Giải tích 1 bài 7 tích phân bất định và tích phân xác định

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TT) VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (IV.4 – IV.6) IV.4 Nguyên hàm lớp hàm hữu tỷ sinx cosx  R  sin x, cos x  dx , R(sinx, cosx) hàm hữu tỉ biến 2t 1 t x Đặt t  tan ,  < x <   sinx  , cosx  2 1 t 1 t PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  2t 1 t  x  2arctan t  I  R  , dt  R1(t )dt 2 1 t  1 t  1 t   Chú ý +) R(sinx, cosx) chẵn với sinx cosx (nghĩa R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx)) đặt t = tanx t = cotx +) R(sinx, cosx) lẻ với sinx (nghĩa R(-sinx, cosx) =- R(sinx, cosx) ) đặt t = cosx +) R(sinx, cosx) lẻ với cosx (nghĩa R(sinx, cosx) =- R(sinx, cosx) ) đặt t = sinx Ví dụ dx a) sin x cos xdx b) sin x cos x   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dx 2sin x  cos x   e)  sin x sin x sin3 x dx dx g)   sin x  cos x 2 c) d)  cos4 x  sin4 x sin x  cos3 x  sin2 x  dx h)   sin2 x f) dx  sin2 x  sin x cos x  cos2 x sin x  2cos x k)  dx 2sin x  3cos x i) cos x dx dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo l (K54) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn tan x   cos2 x cot x cos2 x (  ln  C )  cos2 x sin2 x ( ln  C )  sin2 x dx   sin2 x dx GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Hàm chẵn với sinx cosx, nên đặt t  cot x, x  (0; )  x  arc cot t  dx   I cot x   sin2 x dx   1 t 1 1 t dt    1 t d (t  2) +)     ln(t  2)  C 2 t 2 1 sin x   ln(  1)  C  ln  C 2 sin x  sin x  dt 1 t t  dt t 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn m (K60)  n (K61)  dx 3 sin x  cos x  (  C) x  tan dx (  C) 5cos x  12 sin x  13 2(2 tan x  3) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) x 2t t  tan , x  (  ; )  x  2arctan t  sinx  , 2 1 t 2 1 t  t cosx   I dt 2 1 t 1 t 2t  12  13 2 1 t 1 t 2  dt  dt 2 5(1  t )  24t  13(1  t ) 8t  24t  18 1 d (2t  3) +)  dt     C 2 2(2t  3) 4t  12t  (2t  3)      PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 2(2 tan  3)  C (  ln cos(2 x )  C )  o (K64) tan(2 x )dx GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn sin(2 x ) d (cos(2 x )) +) I  dx   cos(2 x ) cos(2 x ) +)   ln cos(2 x )  C   IV.5 Nguyên hàm lớp hàm số vô tỉ   ax  b R x , Ax  Bx  C dx , R  x , n  dx cx  d        Tích phân  R x , Ax  Bx  C  dx 1)  R  x, a2  x  dx , đặt x = asint x = acost đưa tích phân hàm lượng giác (4b) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn CM   2 +) x  asint,   t   I  R x, a  x dx 2       +)  R asint, a2 (1  sin2 t a cos tdt  R1  sint,cos t  dt  2)    R x, a2  x dx , đặt x = atan t x = acot t  (4b) CM 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 1 i) dx 1 x  l (K51)  k) x4 x  2x   x dx  2x  x dx 2 ( x  x   3ln x   x  x   C ) x 3 dx x  4x   m (K59)  ( x  x   ln x   x  x   C ) x2 dx  x  2x 17 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n (K60) o (K61)   (   x  x  3arcsin( x  1)  C ) 2x  dx x 1 ( x   ln( x  x  1)  C ) x 1 dx x  2x  GIẢI 18 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) I   thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2x  2 dx  x  2x   d ( x  1) ( x  1)2  2 +)  x  x   2ln x   ( x  1)   C  x  x   2ln x   x  x   C p(K64)  1   2  2x    x  dx     19 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo p (K65) 1) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  ( (2 x  3)  ln( x  x  1)  C ) x dx  2x  x x 1 (   x  x  arcsin  C) GIẢI 20 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) I   thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  ( 2 x  2)  2x  x dx   d ( x  1)  ( x  1) x 1 +)    x  x  arcsin C 2 2) dx  (2  x ) ( 2 arctan  x  C ) 1 x GIẢI 21 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) t   x  I   thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2dt  t2 1 +)  2arctan t  C  2arctan  x  C  3) arctan xdx (( x  1)arctan x  x  C ) GIẢI 22 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) t  x  x  t  I  arctan td (t )  2 ( t  1) dt t2 1 2 +)  (t  1)arctan t  dt (t  1)arctan t  t  C   arctan td (t  1)  (t  1)arctan t    ( x  1)arctan x  x  C IV.6 Phép Euler  A > 0, đặt Ax  Bx  C  t  Ax  C > 0, đặt Ax  Bx  C  xt  C 23  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  Nếu Ax thao.nguyenxuan@hust.edu.vn + Bx + C = A(x  )(x  ), đặt Ax  Bx  C = t(x  ) t(x  ) đưa tích phân hàm hữu tỉ CM a) A>0 : 24 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ax  Bx  C  t  Ax  Ax  Bx  C  t  Axt  Ax  x  dx  R1(t )dt  I   R  x ,   R( t2 C B  At ;t  A t2 C B  At   Ax  Bx  C dx t2 C B  At  )R1(t )dt  R2 (t )dt b) C>0 : Tương tự c) Ax + Bx + C = A(x  )(x  ), đặt = t(x  ), ta có 25 Ax  Bx  C PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn A( x   )( x   )  t ( x   )  t ( x   )  A( x   ), x    t ( x   )  A( x   )  x   dx  A   t A  t2 2t ( A  t )  2t ( A  t )   ( A  t )2  R1(t )  R2 (t )dt    I  R x , Ax  Bx  C dx    R (R1(t ), t (R1(t )   ))R2 (t )dt  R3 (t )dt 26 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Dùng phép Euler để tính a) c) x dx x  x 1 dx   x  a2  GIẢI a) b) x x a d) dx x2  x  27  1 dx  2x  x x 1   x  1 x 1 dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 x  x   t  x   x  x   (t  x ) +) 2 t  t  2t  2 x   t  2tx  x   dx  dt 2t  (2t  1) 2t  2t  I   dt 2 t (2 t  1) x  x  x 1 2t  2t  2 3 +)     2 t t  t (2t  1) (2t  1) 3 I [   ]dt t 2t  (2t  1)  dx   28 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn d (2t  1) d (2t  1)  ln t   2t  (2t  1)2 3  ln t  ln 2t   C 2 2t  2  ln( x  x  x  1)  ln 2( x  x  x  1)    C 2( x  x  x  1)    29 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Chú ý Có hàm khơng có ngun hàm sơ cấp: x cos x sin x x 2 e e , cos x , sin x , , , , x x x 1 , 1 x , (Chứng minh Liouville ln x 1 x (Pháp) vào kỉ 19) Một số công thức hay sử dụng 30 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  dx thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x a 2  ln x  x  a  C  x  arcsin  C 2 a a x x a x 2 2 a  x dx  a x  arcsin  C 2 a  x a x  a dx  x  a2  ln x  x  a2  C 2  dx HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 31 ... t cosx   I dt 2 1? ?? t 1? ?? t 2t  12  13 2 1? ?? t 1? ?? t 2  dt  dt 2 5 (1  t )  24t  13 (1  t ) 8t  24t  18 1 d (2t  3) +)  dt     C 2 2(2t  3) 4t  12 t  (2t  3)      PGS TS Nguyễn... thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3t 12 t dt (t  1) 2 (t  1) 2 (t  1) 2 12 t dt I  t [ ]dt   16 t (t  1) t 3  C   C 8t 2x  3   2 x    g)   x  x  x  dx h) 16  x ? ?1 x dx x ? ?1 PGS TS Nguyễn Xuân... thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x ? ?1 dx x ? ?1 f)  2x dx  x   x 2  x dx GIẢI  x   x 2 2x  2t 3 +) t   t (2  x )   x  x  2 x t ? ?1 4 16 t  2   (2  x )  (4  )  , t ? ?1 t ? ?1 (t  1) 2  15 PGS TS