Giải tích 1 bài 11 ứng dụng của tích phân xác định

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 11 §2.4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TT) II Ứng dụng hình học Tính diện tích hình phẳng a) Đường cong cho toạ độ Descarter +) y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b b S  a f1  x   f2  x  dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) x = g1(y), x = g2(y), y = c, y = d d S  g1  y   g  y  dy c Nhận xét Sơ đồ tổng tích phân : PGS TS Nguyễn Xuân Thảo n S  k 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n  b f1 k   f2 k  xk   f1  x   f2  x  dx a Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường: a) y = x(x  1)(x  2) trục Ox x b) y = x2 y  c) x = y (y  1) trục Oy 2 x x 2 d) y = x , y  , y = 2x e) x + y  8, y  2 x 2  x  1 f) y  , y  g) y  x 1 x2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn h) (K59) 2 2 2  (  )  (  ) x  y , x  y  2y x  y , x  y  2y i) (K60) y  x  1, y  cos x, y  2 y  x  x  3, y   x  x  GIẢI 1) y  x  1, y  cos x, y  ( ) 64 ( ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) S  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 ( x  1)dx  ( x  1) +)  2  0   sinx 1 cos xdx  1 2 2) y  x  x  3, y   x  x  GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) x  x    x  x   x  x    x 1   x  x   ( x  x  3) dx  S   3   x  3  1 64   +)  ( 2 x  x  6)dx    x  x  x   3   3  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b) Đường cong cho dạng tham số x  x t  +)  ,   t  , khơng kín Khi y  y t   S  y  t  x   t  dt  x  x t  +)  ,  t  T, kín, giới hạn miền nằm bên trái y  y t  Khi T T T    S   y  t  x  t  dt  x  t  y  t  dt   x  t  y  t   x  t  y  t  dt 0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường cong: a) x = a cost, y = b sint,  t  2 b) Cycloide: x = a(t  sint), y = a(1  cost),  t  2, y  3 c) Astroide: x = a cos t, y = b sin t d) Cardioide: x = a(2cost  cos2t), y = a(2sint  sin2t) e) x = 3t , y = 3t  t f) x = t  1, y = t  t 3at 3at g) Lá Descarter: x  ,y 3 1 t 1 t GIẢI c) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 23 y 23 +) x  a cos t , y  b sin t  ( )  ( )  a b 2  cos t  sin t   S4  0 +)  12ab  12ab y (t )x (t ) dt   0  0  0 b sin3 t  ( 3a sintcos2t ) dt sin4 tcos2tdt  12ab (sin t  sin )  12  0 sin4 t (1  sin2 t )dt 3!!  5!!  (  ) 4!! 6!! PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) x   t    t  1; y   t  t   t  1; t   S   1 [x (t )y (t )  y (t )x (t )]dt 1 [(t  1)(3t  1)  (t  t )2t ]dt  1  2 1 (t  2t  1)dt 1 t t +)  (t  2t  1)dt  (   t )  (  )  5 15  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) x3 y3  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  23  x  2cos3 t , y  2sin3 t,0  t  2   s 2  2    x t  y t dt    4 ( 6 sin t cos2 t )2  (6 cos t sin2 t )2 dt   +)   2 2 36 sin t cos t (cos t  sin t )dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  4   2 sin (2t )dt  12   cos(2t ) sin(2t )dt  12  6[1  ( 1)]  12  o) (K63) y  ln(cos x ),  x  GIẢI (ln(2  3)) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  b +) s   a  +)  1 y  2 x dx  cos xdx    sin2 x     sinx 1 ( ) dx  cos x d (sin x )   1  sinx  ln  sin x  sinx dx cos x  1 2   ln  ln  ln(2  )2  ln(2  3) 1 2  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Tính diện tích mặt trịn xoay a) y = f(x), a  x  b quay quanh trục Ox, f’(x) liên tục: b   2 y  y 2 dx (y  0)  a +) Tương tự, x = x(y), c  y  d