được biểu diễn bởi phân số tối giảnb. b..[r]
(1)CHỦ ĐỀ
4. GIỚI HẠN
Baøi 01
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Định nghĩa
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số ( )un có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: nlim®+¥un=0 hay un®0 khi n® +¥
Định nghĩa 2
Ta nói dãy số ( )vn có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n® +¥,nếu
( )
lim n 0
n®+¥ v - a =
Kí hiệu: nlim®+¥vn=a hay vn®a khi n® +¥
2 Một vài giới hạn đặc biệt
a)
1 lim 0;
n®+¥ n= 1 lim k 0
n®+¥ n = với k nguyên dương;
b) lim 0
n
n®+¥q = nếu q<1;
c) Nếu un=c (c là hằng số) thì nlim®+¥un=nlim®+¥c c=
Chú ý: Từ nay về sau thay cho nlim®+¥un=a ta viết tắt là limun=a
II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí 1
a) Nếu limun=a và limvn=b thì
( )
lim un vn a b
· + = + · lim(un- vn)= -a b
( )
lim u vn.n ab
· = lim
n n
u a v b
æ ö÷ ç ÷ · ç ÷ç ÷=
çè ø (nếu b¹ 0).
b) Nếu
lim 0,
n n
u a
u n
ì =
ïï
íï ³ "
ïî thì
lim
0
n
u a
a
ìï =
ïí ï ³ ïî
III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vô hạn ( )un có công bội q, với q<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
( )
1 2 3 n 1 1 1
S u u u u u q
q
= + + + + =
-¼ <
¼ +
(2)· Ta nói dãy số ( )un có giới hạn là +¥ khin® +¥ , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: limun= +¥ hay un® +¥ khi n® +¥
· Dãy số ( )un có giới hạn là - ¥ khi n® +¥ , nếu lim(- un)= +¥ Kí hiệu: limun=- ¥ hay un® - ¥ khi n® +¥
Nhận xét: un= +¥ Û lim(- un)=- ¥
2 Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) limnk= +¥ với k nguyên dương; b) limqn= +¥ nếu q>1
3 Định lí 2
a) Nếu limun= a và limvn= ±¥ thì
lim n 0
n
u v =
b) Nếu limun= >a 0, limvn=0 và vn> " >0, n 0 thì
lim n
n
u v = +¥
c) Nếu limun= +¥ và limvn= >a 0 thì lim u vn n=+¥
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Câu 1. Kết quả của giới hạn
sin5
lim 2
3
n n
æ ö÷
ç - ÷
ç ÷
çè ø bằng:
A - 2 B 3 C 0 D
5. 3
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để
1 2 cos 1
lim
2 2
k
n n
n n
-=
A 0 B 1 C 4 D Vô số
Câu 3. Kết quả của giới hạn
3sin 4cos lim
1
n n
n
+
+ bằng:
A 1 B 0 C 2 D 3
Câu 4. Kết quả của giới hạn 2
cos 2 lim 5
1
n n
n
æ ö÷
ç - ÷
ç ÷
çè + ø bằng:
A 4 B
1
4 C 5. D - 4
Câu 5. Kết quả của giới hạn
2 3
lim sin 2 5
n
n p n
æ ö÷
ç - ÷
ç ÷
çè ø là:
(3)Câu 6 Giá trị của giới hạn
( )1 lim 4
1
n
n
æ - ö÷
ç ÷
ç + ÷
ç ÷
ç + ÷÷
çè ø bằng:
A 1 B 3 C 4 D 2
Câu 7 Cho hai dãy số ( )un và ( )vn có
( ) 2
1 1
n n
u n
-=
+ và 2
1 2
n
v n
=
+ Khi đó
( )
limun+vn có giá trị bằng:
A 3 B 0 C 2 D 1
Câu 8 Giá trị của giới hạn 2
3 lim
4n 2n 1
+ là: A
3. 4
-B - ¥ C 0 D - 1
Câu 9 Giá trị của giới hạn
2
3 2 lim
3 1
n n n n
+
+ - bằng:
A 2 B 1 C
2.
3 D 0.
Câu 10 Giá trị của giới hạn
3
4
3 2 1
lim
4 2 1
n n n n
- + + + là:
A +¥ B 0 C
2
7 D
3. 4 Câu 11 Giá trị của giới hạn
1 lim
2
n n n2
+
+ bằng: A
3
2 B 2. C 1. D 0.
Câu 12 Cho hai dãy số ( )un và ( )vn có
1 1
n
u n
=
+ và
2 2
n
v n
=
+ Khi đó lim
n n
v u có
giá trị bằng:
A 1 B 2 C 0 D 3
Câu 13. Cho dãy số ( )un với
4 5 3
n
an u
n
+ =
+ trong đó a là tham số thực Để dãy số ( )un có giới hạn bằng 2, giá trị của a là:
A a=10 B a=8 C a=6 D a=4
Câu 14. Cho dãy số ( )un với
2 5 3
n
n b u
n
+ =
+ trong đó b là tham số thực Để dãy số
( )un có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là:
A b là một số thực tùy ý B b=2
C không tồn tại b D b=5
Câu 15. Tính giới hạn
2
2 5
lim
2 1
n n L
n
+ + =
+ A.
3. 2
L=
B.
1. 2
L=
(4)Câu 16. Cho dãy số ( )un với 2 2 4 2 5 n n n u an + + =
+ Để dãy số đã cho có giới hạn
bằng 2, giá trị của a là:
A. a=- 4 B. a=4 C. a=3 D. a=2
Câu 17. Tính giới hạn
2 3
3 3
lim
2 5 2
n n L n n -= + -A. 3 2 L =-B. 1. 5 L= C. 1 2 L=
D. L=0 Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để ( )
2 4
4
5 3
lim 0
1 2 1
n an L
a n n
-= >
- + +
A. a£0;a³ 1 B. 0< <a 1 C. a<0;a>1 D. 0£ <a 1
Câu 19. Tính giới hạn
( )( )
( )( )
3 2
4
2 3 1
lim
2 1 7
n n n L n n - + = - -A. 3. 2 L
=-B. L=1 C. L=3 D. L= +¥
Câu 20. Tính giới hạn
( )( )( )
( )( )
2 3
4 2
2 2 1 4 5
lim
3 1 3 7
n n n n
L
n n n
+ + +
=
- -
-A. L=0 B. L=1 C.
