BÀI tập TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG (bài tập đại số TUYẾN TÍNH)

BÀI TẬP TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN A ∈ Mn(K) n λ∈ K trị riêng A ⇔ ∃ x∈ K , x ≠ 0: Ax = λx x gọi trị riêng tương ứng với λ Eλ = { x/ Ax = λx} : không gian riêng ứng với λ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Trị riêng A nghiệm pt đặc trưng: p(λ) = det(A- λI) = (p(λ) : đa thức đặc trưng.) Với λ, vector riêng nghiệm x≠0 hệ pt: (A- λI)x = Cơ sở kg riêng ứng với λ hệ nghiệm hpt (A- λI)x = TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN  −5  A =  −7 ÷  ÷  −9 ÷   Vector sau vector riêng A, trị riêng tương ứng 1   2 0 X =  ÷, X =  ÷, X = 1 ÷  ÷  ÷  ÷ 3÷  2÷ 1 ÷       TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN 1 2 A =  −1÷  ÷  −1 ÷   T Tìm m để u=(2,-m,m) vector riêng A TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Tìm trị riêng vector riêng  −2  A= ∈ M ( R) ÷  1 Tìm trị riêng sở không gian riêng 3 1 A =  2÷  ÷ 1 3÷   TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Nếu λ trị riêng A λn trị riêng An VTR A VTR An Nếu λ trị riêng A n p(λ) = anλ + …+ a1λ + a0 trị riêng n p(A) = anA + …+ a1A + a0I Nếu A khả nghịch λ trị riêng A λ −1 trị riêng A −1 TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Tìm trị riêng vector riêng a A3 b A3 + A2 − A − I c A−3  −2  A= ∈ M ( R) ÷  1 CHÉO HĨA MA TRẬN A ∈ Mn(K) chéo hóa tồn ma trận khả nghịch P cho P −1 AP mt chéo A chéo hóa được⇔ A có n vec tor riêng đltt Lấy ma trận P với cột Pi vector riêng đltt A D = P (Đường chéo D chứa trị riêng A) −1 AP chéo CHÉO HÓA MA TRẬN Nhận dạng ma trận chéo hóa được: Cách 1: Nếu A∈ Mn có n trị riêng phân biệt A chéo hóa Cách 2: Nếu A ∈ Mn , p (λ) = (λ − λ1 ) k1 (λ − λ ) k2 (λ − λ r ) kr dimEλi = ki A chéo CHÉO HĨA MA TRẬN Ma trận chéo hóa được, chéo hóa được, tìm ma trận khả nghịch P cho P AP ma trận chéo  −1  ÷ 1) A = 1  ÷  1 1÷   2 1  ÷ 2) A =  ÷ 1 2÷   - CHÉO HĨA MA TRẬN 1 0 3) A =  ÷  ÷ 0 1÷    2 5) A =  ÷ −   1 2  ÷ 4) A = −1  ÷  −1 ÷   CHÉO HÓA MA TRẬN  −1 Cho A =  1 1÷  ÷  1 1÷   Tính A 17 TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT f: U → U tuyến tính λ trị riêng f ⇔ ∃ x ≠ 0: fx = λx x gọi vector riêng ứng với trị riêng λ Eλ = { x/ fx = λx} : kg riêng ứng với trị riêng λ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT Cách tìm trị riêng VTR f: U → U Xác định ma trận f sở E U A = [f ]E Trị riêng f trị riêng A Với λ, X VTR A, vector u thỏa [u]E = X VTR f TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT f ( x1 , x2 x3 ) = ( x1 + x2 + x3 , x1 + x2 − x3 , − x1 + x2 + x3 ) a) Vector sau vector riêng f x = ( 1,2,3) , y = ( 2,1,1) b) Tìm m để vector sau vector riêng f x = ( 3,2, m ) TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT  −1 Cho A =  1 1÷  ÷  1 1÷   ma trận sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} Tìm m để u = (m+1, 2, 2) VTR f f : R3 → R3 TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT Tìm trị riêng vector riêng f: R2 → R2, f(x1,x2) = (4x1 – 2x2, x1 + x2) f(x1,x2,x3) = (2x1+x2+x3, x1+2x2+x3, x1+x2+2x3) Tìm trị riêng sở kg riêng f Tìm trị riêng VTR f: R → R3 biết ma trận f sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} 1 2  ÷ A = [ f ]E = −1  ÷  −1 ÷   CHÉO HÓA AXTT * f: U → U tuyến tính, f chéo hóa tồn sở E U cho [f] E ma trận chéo * f : U → U tuyến tính, dimU = n f chéo hóa ⇔ f có n vector riêng đltt f chéo hóa ⇔ ma trận f sở chéo hóa Ví dụ Cho f: R3 → R3 , biết ma trận f sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} 3 1 A = [ f ]E =  ÷  ÷ 1 3÷   Tìm sở B R3 để ma trận f sở ma trận chéo Giải λ1 = 2, λ2 = Trị riêng A: Cơ sở không gian riêng A: { = : { P = ( 1,2,1) } λ1 = : P1 = ( −1,1,0 ) , P2 = ( −1,0,1) T λ2 T } T E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} Gọi u1, u2, u3 vector cho : Cụ thể [ ui ] E = Pi , i = 1,2,3 u1 = ( 0,0,3) , u2 = ( 0,1,2 ) , u3 = ( 4,5,4 ) Đặt : B = { u1 , u2 , u3 } [ f ]B  0 = 0 0÷  ÷ 0 6÷   ... 17 TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT f: U → U tuyến tính λ trị riêng f ⇔ ∃ x ≠ 0: fx = λx x gọi vector riêng ứng với trị riêng λ Eλ = { x/ fx = λx} : kg riêng ứng với trị riêng λ TRỊ RIÊNG – VECTOR. .. RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN 1 2 A =  −1÷  ÷  −1 ÷   T Tìm m để u=(2,-m,m) vector riêng A TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Tìm trị riêng vector riêng  −2  A= ∈ M ( R) ÷  1 Tìm trị riêng. ..TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN A ∈ Mn(K) n λ∈ K trị riêng A ⇔ ∃ x∈ K , x ≠ 0: Ax = λx x gọi trị riêng tương ứng với λ Eλ = { x/ Ax = λx} : không gian riêng ứng với λ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG