Đại số tuyến tính tài liệu giảng dạy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH PHẠM MỸ HẠNH AN GIANG, THÁNG 11 NĂM 2014 Tài liệu giảng dạy “Đại số tuyến tính” tác giả Phạm Mỹ Hạnh, cơng tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày 21 tháng 10 năm 2014 Tác giả biên soạn Ths Phạm Mỹ Hạnh Trưởng đơn vị Trưởng Bộ môn Hiệu trưởng AN GIANG, THÁNG 11 NĂM 2014 LỜI CẢM TẠ Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô mơn Tốn, khoa Sư phạm nhiệt tình đọc thảo tài liệu đóng góp nhiều ý kiến quý báu để tài liệu ngày hoàn thiện Long Xuyên, ngày 14 tháng 11 năm 2014 Người thực PHẠM MỸ HẠNH LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan tài liệu giảng dạy riêng tơi Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng Long Xuyên, ngày 14 tháng 11 năm 2014 Người biên soạn PHẠM MỸ HẠNH LỜI NÓI ĐẦU Đại số Tuyến tính mơn học Tốn cao cấp có nhiều giáo trình, tài liệu biên soạn nội dung Đây nguồn tư liệu học tập tham khảo bổ ích cho sinh viên giảng viên Đối với trường Đại học An Giang, Đại số Tuyến tính chia thành hai học phần Đại số Tuyến tính Đại số Tuyến tính giảng dạy học kỳ cho sinh viên năm thứ nhất, năm thứ hai thuộc ngành Sư phạm Toán Đây môn học làm tiền đề cho môn học Tuy nhiên, sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp học bậc đại học tiếp cận số khái niệm mới, trừu tượng môn học nên gặp khơng khó khăn Vì thế, tài liệu biên soạn với mong muốn góp phần phục vụ tốt cho việc học tập sinh viên Thông qua nội dung chương tập áp dụng, sinh viên hệ thống kiến thức Đại số Tuyến tính Theo tác giả, muốn nắm vững kiến thức môn học này, sinh viên cần hiểu rõ khái niệm bản, trình bày ví dụ cụ thể giải nhiều dạng tập để củng cố thêm kiến thức Dựa chương trình khung ngành Sư phạm Tốn chương trình chi tiết mơn Đại số Tuyến tính tài liệu bố cục thành chương sau: Chương Tập hợp – Ánh xạ - Quan hệ - Phép - Số phức – Logic Chương Ma trận Định thức Chương Hệ phương trình tuyến tính Chương Khơng gian vectơ Chương Ánh xạ tuyến tính Chương Chéo hóa ứng dụng– Dạng chuẩn tắc Jordan Chương Dạng song tuyến tính – Dạng tồn phương Chương Không gian Euclide Chương Không gian Unita Chương 10 Một số nội dung Hình học Giải tích Mặc dù q trình biên soạn, thân tác giả có nhiều cố gắng, không tránh khỏi mặt hạn chế thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến góp ý quý báu quý đồng nghiệp sinh viên để tài liệu ngày hoàn chỉnh Xin chân thành cám ơn./ MỤC LỤC CHƢƠNG TẬP HỢP - ÁNH XẠ - QUAN HỆ - PHÉP THẾ - SỐ PHỨC – LOGIC 1.1 Tập hợp phép toán tập hợp 01 1.2 Ánh xạ - Các dạng ánh xạ đặc biệt – Các phép toán ánh xạ 07 1.3 Phép 19 1.4 Quan hệ hai 24 1.5 Số phức 29 1.6 Một số nội dung logic toán 35 CHƢƠNG MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 2.1 Ma trận phép toán ma trận 52 2.2 Định thức, tính chất