Tài liệu bài tập đại số đại cương

Lời nói đầu Để đáp ứng nhu cầu học tập sinh viên ngày nâng cao, biên soạn tài liệu “Đại số đại cương” dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toán trường Đại học An Giang Trong tài liệu chúng tơi đưa vào khối lượng lớn tập đa dạng phong phú Để giúp sinh viên có tài liệu hồn chỉnh học tập mơn Đại số đại cương, biên soạn “Bài tập đại số đại cương” Tài liệu “Bài tập Đại số đại cương” gồm có ba phần: Phần I Tóm tắt lý thuyết đề Phần II Lời giải hướng dẫn Phần III Giới thiệu số đề thi Cao học Mỗi phần (I II) gồm năm chương: • Chương 1: Nửa nhóm nhóm; • Chương 2: Vành trường; • Chương 3: Vành đa thức; • Chương 4: Vành vành Euclide; • Chương 5: Đa thức trường số Thứ tự chương trình bày theo thứ tự tài liệu “Đại số đại cương” nhằm giúp bạn đọc dễ sử dụng Hầu hết tập tài liệu “Bài tập đại số đại cương” chúng tơi trình bày lời giải tương đối chi tiết nhằm giúp sinh viên dễ dàng việc củng cố lý thuyết giải i tập tương tự So với tài liệu “Đại số đại cương” tài liệu chúng tơi có đưa thêm số tập nhằm giúp người đọc tham khảo sâu nội dung đề cập lý thuyết Ngồi cịn có số tập tuyển chọn từ đề thi Cao học môn Đại số sở số trường Đại học Sư phạm nước nhằm giúp sinh viên có điều kiện để ơn tập thi vào lớp Cao học Phần III giới thiệu số đề thi Cao học trường: Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Đại học Huế Một lời khuyên sinh viên giải tập tài liệu không nên lệ thuộc vào phần lời giải có sẵn tài liệu, mà trước hết tự cố gắng tìm tịi lời giải, sau so sánh giải với giải tài liệu nhằm rút kinh nghiệm giải tốn Có tài liệu thực có ích học mơn Đại số đại cương Khi viết tài liệu chúng tơi có tham khảo số tài liệu tác giả Hồng Xn Sính; Nguyễn Tiến Quang; Bùi Huy Hiền; Mỵ Vinh Quang; Trần Huyên số tác giả khác liệt kê trang cuối tài liệu Nhân dịp chúng tơi tỏ lịng biết ơn tác giả nói Cuối cùng, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu cho nội dung hình thức trình bày tài liệu bạn đồng nghiệp Bộ mơn Tốn Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm bạn sinh viên để sách hồn chỉnh tốt An Giang, tháng 06 năm 2013 Tác giả ii Mục lục Lời nói đầu i I TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ ĐỀ BÀI Chương NỬA NHÓM VÀ NHÓM A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B BÀI TẬP Chương VÀNH VÀ TRƯỜNG 11 27 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 27 B BÀI TẬP 35 Chương VÀNH ĐA THỨC 48 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 48 B BÀI TẬP 55 Chương VÀNH CHÍNH VÀ VÀNH EUCLIDE 62 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 62 B BÀI TẬP 66 iii Chương ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG SỐ 74 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 74 B BÀI TẬP 80 LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 85 Chương NỬA NHÓM VÀ NHÓM 87 Chương VÀNH VÀ TRƯỜNG 129 Chương VÀNH ĐA THỨC 163 Chương VÀNH CHÍNH VÀ VÀNH EUCLIDE 195 