Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 63 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
63
Dung lượng
5,85 MB
Nội dung
PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §2.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TT) Các tính chất tích phân xác định b b a) Tuyến tính f x dx , g x dx a b a b b x g x dx f x dx g x dx , , f a a a b) Cộng tính f(x) khả tích đoạn có độ dài lớn từ [a ; b], [a ; c], [c ; b] PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f(x) khả tích đoạn cịn lại có b c b f x dx f x dx f x dx a a c c) Bảo toàn thứ tự b +) f(x) khả tích khơng âm [a ; b] f x dx a +) f(x), g(x) khả tích [a ; b] f(x) g(x) b b f x dx g x dx a a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b +) f(x) khả tích [a ; b] b f x dx a f x dx a +) Nếu m f(x) M [a ; b] b m(b a) f x dx M(b a) a d) Các định lí trung bình - Định lí trung bình thứ f(x) khả tích [a ; b], b m f(x) M [m ; M] để có f x dx = (b a) a Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b] c [a ; b]: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b f x dx f (c )(b a ) a - Định lí trung bình thứ hai f(x), g(x) khả tích [a ; b], m f(x) M có g(x) khơng đổi dấu [a ; b] b b [m ; M]: f x g x dx g x dx a a Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b] c [a ; b]: b a b f x g x dx f c g x dx a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn e) Tính chất 1/ Tích phân hàm chẵn, lẻ a a f x dx, f x f ( x) f x dx a f x f ( x) 0, ( n 1)!! /2 /2 , n k , k n!! n n 2/ sin xdx cos xdx ( n 1)!! 0 , n 2k n!! (Warllis) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn III Công thức đạo hàm theo cận, công thức Newton– Leibnitz x Định lí f(x) khả tích [a ; b] I x f t dt liên tục a [a ; b] Nếu thêm f(t) liên tục t = x [a ; b] I’(x) = f(x) Hệ Cho , khả vi, f liên tục, có : ( x ) d f t dt f ( ( x )) ( x ) f ( ( x )) ( x ) dx (x) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ x d t a) e dt dx GIẢI a), c) d b) dx x t dt d c) dx x3 x2 sin t dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 2 d t x e dt e a) dx 1 x3 d c) sin t dt x sin( x )2 x sin( x )2 dx x x sin( x ) x sin( x ) x d (K52) lim cot x t sin t dt x 0 /2 lim tan3 x 2t cos t dt x 0 x ( ) (0) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x2 e (K53) lim x 0 ln 1 2t dt x sin x (1) x3 tan t dt lim ( ) x ln(1 x ) f (K54) 1.Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ x 0 a e x arctan 1 x dx (a = 1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 +) t x x t I arc cot td (3 t ) 1 +) arc cot td (t 3) arc cot td (t 1) 0 (t 1)arc cot t 1 t2 1 2 t GIẢI 2) e 3x sin(2 x )dx (t 1)dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3x e 3x +) e sin(2 x )dx [3sin(2x)-2cos(2x)] 94 3 3 +) [-2e -(-2)]= (1-e ) 13 13 §2.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đặt vấn đề Vídụ1 1 dx (0 1) ? x1 x2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn I Tích phân suy rộng với cận vơ tận A Định nghĩa f x dx lim A a f x dx a Ta nói tích phân suy rộng hội tụ vế phải tồn (hữu hạn) phân kì trường hợp ngược lại a Tương tự ta định nghĩa a f x dx lim B a Ta định nghĩa f x dx f x dx B f x dx f x dx a Tích phân hội tụ hai tích phân vế phải hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tính a) dx 1 x2 GIẢI a) b) dx 1 4x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b +) dx 1 x dx thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b arctan x b arctan b arctan1 arctan b dx +) lim lim (arctan b ) b x b x 1 4 arctan x dx c) dx d) , x x 1 GIẢI d) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ln x b , ln b , 1 b dx 1 b +) 1 b 1 x x , , 1 1 1 , 1 +) , Tích phân hội tụ b , 1 dx x2 e) x e dx f) 2 1 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn g (K50) 0 h (K54) 2x e 2x dx (1) e i (K55) x 1 x2 dx x3 x 1 dx dx x 2 x2 dx ( x 1 ( 1 8ln2 3 4ln2 ) ) ( ln3 ) (2) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dx x 1 x j (K59) arctan x x 2 k (K62) ( ( ln 2)) dx (arctan x ) x2 l (K64) 1) dx dx ( x 3)( x x 1) ln2 ( ) ( ) 24 14 ln3 ( ) 117 13 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 2) dx x(3x 2) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ln3 ( ) 3) GIẢI 3) Xét hội tụ tính xe x xe dx x dx (1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b x +) xe dx ( xe x e x b b 1 b ) e b 1 b 1 +) xe dx lim xe dx lim b 1 b b e 0 x 1) Xét hội tụ tính x dx ( x 3)( x x 1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 x4 +) ( ) ( x 3)( x x 1) 13 x x x 1 1 2x ( ) 13 x x x ( x )2 b dx +) I (b ) ( x 3)( x x 1) d(x ) b b b dx d ( x x 1) ] [ 12 13 x x x (x ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b x 1 2 2] [ln x - ln(x x 1) arctan 13 2 3 b x 3 2x [ln arctan ] 13 3 (x x 1) b3 2b 1 [ln ln3 (arctan - arctan )] 13 3 (b b 1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) I lim I (b ) [ ln3 ( )] b 13 2 14 ln3 [ ln3 ]= 13 3 117 13 Các dấu hiệu hội tụ a) Khi f(x) khả tích [a ; A], A > a A Định lí f x dx hội tụ f x dx L, A a a Định lí f, g khả tích [a ; A], A > a; f(x) g(x), x a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nếu g x dx hội tụ f x dx hội tụ a a Nếu f x dx phân kì a g x dx phân kì a Ví dụ 2.(K62) Xét hội tụ, phân kỳ GIẢI dx e 3x x (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) e 3x thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 3x e , x 0 e +) 0 e 3x dx lim b b e 3x dx 3x x 2 lim e b 3x e 3x b 3b ) 2 lim (1 e b phân suy rộng cho hội tụ 0 e 3x dx hội tụ, tích Have a good understanding! ... [3sin(2x)-2cos(2x)] 9? ??4 3 3 +) [-2e -(-2)]= (1- e ) 13 13 §2.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đặt vấn đề Víd? ?1 1 dx (0 1) ? x1 x2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn I Tích phân. .. thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2x arccos dx 2x 1 h (K52) x 2arctan x dx ? ?1 x ? ?1 arctan x dx ? ?1 1? ?? ( 1? ?? ) 12 2 (1 2 4ln2) 2 (1 ln2 ) i (K55) 1) arccos x dx ( 2)... arcsin x ? ?1? ?? sin18 xdx x 1? ?? e 2 17 !! ( ) 18 !! 3) Cho f(x) liên tục [ -1; 1] thỏa điều kiện 2 f ( x ) x x f ( x ) Tính f(x)dx ? ?1 4) Cho f(x) liên tục [ -1; 1] Tính 3 ( )