phƣơng pháp tính định thức 70 2.3 Hạng ma trận phƣơng pháp tìm hạng ma trận 89 2.4 Ma trận nghịch đảo 95 CHƢƠNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Các khái niệm hệ phƣơng trình tuyến tính 111 3.2 Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính 116 3.3 Giải biện luận hệ phƣơng trình tuyến tính tổng qt 125 3.4 Phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo cách 132 giải hệ phƣơng trình CHƢƠNG KHƠNG GIAN VECTƠ 4.1 Khơng gian vectơ – Không gian vectơ 141 4.2 Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hệ vectơ 146 4.3 Hệ sinh, sở, số chiều không gian vectơ 153 4.4 Tọa độ vectơ sở - Công thức đổi tọa độ 161 4.5 Cách tìm sở số khơng gian đặc biệt 171 4.6 Tổng tổng trực tiếp không gian con, 177 giao không gian CHƢƠNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Ánh xạ tuyến tính – Phép biến đổi tuyến tính 191 5.2 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 194 5.3 Ma trận biểu diễn biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 198 5.4 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 210 5.5 Đơn cấu, tồn cấu đẳng cấu 215 5.6 Nghiên cứu ánh xạ tuyến tính thơng qua ma trận 220 biểu thức tọa độ CHƢƠNG CHÉO HÓA VÀ ỨNG DỤNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN 6.1 Chéo hóa ma trận chéo hóa tốn tử tuyến tính 228 6.2 Khơng gian bất biến 249 6.3 Đa thức cực tiểu 251 6.4 Một số ứng dụng chéo hóa 254 6.5 Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận 265 6.6 Phép biến đổi lũy linh 268 CHƢƠNG DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TỒN PHƢƠNG 7.1 Dạng song tuyến tính 277 7.2 Dạng tồn phƣơng 284 CHƢƠNG KHÔNG GIAN EUCLIDE 8.1 Một số khái niệm không gian Euclide 302 8.2 Cơ sở trực giao sở trực chuẩn không gian Euclide 305 8.3 Ma trận trực giao phép biến đổi trực giao 312 8.4 Ma trận Gram phần bù trực giao không gian vectơ 316 8.5 Phép biến đổi đối xứng chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 319 8.6 Phƣơng pháp giá trị riêng để tìm dạng tắc 323 dạng tồn phƣơng CHƢƠNG KHƠNG GIAN UNITA 9.1 Một số khái niệm không gian Unita 329 9.2 Phép biến đổi tuyến tính liên hợp - Phép biến đổi tuyến tính 331 tự liên hợp 9.3 Phép biến đổi unita – Ma trận unita 335 9.4 Phép biến đổi đối xứng – Phép biến đổi đối xứng lệch 339 CHƢƠNG 10 MỘT SỐ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 10.1 Đƣờng thẳng mặt phẳng 346 10.2 Đƣờng bậc hai 355 10.3 Mặt bậc hai 374 DANH SÁCH HÌNH Hình Biểu diễn dạng đại số số phức mặt phẳng phức Hình Dạng lượng giác số phức Hình Hình ellipse parabola Hình Các mặt hypeboloic tầng, hyperboloic hai tầng, mặt ellipsoid, mặt paraboloic, mặt hyperboloic paraboloid BNG Kí HIU Ơ , Â, Ô , Ă , £ Tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức a Ỵ A (b Ï A ) Phần tử a thuộc tập hợp A (Phần tử b khơng thuộc tập hợp