Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực lựa chọn ẩn phụ để giải một số bài toán đại số và giải tích ở bậc trung học phổ thông

1 Tr-ờng Đại học Vinh Khoa toán - Nguyễn thị sửu Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán đại số giải tích bậc trung học phổ thông Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành s- phạm toán Vinh - 2008 mở đầu lý chọn đề tài 1.1 Nghị Hội nghị lần thứ Ban Chấp hành Trung -ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định : Phải đổi ph-ơng pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp t- sáng tạo cho ng-ời học Luật Giáo dục n-ớc Cộng hoà Xà hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy định: Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo HS, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn 1.2 Nhận định ph-ơng pháp dạy học Toán tr-ờng phổ thông giai đoạn nay, nhà toán học Hoàng Tơy v¯ Ngun C°nh To¯n viÕt: “KiÕn thøc, t- duy, tính cách ng-ời mục tiêu giáo dơc ThÕ nh-ng, hiƯn nhµ tr-êng t- tính cách bị chìm kiến thức Cách dạy phổ biến thầy đ-a kiến thức (khái niệm, định lý) giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, cố gắng vận dụng công thức, định lý để tính toán, để chứng minh Ta chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải toán oăm, giả tạo, chẳng giúp phát triển t- mà làm cho HS thêm xa rời thực tế, mệt mỏi chán nản 1.3 Theo nhà toán học nhà s- phạm tiếng G Pôlya, nhiệm vụ dạy học Toán tr-ờng phổ thông dạy học sinh suy nghĩ Ông cho rằng, để việc dạy học có hiệu nhất, HS phải tự khám phá chừng mực đó, phần lớn nhờ tài liệu 1.4 Rất nhiều sách tham khảo cho em HS tính từ tr-ớc tới đ-ợc trình bày theo kiểu đề toán sau trình bày lời giải ngay, mà không giải thích cho em hiểu lại làm nh- Theo chúng tôi, để sách thực ng-ời bạn hữu ích cho em HS nên trình bày theo lối khác, chẳng hạn nh- tr-ớc vào lời giải chi tiết nên dẫn dắt em b-ớc một, cố gắng làm nh- đó, để em với gợi ý tìm lời giải toán Nếu trình bày theo lối áp đặt nh- số tài liệu khó phát triển t- cho em, mà buộc em phải nhớ cách máy móc lời giải toán cụ thể Mặc dù biết rằng, để viết đ-ợc sách nh- tác giả sách phải ng-ời thật tâm huyết với nghề quan tâm tới phát triển t- cho thÕ hƯ trỴ… Cã mét sè ý kiến cho viết sách mà phải dẫn dắt em tìm lời giải đ-ợc, lẽ làm nh- không đủ mặt thời gian số l-ợng toán sách ! Thế nh-ng lại có tr-ờng hợp tác giả mà viết nhiều sách tham khảo cho học sinh, số toán lời giải chúng trùng lặp nhiều? Có nên chăng, sách tham khảo nên đề cập nhiều ph-ơng pháp học tập cho em sai lầm th-ờng gặp trình giải Toán Thực tế thấy, đứng tr-ớc toán em không giải đ-ợc, ng-ời giáo viên trình bày lời giải cách đ-ờng đột mà không đề cập đến ph-ơng pháp giải, sau thời gian ngắn thôi, em học sinh bắt gặp lại toán hay toán t-ơng tự, em bế tắc 1.5 Khó khăn lớn giải toán ph-ơng pháp đặt ẩn phụ việc lựa chọn biểu thức để gán ẩn phụ cho nó, khó khăn việc tìm điều kiện xác định ẩn phụ Nhiều em học sinh quên tìm sai điều kiện xác định ẩn phụ, dẫn đến kết sai Ví dụ, giải toán: Tìm giá trị nhỏ hàm số y sin x  cos2 x ”, mét sè em gi¶i nh- sau: đặt t sin x cos x t , toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  t  t  1” Sau ®ã em kết luận không tồn giá trị nhá nhÊt v× lim  t  t  1   Do vËy, ®Ị cËp ®Õn toán cần thiết phải đặt ẩn phụ t để giải, ng-ời giáo viên cần giúp học sinh ghi nhớ b-ớc thiếu trình giải Toán, tuỳ thuộc vào toán, lựa chọn ẩn phụ cho thích hợp, tìm điều kiện xác định ẩn phụ, giải toán ẩn điều kiện xác định L-u ý câu trả lời chung để trả lời cho câu hỏi: Đối với toán ta nên đặt ẩn phụ, đặt nh- ? Tuy nhiên, tuỳ toán cụ thể ta trả lời đ-ợc phần câu hỏi Vì lý trên, chọn đề tài : Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán Đại số Giải tích bậc Trung học phổ thông MụC ĐíCH NGHIÊN CứU Mục đích nghiên cứu khoá luận nghiên cứu để xác định dấu hiệu đặc tr-ng dạng toán, toán để từ giúp cho HS khả lựa chọn cách đặt ẩn phụ hợp lý, đồng thời từ góp phần phát triển lực cho học sinh Giả thuyết khoa học Nếu th-ờng xuyên quan tâm mức đến việc rèn luyện lực giải Toán sở xây dựng ph-ơng pháp sử dụng quy trình giải Toán Đại số Giải tích cách đặt ẩn phụ, giúp HS nắm vững kiến thức dạng toán phát triển lực tìm tòi lời giải toán, đồng thời góp phần nâng cao chất l-ợng dạy học Toán tr-ờng phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng sở lý luận việc rèn luyện lực giải Toán - Xây dựng hệ thống ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải toán ch-ơng trình THPT - Tiến hành thực nghiệm Ph-ơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề có liên quan đến nội dung Khoá luận nh- tâm lý học, giáo dục học, ph-ơng pháp dạy học môn Toán, sách, báo có nội dung liên quan đến đề tài với giảng quý báu Thầy, Cô giáo 5.2 Điều tra quan sát: Vấn đề dạy học việc giải toán cách đặt ẩn phụ Những khó khăn học tập vận dụng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ vào việc giải toán 5.3 Thực nghiệm s- phạm: Tất nh-ng nội dung Khoá luận đ-ợc đúc rút trình học tập, gia s- thực tập s- phạm Tr-ờng THPT Lê Hữu Trác I tác giả Đóng góp khoá luận Khoá luận đà góp phần làm sáng tỏ thêm số khía cạnh khái niệm lực toán học; đà phân tích t-ơng đối cụ thể tình liên quan đến phép đặt ẩn phụ giải Toán Đại số Giải tích Đặc biệt, đà trọng đến pha dẫn dắt theo tinh thần phát huy sù suy nghÜ cđa HS nh»m hiƯn thùc ho¸ trình dạy học Cấu trúc khoá luận Mở đầu Ch-ơng I Cơ sở lý luận Ch-ơng II Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán Đại số Giải tích bậc THPT Ch-ơng III Thực nghiệm s- phạm Kết luận Tài liệu tham khảo Ch-ơng I Cơ sở lý luận 1.1 Khái niệm lực Kết nghiên cứu công trình tâm lý học giáo dục học cho thấy, từ tảng khả ban đầu, trẻ em b-ớc vào hoạt động Qua trình hoạt động mà dần hình thành cho tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết ngày phong phú, từ nảy sinh khả với mức độ cao Đến lúc đó, trẻ em đủ khả bên để giải hoạt động yêu cầu khác xuất học tập sống lúc học sinh có đ-ợc lực định D-ới số cách hiểu lực: +) Định nghĩa 1: Năng lực phẩm chất tâm lý tạo cho ng-ời khả hoàn thành loại hoạt động với chất l-ợng cao [56] +) Định nghĩa 2: Năng lực tổ hợp đặc điểm tâm lý ng-ời, đáp ứng đ-ợc yêu cầu hoạt động định điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết số hoạt động [1] +) Định nghĩa 3: Năng lực đặc điểm cá nhân ng-ời đáp ứng yêu cầu loại hoạt động định điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc số loại hoạt động (Dẫn theo [2]) Nh- vậy, ba định nghĩa có điểm chung là: lực nảy sinh quan sát đ-ợc hoạt động giải yêu cầu mẻ, gắn liền với tính sáng tạo, có khác mức độ (định nghĩa gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc) Mọi lực ng-ời đ-ợc biểu lộ tiêu chí nh- tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo độc đáo giải nhiệm vụ Phần lớn công trình nghiên cứu tâm lý học giáo dục học thừa nhận ng-ời có lực khác có tố chất riêng, tức thừa nhận tồn tố chất tự nhiên cá nhân thuận lợi cho hình thành phát triển lực khác 1.2 Khái niệm lực toán học Theo V A Krutecxki [33, tr 13] lực toán học đ-ợc hiểu theo ý nghĩa, mức độ: Một là, theo ý nghĩa lực học tập (tái tạo) tức lực việc học Toán, việc nắm giáo trình Toán học tr-ờng phổ thông, nắm cách nhanh tốt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo t-ơng ứng Hai là, theo ý nghĩa lực sáng tạo (khoa học), tức lực hoạt động sáng tạo Toán học, tạo kết mới, khách quan có giá trị lớn xà hội loài ng-ời Giữa hai mức độ hoạt động toán học ngăn cách tuyệt đối Nói đến lực học tập Toán không đề cập tới lực sáng tạo Có nhiều em HS có lực, đà nắm giáo trình Toán học cách độc lập sáng tạo, đà tự đặt giải toán không phức tạp lắm; đà tự tìm đ-ờng, ph-ơng pháp sáng tạo để chứng minh định lý, độc lập suy công thức, tự tìm ph-ơng pháp giải độc đáo toán không mẫu mực Với mức độ HS trung bình khá, Khoá ln chØ chđ u tiÕp cËn NLTH theo gãc ®é thứ (năng lực học Toán) Sau số định nghĩa NLTH: Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học đặc điểm tâm lý cá nhân (tr-ớc hết đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học giúp cho việc nắm giáo trình Toán cách sáng tạo, giúp cho việc nắm cách t-ơng đối nhanh, dễ dàng sâu sắc kiến thức, kỹ kỹ xảo toán học [33, tr 14] Định nghĩa 2: Những lực học Toán đ-ợc hiểu đặc điểm tâm lý cá nhân (tr-ớc hết đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học, điều kiện vững nh- nguyên nhân thành công việc nắm vững cách sáng tạo Toán học với t- cách môn học, đặc biệt nắm vững t-ơng đối nhanh, dễ dàng sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo lĩnh vực Toán học [26, tr 126] Nói đến HS có lực toán học nói đến HS có trí thông minh việc học Toán Tất HS có khả phải nắm đ-ợc ch-ơng trình trung học, nh-ng khả khác từ HS qua HS khác Các khả cố định, không thay đổi: Các lực thành bất biến mà hình thành phát triển trình học tập, luyện tập để nắm đ-ợc hoạt động t-ơng ứng Vì vậy, cần nghiên cứu để nắm đ-ợc chất lực đ-ờng hình thành, phát triển, hoàn thiện lực Tuy nhiên, ng-ời có khác mức độ NLTH Do vậy, dạy học Toán, vấn đề quan trọng chọn lựa nội dung ph-ơng pháp thích hợp để cho đối t-ợng HS đ-ợc nâng cao dần mặt NLTH Về vấn đề nh Ton học Xôviết tiếng, Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv cho rng: Năng lực bình th-ờng HS trung học đủ em tiếp thu, nắm đ-ợc Toán học trường trung học víi sù h­íng dÉn tèt cđa thÇy gi²o hay víi sch tốt 1.3 Cấu trúc lực toán học học sinh Để vạch cấu trúc lực học toán học sinh có công trình nghiên cứu tâm lý học đ-ợc tiến hành công phu, đặc biệt công trình V A Krutecxki nguyên Phó Viện tr-ởng Viện nghiên cứu Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô tr-ớc đây, đà nghiên cứu tâm lý lực toán học với công trình đồ sộ Tâm lý lực toán học Luận án Tiến sĩ ông đ-ợc Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá cao Công trình kết việc nghiên cứu lý luận thực tiễn, có tiến hành thực nghiệm công phu, đ-ợc tiến hành từ năm 1955 đến 1968 Ông đà nghiên cứu sâu sắc mặt lý luận, tham khảo 747 tài liệu n-ớc Về mặt thực tiễn: Ông đà quan sát tự nhiên; theo dõi phát triển HS có khiếu Toán; thực nghiệm 157 HS giỏi, trung bình kém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) môn khoảng 1000 HS từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạy Toán; vấn giấy 56 giáo viên Toán; vấn giấy 21 nhà Toán học; nghiên cứu phân tích tiểu sử 84 nhà toán học vật lý học tiếng n-ớc Chính độ tin cậy kết luận khoa học V A Krutecxki nên Khoá luận kế thừa kết điểm tựa quan trọng sở khoa học đề tài Kết chủ yếu quan trọng Ông đà cấu trúc lực toán học học sinh bao gồm thành phần sau (dựa theo quan điểm Lý thuyết thông tin): 1.3.1 Về mặt thu nhận thông tin toán học Đó lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, lực nắm cấu trúc hình thức toán 1.3.2 Về mặt chế biến thông tin toán học 1) Năng lực t- lôgic lĩnh vực quan hệ số l-ợng không gian, hệ thống ký hiệu số dấu Năng lực t- ký hiệu toán học; 2) Năng lực khái quát hóa nhanh rộng đối t-ợng, quan hệ toán học phép toán; 3) Năng lực rút gọn trình suy luận toán học hệ thống phép toán t-ơng ứng Năng lùc t- b»ng c¸c cÊu tróc rót gän; 4) Tính linh hoạt trình t- hoạt động toán học; 5) Khuynh h-ớng v-ơn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý lời giải; 6) Năng lực nhanh chóng dễ dàng sửa lại ph-ơng h-ớng trình tduy, lực chuyển từ tiÕn tr×nh t- thuËn sang tiÕn tr×nh t- đảo (trong suy luận toán học) 1.3.3 Về mặt l-u trữ thông tin toán học Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát các: quan hệ toán học; đặc điểm loại; sơ đồ suy luận chứng minh; ph-ơng pháp giải toán; nguyên tắc, đ-ờng lối