quay quanh trục Oy, x’(y) liên tục: d    2 x  x dy (x  0)  c x  x t  b)  ,   t   quay quanh trục Ox y  y t  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn    2 y  t  x 2  t   y 2  t  dt  (y  0)  Tương tự, quay quanh trục Oy    2 x  t  x 2  t   y 2  t  dt (x  0)   c) r = r() 0, sin   0,      quay quanh trục cực    2 r   sin  r    r 2  d   Nhận xét Sơ đồ tổng tích phân : PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n   2 y k  n  2    y k xk  2 y  y dx ,  k 1 n  b  2 r k  sink a r 2 k   r  k k k 1 n    2 r   sin  r    r 2  d   Ví dụ Tính diện tích trịn xoay a) y = tanx,  x  /4 quay quanh trục Ox 2 2 b) x + y + z = R c) r = 2R sin quay quanh trục cực PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn d) r = a(1 + cos) quay quanh trục cực e) x = a(t  sint), y = a(1  cost),  t  2 quay quanh trục Ox ; Oy a f) (K58) y   x ea x  e a ,  x  a quay quanh trục Ox a (y  g) x2  y2  z2 1  e2  e 2  ) a2 b2 b2 2/3 2/3 2/3 h) x  y  a quay quanh Oy; quay quanh y = x i) (K53) Tính diện tích mặt trịn xoay tạo đường tròn 2 (x + 3) + y = quay quanh trục Oy (12 ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn j) (K59)  y  cos x ,  x   , quay quanh trục Ox ( [  ln(1  2)] )  y  sin x ,   x  , quay quanh trục Ox ( [  ln(1  2)] ) r  3(1  cos ),     , quay quanh trục cực 288 ( ) GIẢI 3) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  +)   2 r   sin  r    r 2  d    2  3(1  cos )sin  32 (1  cos )2  32 sin2  d   2  3(1  cos )sin  18(1  cos )d   18 2   (1  cos )3 d (1  cos ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 52 (1  cost )  18 2 52  36 2 288  (4  0)  5 k) (K62) y   x , 1  x  1, quay quanh trục Ox vòng (8 ) 2 l) (K63) ( x  3)  ( y  2)  4, 1  x  1, quay quanh trục Ox vòng (16 2) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn m) (K64) 384 1) x  y  quay quanh trục Ox vòng ( ) 2) x  ( y  2)2  quay quanh trục Ox vòng (8 2) GIẢI 2) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) x  ( y  2)2   x  cos t; y   sin t ,0  t  2     2 y  t  x 2  t   y 2  t  dt   2  2  (2  sin t ) (  sin t )2  (cos t )2 dt 2  2  (2  sin t ) dt  2 (2t 2  cost )  8 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n) (K65) 1) Khi quay cung y  x ,0  x  1, quanh trục Ox  vòng ( (10 10  1)) 27 2) Khi quay cung y  x  1,1  x  5, quay quanh trục 4 Ox vòng ( (5  1)) GIẢI 1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 0  2  x +) Stx  2 +)  2 36 0 y  ( y ) dx  2 0 x  (3 x )2 dx  x dx  32  x d (1  x )  [ (1  x ) ] 18 4   [103 -1] 27 2) Khi quay cung y  x  1,1  x  5, quay quanh trục Ox vòng GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) Stx  2 +)  2 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 y  ( y ) dx  2 1 2x  1  dx 2x  4 2 xdx  2 x  (5  1) 3 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! ...  t    t  ? ?1; y   t  t   t  ? ?1; t   S   1 [x (t )y (t )  y (t )x (t )]dt ? ?1 [(t  1) (3t  1)  (t  t )2t ]dt  ? ?1  2 1 (t  2t  1) dt ? ?1 t t +)  (t  2t  1) dt  (   t... x 1) y   x 2) y   3 (  ln ) 3 [t ln(t  1) ]  1dt ,  t  ( 4ln  ln3  ) 15 11 [t ln(t  1) ]  1dt ,3  t  (12 ln  ln3  ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n (K60) ? ?1. .. thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n) (K65) 1) Khi quay cung y  x ,0  x  1, quanh trục Ox  vòng ( (10 10  1) ) 27 2) Khi quay cung y  x  1, 1  x  5, quay quanh trục 4 Ox vòng ( (5  1) ) GIẢI 1) PGS TS Nguyễn Xuân