Chương ĐA THỨC TRÊN CÁC TRƯỜNG SỐ 221 MỘT SỐ ĐỀ THI CAO HỌC MÔN ĐẠI SỐ 247 TÀI LIỆU THAM KHẢO 269 II iv Phần I TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ ĐỀ BÀI Chương NỬA NHÓM VÀ NHÓM A TÓM TẮT LÝ THUYẾT NỬA NHĨM 1.1 Phép tốn hai ngơi Định nghĩa Một phép tốn hai ngơi tập hợp X ánh xạ T :X ×X →X (x, y) → T (x, y) Định nghĩa Một tập A X gọi ổn định phép toán hai T X với x, y ∈ A xT y ∈ A Nếu phép tốn T ổn định A T :A →A (x, y) → xT y ánh xạ, phép tốn A Phép tốn tập A gọi phép toán cảm sinh phép toán T X Định nghĩa Phép tốn hai ngơi T tập hợp X gọi có tính chất kết hợp với x, y, z ∈ X (xT y) T z = xT (yT z) , gọi có tính chất giao hốn với x, y ∈ X xT y = yT x Định nghĩa Một phần tử e ∈ X gọi đơn vị trái (đơn vị phải) phép toán hai T X với x ∈ X eT x = x (xT e = x) Nếu e vừa đơn vị phải vừa đơn vị trái e gọi đơn vị phần tử trung hịa phép tốn hai ngơi Định lý Nếu e1 đơn vị trái e2 đơn vị phải phép tốn hai ngơi T X e1 = e2 Hệ Một phép tốn hai ngơi tập hợp có nhiều phần tử trung hịa Định nghĩa Cho T phép tốn hai ngơi X có phần tử trung hịa e Phần tử x ∈ X (x ∈ X) gọi phần tử đối xứng trái (đối xứng phải) x x T x = e(xT x = e) Phần tử x gọi phần tử đối xứng x x vừa phần tử đối xứng trái vừa phần tử đối xứng phải x, tức là: x T x = xT x = e Nếu x có phần tử đối xứng x gọi phần tử khả đối xứng Định lý Nếu phép toán T X kết hợp, x phần tử đối xứng trái x, x phần tử đối xứng phải x x = x Hệ Nếu phép tốn T X kết hợp phần tử đối xứng phần tử (nếu có) 1.2 Nửa nhóm Định nghĩa Cho tập hợp X với phép tốn hai ngơi xác định X gọi nửa nhóm phép tốn có tính chất kết hợp Nếu phép tốn X có phần tử trung hịa X gọi vị nhóm Nếu phép tốn có tính chất giao hốn X gọi nửa nhóm giao hốn hay nửa nhóm abel Định nghĩa Cho X nửa nhóm, x1 , x2 , , xn phần tử X Ta gọi tích ba phần tử x1 , x2 , x3 ký hiệu x1 x2 x3 xác định sau: x1 x2 x3 = (x1 x2 )x3 = x1 (x2 x3 ) Một cách tổng quát tích n phần tử x1 , x2 , , xn x1 x2 · · · xn = (x1 x2 · · · xn−1 )xn , với n ≥ Định lý Giả sử x1 , x2 , , xn n (n ≥ 3) phần tử nửa nhóm X x1 x2 · · · xn = (x1 · · · xi ) (xi+1 · · · xj ) · · · (xm+1 · · · xn ) Định nghĩa Trong nửa nhóm X, lũy thừa bậc n (n ∈ N∗ ) phần tử a ∈ X tích n phần tử a, ký hiệu an Khi am an = am+n , (am )n = amn Trường hợp X nửa nhóm giao hốn (ab)n = an bn với a, b ∈ X Nếu phép tốn hai ngơi X ký hiệu dấu cộng (+) tổng n phần tử a gọi bội n a, ký hiệu na Lúc quy tắc viết ma + na = (m + n)a, n(ma) = (nm)a X nửa nhóm giao hốn n(a + b) = na + nb Định lý Nếu X nửa nhóm giao hốn tích x1 x2 · · · xn không phụ thuộc vào thứ tự nhân tử NHĨM 2.1 Nhóm Định nghĩa Cho X nửa nhóm, X gọi nhóm thỏa mãn điều kiện sau: a) X vị nhóm b) Với phần tử x ∈ X, tồn x ∈ X cho xx = x x = e, với e phần tử đơn vị X Nói cách khác, nửa nhóm X gọi nhóm X vị nhóm phần tử X có phần tử đối xứng X Nếu tập hợp X hữu hạn ta bảo X nhóm hữu hạn số phần tử X gọi cấp nhóm Nếu X vơ hạn, ta bảo X nhóm vơ hạn Nếu phép