A ) Ỉ Tập rỗng aM b (b | a ) a chia hết cho b (b chia hết a ) A Ð B (A = B ) Tập hợp A tập B (Tập hợp A tập hợp B ) P (X ) Tập hợp tất tập ca X ổ ữ A ẩ B ỗỗỗ U Ai ữ ữ ỗối = 1, ,n ữ ứ Hp tập hợp A B (Hợp tất tập Ai , với £ i £ n ) ổ ữ A ầ B ỗỗỗ I Ai ữ ữ ỗối = 1, ,n ữ ứ Giao ca tập hợp A B (Giao tất tập Ai , với £ i £ n ) A\ B Hiệu tập hợp A tập hợp B AD B Hiệu đối xứng tập hợp A tập hợp B A´ B Tích Descartes tập hợp A tập hợp B An Lũy thừa Descartes bậc n tập hợp A f :X ® Y x a y = f (x ) Ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y xác định y = f (x ) f g ( f o g, fg) Ánh xạ tích f g f (A ) Ảnh tập hợp A qua ánh xạ f f - 1(B ) Nghịch ảnh tập hợp B qua ánh xạ f sgn( p ) Dấu phép p M m ´ n (K ) Tập hợp ma trận có m dịng n cột hệ số trường K M n (K ) Tập hợp ma trận vng có n dịng n cột hệ số trường K 0m ´ n (0n´ n ) Ma trận khơng có m dịng, n cột (Ma trận khơng có n dịng, n cột) diag(a1, a 2, , a n ) Ma trận chéo với phần tử đường chéo a1, a2, , an AT Ma trận chuyển vị ma trận A det (A ) A Định thức ma trận A rank(A ) r (A ) Hạng ma trận A A- Ma trận nghịch đảo ma trận A In Ma trận đơn vị cấp n 0V Vectơ khơng khơng gian vectơ V Q :V ® V Ánh xạ khơng từ khơng gian vectơ V vào id X (1X ) Ánh xạ đồng từ tập hợp X vào [x ]/ B Tọa độ vectơ x sở B V = U ÅW Không gian vectơ V tổng trực tiếp hai không gian U W f* Phép biến đổi tuyến tính liên hợp f K [t ] Tập đa thức biến t trường số K ¡ n [x ] Tập đa thức hệ số thực bậc nhỏ n - Pn [x ] Tập đa thức hệ số thực bậc không n Im f Ảnh ánh xạ tuyến tính f ker f Nhân ánh xạ tuyến tính f Khi m m m I3 = m I2 = íï I < ï Û ì ïï I = ỵ = 4- m2 - = - m - 40m - 85 - íï m < - Ú < m ïì ï m = - 20 - 35 Ú m = - 20 + 35 ïỵï Vậy với m = - 20 - 35 m = - 20 + 35 phương trình cho xác định cặp đường thẳng thực cắt 10.3 Mặt bậc hai 10.3.1 Mặt tròn xoay bậc hai Định nghĩa Mặt tròn xoay mặt tạo nên đường quay quanh vịng xung quanh trục Phƣơng trình tắc mặt trịn xoay Giả sử khơng gian cho đường (C ) xác định hệ phương trình ïíï F1(x , y , z ) = (1) ì ïï F2 (x , y , z ) = ïỵ Nếu phương trình (1) đưa dạng ïíï x = f (z ) (2) x , y hàm z ì ïï y = g(z ) ïỵ Khi phương trình mặt trịn xoay có trục quay Ox,Oy,Oz có dạng: y + z = u (x ) z + x = v(y ) x + y = w (z ) Định nghĩa Mặt tròn xoay bậc hai mặt tạo nên đường bậc hai quay vòng xung quanh trục đối xứng 375 Ví dụ Mặt cầu mặt tạo nên đường tròn quay vịng xung quanh đường kính Phương trình mặt cầu tâm I (a, b, c) bán kính R là: (x - a )2 + (y - b)2 + (z - c )2 = R Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho ellipse nằm mặt phẳng Oxyz , nhận hai trục Ox,Oy làm hai trục đối xứng, có độ dài nửa trục lớn nửa trục bé íï x y ïï + = (*) a b Phương trình ellipse ì a b2 ïï ïïỵ z = Quay ellipse vòng xung quanh trục Ox mặt gọi ellipsoid trịn xoay ỉ x2 ữ ùớù 2ỗ y = b ùù ỗ1 - ữ ữ ỗố a ữ ứ trc quay Ox ì ïï ïï z = ỵ ỉ x2 ÷ Cộng hai phương trình vế với vế, ta y + z = b2 ỗỗ1 - ữ ữ ỗố a ữ ứ Khi x2 y2 z2 + + = phương trình ellipsoid trịn xoay trục quay a b2 b2 Ox Phương trình ellipsoid trịn xoay ellipse (*) quay quanh trục Oy : x2 y2 z2 + + = a b2 a Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho hyperbol nằm mặt phẳng Oxy, nhận hai trục Ox,Oy làm hai trục đối xứng, có độ dài nửa trục thực nửa trục ảo a, b íï x y ïï = (**) Khi phương trình hyperbola ì a b2 ïï ïïỵ z = a) Nếu quay hyperbola quanh truc thực Ox ta mặt gọi hyperboloid tròn xoay hai tầng 376 ớù ổ2 ùù y = b2 ỗỗx - 1ữ ữ ữ ữ ỗốa ứ T (**) ta có ïì ïï ïï z = ỵ Cộng hai phương trình vế theo vế ta phương trình hyperboloid trịn xoay hai tầng x y2 z2 = a b2 b2 b) Nếu quay hyperbola vịng xung quanh trục ảo Oy ta mặt hyperboloid tròn xoay tầng Bằng cách thực tương tự ta có phương trình hyperboloid trịn xoay tầng x2 y2 z2 + = a b2 a íï y = 2pz ï Ví dụ Quay parabola ì xung quanh trục đối xứng Oz ïï x = ïỵ mặt paraboloid trịn xoay với phương trình x + y = 2pz Ví dụ Trong khơng gian Oxyz xét cặp đường thẳng cắt gốc tọa độ O , nằm mặt phẳng Oxy, nhận hai trục Ox,Oy làm hai đường phân giác íï x y ïï = hai góc tạo hai đường thẳng ấy, ta phương trình ì a b2 ïï ïïỵ z = Quay cặp đường thẳng quanh trục Ox ta mặt nón trịn xoay quanh Ox với phương trình là: x2 y2 z2 = a b2 b2 Trong trường hợp quay cặp đường thẳng quanh trục Oy ta mặt nón x2 y2 z2 trịn xoay quanh Oy với phương trình là: - + = a b a Ví dụ Xét cặp đường thẳng song song mặt phảng tọa độ Oxy, song song với trục Oy cách trục Phương trình cặp đường thẳng là: íï x - a = ï ì ïï z = ïỵ 377 Quay cặp đường thẳng quanh trục Oy mặt trụ trịn xoay với phương trình x + z = a Ví dụ Xét cặp đường thẳng song song nhận trục Ox làm trục đối xứng quay cặp đường thẳng quanh trục Ox ta cặp mặt phẳng song song xác định phương trình: x - a = Ví dụ Vì hai đường thẳng trùng đường thẳng bậc hai nhận đường thẳng vng góc với làm trục đối xứng Khi quay hai đường thẳng trùng quanh trục đối xứng nhận cặp mặt phẳng trùng có phương trình: x = 0, y = 0, z = 10.3.2 Mặt bậc hai Định nghĩa Giả sử P (x, y, z ) điểm tùy ý không gian Oxyz Phép íï X = x ïï ï biến hình biến điểm P (x, y, z ) thành điểm P ¢(X ,Y , Z ) cho ïì Y = y gọi ïï ïï Z = kz ïỵ phép co mặt phẳng tọa độ Oxy với hệ số co k x2 y2 z2 + + = Thực phép co a b2 b2 c điểm ellipsoid tròn xoay mặt phẳng Oxy với hệ số co k = ta mặt b Ví dụ Xét ellipsoid trịn xoay ellipsoid Cụ thể íï ïï X = x ïï ï Y = y hay ì ïï c ïï ïï Z = z b ỵ íï ïï ïï x = X ïï ìy = Y ïï ïï b ïï z = Z c ïỵ Thay giá trị của x , y , z vào phương trình (1), ta phương trình X Y Z2 tắc ellipsoid + + = a b c Ví dụ 10 Với phép co thích hợp hyperboloid tròn xoay hai tầng, tầng ta hyperboloid hai tầng, tầng 378 Phương trình