Bài tập đại số và hình học giải tích phần 1

NGUYÊN Đ c DAT BÀI TẬP ĐẠI SÔ H ÌN H H Ọ C G IẢ I T ÍC H NHÀ XUÂT BẢN ĐAI HOC QUỔC GIA HÀ NỔI NGUYỄN ĐỨC ĐẠT ề BAI TẠP ĐẠI SO VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ■ NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI • • • NHft xufi'i SÂN ĐỌ QUỐC Gìn Hft nội •I HỌC • • 16 H n g C h u ố i - H a i B T rư h g - H Nội Điện thoại: (04) 9718312; (04) 7547936 Fax: (04) 9714899 E-mail: nxo@edu.vnu.vn ★★ ★ Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc: Tổng biên tập: PHỪNG QUỐC BẢO PHẠM THÀNH HƯNG Chịu trách nhiệm nội dung: Hội đồng nghiệm thu giáo trình ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Người nhận xét: GS TSKH Đỗ NGỌC DIỆP GS TSKH NGUYỄN HỮU VIỆT HƯNG PGS NGUYỄN QUỐC TOÀN PGS TS NGUYỄN TIẾN TÀI Biên tập: - PHẠM PHÚ TRIÊM NGỌC QUYÊN THU HƯƠNG Q u ố c THANG Chế bản: Trinh bày bìa: I ^ _ ị p;% I ĩ BÀI TẬP ĐẠI s VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH • • * Mã số: 1K-06ĐH2005 In 1000 cuốn, khổ 14,5 X20,5 Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội Số xuất bản: 122/56/XB-QLXB, ngày 17/01/2005 Số trích ngang: 80 KH/XB In xong nộp lưu chiểu quý II năm 2005 M ự c LỰ C L^ời nói đầu .5 Cshương Sô phức, trư ng s ô 1.1 Sô phức 1.2 Nhóm, vành, trường 12 Đáp sô» hướng dẫn 16 C'hương Đa t h ứ c .29 2.1 Các phép tính đa thức, thuật chia tìm ước chung lớn n h ấ t 29 2.2 Nghiệm đa thức, đa thức bất khả qui 32 Đáp sô hướng dẫn 35 ahương Không gian véc tơ, không gian Euclid 45 3.1 Không gian véc tơ 46 3.2 Không gian Euclid 55 Đáp sô hướng dẫn .57 Chương Ma trận định thức 69 4.1 Ma trận .69 4.2 Định thức 73 Đáp sô hướng dẫn 83 Chương Hệ phương trình tuyến tính 97 5.1 Phương pháp Cramer phương pháp Gauss 97 5.2 Định lý Kronecker - Capelli 102 5.3 Áp dụng 103 Đáp sô"và hưống dẫn 106 Chương Ánh xạ tuyến tín h 117 6.1 Ánh xạ tuyến tí n h 117 6.2 Ma trận ánh xạ tuyến tí n h 122 Đáp số hướng d ẫn 125 Chương Phép biến đổi tuyến tín h 135 7.1 Ma trận chuyển sở 135 7.2 Giá trị riêng, véc tơr iê n g 138 7.3 Các phép biến đổi tuyến tính khơng gian Euclid 141 Đáp sô" hướng d ẫn 145 Chương8 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương 157 8.1 Dạng song tuyến tính 157 8.2 Dạiig toàn phương .159 Đáp số hướng d ẫn 163 Chương Hình học giải tíc h .171 9.1 Các phép tính véc tơ - Đưòng thẳng mặt phẩng .171 9.2 Đưòng bậc h a i 175 9.3 Mặt bậc h a i 177 Đáp sô" hướng d ẫ n 179 Tài liệu tham k h ả o 188 L i nói đầu CVi sách tập kết hợp vói giáo trình Đại sơ' tuyến tính, Đại sơ' cao cấp Hình học giải tích sử dụng Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội, tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên học tập môn học Trừ sô' tập đặc biệt lấy từ tài liệu tham khảo, hệ thông tập tác giả biên soạn suốt q trình cơng tác Khoa Toán - Cơ - Tin học Trong nhiều năm trở lại đây, yêu cầu giáo dục đào tạo toàn diện, sinh viên năm thứ ngành khoa học tự nhiên thường khơng có nhiều thời gian dành cho mơn tốn, vốn phải học tập cách đầy đủ, hệ thông tự học Từ lâu sinh viên học môn Đại sô" mong mn có tập “cầm tay” vừa sát chương trình vừa thuận tiện sử dụng Cuốn sách nhằm đáp ứng phần nguyện vọng sinh viên, cung cấp nội dung cần thiết nhất, phù hợp với yêu cầu đào tạo, đồng thời trang bị phương pháp, kỹ thuật tính tốn Đại sô" Đôi với sinh viên thuộc ngành Toán học, Cơ học Toán - Tin học ứng dụng cần bố sung tập cuối chương giáo trình lý thuyết mà tác giả khơng lặp lại cYi sách Cịn sinh viên thuộc ngành phi tốn vào nội dung chương trình hướng dẫn giảng viên để luyện tập phương pháp, kỹ áp dụng chúng Một sô' tập vể lý thuyết đưa vào vị trí thích hdp để củng cơ' mở rộng khái niệm, đôi chỗ để dẫn dắt vào phương pháp mỏi Cuổi nội dung thường có tập áp dụng để chốt lại vấn đề Sô" lượng tập nhiều so với yêu cầu để bạn đọc lựa chọn Phần đáp sỗ> hướng dẫn đặc biệt quan trọng cho nhừng sinh viên khơng có nhiều thời gian, đơi từ giải đáp gợi ý mà nắm vấn đề Một sơ lịi giải thường dành cho đặc biệt, để giới thiệu phương pháp, cần thiết cho người tự học Tuy nhiên, tốt nắm vững phần lý thuyết trước vào tập, nên đơi chiếu phần lý thuyết - tập Tác giả chân thành cảm ơn đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Tác giả C hương SỐ p h ứ c , tr n g sô 1.1 Sô p h ứ c Một sô tập hợp sô hay sử dựng: N - tập hợp sô tự nhiên z - tập hợp sô" nguyên Q - tập hợp sô"hừu tỷ R - tập hợp sô thực, c - tập hợp số phức Chú ý vê tập hợp C: Mỗi sô" phức thuộc c viết dạng a+bi, a, b G R i “sơ* cho i: =-1 , phép cộng phép nhân sô" phức định nghĩa sau: (a +bi) +(c +di) =(a +c) +(b +d)i, (a +bi) (c -hdi) =(ac - bd) +(ad +bc)i Tập hợp c với phép cộng nhân lập thành trường, gọi trường sô" phức Yêu cầu chương là: tính tốn thục số phức biết vận dụng tính chất khác với tính chất sơ' hữu tỷ sô' thực số phức liên hợp, số phức dạng lượng giác, t í n h c ă n c ủ a sô phức 1.1 a) Tính: - 3(7 - 5i) , (3,75 + l,25i)4 ; b) Giải phương trình với X , y thực: x(2 + 3i) + y(—3 + 2i) = —i 1.2 Tính: a) (4 - 3i)(2 + i), (-2 + 5i)(5 - 2i); b) (2 - 3i)3(2 + 3i)3, (3 + 5i)2(5 + 3i)2; c) (n/Ĩ7 + ìn/Ĩ3) (-V Ĩ7 + iVĨ3)2; d) i4k, i4k+1 , i4k+2 , i4k*3 với k G z ; e) (1 + 2i)5 , (2 + i)6 , (1 + ìn/2)4 ; í) (1 + i ) 25 , ( l + i V ) 10 1.3 Tính: a) c) -i b) + 5i / \25 f 2+i ' d) ự-2ij 1.4 Tính: a) b) JS 2i +iỈTã ’ (1 +i)9 ự * )‘ (5 + i)(l —3i)2 —14i (1 + ị19)2 ~ (3 + i)2 (1 - i)8 1.5 Giải hệ phương trình với X, y phức: a) (1 + i)x + (3 + i)y = , (1 + 2i)x + (1 - i)y = - ; f(2 + i)x + ( l - i ) y = l + i , \(2 —i)x + (1 + 5i)y = —i 1.6 T ín h bậc cua sơ phức: a) —3 + 4i , - 4i b) - + 12i , 2i ; c) —1 —2 V2 ,-1 + 2v2 1.7 Tính