tốn X giao hốn X gọi nhóm giao hốn hay nhóm abel Khi X có cấp n ta viết |X| = n Định lý Cho X nhóm Thế a) Phép tốn X có phần tử đơn vị b) Mỗi phần tử X có phần tử đối xứng Định lý Trong nhóm, luật giản ước ln ln thực hiện, nghĩa đẳng thức xy = xz(yx = zx) kéo theo đẳng thức y = z Định lý Một nửa nhóm X nhóm hai điều kiện sau thỏa mãn a) X có đơn vị trái e b) Với x ∈ X, có x ∈ X cho x x = e Định lý Với x, y hai phần tử nhóm X, ta có (xy)−1 = y −1 x−1 Định lý Một nửa nhóm khác rỗng X nhóm phương trình ax = b ya = b có nghiệm X với a, b ∈ X 2.2 Nhóm Định nghĩa Một tập ổn định A nhóm X gọi nhóm X A với phép tốn cảm sinh nhóm b) Nếu I ∩ J ideal nguyên tố khác khơng I = J ∞ c) Nếu an , a ∈ A, ideal tối đại A trường n=1 Câu Cho G nhóm cyclic Chứng minh rằng: a) Nếu G có cấp vơ hạn G đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên Z G có hai phần tử sinh b) Khơng tồn G có 2009 phần tử sinh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội - Năm 2010 Câu Cho f g phép biến đổi tuyến tính khơng gian Rn , n ≥ Chứng minh rằng: a) rank(f + g) ≤ rank(f ) + rank(g), rank(ϕ) = dim(Im(ϕ)) với ánh xạ tuyến tính ϕ b) Nếu f = f Rn = Im(f ) ⊕ Ker(f ) Câu Cho đa thức f (x) = a + bx + cx2 , a, b, c ∈ R ma trận   a b c A= c a b  b c a √ −1 + i a) Chứng minh |A| = f (1)f (α)f (α ), α = b) Tìm giá trị riêng trường số phức A2 c) Chứng minh khơng có ma trận vng B cấp ba để AB − BA ma trận đơn vị Câu Cho Q trường số hữu tỉ a) Chứng minh hai nhóm khác {0} nhóm cộng (Q, +) có giao khác {0} 255 b) Giả sử I tập hợp gồm đa thức khơng tất đa thức có hạng tử tự không vành Q [x, y] Chứng minh I ideal Q [x, y] Q [x, y]/I Q Câu a) Ký hiệu ϕ(n) số số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n Giả sử G nhóm cyclic cấp m n ước nguyên dương m Chứng minh G có ϕ(n) phần tử cấp n b) Cho G nhóm có cấp thỏa mãn phần tử khác phần tử đơn vị có cấp Tìm tất nhóm G 10 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội - Năm 2011 - Đợt Câu 1) Gọi Pn tập hợp gồm đa thức không tất đa thức biến với hệ số thực có bậc nhỏ n Chứng minh Pn với phép nhân số với đa thức phép cộng hai đa thức làm thành không gian vectơ trường số thực 2) Hãy sở tính số chiều khơng gian Pn 3) Chứng minh phép lấy đạo hàm d : Pn → Pn cho d(f (x)) = f (x) ánh xạ tuyến tính 4) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính d sở câu 2) 5) Tìm giá trị riêng vectơ riêng ánh xạ tuyến tính d Câu Giải hệ phương trình tuyến tính sau:   x1 + 2x2 + x3 − x4 + x5 = 2x1 − x2 + x3 + x4 + x5 =  x1 − x2 + 3x3 − 2x4 − x5 = Câu Cho m, n hai số nguyên dương Chứng minh nhóm cộng Zmn đẳng cấu với nhóm cộng Zm ⊕ Zn m, n nguyên tố Câu Hãy tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp đến nhóm cyclic cấp 18 256 Câu Chứng minh phận A = trường trường số thực R √ √ a + b + c a, b, c ∈ Q 11 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2004 - Đợt Câu Cho A nhóm abel với phần tử đơn vị e Với số tự nhiên n (n ≥ 1), ký hiệu An = {x ∈ A|xn = e} Chứng minh rằng: a) An nhóm A b) Nếu (m, n) = An ∩ Am = {e} Câu a) Chứng minh nhóm nhóm cyclic nhóm cyclic b) Cho G nhóm có nhóm Chứng minh G nhóm cyclic cấp p2 với p số nguyên tố Câu Cho X vành giao hốn có đơn vị, phần tử x ∈ X gọi phần tử lũy linh tồn số tự nhiên n (n ≥ 1) cho xn = Chứng minh: a) Tổng hai phần tử lũy linh phần tử lũy linh b) Tổng phần tử khả nghịch với phần tử lũy linh phần tử lũy linh Câu Cho p(x) = x3 + 2x + ∈ Q[x], α ∈ C nghiệm p(x) Gọi I = p(x) ideal Q[x] sinh p(x) a) Chứng minh Q [α] = {a0 + a1 α + a2 α2 |a0 , a1 , a2 ∈ Q} vành vành C số phức b) Chứng minh vành thương Q[x]/I đẳng cấu với Q [α] c) Q [α] có trường khơng? Vì sao? 12 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2004 - Đợt Câu Cho A vành giao hốn có đơn vị 257 a) Định nghĩa ideal tối đại vành A b) Cho M ideal A Chứng minh M ideal tối đại A/M trường c) Cho M ideal A Chứng minh với x ∈ M, + x khả nghịch A M ideal tối đại A Câu 1) Cho G nhóm có 2n phần tử H nhóm G có n phần tử Chứng minh với x ∈ G x2 ∈ H 2) Trong nhóm đối xứng S4 (nhóm phép bậc 4), xét tính chuẩn tắc nhóm cyclic sinh vịng xích độ dài Câu Trong trường số hữu tỉ Q xét tập A= m |m, n ∈ Z; n = 2k + n a) Chứng minh A vành Q b) Tìm phần tử khả nghịch vành A c) Chứng minh A vành Câu Xét đa thức f (x) = x3 + x + ∈ Q[x] 1) Chứng minh f (x) bất khả quy Q[x] 2) Gọi α nghiệm thực f (x) (nghiệm thực nhất) Đặt K = {aα2 + bα + c|a, b, c ∈ Q} a) Chứng minh ánh xạ ϕ : Q[x] → R g(x) → g(α) đồng cấu vành b) Tìm Ker ϕ c) Chứng minh K trường 258 13 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005 - Đợt Câu Ký hiệu G tập số phức khác −1, G ta định nghĩa phép toán sau: ∀a, b ∈ G, a ∗ b = a + b + ab a) Chứng minh (G, ∗) nhóm b) Tìm tất nhóm cấp G a) Cho X nhóm nhân, a ∈ X có cấp n cho k ước dương n n Chứng minh ak có cấp k b) Chứng minh nhóm có nhóm nhóm cyclic cấp p2 với p số nguyên tố Câu Câu Cho A vành giao hốn có đơn vị, với a ∈ A, ký hiệu A(a) = {x ∈ A|ax = 0} a) Chứng minh A(a) ideal A b) Tính số phần tử A(a), trường hợp a = 126, A = Z180 √ √ √ Câu Cho Q = a + b + c 4|a, b, c ∈ Q √ a) Chứng minh Q vành trường số thực R √ b) Tìm tất tự đồng cấu vành Q √ c) Chứng minh Q trường trường số thực R 14 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005 - Đợt Câu 1) Cho G nhóm abel hữu hạn có cấp mn, với (m, n) = Đặt A = {x ∈ G|xm = e} , B = {x ∈ G|xn = e} , (e phần tử đơn vị nhóm) Chứng minh A B hai nhóm G thỏa A ∩ B = {e} AB = G 259 2) Cho G nhóm có 2n phần tử Chứng minh G có phần tử cấp Câu Xét vành tích Z2 = Z × Z với phép cộng phép nhân theo thành phần a) Cho I ideal Z2 Đặt I1 = {a ∈ Z|(a, 0) ∈ I} ; I2 = {b ∈ Z|(0, b) ∈ I} Chứng minh I1 , I2 ideal Z b) Chứng minh Z2 khơng phải vành ideal ideal Câu Cho f (x) = 1x4 + ∈ K[x], K trường với đơn vị Hãy xét tính bất khả quy f (x) trường hợp sau: a) K = Q b) K = Z3 c) K = Z5 √ Câu Cho số phức α = −1 + i đồng cấu vành ϕ : R[x] → C xác định f (x) → f (α) Chứng minh ϕ toàn ánh suy C R[x]/ x2 + 2x + 15 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2006 Câu a) Cho X nhóm hữu hạn a phần tử nhóm X, a có cấp n n Chứng minh phần tử ak có cấp ((n, k) (n, k) ước chung lớn n k) b) Tính số phần tử có cấp 125 nhóm cyclic cấp 1000 Câu Cho G nhóm abel cấp vơ hạn nhóm thương thực G có cấp hữu hạn (nhóm thương thực G nhóm thương G/H với H nhóm khác nhóm đơn vị G) Chứng minh rằng: 260 a) Mọi phần tử khác đơn vị G có cấp vơ hạn G nhóm hữu hạn sinh b) G nhóm cyclic Câu Cho K = a b √ + i 3|a + b = 2k; a, b, k ∈ Z 2 a) Chứng minh K vành trường số phức C b) Tìm tất tự đẳng cấu vành K Câu Cho A vành giao hốn, có đơn vị Chứng minh điều kiện sau tương đương: a) A trường b) A[x] vành Euclide Câu Tìm phần dư phép chia đa thức x2007 cho đa thức x3 − 2x2 + x − 16 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2006 Câu Xét miền nguyên Z[i] = {a + bi|a, b ∈ Z} a) Chứng minh Z[i] vành Euclide b) Tìm thương dư chia cho + 2i theo phép chia Euclide Z[i] Câu Cho G nhóm Biết ánh xạ ϕ:G →G x → x3 tồn cấu nhóm Chứng minh rằng: a) ϕ(xzx−1 ) = xϕ(z)x−1 , với x, z ∈ G b) x2 y = yx2 , với x, y ∈ G 261 c) G nhóm abel Câu Cho A vành có đơn vị khác Biết a2 = a với a ∈ A Chứng minh rằng: a) A vành giao hoán b) Nếu A miền nguyên A trường c) Mọi ideal nguyên tố A ideal tối đại d) Mọi ideal hữu hạn sinh A ideal Câu 1) Cho hai đa thức p(x), q(x) ∈ R[x] Biết đa thức p(x3 ) + xq(x3 ) chia hết cho đa thức x2 + x + Chứng minh hai đa thức p(x), q(x) chia hết cho đa thức x − 2) Cho đa thức f (x) = ¯1x3 + ¯2x2 + ¯1x + ¯1 ∈ Zn [x] Hãy phân tích f (x) thành nhân tử bất khả quy trường hợp sau: a) n = b) n = 17 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2006 Câu Cho p số nguyên tố, ký hiệu G tập số phức x cho tồn n số tự nhiên n để xp = Chứng minh rằng: a) G nhóm nhóm nhân C∗ số phức khác khơng b) Nhóm G vơ hạn khơng nhóm cyclic c) Mọi nhóm thực G (nhóm khác G) nhóm cyclic Câu Chứng minh: 1) Nhóm cộng số thực đẳng cấu với nhóm nhân số thực dương 2) Nhóm cộng số hữu tỉ khơng đẳng cấu với nhóm nhân số hữu tỉ dương 262 Câu Cho A vành giao hốn có đơn vị Ký hiệu N (A) = {x ∈ A|∃n ∈ N∗ |xn = 0} (tập phần tử lũy linh vành A) a) Chứng minh N (A) ideal A b) Tìm tập ước khơng vành A tìm N (A) với A = Z24 Câu Cho Z[i] = {a + bi|a, b ∈ Z} a) Chứng minh Z[i] vành Euclide b) Giả sử I = ideal sinh ∈ Z[i] Chứng minh vành thương Z[i]/I trường c) Tính số phần tử trường Z[i]/I 18 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2010 - Đợt Câu Cho G nhóm a, b hai phần tử tùy ý nhóm G a) Chứng minh ab có cấp m ba có cấp n m = n b) Giả thiết thêm ab = ba, cấp a b số r s nguyên tố Chứng minh cấp ab rs Câu Cho A nhóm nhóm X Giả sử tập hợp thương X/A có hai phần tử Chứng minh A nhóm chuẩn tắc X Câu Cho d = d = 11 Chứng minh: √ √ a) Bộ phận Q d = a + b d|a, b ∈ Q trường trường số thực R √ √ b) Các trường Q Q 11 không đẳng cấu