8. 3
L=
D L= +¥ Câu 21. Tính giới hạn
3 3 1 lim 8 n L n + = + A. 1 2 L=
B. L=1 C.
1. 8
L=
D. L= +¥ Câu 22. Kết quả của giới hạn
3 2 2 lim 1 3 n n n
là: A
1 3
-B +¥ C - ¥ D
2 3 Câu 23. Kết quả của giới hạn
3
2 2 3 lim
4 2 1
n n n n
+
+ + là: A
3
4 B +¥ C 0 D
5. 7 Câu 24. Kết quả của giới hạn
4 3 lim 4 5 n n n là:
A 0 B +¥ C - ¥ D
3 4 Câu 25 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
A 3 2 3 2 lim 2 1 n n + - B 2 3 2 3 lim 2 4 n n
- C
3 2 2 3 lim 2 1 n n n
- D
2 4 4 2 2 3 lim 2 n n n n +
Câu 26 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
1 3
(5)B 2 2 2 3 5 n n n u n -=
+ A
4 3
3 2
2 1
3 2 1
n n n u n n - + -=
+ - C
2 3 3 2 3 9 1 n n n u n n -= + -D 2 3 2 5
3 4 2
n n n u n n - + -= +
-Câu 27 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +¥ ?
A 2 1 . 5 5 n n u n + = + B 2 3 2 . 5 5 n n u n n -= + C 2 2 2 . 5 5 n n n u n n -=
+ D 2
1 2 . 5 5
n n n
+ + Câu 28 Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ¥ ?
A 2
1 2 . 5 5 n n n + + B 3 3 2 1.
2 n n n u n n + -=
- + C
2 4 2 3 2 3 2 n n n u n n -= + D 2 2 5 1 n n n u n -= +
Câu 29 Tính giới hạn ( )
2
lim 3 5 3
L= n + n
-A L=3 B L=- ¥ C L=5 D L= +¥
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (- 10;10)
để ( ( ) )
2 3
lim 5 3 2
L= n- a - n =- ¥
A 19 B 3 C 5 D 10
Câu 31. Tính giới hạn ( )
4 2
lim 3n +4n - n+1
A L=7 B L=- ¥ C L=3 D L= +¥
Câu 32 Cho dãy số ( )un với ( ) ( )
2
2 2 2 n
n
u = + + +
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A limun=- ¥ B
2 lim 1 2 n u =
-C limun= +¥ D Không tồn tại lim un
Câu 33 Giá trị của giới hạn 2
1 1 3
2 2 2
lim
1
n n
+ + + +
+ bằng:
A 1.
8 B 1 C
1 2 D 1 4
Câu 34 Giá trị của giới hạn 2 2 2
1 2 1
lim n
n n n
æ - ÷ö
ç + + + ÷
ç ÷
çè ø bằng:
A 0 B
1
3 C
1.
2 D 1.
Câu 35 Giá trị của giới hạn
( )
2
1 3 5 2 1
lim 3 4 n n æ+ + + + + ÷ö ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ç + è ø L bằng:
A 0 B.
1.
3 C
2.
3 D 1.
Câu 36 Giá trị của giới hạn ( )
1 1 1
lim
1.2 2.3 n n 1
æ ö÷
ç ÷
ç + + + ÷
ç ÷÷
ç +
è ø là:
A. 1
(6)
Câu 37 Giá trị của giới hạn ( )( )
1 1 1
lim
1.3 3.5 2n 1 2n 1
æ ö÷
ç ÷
ç + + + ÷
ç ÷÷
ç - +
è ø bằng:
A 1
2 B
1
4 C 1. D 2.
Câu 38 Giá trị của giới hạn ( )
1 1 1
lim
1.4 2.5 n n 3
é ù
ê + + + ú
ê + ú
ê ú
ë û bằng:
A 11
18 B 2. C 1. D
3. 2
Câu 39 Giá trị của giới hạn ( )
2 2 2
2 1 2 lim
1
n n n
+ + + +
bằng:
A 4 B 1 C
1.
2 D
1 3
Câu 40. Cho dãy số có giới hạn ( )un xác định bởi
1 1 2
1
, 1 2
n
n
n
u
u n
u
+ ìïï = ïïï íï
ï = ³
ïï
-ïî Tính
lim un
A limun=- 1 B limun=0 C
1 lim
2
n
u =
D limun=1
Câu 41. Cho dãy số có giới hạn ( )un xác định bởi
1
1 2
1
, 1 2
n n
u u
u+ n
ì = ïï
ïïí +
ï = ³
ïïïî Tính
lim un
A limun=1 B limun=0 C limun=2 D limun= +¥
Câu 42 Kết quả của giới hạn
2
9 1
lim
4 2
n n n
- +
- bằng:
A 2.
3 B
3
4 C 0. D 3.
Câu 43 Kết quả của giới hạn
2
4 2 1 lim
3 2
n n n
- + +
+ bằng:
A 2. 3
-B 1
2 C
3. 3
-D 1
2
-Câu 44 Kết quả của giới hạn
2 3 lim
2 5
n n
+ + là: A
5.
2 B
5
7 C +¥ D 1
Câu 45 Kết quả của giới hạn
1 4 lim
1
n
n n
+
-+ -+ bằng:
A 1 B 0 C - 1 D
(7)Câu 46 Biết rằng
2
2 1
lim sin
4 2
n n
a b
n n
p
+ +
= +
- - Tính S=a3+b3.