tắc hyperboloid hai tầng là: X Y Z2 - - = a2 b c Phương trình tắc hyperboloid tầng là: X Y Z2 - + = a2 b c Ví dụ 11 Xét paraboloid trịn xoay y + z = 2px (*) Vì p > đặt p = a phương trình (*) viết lại dạng y2 z2 + = 2x a2 a2 íï ïï ïï X = x b ï Thực phép co mặt phẳng Oxy với hệ số co k = tức ïì Y = y ïï a ïï b ïï Z = z a ïỵ Ta mặt gọi paraboloid elliptic mà phương trình tắc có dạng Y Z2 + = 2X (* * *) a2 b Nếu cắt paraboloid elliptic (***) mặt phẳng vng góc với trục OX ( X số) ta thiết diện ellipse Người ta tạo nên paraboloid elliptic (***) cách khác sau: Lấy hai parabola I II có đỉnh gốc tọa độ, nhận trục Ox làm trục đối xứng, quay bề lõm hướng dương trục Ox nằm hai mặt phẳng Oxy Oxz Phương trình hai parabola íï y = 2a 2x ïíï z = 2b2x ï (I ) ì (II ) ì ïï y = ïï z = ïỵ ïỵ Giữ cố định parabola I tịnh tiến parabola II cho đỉnh chạy parabola I, mặt phẳng chứa parabola II song song với mặt phẳng Oxz trục parabola II song song với trục Ox Mặt tạo thành có phương trình dạng (***) mặt paraboloid elliptic 379 Nếu thay parabola II parabola III đối xứng với parabola II qua trục Oz íï z = - 2b2x ï (III ) phương trình parabola III ì ïï y = ïỵ Tịnh tiến parabola III tương tự mặt paraboloid hyperbolic với phương trình tắc Y Z2 - = 2X a2 b Đây gọi paraboloid hyperbolic mặt yên ngựa Ví dụ 12 Dùng phép co thích hợp mặt nón trịn xoay trở thành mặt nón bậc hai với phương trình tắc X Y Z2 - - = hay a2 b c X Y Z2 - + = a2 b c Ví dụ 13 Xét mặt trụ trịn xoay x + z = a íï ïï X = x ïï Thực phép co mặt phẳng Oxy ïì Y = y ïï c ïï ïï z = Z a ỵ Ta mặt trụ elliptic xác định phương trình X2 Y + = (* * **) a2 b Nếu cắt mặt trụ mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz ta thiết diện ellipse Mặt trụ elliptic (****) tạo nên cách khác: íï x z ïï + = (5) Trong mặt phẳng Oxz xét ellipse có phương trình ì a b2 ïï ïïỵ y = đường thẳng (l ) di động song song với trục Oy tựa ellipse (5) Khi ellipse (5) đường chuẩn mặt trụ đường thẳng nằm hoàn toàn mặt trụ đường thẳng (l ) đường sinh thẳng mặt trụ 380 Nếu đường chuẩn mặt trụ hyperbola, parabola họ đường sinh thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường chuẩn ta mặt trụ hyperboloic, mặt trụ paraboloic Phương trình tắc mặt trụ hyperboloic: X Z2 - = a2 c Phương trình tắc mặt trụ paraboloic: Y = 2pX 10.3.3 Phƣơng trình tắc mặt bậc hai Trong không gian Euclide với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz tập hợp (S ) gồm điểm M có tọa độ (x, y, z ) thỏa mãn phương trình bậc hai a11x + a22y + a 33z + 2a12xy + 2a 23yz + 2a13xz + 2a1x + 2a 2y + 2a 3z + a = (1) a11, a22 , a 33, a21, a23 , a13 không đồng thời 0, gọi mặt bậc hai Phương trình (1) gọi phương trình mặt bậc hai (S ) hệ tọa độ Oxyz éa ù ê 11 a12 a13 ú Ma trận đối xứng A = êêa 21 a 22 a 23 úú khác ma trận không ê ú êëa 31 a 32 a 33 úû Tồn