giải toán) 1.3.4 Về thành phần tổng hợp khái quát Khuynh h-ớng toán học trí tuệ Các thành phần nêu có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh h-ởng lẫn hợp thành hệ thống định nghĩa cấu trúc toàn vẹn lực toán học Sơ ®å triĨn khai cđa cÊu tróc NLTH cã thĨ ®-ỵc biểu thị công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học đ-ợc đặc tr-ng t- khái quát, gọn, tắt linh hoạt lĩnh vực c¸c quan hƯ to¸n häc, hƯ thèng ký hiƯu sè dấu, khuynh h-ớng toán học trí t [33, tr 170] 10 Cïng víi cÊu tróc nói trên, V A Krutecxki đ-a gợi ý ph-ơng pháp bồi d-ỡng NLTH cho HS Nghiên cứu quan điểm V A Krutecxki lực toán học, thấy số vấn đề quan träng sau: * VỊ mỈt lý ln 1) Theo V A Krutecxki nói đến HS có NLTH nói đến HS có trí thông minh việc học Toán; 2) Vấn đề lực vấn đề khác biệt cá nhân Khi nói lực tức giả định có khác biệt mặt cá nhân, chẳng hạn NLTH Điều quan trọng lực không bẩm sinh mà đ-ợc phát sinh phát triển hoạt động, đời sống cá nhân; 3) Khi nói đến lực tức nói đến lực loại hoạt động định ng-ời Năng lực toán học vậy, tồn hoạt động toán học sở phân tích hoạt động toán học thấy đ-ợc biểu lực toán học; 4) Hiệu hoạt ®éng mét lÜnh vùc nµo ®ã cđa ng-êi th-ờng phụ thuộc vào tổ hợp lực Kết học tập Toán không nằm quy luật đó, phụ thuộc vào số yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê, thái độ chăm học tập, khuyến khích hỗ trợ giáo viên, gia đình xà hội * Về mặt thực tiễn 1) Trong lĩnh vực đào tạo ng-ời phải nghiên cứu NL ng-ời lĩnh vực đào tạo, phải biết ph-ơng pháp tốt để bồi d-ỡng lực đó; 2) Năng lực toán học lực tạo thành mối liên t-ởng khái quát, tắt, linh hoạt, ng-ợc hệ thống chúng dựa tài liệu toán học Các lực đà nêu biểu với mức độ khác em HS giỏi, trung bình, em khiếu giỏi mối liên t-ởng đ-ợc tạo thành tức khắc sau số tập, em trung bình muốn hình thành mối liên t-ởng phải cần hệ thống tập phải có rèn luyện 84 Hoạt động giáo viên Hoạt động häc sinh    ln x    2ln x  x   x x   C  x2   x x2   C Rõ ràng h-ớng giải phức tạp h-ớng giải ban đầu Do đó, yêu cầu học sinh có học lực trở lên theo h-ớng Nh- đà nói, loại tập tính tích phân yêu cầu học sinh phải có kỹ biến đổi đại số nh- l-ợng giác Vì thế, nói riêng toán đòi hỏi điều mức độ cao Từ tránh khỏi có em biến đổi sai nhiều chỗ no Cũng xin lưu ý thêm rng, ta đ lý t-ởng hoá häc sinh Thùc tÕ kh«ng nhiỊu häc sinh cã thĨ lm trôi chảy Tuỳ khó khăn m cc em gặp phải để có h-ớng xử lý cho phù hợp 2.6.3.3 Đối với tích phân có dạng R(sin x, cos x)dx , R hàm x hữu tỉ, ta đặt t tan Do hàm số l-ợng giác biểu diễn qua t tan x nên tr-ờng hợp ta đ-a đ-ợc tích phân hàm hữu tỉ (thông qua phép đặt ẩn phụ này) Tuy nhiên, số tr-ờng hợp cụ thể, ta lại có cách đặt khác hiệu cụ thể nh- tr-ờng hợp c¸c vÝ dơ sau:  VÝ dơ 47 TÝnh tÝch ph©n I    dx sin x Những hoạt động chủ yếu giáo viên học sinh trình lựa chọn ẩn phụ tính tích phân: Hoạt động giáo viên * Sử dụng ph-ơng pháp x đặt ẩn phụ t tan , biểu thị dt qua t dx sau biểu thị dx qua t dt Hoạt động học sinh x 1 x dx  1  tan  dx cos x 2 *Đặt t tan  dt   dt  2dt  t  dx  dx   t2 85 Hoạt động giáo viên * Đổi cËn? * BiĨu diƠn sin x qua t Hoạt động học sinh * Đổi cận: x  2t  * sin x     1 t  t   , x   t 1 3  * HÃy tính tích phân ban đầu? *I   dx  sin x   2dt (1  t ) 8t (1  t )3   (1  t ) dt t3 1  t2   1 1  t  t  t dt    ln t  2t  3 1  ln 3 2.6.3.4 Đối với tích phân có dạng R(sin x, cos x)dx , R hàm hữu tỉ mà R( sin x,cos x) R(sin x,cos x) ta đặt t cos x  sin xdx  cos x VÝ dô 48 TÝnh tÝch phân I Những hoạt động chủ yếu giáo viên học sinh trình lựa chọn ẩn phụ tính tích phân: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * HÃy nhận xét biĨu thøc d-íi * Ta thÊy R( sin x,cos x) R(sin x,cos x) ta đặt dấu tích phân, lùa chän c¸ch t  cos x  dt   sin xdx , sin x   cos2 x t đặt ẩn phơ? * Thùc hiƯn b-íc ®ỉi cËn? * TÝnh tÝch phân đà cho? * Đổi cận: x t  1, x   t   sin xdx (1  t )(dt ) (1  t )dt *I    0  t  cos x 1 1 t2 0 dt    dt   1 t 1 86 Bài toán này, giáo viên dẫn dắt cách khác nh- sau: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * Biến đổi biểu thức d-ới dấu * tích phân dạng f (cos x).