A. S=1 B. S=8 C. S=0 D. S=- 1
Câu 47 Kết quả của giới hạn 4 2
10 lim
1
n +n + là:
A +¥ B 10 C 0 D - ¥
Câu 48 Kết quả của giới hạn ( ) 4 2
2 2 lim 1
1
n n
n n
+ +
+ - là:
A +¥ B 1 C 0 D - ¥
Câu 49 Biết rằng
3 2
3
2
5 7
lim 3
3 2
an n
b c
n n
+
-= +
- + với a b c, , là các tham số Tính giá
trị của biểu thức 3
a c P
b
+ =
A P=3 B
1. 3
P=
C P=2 D
1 2
P= Câu 50 Kết quả của giới hạn lim 200 35 - n5+2n2 là:
A +¥ B 1 C 0 D - ¥
Vấn đề 2 DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 51 Giá trị của giới hạn lim( n+ -5 n+1) bằng:
A 0 B 1 C 3 D 5
Câu 52 Giá trị của giới hạn ( )
2
lim n - n+ -1 n
là:
A 1
2
-B 0 C 1 D - ¥
Câu 53 Giá trị của giới hạn ( )
2 2
lim n - -1 3n +2
là:
A - 2 B 0 C - ¥ D +¥
Câu 54 Giá trị của giới hạn ( )
2 2
lim n +2n- n - 2n
là:
A 1 B 2 C 4 D +¥
Câu 55 Có bao nhiêu giá trị của a để ( ( ) )
2 2 2
lim n +a n- n + +a 2n+ =1 0
A 0 B 2 C 1 D 3
Câu 56 Giá trị của giới hạn ( )
2 2
lim 2n - n+ -1 2n - 3n+2
là:
A 0 B
2
2 C - ¥. D +¥
Câu 57 Giá trị của giới hạn ( )
2 2
lim n +2n- -1 2n +n
(8)A - 1 B 1- 2 C - ¥ D +¥ Câu 58 Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa ( )
2 2
lim n - 8n n a- + =0
A 0 B 2 C 1 D Vô số
Câu 59 Giá trị của giới hạn ( )
2
lim n - 2n+ -3 n
là:
A - 1 B 0 C 1 D +¥
Câu 60 Cho dãy số ( )un với un= n2+an+ -5 n2+1, trong đó a là tham số thực Tìm a để limun=- 1
A 3 B 2 C - 2 D - 3
Câu 61 Giá trị của giới hạn ( )
3 3
3 3
lim n + -1 n +2
bằng:
A 3 B 2 C 0 D 1
Câu 62 Giá trị của giới hạn ( )
3 2 3
lim n - n +n
là:
A 1
3 B +¥ C 0. D 1
Câu 63 Giá trị của giới hạn ( )
3 3 2
lim n - 2n - n
bằng:
A 1.
3 B
2. 3
-C 0 D 1
Câu 64 Giá trị của giới hạn lim n n( 1 n 1)
é + - - ù
ê ú
ë û là:
A - 1 B +¥ C 0 D 1
Câu 65 Giá trị của giới hạn lim n n( 1 n)
é + - ù
ê ú
ë û bằng:
A 0 B
1
2 C
1.
3 D
1 4
Câu 66 Giá trị của giới hạn ( )
2 2
liméên n + -1 n - 3ùú
ë û bằng:
A - 1 B 2 C 4 D +¥
Câu 67 Giá trị của giới hạn ( )
2 2
liméêën n + + -n 1 n + -n 6ùúû
là:
A 7 1.- B 3 C
7
2 D +¥
Câu 68 Giá trị của giới hạn 2
1 lim
2 4
n2+ - n +
là:
A 1 B 0 C - ¥ D +¥
Câu 69 Giá trị của giới hạn
2
9 2
lim
3 2
n n n n
- - + - là:
A 1 B 0 C 3 D +¥
Câu 70 Giá trị của giới hạn 3 3
1 lim
1
n + - n là:
(9)Vấn đề 3 DÃY SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA
Câu 71. Kết quả của giới hạn
2 2 5 lim
3 2.5
n
n n
+
-+ bằng:
A 25.
2
-B 5.
2 C 1 D
5. 2
-Câu 72. Kết quả của giới hạn
1
1 3 2.5 lim
2 5
n n
n n
+
+
-+ bằng:
A - 15 B - 10 C 10 D 15
Câu 73. Kết quả của giới hạn
1 3 4.2 3 lim
3.2 4
n n
n n
+
-
-+ là:
A 0 B 1 C - ¥ D +¥
Câu 74. Kết quả của giới hạn
3 1 lim
2 2.3 1
n
n n
+ bằng:
A - 1 B
1 2
-C 1
2 D
3 2
Câu 75. Biết rằng
( ) ( )
1 2
1 2
5 2 1 2 3 5
lim
1
5.2 5 3
n n
n n
n a
c b n
+
+
æ ö÷
ç - + + ÷
ç ÷
ç + ÷= +
ç ÷
ç - ÷
ç + - ÷÷
çè ø với a b c, , Î ¢. Tính
giá trị của biểu thức S=a2+ +b2 c2
A S=26 B S=30 C S=21 D S=31
Câu 76. Kết quả của giới hạn
2
2 2 3 2 lim
3 3 2
n n n
n n n
p
p +
+ +
- + là:
A 1 B
1.
3 C +¥ D
1 4 Câu 77. Kết quả của giới hạn lim 3 5
n n
é - ù
ê ú
ë û là:
A 3 B - 5 C - ¥ D +¥
Câu 78. Kết quả của giới hạn ( )
4 1
lim 3 2n+ - 5.3n là:
A 2
3 B - 1 C - ¥ D
1 3 Câu 79. Kết quả của giới hạn
1 3 4.2 3 lim
3.2 4
n n
n
n
+
-
-+ là:
A 0 B 1 C - ¥ D +¥
Câu 80. Kết quả của giới hạn
1
2
2 3 10 lim
3 2
n n
n n
+ + +
- + là:
A +¥ B
2.
3 C
3
(10)Câu 81. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc (0;2018) để
1
4 1
1024 4 2
lim
3 4
n n
n n a
+
+ +
+ £
A 2007 B 2008 C 2017 D 2016
Câu 82. Kết quả của giới hạn
( )
2 2 1
lim
3 1 3
n n
n n n
æ + - ö÷
ç ÷
ç + ÷
ç ÷
ç - ÷÷
çè ø bằng:
A 2
3 B - 1 C
1
3 D
1 3
-Câu 83. Kết quả của giới hạn
( ) 3 1 cos3 lim
1
n
n n
n
æ + - ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç - ÷÷
çè ø bằng:
A 3.
2 B 3 C 5 D - 1
Câu 84. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho
2
2 1 1 lim 3
3 2n
an n
-+
-+ là một số nguyên.