ma trận trực giao C cho C - 1A C = C T A C ma trận chéo: él ê1 ê ê0 ê ê0 êë l 0 ùú ú 0ú ú l úú û nên có hệ tọa độ trực chuẩn Ox ¢y ¢z ¢ (cơ sở gồm vectơ riêng ứng với giá trị riêng l 1, l 2, l A,C ma trận đổi sở) mà phương trình (S ) trở thành l 1x ¢2 + l 2y ¢2 + l 3z ¢2 + 2(a1¢x ¢+ a2¢y ¢+ a 3¢z ¢) + a = (2) A Nếu l 1l 2l ¹ dùng phép tịnh tiến hệ tọa độ đưa phương trình (2) dạng l 1X + l 2Y + l 3Z + a 0¢ = a) Trng hp a 0 381 - Nếu l 1, l 2, l 3,a 0¢ dấu, ta có ellipsoid ảo - Nếu l 1, l 2, l dấu khác dấu với a 0¢ ta ellipsoid - Nếu l 1, l 2, l có hai số dấu khác dấu với số cịn lại ta có hyperboloid tầng hyperboloid hai tầng b) Trường hợp a 0¢ = Nếu l 1, l 2, l có hai số dấu khác với dấu số lại ta nón dấu có nón ảo (một điểm thực đỉnh nón ảo) bậc hai Nếu l 1, l 2, l B Nếu l = 0, l 1l dạng l 1X + l 2Y 2 0, a3 tịnh tiến hệ tọa độ đưa phương trình (2) + 2a 3¢Z = ta paraboloid elliptic l 1l paraboloic hyperbolic l 1l C Nếu l = 0, l 1l dạng l 1X + l 2Y 2 2 > < 0, a3 = tnh tin h tọa độ đưa phương trình (2) + a 0¢¢= v c a) a 0ÂÂạ i) l 1l > l 1a 0¢¢< mặt bậc hai mặt trụ elliptic ii) l 1l > l 1a 0¢¢> mặt bậc hai mặt trụ elliptic ảo iii) l 1l < mặt bậc hai mặt trụ hyperbolic b) a 0¢¢= i) l 1l ii) l 1l D 2 Nếu l < mặt bậc hai cặp mặt phẳng cắt > mặt bậc hai cặp mặt phẳng ảo cắt = l = 0, l 0,| a2 | + | a3 |ạ phng trỡnh (2) tr thnh l 1x Â2 + 2(a1¢x ¢+ a2¢y ¢+ a 3¢z ¢) + a 0¢ = Đổi hệ tọa độ trực chuẩn theo cơng thức 382 íï ïï ïï ¢ ïï x = x ¢¢ ïï ï y ¢ = a2¢y 2¢¢- a 3¢z ¢¢ ì ïï a2¢2 + a 3¢2 ïï ïï a ¢y ¢¢+ a 3¢z ¢¢ ïï z ¢ = ùù a2Â2 + a 3Â2 ợ ổ ử2 a1Âữ a 1Â2 2 ỗ     ¢ ÷ + a + a y + a = Phương trình viết lại dạng: l ỗx ÂÂ+ ữ ỗố l 1ữ l1 ø Thực phép tịnh tiến hệ tọa độ, ta phương trình có dạng: ¢ = với a2¢¢= l 1X + a2¢Y a 2¢2 + a 3Â2 õy l mt tr parabolic E Nu l = l = 0, a2¢ = a3¢ = phương trình có dạng l 1x ¢2 + 2a1¢x ¢+ a 0¢ = ỉ ư2 a1Âữ a 1Â2 ỗ ữ + a = suy l ỗx Â+ ữ ỗố l 1ữ l1 ø Thực phép tịnh tiến hệ tọa độ ta phương trình l 1X + a 0¢¢= Nu a 0ÂÂạ thỡ xy cỏc trng hợp sau: Khi l 1a 0¢¢< mặt bậc hai cặp mặt phẳng song song Khi l 1a 0¢¢> mặt bậc hai cặp mặt phẳng ảo song song Nếu a 0¢¢= mặt bậc hai cặp mặt phẳng trùng Ví dụ 14 Đưa phương trình mặt bậc hai sau dạng tắc (S ) : x + 5y + z + 2xy + 6xz + 2yz + 2x + 6y + 2z = Hƣớng dẫn Xét ma trận dạng toàn phương mặt bậc hai sở tắc 383 é1 3ù ê ú ê ú A = ê1 1ú ê ú ê3 1ú úû ëê Đa thức đặc trưng A là: fA (t ) = - (t + 2)(t - 3)(t - 6) Các giá trị riêng ma trận A l = - 2, l = 3, l = vectơ riêng æ- æ1 - 1 ö æ1 ö ö ÷ ÷ ÷ tương ứng u1 = ỗỗỗ , 0, , u = ỗỗỗ , , , u = ỗỗỗ , , ữ ữ ÷ ÷ ÷ ÷ è è 3 3ø è 6 6ø 2ø Chọn B = {u1, u2, u3 } sở trực chuẩn ma trận chuyển sở é- 1 ê ê ê ê C = ê0 ê ê1 ê ê ë ù ú 6ú ú ú ú 6ú úú úû Công thức đổi tọa độ íï 1 ïï x = x ¢+ y ¢+ z¢ ïï ïï ïì y = - y ¢+ z ¢ ïï ïï 1 ïï z = x Â+ y Â+ z ùùợ Khi phương