(cos x)' * Từ hÃy lựa chọn cách đặt ẩn sin xdx sin x(cos x) ' (1  cos x)(cos x) '    cos x  cos x  cos x * Đặt t cos x dt sin xdx phô sin x   cos2 x   t * §ỉi cËn : x   t  1, x  * Thùc hiƯn b-íc ®ỉi cËn?  t   sin xdx (1  t )(dt ) (1  t )dt *I     0  t  cos x 1 1 t2 0 *H·y tÝnh tích phân đà cho? dt dt   1 t  2 Ta thÊy r´ng ®i theo h­íng n¯y lời gii bi ton tự nhiên hơn, v cc em hiểu lại đặt t cos x cách cụ thể so với h-ớng thứ 2.6.3.5 Đối với tích phân có dạng R(sin x, cos x)dx , R hàm hữu tỉ mà R(sin x, cos x ) = - R(sin x,cos x ) ta đặt t sin x  VÝ dô 49 TÝnh tÝch ph©n I   sin10 x cos3 xdx Những hoạt động chủ yếu giáo viên học sinh trình lựa chọn ẩn phụ tính tích phân: Hoạt động giáo viên Hoạt động häc sinh * NhËn xÐt biĨu thøc d-íi dÊu tÝch * Ta thÊy R(sin x,  cos x)   R(sin x,cos x) phân, lựa chọn cách đặt ẩn phụ: nên ta đặt t sin x dt  cos xdx , cos2 x   sin x   t * §ỉi cận tính tích phân? * Đổi cận: x  t  0, x    t 87 Hoạt động giáo viên Hoạt ®éng cđa häc sinh  * TÝnh tÝch ph©n ®· cho? * I   sin x cos xdx   t10 (1  t )dt 10 0  t11 t13       11 13  143 T-¬ng tự nh- trên, toán này, giáo viên dẫn dắt cách khác nh- sau: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * BiÕn ®ỉi biĨu thøc d-íi dÊu tÝch *Ta cã: sin10 x cos3 x  sin10 x(1  sin x)(sin x)' phân dạng f (sin x).(sin x)' * Từ hÃy lựa chọn cách đặt ẩn * §Ỉt t  sin x  dt  cos xdx cos2 x   sin x   t phơ * §ỉi cËn tÝnh tích phân? * Đổi cận: x t  0, x    t  * Tính tích phân đà cho? * I   sin x cos xdx   t10 (1  t )dt 10  t11 t13      11 13 143 2.6.3.6 Đối với tích phân có dạng R(sin x, cos x)dx , R hàm hữu tỉ mà R( sin x,  cos x) = R(sin x,cos x ) th× ta đặt t tan x (hoặc t cot x )  VÝ dơ 50 TÝnh tÝch ph©n I   dx cos x  3sin x Những hoạt động chủ yếu giáo viên học sinh trình lựa chọn ẩn phụ tính tích phân: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * Nhận xét biểu thøc d-íi dÊu * R( sin x,  cos x) = R(sin x,cos x ) nên ta đặt: tích phân, lựa chọn cách đặt 88 Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh ẩn phụ t tan x  dt  * §ỉi cËn tÝnh tÝch phân? * Đổi cận: x t 0, x  dx cos x    dx 14 * I    cos x  3sin x 0 * Tính tích phân đà cho? t  t  1 dt      ln t2   24 t  dx 2  sin x cos x     cos x  3 1 1     ln  24 1  0 Hoàn toàn t-ơng tự nh- ví dụ trên, toán này, giáo viên dẫn dắt cách khác nh- sau: Hoạt động giáo viên * Biến đổi biểu thức d-ới dấu tích phân dạng Hoạt động học sinh * 1  2 cos x  3sin x f(tanx)(tanx)’ * Tõ ®ã h·y lùa chän cách * Đặt t tan x dt đặt ẩn phụ * Đổi cận? 1 tan x  '  sin x   tan x 2 cos x     cos x  dx cos x * §ỉi cËn: x   t  0, x   * TÝnh tÝch phân đà cho? t dx 14   * I  cos x  3sin x 0  t  1 dt     ln t2   24 t  dx 2  sin x cos x     cos x  3 1 1    ln  24 1  0 89 2.7 Kết luận ch-ơng II Trong ch-ơng này, Khoá luận đà đề cập đến số khó khăn, sai lầm th-ờng gặp học sinh THPT giải toán cách đặt ẩn phụ Ch-ơng II sâu vào biện pháp s- phạm cụ thể hoạt động giáo viên nhằm góp phần bồi d-ỡng lực lựa chọn ẩn phụ cho HS THPT việc giải toán Đại số Giải tích Trong phần trình bày nội dung ch-ơng này, Khoá luận đặc biệt quan tâm hình thức dẫn dắt học sinh theo h-ớng tích cực hoá hoạt động ng-ời học phù hợp với lực häc cđa häc sinh, nh»m hiƯn thùc ho¸ viƯc thùc biện pháp s- phạm điều kiện thực tế trình dạy học 90 Ch-ơng III thực nghiệm s- phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm s- phạm đ-ợc tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi tính hiệu việc đặt ẩn phụ giải toán mà khoá luận đà đề xuất; kiểm nghiệm tính đắn Giả thut khoa häc 3.2 Tỉ chøc vµ néi dung thùc nghiƯm 3.2.1 Tỉ chøc thùc nghiƯm Thùc nghiƯm s- ph¹m đ-ợc tiến hành Tr-ờng THPT Lê Hữu Trác I, huyện H-ơng Sơn, tĩnh Hà Tĩnh +) Lớp thực nghiệm: 11A1 +) Lớp đối chứng: 11A3 Cả hai lớp ®Ịu häc Ban Khoa häc tù nhiªn Thêi gian thùc nghiệm đ-ợc tiến hành thời gian tác giả thực tập tr-ờng tức vào khoảng từ ngày 24 tháng 02 đến ngày 12 tháng 04 năm 2008 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy giáo Nguyễn Văn Hùng Giáo viên dạy lớp đối chứng: Cô giáo Nguyễn Thị Thu Hiền Đ-ợc đồng ý Ban Giám hiệu tr-ờng THPT Lê Hữu Trác I, đà tìm hiểu kết học tập lớp khối 11 tr-ờng nhận thấy trình độ chung môn Toán lớp 11A1 11A3 t-ơng đ-ơng Trên sở đó, đề xuất đ-ợc thực nghiệm lớp 11A1 lấy lớp 11A3 làm lớp đối chứng Ban Giám hiệu tr-ờng, thầy (cô) Tổ tr-ởng tổ Toán và thầy (cô) dạy lớp 11A1 11A3 chấp nhận đề xuất tạo điều kiện thuận lợi cho tiến hành thực nghiệm 3.2.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm đ-ợc tiÕn hµnh bi chiỊu (thêi gian ngoµi giê học khoá) với nội dung sử dụng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải toán ph-ơng trình; hệ ph-ơng trình; bất ph-ơng trình; hệ bất ph-ơng trình; chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức hàm số; tìm 91 giới hạn hàm số Mặc dù khoá luận có đề cập đến việc dùng ẩn phụ để tính tích phân toán có liên quan đến hàm số mũ, lôgarit Nh-ng học sinh 11 ch-a học đến tích phân, hàm số mũ, hàm số lôgarit nên ch-a tiến hành thực nghiệm đ-ợc toán liên quan đến tích phân, hàm số mũ, hàm số lôgarit Sau dạy thực nghiệm, cho HS làm kiểm tra Sau nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra (Thời gian 60 phút) Câu I: Giải ph-ơng trình a b x2  3x   x2  3x   (2 ®iĨm) tan x  tan x  tan x  2cot x  cot x  cot x  (2 ®iĨm)  ( x  y ) (1 )5 xy Câu II: Giải hệ ph-ơng tr×nh  ( x  y ) (1  )  49  x2 y (2 ®iĨm) C©u III: Víi x2  y 16 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cđa hµm sè sau: u  x  3 y  (2 ®iĨm) 2x 1  x  (2 ®iĨm) lim x 1 x 1 Câu IV: Tính giới hạn sau: Việc đề kiểm tra nh- hàm chứa dụng ý s- phạm Xin đ-ợc phân tích rõ điều này, đồng thời đánh giá sơ chất l-ợng làm HS Tr-ớc hết, phải nói câu đề kiểm tra không phức tạp mặt tính toán, mục đích dừng lại việc học sinh lựa chọn đ-ợc ẩn phụ áp dụng vào toán Nói cách khác, HS xác định h-ớng giải d-ờng nh- chắn đến kết mà không bị kìm hÃm tính ton rắc rối Điều phần no cho thấy, đề kiểm tra thiên việc kho st t- duy, lực HS kỹ thuật tính toán Đối với câu I a Dụng ý câu kiểm tra xem học sinh biết dùng ẩn phụ chuyển toán ph-ơng trình ẩn x thành hệ ph-ơng trình nhiều ẩn Cụ 92 thể hai ẩn Nếu đặt u x2 3x  ; v  x2  3x  Ta thu đ-ợc hệ u v Hệ học sinh dễ dàng tính đ-ợc tìm kết cuối 2 u v Câu I b Bài kiểm tra học sinh khả biến đổi phát ẩn phụ đặt điều kiện cho Èn phô t  tan x  cot x t   * tan x  cot x  t  *tan x  cot x  (tan x  cot x)  3tan x cot x(tan x  cot x)  t  3t ChuyÓn sang toán t-ơng đ-ơng t t t dễ dàng tìm đ-ợc t suy kết Câu II Bài t-ơng đối đơn giản học sinh biết biến đổi chót 1   ( x  y ) (1  )  x  y   5   xy x y     ( x  y ) (1  )  49  x  y    49   x2 y x2 y Chọn phép đặt ẩn phụ u  x  1 ; u  v  y  ; v  Khi ta đ-ợc hệ x y u v Dễ dàng tìm đ-ợc u,v tứ suy kÕt qu¶  2 u  v 53 Câu III Câu nhằm kiểm tra học sinh có nắm đ-ợc ph-ơng pháp dùng ẩn phụ để l-ợng giác hoá toán hay không? Thông qua dấu hiệu đặc biệt biến số có mặt toán dấu hiệu lại đ-ợc xác định thông qua miền giá trị chúng ta cã (2 x)2  (3x)2  42 Nªn ®Ỉt 2x 3x  cos  ;  sin  ; [0; ] Khi toán trở thành tìm giá trị 4 lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa hµm sè u  4cos   sin Sử dụng bất đẳng thøc quen thuéc sau: b cos   a sin   a  b2 ®Ĩ chøng minh tiÕp 93 Câu IV.Bài nhằm kiểm tra học sinh lực lựa chọn ẩn phụ qua vài b-íc biÕn ®ỉi Ta cã 2x 1  x  2x 1 1 x    x 1 x 1 u4 1 §Ỉt u  x   x   ; v  x   x v5 Đến học sinh cần nhớ đến công thức nhị thức Newton toán phức tạp học sinh dễ dàng tìm đ-ợc kết 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.3.1 