A 1 B 3 C 2 D 4
Câu 85. Kết quả của giới hạn lim 2.3n- n+2 là:
A 0 B 2 C 3 D +¥
Vấn đề 4 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Câu 86 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2, tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng
9
4 Số hạng đầu u1 của cấp số nhân đó là:
A u1=3 B u1=4 C 1
9. 2
u =
D u1=5
Câu 87 Tính tổng 3
1 1 1
9 3 1
3 9 3n
S= + + + + + +L - +L
A 27
2
S=
B S=14 C S=16 D S=15
Câu 88 Tính tổng
1 1 1 1
2 1
2 4 8 2n
S= æçççè+ + + + +L + ÷Lö÷÷ø
A S= 2 1.+ B S=2 C S=2 2 D
1 2
S=
Câu 89 Tính tổng
2 4 2
1
3 9 3
n n
S= + + + +L +L
(11)
Câu 90 Tổng của cấp số nhân vô hạn
( ) 1 1 1 1 1 1
, , , , , 2 6 18 2.3
n n
+
bằng:
A 3.
4 B
8
3 C
2
3 D
3 8 Câu 91 Tính tổng
1 1 1 1 1 1 2 3 4 9 2n 3n
S=æçèçç - ö æ÷÷ø è÷+ççç - ÷ø÷÷ö+ +çççèæ - ø÷÷÷ö+
A 1 B
2.
3 C
3
4 D
1 2
Câu 92 Giá trị của giới hạn ( )
2
2
1
lim 1, 1
1
n n
a a a a b
b b b
+ + + + < <
+ + + + bằng:
A 0 B
1 1
b a
C
1 1
a b
D Không tồn tại.
Câu 93 Rút gọn S=1+cos2x+cos4x+cos6x+ +L cos2nx+L với cosx¹ ±1
A. S=sin 2x B. S=cos 2x C. 2 1
sin
S
x
=
D. 2
1 cos
S
x
= Câu 94 Rút gọn 1 sin2 sin4 sin6 ( )1 sin2
n n
S= - x+ x- x+ + -L x+L với sinx¹ ±1. A. S=sin 2x B. S=cos 2x C. 2
1 . 1 sin
S
x
=
+ D. S=tan 2x
Câu 95 Thu gọn S= -1 tana+tan2a- tan3a+¼ với 0 a 4
p
< <
A.
1 . 1 tan
S
a
=
- B.
cos 2sin
4
S a
p a
= æ ö
÷ ç + ÷
ç ÷
çè ø C.
tan . 1 tan
S a
a
=
+ D. S=tan 2a
Câu 96 Cho m n, là các số thực thuộc (- 1;1) và các biểu thức:
2 3
1
M= + +m m +m +L
2 3
1
N= + +n n + +Ln
2 2 3 3
1
A= +mn m n+ +m n +L
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. 1
MN A
M N
=
+ - B. 1
MN A
M N
=
+ + C.
1 1 1 . A
M N MN
= +
-D.
1 1 1 . A
M N MN
= + +
Câu 97 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111L được biểu diễn bởi phân số tối giản
a
b Tính tổng T = +a b
A 17 B 68 C 133 D 137
Câu 98 Số thập phân vô hạn tuần hoàn A=0,353535 được biểu diễn bởi phân số tối giản
a
b Tính T=ab
(12)Câu 99 Số thập phân vô hạn tuần hoàn B=5,231231 được biểu diễn bởi phân số tối giản
a
b Tính T= -a b
A 1409 B 1490 C 1049 D 1940
Câu 100. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323¼ được biểu diễn bởi phân số tối giản
a
b Khẳng định nào dưới đây đúng?
A a b- >2 15 B a b- >2 14 C a b- >2 13 D a b- >2 12 Baøi 02
GIỚI HẠN CỦA HAØM SỐ
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1 Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y= f x( ) xác định trên K hoặc
trên K\{ }x0
Ta nói hàm số y= f x( ) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ( )xn bất kì, xnÎ K\{ }x0 và xn®x0, ta có f x( )n ®L
Kí hiệu: 0 ( )
lim
x x® f x =L hay f x( )®L khi x®x0
Nhận xét: 0 0
lim ;
x x® x=x 0
lim
x x® c c= với c là hằng số.
2 Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1
a) Giả sử 0 ( )
lim
x x® f x =L và 0 ( )
lim
x x® g x =M Khi đó: ( ) ( )
0
lim ;
x x® éf x g xù L M
· ë + û= +
( ) ( )
0
lim ;
x x® éf x g xù L M
· ë - û=
-( ) -( )
0
lim ;
x x® éf x g xù L M
· ë û=
( ) ( )
0
lim
x x
f x L g x M
®
· =
(nếu M ¹ 0) b) Nếu f x( )³ 0 và 0 ( )
lim
x x® f x =L, thì L³ 0 và 0 ( )
lim
x x® f x = L
3 Giới hạn một bên Định nghĩa 2
· Cho hàm số y= f x( ) xác định trên (x b0; )
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f x( ) khi x®x0 nếu với
dãy số ( )xn bất kì, x0<xn<b và xn®x0, ta có f x( )n ®L Kí hiệu: 0 ( )
lim
x x® + f x =L
(13)Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y= f x( ) khi x®x0 nếu với
dãy số ( )xn bất kì, a x< n<x0 và xn®x0, ta có f x( )n ®L Kí hiệu: 0 ( )
lim
x x® - f x =L
Định lí 2
( ) ( ) ( )
0 0 0
lim lim lim .
x x® f x = ÛL x x® + f x =x x® - f x =L
II – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa 3
a) Cho hàm số y= f x( ) xác định trên (a;+¥ )
Ta nói hàm số y= f x( ) có giới hạn là số L khi x® +¥ nếu với dãy số ( )xn bất kì, xn>a và xn® +¥ , ta có f x( )n ®L
Kí hiệu: xlim®+¥ f x( )=L
b) Cho hàm số y=f x( ) xác định trên (- ¥; a)
Ta nói hàm số y= f x( )có giới hạn là số L khi x® - ¥ nếu với dãy số ( )xn bất kì, xn<a và xn® - ¥ , ta có f x( )n ®L
Kí hiệu: xlim®- ¥ f x( )=L
Chú ý:
a) Với c k, là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
lim ; lim ; lim k 0; lim k 0
x x x x
c c
c c c c
x x
®+¥ = ®- ¥ = ®+¥ = ®- ¥ =
b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x®x0vẫn còn đúng khi
n
x ® +¥ hoặc x® - ¥ .
III – GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1 Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y= f x( ) xác định trên (a;+¥ )
Ta nói hàm số y= f x( ) có giới hạn là - ¥ khi x® +¥ nếu với dãy số ( )xn bất kì, xn>a và xn® +¥ , ta có f x( )n ® - ¥
Kí hiệu: xlim®+¥ f x( )=- ¥
Nhận xét: xlim®+¥ f x( )= +¥ Û xlim®+¥(- f x( ))=- ¥
2 Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim k
x®+¥ x = +¥ với k nguyên dương.
b) ®- ¥
ìï +¥ ï =í
ï - ¥ ïî
neáu chaün
lim
neáu leû
k x
k x
k
(14)a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f x g x( ) ( )
( )
0
lim
x®x f x =L 0 ( )
lim
x®x g x xlim®x0éëf x g x( ) ( )ùû
0
L> +¥- ¥ - ¥+¥ 0
L< +¥- ¥ - ¥+¥
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
( ) ( )
f x g x
( )
0
lim
x®x f x =L 0 ( )
lim
x®x g x Dấu của g x( )
( ) ( )
0
lim
x x
f x g x
®
L ±¥ Tùy ý 0
0
L>
0
+ +¥
- - ¥
0
L< +- - ¥+¥
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Câu 1. Giá trị của giới hạn ( )
2 2
lim 3 7 11
x® x + x+ là:
A 37 B 38 C 39 D. 40
Câu 2. Giá trị của giới hạn
2 3 lim 4
x® x - là:
A 0 B 1 C 2 D. 3
Câu 3. Giá trị của giới hạn
2 0
1 lim sin
2
x® x là:
A 1 sin
2 B +¥ C - ¥ D. 0
Câu 4. Giá trị của giới hạn
2
3 1
3 lim
2
x
x x
® -+ là:
A 1 B. - 2 C 2 D
3 2
-Câu 5. Giá trị của giới hạn ( )( )
3
4 1
lim
2 1 3
x
x x
x x
®
là:
A 1 B. - 2 C 0 D
(15)-Câu 6. Giá trị của giới hạn 1 4 1 lim
3
x
x x x
®
-+ - là: A
3 2
-B 2.
3 C
3
2 D.
2. 3
-Câu 7. Giá trị của giới hạn
2
1
3 1
lim
1
x
x x
x
®+ là: A
3 2
-B 1
2 C
1 2
-D 3
2
Câu 8. Giá trị của giới hạn ( )( )
2
4 3
9 lim
2 1 3
x
x x
x x
®
là:
A
1
5 B 5 C
1 .
5 D 5
Câu 9. Giá trị của giới hạn
2 3
2 2
1 lim
2
x
x x x x
®
- + + là: A
1.
4 B
1.
2 C
1
3 D
1 5
Câu 10. Giá trị của giới hạn
3 2
2
3 4 3 2
lim
1
x
x x
x
®
- -
-+ là:
A 3. 2
-B 2
3
-C. 0 D +¥
Vấn đề 2 GIỚI HẠN MỘT BÊN
Câu 11. Kết quả của giới hạn 2 15 lim
2
x
x x
+
®
là:
A - ¥ B. +¥ C.
15. 2
-D. 1 Câu 12. Kết quả của giới hạn 2
2 lim
2
x
x x
+
® + - là:
A - ¥ B +¥ C
15. 2
-D Không xác định
Câu 13. Kết quả của giới hạn ( 2)
3 6 lim
2
x
x x
+
®
-+ + là:
A - ¥ B 3 C +¥ D Không xác định
Câu 14. Kết quả của giới hạn 2 2 2 lim
2 5 2
x
x x x
-®
+ là:
A - ¥ B +¥ C
1 3
-D 1
(16)Câu 15. Kết quả của giới hạn ( )( )
2
2 3
13 30 lim
3 5
x
x x
x x
+
®-+ +
+ +
là:
A. - 2 B. 2 C. 0 D.
2 15
Câu 16. Cho hàm số
( )
2
2 1
1
3 1 1
x x
x f x
x x
<
-=ìïïïïíï ï
ï + ³
ïî
víi
víi Khi đó xlim®1+ f x( ) là:
A +¥ B 2 C 4 D - ¥
Câu 17. Cho hàm số
( )
2 1
1 1
2 2
1
x
x
f x x
x x
+ ìïï ïï
í <
=
³
ïï ïïî
víi
víi Khi đó xlim®1- f x( ) là:
A +¥ B - 1 C 0 D 1
Câu 18. Cho hàm số
( ) 2 3 2
1 2
x x
f x
x x
ìïï íï ï
- ³
=
- < î
víi
víi Khi đó limx®2f x( ) là:
A - 1 B 0 C 1 D Không tồn tại
Câu 19. Cho hàm số
( ) 2 3 2
1 2
x x
f x
ax x
- + ³
= -ìïï
íï <
ïî
víi
víi Tìm a để tồn tại limx®2f x( )
A a=1 B a=2 C a=3 D a=4
Câu 20. Cho hàm số
( )
2
2
2 3 3
1 3
2
3 3
x x x
f x x
x x
- + >
= =
- <
ìïï ïï íï ïï ïî
víi víi víi
Khẳng định nào dưới đây sai?
A xlim®3+ f x( )=6 B Không tồn tại limx®3f x( )
C xlim®3- f x( )=6
D xlim®3- f x( )=- 15
Vấn đề 3 GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC Câu 21. Giá trị của giới hạn ( )
3
lim 1
x®- ¥ x x- + là:
A 1 B - ¥ C 0 D +¥
Câu 22. Giá trị của giới hạn ( )
3 2
lim 2 3
x®- ¥ x + x + x là:
A 0 B +¥ C 1 D - ¥
Câu 23. Giá trị của giới hạn ( )
2
lim 1
x®+¥ x + +x là:
A. 0 B +¥ C 2 1.- D - ¥
Câu 23. Giá trị của giới hạn ( )
3 3 2
lim 3 1 2
x®+¥ x - + x + là:
(17)Câu 25. Giá trị của giới hạn ( )
2
lim 4 7 2
x®+¥ x x + x+ x là:
A 4 B - ¥ C 6 D +¥
Vấn đề 4 DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0
Câu 26 Giá trị của giới hạn
3 2 2 8 lim 4 x x x ® là:
A 0 B +¥ C 3 D Không xác định
Câu 27 Giá trị của giới hạn
5 3 1 1 lim 1 x x x ®-+ + là: A 3 5 -B 3 5 C 5 3 -D. 5 3 Câu 28 Biết rằng
3
2 3
2 6 3
lim 3
3
x
x a b
x
®-+ = +
- Tính a2+b2.
A 10 B 25 C 5 D. 13
Câu 29 Giá trị của giới hạn
2 2 3 6 lim 3 x x x x x ® - + + là: A 1 3 B 2 3 C 5 3 D. 3 5 Câu 30 Giá trị của giới hạn 3 3
3 lim 27 x x x -®
là: A
1.
3 B 0 C
5.
3 D.
3. 5 Câu 31 Giá trị của giới hạn
( 2 21)7 21
0 1 2 lim x x x x p p ® + - là: A 21 2 7 p -B 21 2 9 p -C 21 2 5 p -D 21 1 2 7 p
-Câu 32 Giá trị của giới hạn
2
2 0
lim
x
x x x x
+
®
+
là:
A 0 B - ¥ C 1 D. +¥
Câu 33 Giá trị của giới hạn
3
3 1
1 lim
4 4 2
x
x x
®
-+ - là:
A. - 1 B. 0 C. 1 D. +¥
Câu 34 Giá trị của giới hạn
3
0
2 1 8
(18)-Câu 35 Biết rằng b>0,a b+ =5 và
3
0
1 1
lim 2
x
ax bx
x
®
+ - -=
Khẳng định nào dưới đây sai?
A. 1< <a 3 B b>1 C a2+b2>10 D a b- <0
Vấn đề 5 DẠNG VÔ ĐỊNH ¥ ¥
Câu 36. Kết quả của giới hạn
2
2
2 5 3
lim
6 3
x
x x x x
®- ¥
+ -+ + là:
A. - 2 B. +¥ C. 3 D. 2
Câu 37. Kết quả của giới hạn
3 2
2
2 5 3
lim
6 3
x
x x x x
®- ¥
+ -+ + là:
A - 2 B +¥ C - ¥ D 2
Câu 38. Kết quả của giới hạn
3 2
6 5
2 7 11
lim
3 2 5
x
x x x x
®- ¥
- +
+ - là:
A. - 2 B. +¥ C. 0 D. - ¥
Câu 39. Kết quả của giới hạn 2
2 3 lim
1
x
x
x x
®- ¥
-+ - là:
A. - 2 B. +¥ C. 3 D. - 1
Câu 40 Biết rằng
( ) 2
2 3
1
a x
x x
-
-+ - có giới hạn là +¥ khi x® +¥ (với a là tham
số) Tính giá trị nhỏ nhất của P=a2- 2a+4
A Pmin=1 B. Pmin=3 C Pmin=4 D. Pmin=5
Câu 41. Kết quả của giới hạn
2
4 1
lim
1
x
x x x
®- ¥
- + + là:
A. - 2 B. - 1 C. - 2 D. +¥
Câu 42. Kết quả của giới hạn
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2
x
x x x
x x x
®+¥
- + + + là: A
1. 5
-B +¥ C - ¥ D
1 5.
Câu 43 Biết rằng
2
2
4 2 1 2
lim 0
3
x
x x x
L
ax x bx
®- ¥
- + +
-= >
- + là hữu hạn (với a b, là tham
số) Khẳng định nào dưới đây đúng
A a³ 0 B
3
L
a b
=-+ C
3
L
b a
=
- D b>0
Câu 44. Kết quả của giới hạn
3 2
3
2
2 1
lim
2 1
x
x x x
®- ¥
+ +
(19)A 2.
2 B 0 C
2. 2
-D 1 Câu 45 Tìm tất cả các giá trị của a để ( )
2 lim 2 1
x®- ¥ x + +ax là +¥
A. a> 2 B. a< 2 C. a>2 D. a<2
Vấn đề 6 DẠNG VÔ ĐỊNH ¥ - ¥ Câu 46 Giá trị của giới hạn ( )
3 2
lim 2
x®- ¥ x - x là:
A. 1 B. +¥ C. - 1 D. - ¥
Câu 47 Giá trị của giới hạn 2 2
1 1
lim
2 4
x®- x x
æ ö÷
ç - ÷
ç ÷
çè - - ø là:
A - ¥ B +¥ C 0 D. 1
Câu 48 Biết rằng a b+ =4 và 1 3
lim
1 1
x
a b
x x
®
æ ö÷
ç - ÷
ç ÷
çè- - ø hữu hạn Tính giới hạn 3
1 lim
1 1
x
b a
L
x x
®
æ ö÷
ç
= ççè - - - ÷÷ø
A 1 B 2 C. 1 D - 2
Câu 49 Giá trị của giới hạn ( )
2 lim 1 2
x®+¥ + x - x là:
A. 0 B. +¥ C. 2 1.- D. - ¥
Câu 50 Giá trị của giới hạn ( )
2
lim 1
x®+¥ x + - x là:
A 0 B. +¥ C
1
2 D - ¥ .
Câu 51 Biết rằng ( )
2
lim 5 2 5 5
x®- ¥ x + x x+ =a +b Tính S=5a b+
A. S=1 B S=- 1 C S=5 D S=- 5
Câu 52 Giá trị của giới hạn ( )
2 2
lim 3 4
x®+¥ x + x- x + x là:
A. 7.
2 B
1. 2
-C +¥ D - ¥
Câu 53 Giá trị của giới hạn ( )
3 3 2
lim 3 1 2
x®- ¥ x - + x + là:
A. 33 1.+ B. +¥ C. 33 1.- D. - ¥
Câu 54 Giá trị của giới hạn ( )
3
2 3 2
lim
x®+¥ x + -x x - x là:
A 5
6 B +¥ C - 1 D - ¥ .
Câu 55 Giá trị của giới hạn ( )
3 3
lim 2 1 2 1
x®+¥ x- - x+ là:
(20)Vấn đề 7 DẠNG VÔ ĐỊNH 0.¥
Câu 56. Kết quả của giới hạn 0
1 lim 1
x® x x
éæç ö÷ù êçç- ÷÷ú êè øú ë û là:
A +¥ B - 1 C 0 D +¥
Câu 57. Kết quả của giới hạn xlim2( 2) 2 4
x x
x
+
® - - là:
A. 1 B. +¥ C. 0 D. - ¥
Câu 58. Kết quả của giới hạn 3 2
2 1 lim
3 2
x
x x
x x
®+¥
+
+ + là: A
2.
3 B
6.
3 C +¥ D - ¥ .
Câu 59. Kết quả của giới hạn
2
2 0
1 lim sin
x® x px x
æ ö÷
ç - ÷
ç ÷
çè ø là:
A 0 B - 1 C p D +¥
Câu 60. Kết quả của giới hạn ( ) ( ) 3
2 1
lim 1
1
x
x x
x
+
® - + - là:
A. 3 B. +¥ C. 0 D. - ¥
Baøi 03
HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1
Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng K và x0Î K
Hàm số y= f x( ) được gọi là liên tục tại x0 nếu 0 ( ) ( )0
lim
x x® f x =f x
II – HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa 2
Hàm số y= f x( ) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó
Hàm số y= f x( ) được gọi là liên tục trên đoạn [a b; ] nếu nó liên tục trên khoảng (a b; ) và
( ) ( ) ( ) ( )
lim , lim
x a®+ f x =f a x b®- f x =f b
(21)
Hàm số liên tục trên khoảng (a b; ) Hàm số không liên tục trên khoảng
(a b; )
III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ¡
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Định lí 2
Giả sử y= f x( ) và y=g x( ) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó:
a) Các hàm số y=f x( )+g x( ), y=f x( )- g x( ) và y= f x g x( ) ( ) liên tục tại
0
x ;
b) Hàm số
( ) ( )
f x
g x liên tục tại x0 nếu g x( )0 ¹ 0.
Định lí 3
Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] và f a f b( ) ( ) <0, thì tồn tại ít nhất một điểm cÎ (a b; ) sao cho f c( )=0
Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:
Nếu hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] và f a f b( ) ( ) <0, thì phương trình f x( )=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a b; )
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Hàm số ( )
1 3
4
f x x
x
= - +
+ liên tục trên:
A [- 4;3 ] B. [- 4;3 ) C (- 4;3 ] D.
[- ¥ -; 4] [È 3;+¥ ) O
x y
b a
y
O
x
(22)Câu 2. Hàm số ( )
3 cos sin
2sin 3
x x x x
f x
x
+ +
=
+ liên tục trên: A [- 1;1.] B. [ ]1;5 C
3 ; 2
æ ö÷
ç- +¥ ÷
ç ÷
çè ø D. ¡.
Câu 3. Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên ¡ với ( )
2 3 2
1
x x f x
x
- + =
- với
mọi x=/ 1 Tính f( )1
A. 2 B. 1 C. 0 D. - 1
Câu 4. Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên [- 3;3] với
( ) x 3 3 x
f x
x
+ - -=
với x¹ 0 Tính f( )0
A. 2 3.
3 B.
3.
3 C. 1 D. 0
Câu 5. Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên (- 4;+¥) với
( )
4 2
x f x
x
=
+ - với x¹ 0 Tính f( )0 .
A. 0 B. 2 C. 4 D. 1
Vấn đề 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 6. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
2 2
khi 2 2
khi 2
x x x
f x x
m x
ìïï ï - -ïí ïï ïïî
¹
=
-=
liên tục tại x=2
A m=0 B m=1 C m=2 D m=3
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
3 2 2 2
khi 1 1
3 khi 1
x x x x
f x x
x m x
ìï - +
ïï - ¹
=
-+ í
= ï
ïï
ïïî liên tục tại x=1
A m=0 B m=2 C m=4 D m=6
Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số
( ) 11 khi 1 1 khi 1
x x
y f x x
k x
-¹
= =
-+ ìïï ïïí
= ïï
ïïî
liên tục tại x=1
A 1
2
k=
B. k=2 C
1 2
k
=-D. k=0
Câu 9. Biết rằng hàm số
( )
3 khi 3
1 2
khi 3
x x
f x x
m x
ìïï
ï - ¹
=ïí + ïï ïïî
-= liên tục tại x=3 (với m là
(23)A mÎ -( 3;0 ) B m£ - 3 C mÎ [0;5 ) D mÎ [5;+¥ )
Câu 10. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
( ) 2 1
sin khi 0 khi 0
x x
f x x
m x
ìïï
ïí ¹
=
= ïï
ïî
liên tục tại x=0
A mÎ -( 2; 1 - ) B m£ - 2 C mÎ -[ 1;7 ) D mÎ [7;+¥ )
Câu 11 Biết rằng 0
sin lim 1 x
x x
® = Hàm số ( )
tan
khi 0 0 khi 0
x x f x x
x
¹ =
= ìïï
ïí ïï
ïî liên tục trên
khoảng nào sau đây?
A 0;
2
p
æ ö÷ ç ÷ ç ÷
çè ø B ;4
p
æ ö÷ ç- ¥ ÷
ç ÷
çè ø C 4 4;
p p
æ ö÷ ç- ÷
ç ÷
çè ø D (- ¥ +¥; ) Câu 12 Biết rằng 0
sin lim 1 x
x x
® = Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )
sin
khi 1 1
khi 1
x x f x x
m x
p
ìïï
ï ¹
=
-= íï
ïïî liên tục tại x=1
A m=- p B. m=p C m=- 1 D. m=1
Câu 13 Biết rằng 0
sin lim 1 x
x x
® = Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) ( )2
1 cos khi khi
x x
f x x
m x
p p
p
ìïï ïï + íï ïï ïî
¹ =
-= liên tục tại x p= . A m 2
p
=
B. m 2
p
=-C
1. 2 m=
D.
1. 2 m
=-Câu 14. Hàm số
( ) 42
3 khi 1
khi 1, 0
1 khi 0
x x x
f x x x
x x x
ìïï
ïï +
=-=ïïí ïï ïï ïïî
¹ - ¹ +
=
liên tục tại:
A. mọi điểm trừ x=0, x=1 B. mọi điểm xÎ ¡
C. mọi điểm trừ x=- 1 D. mọi điểm trừ x=0
Câu 15. Số điểm gián đoạn của hàm số
( ) (2 )
0,5 khi 1
1
khi 1, 1 1
1 khi 1
x x x
f x x x
x
x
ìïï
ïï +
=-=ïïíï ¹
ïï ïïïî
- ¹
-=
là:
A. 0 B. 1 C. 2 D 3
(24)Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
( )
2 2 khi 2
1 khi 2
m x x
f x
m x x
ìï £
= -í
> ï
ïïî liên tục trên ¡ ?
A. 2 B 1 C 0 D. 3
Câu 17. Biết rằng hàm số
( ) [ ]
( ] khi
1 khi 0;4
4;6
x x
f x
m x
ìï Î
ïí
Î =
+
ïïî tục trên [0;6 ] Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. m<2 B 2£m<3 C 3< <m 5 D. m³ 5 Câu 18. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số
( )
2 3 2
khi 1 1
khi 1
x x
x x
f x
a x
ìï - +
ï ¹
ïï -=í
ïï
ï =
ïî liên tục trên ¡
A. 1 B 2 C 0 D. 3
Câu 19. Biết rằng
( )
2 1
khi 1 1
khi 1
x x
f x x
a x
ìïï ïï -íï ïïïî
¹
=
-= liên tục trên đoạn [ ]0;1 (với a là
tham số) Khẳng định nào dưới đây về giá trị a là đúng?
A. a là một số nguyên B. a là một số vô tỉ
C. a>5 D. a<0
Câu 20. Xét tính liên tục của hàm số
( )
1
khi 1
2 1
2 khi 1
x
x
f x x
x x
ìïï
ïï - <
= -
³
íï
ïïïî Khẳng định
nào dưới đây đúng?
A f x( ) không liên tục trên ¡ B f x( ) không liên tục trên (0;2 )
C f x( ) gián đoạn tại x=1 D f x( ) liên tục trên ¡
Câu 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số
( ) 2
2 5 6
khi 3 4 3
1 khi 3
x x
x
f x x x
a x x
- +
> =ìïïïïíï -
-ïïïî - £
liên tục tại x=3
A 2
3
- B.
2.
3 C.
4 3
-D 4
3
Câu 22 Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số
( ) 3
2
3 2 2
khi 2 2
1 khi 2 4
x
x x
f x
a x x
+
->
-= + ìïï ïïï í
£ ïï
ïï
ïî liên
tục tại x=2
A amax=3 B amax=0 C amax=1 D amax=2
Câu 23 Xét tính liên tục của hàm số
( ) 1 cos khi 0 1 khi 0
x x
x f
x
x - £
+ ìïï í
> =
ïïî Khẳng định
nào sau đây đúng?
(25)C f x( ) không liên tục trên ¡ D f x( ) gián đoạn tại x=1
Câu 24 Tìm các khoảng liên tục của hàm số
( ) cos 2 khi 1 1 khi 1
f x
x
x
x x
p
£
- >
ìïï ïï =í ïï
ïïî Mệnh
đề nào sau đây là sai?
A Hàm số liên tục tại x=- 1
B Hàm số liên tục trên các khoảng (- ¥ -, 1 1;) (; +¥ )
C Hàm số liên tục tại x=1
D Hàm số liên tục trên khoảng (- 1,1). Câu 25 Hàm số f x( ) có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?
A. x=0 B x=1 C. x=2 D. x=3
x
2 3
y
1
O
1
Câu 26. Cho hàm số
( ) 2
khi 1, 0
0 khi 0
khi 1
x
x x x
f x x
x x
ìïï < ¹ ïï
ïïï
=íï =
ïï ³
ïï
ïïî Hàm số f x( ) liên tục tại:
A. mọi điểm thuộc ¡ B. mọi điểm trừ x=0
C. mọi điểm trừ x=1 D. mọi điểm trừ x=0 và x=1
Câu 27. Cho hàm số
( )
2 1
khi 3, 1 1
4 khi 1
1 khi 3
x
x x
x
f x x
x x
ìï
-ï < ¹
ïï -ïïï
=íï =
ïï + ³
ïï
ïïî Hàm số f x( ) liên tục tại:
A. mọi điểm thuộc ¡ B. mọi điểm trừ x=1
C. mọi điểm trừ x=3 D mọi điểm trừ x=1 và x=3
Câu 28. Số điểm gián đoạn của hàm số
( ) 2
2 khi 0 1 khi 0 2 3 1 khi 2
x x
h x x x
x x
ì <
ïï ïï
=íï + £ £ ïï - >
ïî là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 29. Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số
( ) 2
2
khi 1 2 khi 1 1 khi 1
x x x
f x x
m x x
ìï + < ïïï
=íï =
ïï + >
ïî liên tục tại x=1.
(26)Câu 30. Cho hàm số
( ) 2 3
cos khi 0 khi 0 1 1
khi 1
x x x
x
f x x
x
x x
ì - < ïï
ïï ïï
=íï + £ < ïï
ï ³
ïïî Hàm số f x( ) liên tục tại:
A. mọi điểm thuộc xÎ ¡ B. mọi điểm trừ x=0
C. mọi điểm trừ x=1 D. mọi điểm trừ x=0; x=1
Vấn đề 5 SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MỘT KHOẢNG
Câu 31. Cho hàm số f x( )=- 4x3+4x- 1 Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho liên tục trên ¡
B. Phương trình f x( )=0 không có nghiệm trên khoảng (- ¥;1 )
C. Phương trình f x( )=0 có nghiệm trên khoảng (- 2;0 )
D. Phương trình f x( )=0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng
1 3;
2 æ ö÷ ç- ÷
ç ÷
çè ø
Câu 32. Cho phương trình 2x4- 5x2+ + =x 1 0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (- 1;1 )
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (- 2;0 )
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng (- 2;1 )
D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2 )
Câu 33. Cho hàm số f(x)=x3- 3x- 1 Số nghiệm của phương trình f x( )=0 trên ¡ là:
A 0 B. 1 C 2 D 3
Câu 34. Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [- 1;4] sao cho f( )- 1=2,
( )4 7
f = Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f x( )=5 trên đoạn
[ 1;4]- :
A. Vô nghiệm B. Có ít nhất một nghiệm
C. Có đúng một nghiệm D. Có đúng hai nghiệm
Câu 35. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng
(- 10;10) để phương trình x3- 3x2+(2m- 2)x m+ - 3 0=
có ba nghiệm phân biệt
1, , 2 3
x x x thỏa mãn x1<- <1 x2<x3?