Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học

Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỪA THIấN HUẾ

trườngưtrungưhọcưphổưthôngưvinhưxuâ

     — — –     

sángưkiếnưkinhưnghiệm

Bộ mụn: Toỏn học

đềưtài:

ứngư dụngư củaư phươngư phápư xácư địnhư ư hìnhư chiếuưmộtưđiểmưlênưmặtưphẳngưđểưgiảIưcácư bàiưtoánưhìnhưhọcưkhôngưgianư

trongưcácưđềưthiưđạiưhọc

Họ và tờn:

Tổ: Toỏn Đơn vị: Trường THPT Vinh Xuõn

Vinh Xuõn, thỏng 03 năm 2013

MỤC LỤC

Trang

Phần 1 - MỞ ĐẦU……… …… …… ……2

1.1 - Lý do chọn đề tài 1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài 1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài 1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài Phần 2 - NỘI DUNG ……… … … 4

2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT……… ……4

2.2 - BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG ……….… 5

2.3 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA……… ……6

2.4 - BÀI TẬP ……… … 15

Phần 3 - KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ……… …… …16

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

     — — –     

Phần 1 - MỞ ĐẦU 1.1 - Lý do chọn đề tài

Bài toán “Tính thể tích của khối đa diện, khoảng cách và góc” trong

chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông (THPT) thường xuất hiện trong các đợt kiểm tra cuối học kỳ, kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh Đại họcCao đẳng Tuy nhiên nhiều bài toán tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc đòi hỏi người học phải nắm vững cách xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính khoảng cách, từ đó mới tính được thể tích của khối đa diện; xác định được khoảng cách và góc

Mặt khác, các dạng toán về tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc lại đa dạng, phong phú mà trong thời lượng có hạn ở lớp thì giáo viên cũng khó truyền đạt hết được Hơn nữa kỹ năng xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kỹ năng cơ bản

về quan hệ vuông góc, quan hệ song song ở chương trình môn toán lớp 11 mà

đa số học sinh không theo kịp

1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài

Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học”

này sẽ giúp học sinh hệ thống được cách xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng; rèn luyện cho học sinh hệ thống kỹ năng giải quyết các bài toán tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc thường gặp trong chương trình Toán THPT thông qua việc xác định hình chiếu một điểm lên mặt phẳng

1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài

1.3.1 Khách thể: Chương trình môn Toán THPT.

1.3.2 Đối tượng: Các bài toán về “Hình học không gian trong các đề thi đại

học-cao đẳng”

1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học” cung cấp cho học sinh về phương pháp, kỹ năng và hệ thống bài tập về “Tính

thể tích của khối đa diện, khoảng cách và góc” từ các bài toán đã được ra

trong các đề thi Đại học-Cao đẳng

1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài

Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý

thuyết

Phần 2 - NỘI DUNG 2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2 1.1 Khái niệm về hình chiếu

a Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng () và đường thẳng  cắt ()

Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng

đi qua M và song song với  sẽ cắt () tại điểm

M’ xác định Điểm M’ được gọi là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng

() theo phương của đường thẳng  hay nói gọn là theo phương 

(Hình học 11, trang 72, nxb GD 2007)

b Phép chiếu vuông góc

Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng

() Phép chiếu song song theo phương của  lên

mặt phẳng () được gọi là phép chiếu vuông góc

lên mặt phẳng ()

(Hình học 11, trang 102, nxb GD 2007)

2 1.2.Nhận xét: Từ khái niệm về phép chiếu vuông góc, ta có nhận xét sau:

+ Nếu điểm A’ là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng () thì AA’() Như vậy để chứng tỏ A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mp() thì ta phải chứng minh đường thẳng AA’() và điểm A’().

+ Cho đường thẳng d không vuông góc với

mp() Nếu đường thẳng d cắt mặt phẳng () tại

điểm O, ta lấy điểm A tùy ý trên đường thẳng d

khác điểm O Gọi H là hình chiếu vuông góc của

điểm A trên mp() và  là góc giữa d và ().