Đánh giá định tính Những khó khăn sai lầm HS có liên quan đến việc nắm kiến thức đà đ-ợc học Việc phân tích dụng ý đề kiểm tra nh- đánh giá sơ kết làm bài, thêm lần cho thấy rằng: lực mặt biến đổi, suy luận để dẫn đến cách lựa chọn ẩn phụ nhằm phát biểu đ-ợc toán t-ơng đ-ơng với toán ban đầu HS hạn chế Nhận định đ-ợc rút từ trình học tập, thực tế gia s-, thực tập sphạm tác giả tham khảo ý kiến nhiều giáo viên Toán tr-ờng THPT Khi trình thực nghiệm đ-ợc bắt đầu, quan sát chất l-ợng trả lời câu hỏi nh- giải tËp, cã thĨ nhËn thÊy r»ng: nh×n chung, HS líp đối chứng lớp thực nghiệm vào tình trạng nh- Chẳng hạn, đứng tr-ớc toán sử dụng ẩn phụ để giải toán trở nên gọn nhẹ Tuy nhiên, HS không nhận biết đ-ợc điều thực tế nhiều học sinh giải bình th-ờng cho dù toán giải cồng kềnh, HS không ý thức đ-ợc cần thiết nên đặt ẩn phụ, nên đặt nh- cho thích hợp? giải toán có dùng đến ẩn số phụ, yêu cầu ban đầu biến x đ-ợc bê i xì để áp cho biến m không l-u ý đến quy luật t-ơng ứng hai biến (chẳng hạn nh-, việc tìm a để ph-ơng trình x4 ax2 có nghiệm đ-ợc HS quy về: tìm a để ph-ơng trình t at có nghiệm); Với giáo viên họ ngại dạy cách dẫn dắt tĩ mỉ hoá hoạt động Dẫu biết cách dạy nhiều mang tính áp đặt Cũng vậy, mà hứng thú học tập HS có phần giảm sút HS nhiều không hiểu lại đặt đ-ợc nh- 94 Sau nghiên cứu kỹ vận dụng ph-ơng pháp lựa chọn ẩn phụ đ-ợc xây dựng ch-ơng II vào trình dạy học, giáo viên dạy thực nghiệm có ý kiến rằng: trở ngại, khó khả thi việc vận dụng ph-ơng pháp này; biện pháp, đặc biệt gợi ý cách đặt câu hỏi cách dẫn dắt hợp lí, vừa sức HS; cách hỏi dẫn dắt nh- vừa kích thích đ-ợc tính tích cực, độc lập HS lại vừa kiểm soát đ-ợc, ngăn chặn đ-ợc khó khăn, sai lầm nảy sinh; HS đ-ợc lĩnh hội tri thức ph-ơng pháp trình giải vấn đề Giáo viên hứng thú dùng biện pháp đó, HS học tập cách tích cực hơn, khó khăn sai lầm HS đ-ợc đà giảm nhiều đặc biệt đà hình thành cho HS phong cách t- khác tr-ớc nhiều HS đà bắt đầu ham thích dạng toán mà tr-ớc họ ngại gặp phải thiếu sót sai lầm đứng tr-ớc dạng 3.3.2 Đánh giá định l-ợng Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm (TN) học sinh lớp đối chứng (ĐC) đ-ợc thể thông qua bảng sau: Điểm Tổng 10 §C 0 10 16 15 0 51 TN 0 0 10 25 51 Líp sè bµi Líp thùc nghiệm: Yếu: 2%; Trung bình: 29,4%; Khá: 58,8%; Giỏi: 9,8% Lớp đối chứng: Yếu: 25,5%; Trung bình: 60,8%; Khá: 13,7%; Giỏi: 0% Căn vào kết kiểm tra, b-ớc đầu thấy hiệu biện pháp s- phạm nhằm phát triển cho HS lực lựa chọn ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích bậc THPT 95 3.4 Kết luận chung thực nghiệm Quá trình thực nghiệm với kết rút sau thực nghiệm cho thấy: -Việc dạy học ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích có tác dụng rèn luyện lực giải tập Toán cho học sinh -Việc dạy học ph-ơng pháp rèn luyện cho học sinh khả nhìn nhận toán nh- cách lựa chọn ph-ơng pháp công cụ để giải Toán cách có hiệu -Việc tổ chức dạy học có tác dụng tốt viƯc g©y høng thó häc tËp cho häc sinh, tạo điều kiện phát huy tính tích cực học sinh việc suy nghĩ tìm tòi lời giải toán Nh- vậy, mục đích thực nghiệm đà đ-ợc hoàn thành, tính khả thi hiệu biện pháp đà đ-ợc khẳng định Thực biện pháp góp phần bồi d-ỡng cho học sinh THPT lực lựa chọn ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích bậc THPT, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu dạy học môn Toán Tr-ờng THPT 96 Kết luận Qua trình nghiên cứu đề tài: Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán Đại số Giải tích bậc trung học phổ thông Khoá luận đà thu đ-ợc kết sau đây: - Đà hệ thống hoá quan điểm nhà khoa học V A Krutecxki sơ đồ cấu trúc lực toán học học sinh Khoá luận đà làm sáng tỏ lý luận việc rèn luyện lực giải tập Toán - Đà đề xuất ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải toán, dạng Toán, đồng thời phát triển lực cho HS thông qua dạy học Đại số Giải tích tr-ờng THPT - Đà phần làm sáng tỏ thực trạng việc sử dụng ẩn phụ vào giải Toán học sinh THPT việc dự kiến đ-ợc khó khăn học sinh, đồng thời đ-a đ-ợc hoạt động chủ yếu nhằm dẫn dắt học sinh giải dạng toán dùng yếu tố phụ, nguyên nhân chủ yếu khó khăn giải dạng hạn chế mặt huy động kiến thức cũ, kĩ xác định ph-ơng h-ớng giải Toán - Đà thể đ-ợc biện pháp s- phạm nhằm góp phần phát triển cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích Tr-ờng THPT - Khoá luận đáp ứng đ-ợc yêu cầu hoạt động đổi ph-ơng pháp dạy học: Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t- sáng tạo, linh hoạt ng-ời học Bồi d-ỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí v-ơn lên học sinh - Đà tổ chức thực nghiệm s- phạm để minh họa tính khả thi và hiệu dự kiến hoạt động giáo viên đ-ợc đề cập nhiều khoá luận Nh- vậy, khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đà đ-ợc thực hiện, Nhiệm vụ nghiên cứu đà hoàn thành Giả thuyết khoa học chấp nhận đ-ợc 97 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Vĩnh Cận - Lê Thống Nhất - Phan Thanh Quang, Sai lầm phổ biến giải Toán Nxb Giáo dục, H 1996 [2] Phan Đức Chính - Vũ D-ơng Thuỵ - Đào Tam - Lê Thống Nhất, Các giảng luyện thi môn Toán, Nxb Giáo dục, H 1998 [3] Hoàng Chúng, Rèn luyện khả sáng tạo Toán học Tr-ờng phổ thông, Nxb Giáo dục, H 1969 [4] Hoàng Chúng, Ph-ơng pháp dạy học môn Toán, Nxb Giáo dục, H 1978 [5] Lê Hồng Đức, Ph-ơng pháp giải tự luận trắc nghiệm Toán sử dụng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ, Nxb Giáo dục, H 2007 [6] Lê Hồng Đức - Đào Thiện Khải, Sử dụng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải Toán, Nxb Giáo dục, H 2004 [7] Lê Quốc Hán, ẩn sau định lý Ptôlêmê, Nxb Giáo dục, H 2006 [8] Phạm Văn Hoàn - Nguyễn Gia Cốc - Trần Thúc Trình, Giáo dục học môn Toán, Nxb Giáo dục, H 1981 [9] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải To¸n, Nxb Gi¸o dơc, H 2002 [10] Ngun Th¸i H, Rèn luyện t- qua việc giải tập Toán, Nxb Giáo dục, H 2003 [11] Nguyễn Thái Hoè, Tìm tòi lời giải Toán ứng dụng vào việc dạy Toán - học Toán, Công ty Sách - thiÕt bÞ tr-êng häc NghƯ TÜnh thùc hiƯn 1989 [12] Hoàng Kì, Đại số sơ cấp, Nxb Giáo dục, H 2000 [13] Nguyễn Bá Kim, Ph-ơng pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sphạm, H 2002 [14] Nguyễn Bá Kim - Đinh Nho Ch-ơng - Nguyễn Mạnh Cảng - Vũ D-ơng Thuỵ - Nguyễn Văn Th-ờng, Ph-ơng pháp dạy học môn Toán, phần II, Nxb Giáo dục, H 1994 [15] Luật Giáo dục, Nxb Chính trị Quốc gia, H 1998 [16] Trần Thành Minh - Vũ Thiện Căn - Võ Anh Dũng, Giải toán Đại số sơ cấp, Nxb Giáo dục, H 2000 98 [17] Pôlya G, Giải Toán nh- nào?, Nxb Giáo dục, H 1997 [18] Pôlya G, Sáng tạo Toán học, Tập 1, Nxb Giáo dục, H 1975 [19] Pôlya G, Sáng tạo To¸n häc, TËp 3, Nxb Gi¸o dơc, H 1976 [20] Pôlya G, Toán học suy luận có lý, Nxb Giáo dục, H 1995 [21] Trần Ph-ơng - Lê Hồng Đức, Đại số sơ cấp, Nxb Giáo dục, H 2005 [22] Trần Ph-ơng - Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm th-ờng gặp sáng tạo giải Toán, Nxb Giáo dục, H 2004 [23] Nguyễn Văn Thông - Lê Hữu Dũng, Bất đẳng thức, Nxb Hồ Chí Minh, 2001 [24] Nguyễn Văn Thuận, Góp phần phát triển lực t- lôgic sử dụng xác ngôn ngữ Toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ Gi¸o dơc häc, Vinh 2004 ... hiƯn thùc ho¸ trình dạy học Cấu trúc khoá luận Mở đầu Ch-ơng I Cơ sở lý luận Ch-ơng II Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán Đại số Giải tích bậc THPT Ch-ơng III Thực... l¯ Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán Đại số Giải tích bậc THPT, nên hot động chủ yếu GV HS mà trình bày hầu nh- dừng lại sau HS đà biết lựa chọn biểu thức để. .. d-ỡng lực suy đoán, lực tìm tòi ph-ơng pháp giải toán Đề tài Khoá luận tập trung chủ yếu vào việc góp phần bồi d-ỡng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc xây dựng quy trình giải số toán Đại số