trình mặt bậc hai viết dạng ỉ- ỉ 1 ư÷ ửữ - 2x Â2 + 3y Â2 + 6z Â2 - ỗỗỗ x Â+ y Â+ z Âữ + ỗỗỗy Â+ x Âữ ữ ố ố ø ø÷ ỉ1 1 + ỗỗỗ x Â+ y Â+ z Âữ ữ ữ= è ø æ Û - ỗỗỗx Âố ổ ữ ỗy Â+ ữ ữ ốỗỗ 2ứ 2 ổ ửữ ửữ ỗ  + z + ữ ữ - 1= ốỗỗ ứữ ứữ ớù ùù X = x ¢ïï ïï Đặt ïì Y = y ¢ïï ïï ïï Z = z ¢+ ïïỵ 384 Phương trình mặt bậc hai viết gọn lại sau: Û - 2X + 3Y + 6Z = Û X2 Y2 Z2 + + = 1/ 1/ 1/ Ví dụ 15 Tìm dạng tắc mặt bậc hai sau: 2xy + 2xz + 2yz - 6x - 6y - 4z = Hƣớng dẫn Xét dạng tồn phương 2xy + 2xz + 2yz có ma trận sở tắc ¡ é0 1ù ê ú ê ú A = ê1 1ú ê ú ê1 0ú ú ëê û Ma trận có hai giá trị riêng l = l = - l = vectơ riêng tương ứng v1 = (- 1,1, 0), v2 = (- 1, 0,1), v3 = (1,1,1) Trực chuẩn hóa hệ ba vectơ v1, v2 , v thành hệ vectơ trực chuẩn: æ- - ö æ- - ö æ1 1 ữ ữ ỗỗ , ỗ , w1 = ỗỗỗ , , 0÷ , w = , , w = , ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ è 2 ứ ốỗ 6 ứ ốỗỗ 3 ø Khi ma trận chuyển sở từ sở tắc sang sở B = {w1, w2, w3 } é- - ê ê P = ê- - ê ê ê ë 3ù ú ú 3ú ú ú 3ú û Phương trình cho trở thành - x ¢2 - y ¢2 + 2z ¢2 + éê- - - 4ù P ú ë û Û - x ¢2 - y ¢2 + 2z ¢2 + ỉ Û - x  - ỗỗỗy Âố ộx Âự ỳ ú êy ¢ú= ê ú êz ¢ú êë ú û 16 y ¢z ¢= ư2 ổ ữ + ỗỗỗz Âữ ữ ố 6ứ ÷ = 10 ÷ ÷ 3ø 385 - Y , z ¢= +Z Đặt x ¢= X , y ¢= Khi ta có phương trình - X - Y + 2Z = 10 hyperboloic tầng Ví dụ 16 Tìm dạng tắc mặt bậc hai sau: 2x 12 - 2x 1x + 2x 22 - 2x 2x + 3x 32 = 16 Hƣớng dẫn Xét ma trận dạng toàn phương 2x 12 - 2x 1x + 2x 22 - 2x 2x + 3x 32 ¡ có ma trận é2 - 1ù ê ú ê ú A = ê0 - 1ú ê ú ê- - ú ú ëê û Chéo hóa trực giao ma trận A ta ba giá trị riêng khác l = 1, l v1 = = 2, l = vectơ riêng trực chuẩn tương ứng với ba giá trị riêng 1 (1,1, - 2) (1,1,1), v2 = (1, - 1, 0) v = Xét sở B = {v1, v2 , v3 } ký hiệu tọa độ (y1, y2, y ) ma trận chuyển sở từ sở tắc ¡ sang sở B é1 ê ê ê ê1 P = ê ê ê1 ê ê ë - ù ú 6ú ú ú ú 6ú - úú úû Khi phương trình đường bậc hai viết dạng: y 12 + 2y 22 + 4y 32 = 16 hay y 12 y 22 y 32 + + = 42 (2 )2 22 Đây mặt ellipsoid có nửa trục 4, 2, trục Oy1,Oy2,Oy 386 Hình Các mặt hypeboloic tầng, hyperboloic hai tầng, mặt ellipsoid, mặt paraboloic, mặt hyperboloic paraboloid BÀI TẬP Trong mặt phẳng, cho tam giác A B C có cạnh AB : 4x + y - 12 = đường cao BH : 5x - 4y - 15 = đường cao AH : 2x + 2y - = Hãy viết phương trình hai cạnh lại đường cao thứ ba tam giác Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d ) có phương trình (1 + 2m )x - (2 + 3m )y + + 12m = a) Chứng tỏ m thay đổi đường thẳng (d ) qua điểm cố định b) Xác định m để đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (l ) có phương trình 3x - 4y - 12 = Tìm khoảng cách (d ) (l) Xác định tham số k, m để mặt phẳng 5x + ky + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng a (3x - 7y + z - 3) + b(x - 9y - 2z + 5) = 387 Cho bốn điểm A(1, 0,1), B (- 1,1, 2),C (- 1,1, 0), D(2, - 1, - 2) a) Chứng minh A, B ,C , D bốn đỉnh tứ diện b Tính độ dài đường cao tam giác BCD hạ từ đỉnh D c) Tính thể tích tứ diện A BCD Cho hai điểm A(- 1, 3, - 2), B (- 9, 4, 9) mặt phẳng (P ) có phương trình 2x - y + z + = Hãy tìm điểm M thuộc (P ) cho AM + MB nhỏ Tìm phương trình tắc đường bậc hai sau: a) 5x + 4xy + 8y - 32x - 56y + 80 = b) x - 4xy + 4y + 4x - 3y - = c) x - 5xy + 4y + x + 2y - = d) x - 2xy + 2y + 7x + y - = Tìm tâm, phương tiệm cận đường tiệm cận đường bậc hai sau: a) x - 2xy + y - 10x - 6y + 25 = b) 2x - 5xy + y - x + 26y - 10 = Tùy theo giá trị tham số k xác định đường bậc hai sau đường gì? x + 2kxy + y - = Tìm phương trình tắc mặt bậc hai có phương trình sau: a) x + y + 2xy + 2x + z = b) 2xy + 2xz + 2yz - 6x - 6y - 4z = c) 7x + 7y + 10z - 2xy - 4xz + 4yz - 12x + 12y + 60z = 24 388 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Xuân Hải (2000) Đại số tuyến tính ứng dụng (Tập 1) TP Hồ Chí Minh NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Jean – Marie Monier (2000) Giáo trình Tốn tập Đại số TP Hồ Chí Minh NXB Giáo dục Lê Tuấn Hoa (2001) Đại số tuyến tính qua ví dụ tập Hà Nội Viện Tốn học Lê Văn Chua (2013) Tài liệu Ôn thi Olympic đại số An Giang Đại học An Giang Lê Ngọc Quỳnh (2013) Tài liệu Hình học Giải tích An Giang Đại học An Giang Nguyễn Anh Tuấn (2013) Giáo trình Logic Tốn Lịch sử Tốn học TP Hồ Chí Minh NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) (2013) Bài tập Tốn cao cấp Đại số Hình học giải tích TP Hồ Chí Minh NXB Giáo dục Việt Nam Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000) Đại số tuyến tính Hà Nội Viện Tốn học Ngơ Việt Trung (2001) Giáo trình Đại số tuyến tính Hà Nội NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Ngọc Vân (2012) Chéo hóa Ứng dụng Khóa luận Tốt nghiệp An Giang Đại học An Giang Phạm Văn Bản (2009) Bài giảng Đại số Tuyến tính An Giang Đại học An Giang Trần Trọng Huệ (2012) Giáo trình Đại số Tuyến tính Hình học giải tích (Tập tập 2) Hà Nội NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Thị Ngọc Giàu (2013) Tài liệu giảng dạy mơn tốn A3 An Giang Đại học An Giang ... nguồn tư liệu học tập tham khảo bổ ích cho sinh viên giảng viên Đối với trường Đại học An Giang, Đại số Tuyến tính chia thành hai học phần Đại số Tuyến tính Đại số Tuyến tính giảng dạy học kỳ... XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Ánh xạ tuyến tính – Phép biến đổi tuyến tính 191 5.2 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 194 5.3 Ma trận biểu diễn biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 198 5.4 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến. .. dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng Long Xuyên, ngày 14 tháng 11 năm 2014 Người biên soạn PHẠM MỸ HẠNH LỜI NĨI ĐẦU Đại số Tuyến tính mơn học Tốn cao cấp có nhiều giáo trình, tài liệu biên