+ Giả sử hai mặt phẳng () và () cắt nhau theo

giao tuyến d và  là số đo góc của hai mặt phẳng

() và () Khi đó từ một điểm M() (mà

Md) ta xác định hình chiếu I của điểm M trên

α)

M

M'

α)

B'

A B

A'

(φ α)

d

O H

A

β)

(φ

(α

d I

H M

đường thẳng d và xác định hình chiếu H của M trên mp() Khi đó

2.2 - BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG

2 2.1.Ba bài toán cơ bản về xác định hình chiếu của một điểm lên mặt

phẳng

a Bài toán 1: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã

biết một đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) đó

b Bài toán 2: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã

biết điểm S thuộc mặt phẳng (Q) mà (Q)(P).

c Bài toán 3: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã

biết hai mặt phẳng (Q) và (R) cắt nhau, cùng vuông góc với (P)

2 2.2.Các bước xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P)

Bước 1 Xác định đường thẳng (P);

+ Ở bài toán 1 thì đường thẳng  đã có sẵn;

+ Ở bài toán 2 thì đường thẳng  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng

(Q) qua S và  vuông góc với giao tuyến m của hai

mặt phẳng (P) và (Q);

+ Ở bài toán 3 thì đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q)

và (R)

Bước 2 Xác định giao điểm H của đường

d

α)

S

H

(Q P)

S H

d

P)

S H

m

thẳng d với mặt phẳng (P), trong đó d là đường thẳng qua S và d song song

với ;

2.3 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Trong các đợt kiểm tra định kỳ, kiểm tra học kỳ, thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng các bài toán hình học không gian thường được khai thác nhiều là hình (khối) chóp và hình (khối) lăng trụ Do đó các ví

dụ sau đây chủ yếu sẽ xoay quanh hai loại hình (khối) chóp và hình (khối) lăng trụ

2 3.1.Hình (khối) chóp, lăng trụ có một cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);

AC=AD=4cm, AB=3cm, BC=5cm Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD).

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2002-Khối D)

Giải:

+ Gọi I là hình chiếu của A trên BC Khi đó DI BC

Suy ra: (ADI)(BCD) (*).

Gọi H là hình chiếu của A trên DI Từ (*) suy ra

AH(BCD).

Do đó d(A,(BCD)) =AH.

Xét tam giác ADI vuông tại A có AH là đường cao

+ Xét tam giác ABC có BC2= AC2+ AB2 nên tam giác ABC vuông tại A có AI

là đường cao Do đó, ta có: (2)

Nhận xét: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp tọa độ hay phương pháp

thể tích để tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BCD)

3cm

4cm

A

B

C

D

I H

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là

tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a và hình chiếu vuông góc của

đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính côsin góc giữa hai đường thẳng AA’

và B’C’.

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối A)

Giải:

+ Gọi H là trung điểm của BC Khi đó A’H(ABC).

Theo giả thiết, ta có tam giác ABC vuông tại A nên

Xét tam giác AHA’ vuông tại H nên

Do đó

+ Gọi  là góc giữa hai đường thẳng A’A và B’C’

Xét tam giác A’B’H vuông tại A’ nên B’H=2a, do đó tam giác BB’H cân tại B’.

Từ đó, ta có (vì A’A//BB’) Suy ra 

Nhận xét: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải

2 3.2.Hình (khối) chóp, lăng trụ có một mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt

bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối A)

Giải:

+ Gọi H là hình chiếu của S trên cạnh AD Khi đó

H là trung điểm của AD và SH(ABCD)

SHBP (1)

Trong hình vuông ABCD, ta có BPHC (2).

a

2a

a 3

H

C' A'

B

C A B'

K M

D S

Từ (1) và (2), ta có: BP(SHC)BPSC.

Vậy BPAM (đpcm)

+ Ta có SH(ABCD) (SHB)(ABCD) và (SHB)(ABCD)=HB Do đó, ta gọi K là hình chiếu của điểm M trên HB thì MK(ABCD) MK(CNP).

Xét —SAD đều cạnh a có SH là đường cao nên

Xét —SHB có MK//SH (vì SH và MK cùng vuông góc với (ABCD)) nên

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a,

và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm của AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối B)

Giải:

+ Do ABCD là hình vuông nên BDACBDMN.

Gọi H là hình chiếu của S trên AB, khi đó

SH(ABCD).

Xét tam giác SAB có tam giác

SAB vuông tại S; có SH là đường cao của tam giác

Do vậy, ta có

+ Trong mặt phẳng (ABCD), ta kẻ đường thẳng qua M song song với DN cắt

AD tại E, khi đó SAAE và Gọi  là góc giữa hai đường thẳng SM

E H N

M

C

S

B

D A

và DN Khi đó

Xét tam giác SAE vuông tại A, nên (1)

Xét tam giác MAE vuông tại A, nên (2)

Từ (1) và (2), suy ra tam giác SME cân tại E nên 

Ví dụ 3: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác

A'AC vuông cân, AC'=a Tính thể tích của khối tứ diện ABB'C' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD ') theo a.

(Đề thi Đại học năm 2012-Khối D)

Giải:

+ Theo giả thiết ABCD.A'B'C'D' là hình hộp đứng

có đáy là hình vuông, nên ta có B’C’(ABA’B’)

Vì tam giác A’AC vuông cân tại A nên

Vậy

+ Do A’D’//BC(BCD’)(BCD’A’)

Xét hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCD’A’) có BC(ABB’A’)

(ABB’A’)(BCD’A’).

Gọi H là hình chiếu của điểm A trên BA’=(ABB’A’)(BCD’A’) Suy ra AH(BCD’A’) —(BCD’).

Xét tam giác ABA’ vuông tại A có AH là đường cao nên

a

C D

B

B'

A'

A

H



Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng

a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2002-Khối A)

Giải:

+ Xét tam giác SBC có MN là đường trung bình nên

Gọi E là trung điểm của BC, gọi I=MNSE Khi đó I

là trung điểm của MN và là trung điểm của SE.

Do S.ABC là hình chóp đều nên

AM=AN Do đó AIMN (1)

Theo giả thiết, ta có (AMN)(SBC) (2).

Từ (1) và (2), ta có AI(SBC) AISE Nên tam giác SAE cân tại A.

Xét tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao 

Xét tam giác AIE vuông tại I nên

2 3.3.Hình (khối) chóp, lăng trụ khi có hai mặt cắt nhau cùng vuông góc

với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

I E M

N

B S

D; AB=AD= 2a , CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)

bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

(Đề thi Đại học năm 2009-Khối A)

Giải:

+ Ta có (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy

nên SI(ABCD)

Gọi K là hình chiếu của I trên BC, khi đó

Gọi F là trung điểm của AB khi đó

Xét tam giác SIK vuông tại I, ta có: 

2 3.4.Một số bài toán khác về hình (khối) đa diện liên quan đến hình

chiếu

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA=2a, AB=a Gọi H là

hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo

a

(Đề thi Đại học năm 2012-Khối B)

Giải:

C

B I

A F D

S

K

+ Gọi O là hình chiếu của S trên mp(ABC), D là

trung điểm của cạnh AB Khi đó O là trọng tâm của

tam giác đều ABC và DOAB.

ABSC

Từ đó, ta có:

+ Xét tam giác SOC vuông tại O, ta có:

Xét hai tam giác đồng dạng — 

Nên

Xét tam giác DHC vuông tại H nên 

Nhận xét: Đây là bài toán về hình chóp đều nên nó có hình chiếu của đỉnh lên

mặt đáy trùng với tâm của đáy

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABCD.A1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB=a, Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt

phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng

trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B 1 đến mặt phẳng (A 1 BD) theo a.

(Đề thi Đại học năm 2011-Khối B)

Giải:

+ Gọi O=ACBD, khi đó A 1 O(ABCD)

Gọi E là hình chiếu của O trên AD Khi đó:

O D

A

S

B C H

Xét tam giác ABD có OE là đường trung bình nên

Xét tam giác A 1 OE vuông tại O nên

Do đó

Do A 1 O(ABCD) nên (A 1 BD)(ABCD).

Gọi H là hình chiếu của C trên BD khi đó, ta có: CH(A1BD) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

Xét tam giác BCD vuông tại C có CH là đường cao nên



Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân với

AB=AC=3a,BC=2a Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với

mặt đáy (ABC) một góc 600 Kẻ đường cao SH của hình chóp

a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SABC b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

(Đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2001)

Giải:

a) + Gọi H là hình chiếu của điểm S trên mp(ABC)

Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của S trên các cạnh AB, BC, CA Từ đó, suy ra:

HIAB, HJBC, HKCA; góc của các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) với mặt đáy

O E

C B

D

D1

A

A1

C1

B1

H

Xét tam giác SHI vuông tại H, ta có:

(1);

Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có:

(2);

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:

(3);

Từ (1), (2) và (3), ta có: HI=HJ=HK hay H là tâm

đường tròn nội tiếp của tam giác ABC (đpcm)

Do tam giác ABC cân tại A nên ba điểm A, H, J thẳng hàng, suy ra: AHBC

Từ đó, ta có BC(SHA) Suy ra: BCSA (đpcm)

b) Ta có ABC là tam giác cân tại A nên AJ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác ABC, do đó

Từ đó

Chu vi của tam giác ABC là 2p=AB+BC+CA=8ap=4a.

Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có 

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 

Nhận xét: Đây là bài toán về hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy các

góc bằng nhau nên nó có hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy

))

J

B

S

H I K

2.4 - BÀI TẬP

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, ,

SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2006-Khối B)

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết và

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

(Đề thi Đại học năm 2011-Khối D)

3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh

bên Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối D)

4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối B)

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn

AC, Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

(Đề thi Đại học năm 2010-Khối D)

6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và Hình

chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.

(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối B)