Giải tích 1 bài 9 tích phân xác định (tt)

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §2.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TT) Các tính chất tích phân xác định b b a) Tuyến tính  f  x  dx ,  g  x  dx   a b  a b b  x    g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx , ,     f     a a a b) Cộng tính f(x) khả tích đoạn có độ dài lớn từ [a ; b], [a ; c], [c ; b] PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  f(x) khả tích đoạn cịn lại có b  c b f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx  a  a c c) Bảo toàn thứ tự b +) f(x) khả tích khơng âm [a ; b]  f  x  dx   a +) f(x), g(x) khả tích [a ; b] f(x)  g(x) b b  f  x  dx  g  x  dx  a  a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b +) f(x) khả tích [a ; b]   b f  x  dx  a  f  x  dx a +) Nếu m  f(x)  M [a ; b] b  m(b  a)  f  x  dx  M(b  a)  a d) Các định lí trung bình - Định lí trung bình thứ f(x) khả tích [a ; b], b m  f(x)  M    [m ; M] để có f  x  dx = (b  a)  a Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b]  c  [a ; b]: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b  f  x  dx  f (c )(b  a ) a - Định lí trung bình thứ hai f(x), g(x) khả tích [a ; b], m  f(x)  M có g(x) khơng đổi dấu [a ; b] b b     [m ; M]: f  x  g  x  dx   g  x  dx  a  a Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b]  c  [a ; b]: b  a b f  x  g  x  dx  f  c  g  x  dx  a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn e) Tính chất 1/ Tích phân hàm chẵn, lẻ  a a  f  x  dx, f   x   f ( x) f  x  dx    a f   x    f ( x) 0,  ( n  1)!!   /2  /2 , n  k , k    n!! n n 2/ sin xdx  cos xdx   ( n  1)!!  0 , n  2k   n!! (Warllis)     PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn III Công thức đạo hàm theo cận, công thức Newton– Leibnitz x Định lí f(x) khả tích [a ; b]  I  x   f  t  dt liên tục  a [a ; b] Nếu thêm f(t) liên tục t = x  [a ; b]  I’(x) = f(x) Hệ Cho ,  khả vi, f liên tục, có :  ( x )  d  f  t  dt   f ( ( x )) ( x )  f ( ( x )) ( x )  dx   (x)   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ x d t a) e dt dx  GIẢI a), c) d b) dx  x  t dt d c) dx x3  x2 sin t dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x   2 d  t  x  e dt   e a)  dx  1   x3  d  c) sin t dt   x sin( x )2  x sin( x )2  dx  x   x sin( x )  x sin( x ) x    d (K52) lim cot x t sin t dt  x 0      /2   lim  tan3 x   2t  cos t dt   x 0   x     ( )  (0) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x2  e (K53) lim x 0 ln 1  2t  dt x sin x (1) x3  tan t dt lim ( ) x ln(1  x ) f (K54) 1.Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ x 0 a  e x arctan 1  x  dx (a = 1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2  +) t   x  x   t  I  arc cot td (3  t ) 1   +)  arc cot td (t  3)  arc cot td (t  1) 0  (t  1)arc cot t  1  t2 1    2   t    GIẢI 2) e 3x sin(2 x )dx (t  1)dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   3x   e  3x +) e sin(2 x )dx   [3sin(2x)-2cos(2x)] 94    3 3 +)  [-2e -(-2)]= (1-e ) 13 13  §2.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đặt vấn đề  Vídụ1  1  dx     (0  1)  ? x1 x2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn I Tích phân suy rộng với cận vơ tận A  Định nghĩa f  x  dx  lim  A a  f  x  dx a Ta nói tích phân suy rộng hội tụ vế phải tồn (hữu hạn) phân kì trường hợp ngược lại a Tương tự ta định nghĩa  a f  x  dx  lim B   a  Ta định nghĩa   f  x  dx     f  x  dx B  f  x  dx  f  x  dx  a Tích phân hội tụ  hai tích phân vế phải hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tính  a) dx  1 x2 GIẢI a)  b) dx  1 4x  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b +) dx  1 x  dx thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b  arctan x b   arctan b  arctan1  arctan b  dx  +)  lim  lim (arctan b  ) b   x b   x 1       4   arctan x dx c) dx d) ,     x x 1 GIẢI d)     PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  ln x b ,    ln b ,  1 b  dx   1 b +)   1  b 1  x x ,     ,   1  1  1     ,  1  +)   ,    Tích phân hội tụ    b   ,  1      dx  x2 e) x e dx f) 2  1  x     PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  g (K50)  0 h (K54)  2x  e 2x  dx (1)  e    i (K55) x 1 x2 dx x3 x 1 dx dx  x 2  x2  dx (   x 1 ( 1 8ln2 3 4ln2 ) ) ( ln3 ) (2) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  dx  x 1  x   j (K59) arctan x   x  2  k (K62)  ( (  ln 2)) dx (arctan x ) x2   l (K64) 1) dx dx  ( x  3)( x  x  1) ln2 ( )  ( ) 24 14 ln3 (  ) 117 13 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  2) dx  x(3x  2) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  ln3 ( ) 3)  GIẢI 3) Xét hội tụ tính  xe  x xe dx x dx (1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b  x +) xe dx  (  xe x e x b b 1 b )  e b  1  b 1  +) xe dx  lim xe dx  lim   b  1  b  b   e  0  x   1) Xét hội tụ tính x dx  ( x  3)( x  x  1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 x4 +)  (  ) ( x  3)( x  x  1) 13 x  x  x  1 1 2x   (   ) 13 x  x  x  ( x  )2  b dx +) I (b )   ( x  3)( x  x  1)  d(x  ) b b b dx d ( x  x  1) ]  [   12 13 x  x  x  (x  )     PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b x 1 2 2]  [ln x  - ln(x  x  1)  arctan 13 2 3 b x 3 2x   [ln  arctan ] 13 3 (x  x  1) b3 2b  1  [ln  ln3  (arctan - arctan )] 13 3 (b  b  1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   +) I  lim I (b )  [  ln3  (  )] b  13 2 14 ln3  [  ln3  ]=  13 3 117 13 Các dấu hiệu hội tụ a) Khi f(x)  khả tích [a ; A],  A > a  A Định lí f  x  dx hội tụ  f  x  dx  L,  A  a  a Định lí f, g khả tích [a ; A],  A > a;  f(x)  g(x),  x  a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  Nếu   g  x  dx hội tụ  f  x  dx hội tụ  a  a  Nếu f  x  dx phân kì   a  g  x  dx phân kì a Ví dụ 2.(K62) Xét hội tụ, phân kỳ   GIẢI dx e 3x x (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) e 3x thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x  3x e , x   0 e   +) 0 e 3x dx  lim  b  b  e 3x dx 3x x 2  lim e b   3x  e 3x b  3b ) 2  lim (1  e  b phân suy rộng cho hội tụ   0 e 3x dx hội tụ, tích Have a good understanding! ... [3sin(2x)-2cos(2x)] 9? ??4    3 3 +)  [-2e -(-2)]= (1- e ) 13 13  §2.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đặt vấn đề  Víd? ?1  1  dx     (0  1)  ? x1 x2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn I Tích phân. .. thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2x  arccos dx 2x  1  h (K52)   x  2arctan x dx ? ?1  x ? ?1  arctan x  dx ? ?1  1? ?? (   1? ?? ) 12 2 (1   2  4ln2) 2   (1     ln2 )     i (K55) 1) arccos x dx  (  2)...   arcsin x  ? ?1? ??  sin18 xdx  x  1? ?? e  2 17 !! ( ) 18 !! 3) Cho f(x) liên tục [ -1; 1] thỏa điều kiện 2  f ( x )   x  x f ( x ) Tính f(x)dx ? ?1 4) Cho f(x) liên tục [ -1; 1] Tính  3 ( )