bậc của: a) 1; b) - 1; c) - - Í ; d) - + ^ 1.8 Giải phương trình bậc 2: a) X2 + X+ —i = ; b) X + (2 + i)x + + i = ; c) X + 2(3 —2i)x + 6(1 —2i) —0 ; d) X — (2 —i)x “ — 7i = ; e) X —(3 + i)x + —i = ; (1 + i)x2 —(3 + 3i)x + - 2i = ; g) X + 2(2 + i)x + 3(1 + i) = ; h) (1 —i)x2 + V3 (1 + i)x + (1 + i) = • 1.9 Đưa vê dạng lượng giác sô" phức sau: b) - 71 271^1 COS — - 1i sin — ^ 5 * t 4.54 Ap dụng khai trien Laplace : a b 0 a b c d c d 0 a) b » > X y a b c) z t X a y b z c t d c d a b c d e f g h k n p q 0 X y 0 ; d) a 0 0 b a 0 0 a b 0 b a b 0 0 b 0 a b 0 0 a z t 0 Á p d ụ n g đ ịn h thức: 4.55 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: a) '4 '13 3^ 3^ ; b) ; ^5 > ' X z' ' -r ty v-l 1, f l '-1 - Ý ^ f -1 0^ -1 -1 -1 -1 ,1 J -1 b) 0 f-l cí » ì -2, 0\ H ướng dẫn Chẳng hạn, ta tính ’ > > 00 » v-1 f-l co 4.12 a) -2, fcẦ IV* 1 * Ap dụng Bài 4.11, ta tìm x,y,z,t, cho: lV x z^l (1 0N 1 lA y t Ta suy hệ phương trình xác định y hệ khác xác X, định z, t Gộp hệ với biến đổi dòng ta có: f(Ằ 1 vl Vậy *"1 lix ( - l) r2 lì ,1 h ~ 1 -I'M -]) 1 1 -1 h -1 í ,-1 _1> 2, 4.13 à) H ướng dẫn Xét (A.A ')’ = E xét An.(A'')n = E ; b) 84 'l -a'1 ' 0^ » ,0 , ,-a 1, rl -na' ,0 , 4.14 a) H ướng d ẫ n Cách 1: ta có 10' 4"l -3 ^ (3 \ ( \ V -1 Cách 2: Nhận xét vê cỡ ma trận, suy X ma trận cấp Vậy, ta có: X= ( 2V' ''l 2V X yx ' 4^ /V Giải hệ phương trình (xem lại hướng dẫn Bài 4.12), ta có: ì +-[ I* I— b) :) —i -i 2-i ] - + i - 3i X W -2 ) - ,0 -1 ,2 l j j rl f\ -10^ [o 1 , -8 -4i 4.15 H ướng dẫn a) Chứng tỏ hệ cho độc lập tuyến tính d im M(2,R) = (xem Bài 3.33), AeM(2,R) biểu diễn tuyến tính qua E, E4 b) Đặt X,A + X2A2 + X.3A3 = , suy nghiệm không tầm thường, chẳng hạn Xị = 1, X2 = -2, X3 = Đặt X.JA + X^A1 + A.JA = , suy 4.16 H ướng d ẫ n Đặt X = 'k + h , từ AX = XA giải được: f\ 0N ,1 0, +h r-H =k o V k 0^ = X2 = X3 = với k,h e R Vậy tập hợp cho lập thành không gian chiểu với sở gồm véc tơ : 85 '1 ,1 o'' 07 b) -2ab ; a) 5; c) 4.18 a) -4ab (chú ý dòng 1); b) 5a - 2b+ c (chú ý dòng 1); c) (chú ý cột ) 4.19 a) ab(xt-yz); b) aehj ; c) dgij H ng d ẫ n Hạ cấp 4.20 a )0 ; b) ; c) H ướng d ẫ n Chú ý tới dịng cột có sơ' 4.21 a) - (chẳng hạn, cộng cột vào cột 1); b) 270 (rút 10 cột 2, nhân 10 vào cột 1) ; c) - 8.800 (nhân cột vối ( - ) cộng vào cột 1); d) 48Í (cộng cột vào cột 1) 4.22 a) ; b) ; c) 40 ; d) - 58 ; e) - ; f) ; g) - 16 ; h) - 10 ; i) 2n/Ĩ5( n/õ -1) H ng d ẫ n Bằng cách áp dụng tính chất định thức, ta biến đổi dòng cột để hạ cấp đưa định thức dạng tam giác (đây thao tác để tính định thức sô", cần luyện tập) 11 CO oĩ Y a) — — 86 -1 2 -1 -2 0 - x ( l) » g) x (-l) = -1 -1 h) 1) 12 12 -3 13 1 -1 -1 = —0 13 0 11 12 23 13 23 x ( - Ị ) 25 = 1 11 -3 11 1 ss 1 17 72 V2 73 v/3 76 V5 v/ĩõ = ( - l ) 2+l l / / < J V2 1 72 S ' 72 = J15 ^ x(3) x ( - l l ) 11 = — > •••