1) b) x , f (x) 2tan x (loại 1) Định nghĩa f(x) liên tục X > bé tuỳ ý () > 0, x1, x2 X, |x1 x2| < () |f(x1) f(x2)| < Ví dụ a) y = x + 1 , x (0 ; 1] b) y x 0, x 0 Định lí (Cantor) f(x) liên tục [a ; b] f(x) liên tục [a ; b] HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 13