Bài giảng giải tích 1 bài 14

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 14 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT) § Đạo hàm riêng vi phân cấp cao: Định nghĩa: Cho z  f ( x, y ) , ta định nghĩa:  2f f '' ( x, y )  x x    f   2f   f  ; f '' ( x , y )       y x  x  y y  y   2f   f  ''  2f   f       ; fyx ( x, y )  y x y  x  x y x  y  Tương tự z  g ( x, y , z ) thì: '' fxy ( x, y ) g '''3 ( x, y , z )  x  3g  x    2g   3g     g   "' ; g ( x , y , z )     xyz x  x  zy x z  y  x   g ''' ( x, y , z )  yx  3g     g      , x x y x  x  y   Ví dụ   a) z  ln x  x  y b) z  arctan xy  xy '' '' Tính z ''xx , zxy , zyy '' '' Tính z ''xx , zxy , zyy d) z  sin( xy ) Tính  3z x y ''' e) w  e xyz Tính w xyz y '' '' c) z  e xe Tính z ''xx , zxy , zyy '' '' '' f) g ( x, y )  (1  x )m (1  y )n Tính g xx (0,0), g xy (0,0), g yy (0,0)  x2  y  xy g) f ( x, y )   x  y  0  2xy  h) f ( x, y )   x  y 0   2xy  i), f ( x, y )   x  y 0  y k), Cho z  y sin , tính x x l), Cho z  x cos , tính y x2  y  '' '' CMR fyx (0,0)  1, fxy (0,0)  1 x 0y x2  y  '' Tính fxy (0,0) (  ) x0y x2  y  '' Tính fyx (0,0) (  ) x0y x 2zxx  xyzxy  y 2zyy (0) x 2zxx  xyzxy  y 2zyy (0) 62 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  x sin3 y , x2  y   2  (0, 0) m) Cho f ( x, y )   x  y , tính fx ( x, y ), fxy  x2  y  0,   y  x  sin3 y  x, y    0,     0,   1) ( fx  x, y     x  y 2 , fxy  x y 0 0,  y sin3 x , x2  y   2  (0, 0) n) Cho f ( x, y )   x  y , tính fy ( x, y ), fyx  x2  y  0,   x  y  sin3 x  x, y    0,     0,   1) ( fy  x, y     x  y 2 , fyx  x y 0 0, y ye x Tính A  x 2zxx  2xyzxy  y 2zyy (0) p) Cho z  ye Tính A  x 2zxx  2xyzxy  y 2zyy (0) o) Cho z  x y  x tan y 2 , x  y 0  2  (0, 0) q) Cho f ( x, y )   x  y , tính fxx  x2  y  0, (0) '' '' Định lí Schwart z = f(x, y) có đạo hàm riêng fxy , fyx lân cận M0 ( x0, y ) đạo hàm riêng liên tục '' '' M0 ( x0, y )  fxy (M0 )  fyx ( M0 ) Chú ý: Định lí mở rộng cho đạo hàm riêng cấp cao cho hàm số n biến số đạo hàm riêng liên tục  , fyx  Ví dụ 2: Tính đạo hàm riêng cấp hai: fxy a f ( x, y )  x 2y  y 5; b, f ( x, y )  e xy  sin( x  y ) Định nghĩa z = f(x, y), ta định nghĩa d n z  d (d n 1z ),  nN Nhận xét: n     + Khi x, y biến số độc lập ta có: d z   dx  dy  f y  x  + Khi x, y biến số độc lập công thức không với n  n     Thật vậy: d z   dx  dy  f  fx d x  fy d 2y y  x  63 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Do vi phân toàn phần d n z  n   hàm z nhiều biến số dạng bất biến Ví dụ a) f ( x, y )  (1  x )m (1  y )n Tính d 2f 0,0) b) f ( x, y , z )  x  2y  3z2  xy  xz  yz Tính d 2f (0,0,0) c) z  x  2y  y  4ln x  10ln y Tính d (1,2) e) z  e x cos y Tính d z d) z  e xy Tính d z f) f ( x, y )  x 2y Tính d 2f (1,1) g) ( f ( x, y )  y x Tính d 2f (1,1) ( 2dx  4dxdy ) ( 6dxdy  6dy ) h) 1) f  x, y   x y Tính d2f(1, 1) (4dxdy) 2) f  x, y   y x Tính d2f(1, 1) (6dxdy) i) Cho w  f ( x, y ) có đạo hàm riêng đến cấp liên tục; u, v không biến số độc lập Tính d 2f (u,v ) Công thức Taylor Định lí: f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp (n + 1), liên tục lân cận M0 ( x0, y ) Nếu M0 ( x0   x, y   y ) nằm lân cận ta có: f ( x0   x, y  y )  f ( x0, y )  df ( x0, y )  d f ( x0 , y )   d nf ( x0, y )  2! n! d n 1f ( x0   x, y  y ),    (n  1)! Ví dụ a Khai triển f ( x, y )   x  3y  xy  x  2y  thành chuỗi Taylor lân cận điểm ( - 2, 1) b Khai triển Maclaurin f ( x, y )  e x sin y đến bậc c Khai triển Maclaurin f ( x, y )   x  y  xy d Viết công thức Taylor hàm f (x, y )  y x lân cận điểm (1, 1) đến bậc hai e 1) Cho hàm ẩn z xác định z3  xz  y  , biết z(1, 1) = Hãy tính số số hạng khai triển hàm z theo luỹ thừa (x  1) (y  1) 2) Cho hàm ẩn z xác định z3  xz  y  , biết z(1, -1) = Hãy tính số số hạng khai triển hàm z theo luỹ thừa (x  1) (y + 1) §3 Cực trị Đặt vấn đề 64 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn I Định nghĩa: z  f (M ), M  R n Ta bảo z đạt cực tiểu M0  f(M) > f(M0),  M  U(M0)\{M0} Tương tự z có cực đại M1  f (M )  f (M1),  M  U(M1)\{M1} Ví dụ a) z  x  y b) z   x  y II Quy tắc tìm cực trị '' a, z = f(x,y), đặt p  fx' , q  fy' , a  f ''2 , b  fxy , c  f "2 x y Định lí z = f(x,y) đạt cực trị M0, fx' , fy'  fx' (M0 )  fy' (M0 ) = fx' (M0 )   fy' (M0 ) Định nghĩa: ta gọi M0 điểm tới hạn     fx' (M0 ),  fy' (M0 )  Định lí 2: Giả sử z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục lân cận M0 ( x0, y ) , fx' (M0 )   fy' (M0 ) Khi đó: + Nếu b2  ac  f(x, y) đạt cực trị M0; cực tiểu a >0, cực đại a