với Câu Cho vành X thỏa mãn x2 = x với phần tử x ∈ X Chứng minh phép nhân vành X giao hoán m Câu Xét tập A gồm tất số hữu tỉ với n số lẻ Chứng minh n A miền ngun có ideal ideal 263 19 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2010 - Đợt Câu Trên tập X = R\ {−1} ta xác định phép toán sau: ∀x, y ∈ X, x ∗ y = x + y + xy Chứng minh rằng: a) (X; ∗) nhóm abel b) A = {x ∈ R|x > −1} nhóm X c) Mơ tả nhóm thương X/A Câu Cho X miền nguyên với đơn vị e e có cấp n Chứng minh rằng: a) n số nguyên tố b) Với số nguyên m cho trước, A = {mx|x ∈ X} ideal X c) Mô tả vành thương X/A tùy theo giá trị m Câu Trong vành A cho phần tử a, b, c cho a b; a c (b, c) = Chứng minh a bc Câu a) Cho A vành Euclide không trường Chứng minh δ(A∗ ) có khơng ba giá trị khác b) Xét tính bất khả quy đa thức x3 + a ∈ Z7 [x] tùy theo giá trị a ∈ Z7 20 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2011 Câu Cho G = a |a ∈ Z a) Chứng minh G nhóm phép nhân ma trận 264 b) Chứng minh G nhóm cyclic Tìm tất phần tử sinh nhóm G Câu 1) Cho X nhóm hữu hạn f : X → Y đồng cấu nhóm Chứng minh rằng: a) Với x ∈ X, cấp x chia hết cho cấp f (x) b) Cấp X chia hết cho cấp Im f 2) Mô tả tất đồng cấu nhóm từ nhóm cộng Z21 đến nhóm cộng Z40 Câu Trong vành Z[x] xét tập I = f (x) ∈ Z[x]|f (0) Chứng minh rằng: a) I ideal vành Z[x] b) I ideal sinh hai phần tử x c) Vành thương Z[x]/I trường Tính số phần tử trường Câu Phân tích đa thức x8 − thành tích đa thức bất khả quy Q[x] R[x] 21 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2009 Câu Xét nhóm nhân G = H= a b a−1 b |a, b ∈ R, a > Đặt |b ∈ R Chứng minh rằng: a) H nhóm chuẩn tắc G b) G/H R, R nhóm cộng số thực 265 Câu Chứng minh G nhóm có nhiều phần tử khơng có nhóm thực ngồi {e} G nhóm cyclic cấp nguyên tố Câu Cho đồng cấu vành f : R → R Đặt A = {x ∈ R|f (x) = x} a) Chứng minh A vành vành R b) A có phải ideal vành R hay không? Câu a) Xét vành Zn số nguyên đồng dư theo mơ-đun n Tìm điều kiện k ∈ N để ánh xạ f : Zn → Zn định f (¯ x) = k¯ x đồng cấu vành b) Mô tả tất tự đồng cấu vành Zp với p số nguyên tố Câu Cho đa thức f (x) = x5 − x4 − 12x3 + 11x2 + 42x − a) Chứng minh f (x) có nghiệm hữu tỉ x0 b) Đặt f (x) = (x−x0 )g(x) Viết khai triển Taylor g(x) x = c) Phân tích f (x) thành tích đa thức bất khả quy Q 22 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2010 Câu Cho nhóm nhân số phức khác khơng (C∗ , ·) Đặt: H = {z ∈ C| |z| = 1} = z = eit |t ∈ R a) Chứng minh H nhóm C∗ nhóm thương C∗ /H đẳng cấu với nhóm nhân số thực dương b) Tìm cấp phần tử z z ∈ C∗ \H Nếu z = eit ∈ H cấp z hữu hạn với giá trị t? c) Cho K nhóm C∗ biết |K| = n (n nguyên dương) P = {z ∈ C|z n = 1} Chứng minh K = P d) Cho G nhóm C∗ với [C∗ : G] = n (n nguyên dương) Chứng minh: C∗ = {wn |w ∈ C} G = C∗ 266 Câu Cho vành (R, +, ) có đơn vị phải e a) Với x ∈ R, đặt y = ex − x + e Chứng minh y = e e phần tử đơn vị (R, +, ) b) Đặt U (R) = {x ∈ R|∃¯ x ∈ R : x x = xx = e} Giả sử a ∈ U (R), b ∈ R cho ab = ba có số nguyên k ≥ thỏa bk = Chứng minh a b = ba a − b ∈ U (R) Câu Với x, y ∈ R+ = (0, +∞), đặt x ∨ y = xy x ∧ y = xln y Chứng minh (R+ , ∨, ∧) trường trường đẳng cấu với trường số thực R Câu Phân tích đa thức sau thành tích đa thức bất khả quy R: a) x4 + x2 + b) x4 − x2 + c) x12 − 23 Trường Đại học Huế - Năm 2011 Câu a) Cho V không gian vectơ trường F cho V = U ⊕ W, U W khơng gian V Cho ψ : U → W ánh xạ tuyến tính, ký hiệu U1 = {x + ψ(x)|x ∈ U } Chứng minh U1 không gian V, U1 U V = U1 ⊕W b) Cho U, V, W không gian vectơ trường F, ϕ : V → W ψ : W → U hai ánh xạ tuyến tính cho ψ ◦ ϕ đẳng cấu Chứng minh W = Im ϕ ⊕ Ker ψ Câu a) Cho ma trận   11 −5 A =  −5 −3  ∈ M3 (R) −3 Hãy chéo hóa ma trận A Từ tìm ma trận B ∈ M3 (R) cho B = A 267 b) Cho dạng toàn phương H = x21 + x22 + 2x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương H dạng tắc, viết cơng thức đổi biến, số quán tính ma trận H trước sau biến đổi Câu Cho G nhóm hg : G → G ánh xạ với g ∈ G, xác định hg (x) = gxg −1 Ký hiệu Aut(G) = {f : G → G|f đẳng cấu}, Inn(G) = {hg |g ∈ G} Chứng minh rằng: a) hg tự đẳng cấu G, Aut(G) nhóm với phép tốn hợp thành Inn(G) nhóm chuẩn tắc Aut(G) b) C(G) = {a ∈ G|ax = xa, ∀x ∈ G} nhóm chuẩn tắc G (gọi tâm nhóm G) G/C(G) Inn(G) Câu a) Tìm nghiệm phức đa thức f (x) = (1 − x2 ) +8x3 Phân tích đa thức f (x) thành tích đa thức bất khả quy với hệ số thực b) Cho n ∈ N, n = θ ∈ R Tìm phần dư phép chia Euclide (cos θ + x sin θ)n cho x2 + C[x], với C trường số phức 268 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Huy Hiền 2005 Bài tập đại số đại cương Hà Nội: NXB Giáo dục [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng 1999 Đại số đại cương Hà Nội: NXB Giáo dục [3] Hoàng Kỳ – Vũ Tuấn 1978 Bài tập toán cao cấp Hà Nội: NXB Giáo dục [4] Ngô Thúc Lanh 1986 Đại số số học, tập Hà Nội: NXB Giáo dục [5] Nguyễn Tiến Quang 2008 Đại số đại cương Hà Nội: NXB Giáo dục [6] Mỵ Vinh Quang 1999 Bài tập đại số đại cương TP Hồ Chí Minh: Chi nhánh NXB Giáo dục [7] Hồng Xn Sính 1997 Đại số đại cương Hà Nội: NXB Giáo dục [8] Trần Huyên 2005 Tài liệu ôn thi Cao học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh [9] S Lang 1974 Algebra, Columbia University, New York (Phần I dịch tiếng Việt) Hà Nội: NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp 269 .. .tập tương tự So với tài liệu ? ?Đại số đại cương? ?? tài liệu chúng tơi có đưa thêm số tập nhằm giúp người đọc tham khảo sâu nội dung đề cập lý thuyết Ngồi cịn có số tập tuyển chọn... giải, sau so sánh giải với giải tài liệu nhằm rút kinh nghiệm giải tốn Có tài liệu thực có ích học mơn Đại số đại cương Khi viết tài liệu chúng tơi có tham khảo số tài liệu tác giả Hồng Xn Sính; Nguyễn... học môn Đại số sở số trường Đại học Sư phạm nước nhằm giúp sinh viên có điều kiện để ơn tập thi vào lớp Cao học Phần III giới thiệu số đề thi Cao học trường: Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư