Tài liệu Tài liệu ôn tập Đại số tuyến tính pdf

Tài liệu Ôn tập Đại số tuyến tính . phần lý thuyết Câu 19. Trình bày đường cong phức hợp? cơ sở toán và thuật toán hình thành đường cong phức hợp ? Các đường cong phức hợp là những đường cong phức tạp như thân ô tô, cánh máy bay, vỏ tàu thủy, các loại chai mỹ phẩm… đường cong phức hợp trong thiết kế đòi hỏi từ hai khả năng, thứ nhất đường sinh đường cong dựa vào tập hợp các điểm đo đạc được, thứ hai là hiệu chỉnh đường cong trên các đối tượng đã có. Về mặt toán học các đường cong phức hợp là các đường cong trơn được xây dựng dựa vào các dữ liệu điểm, tuy nhiên trong CAD/CAM dạng đa thức được sử dụng điển hình nhất. Để biểu thị mức trơn của các đường cong người ta đưa ra 3 sự liên tục tại các điểm dữ liệu đó là: C 0 - sự liên tục về vị trí ( position) C 1 - sự liên tục về độ dốc( slope) C 2 - sự liên tục về độ cong ( curvature) Đa thức bậc ba là dạng thấp nhất để biểu diễn đường cong nhưng mang lại hiệu quả đáng kể: + Cho phép biểu diễn đường cong trong không gian + Tốc độ tính toán nhanh Do vậy đường cong bậc lớn hơn 3 không được phổ biến sử dụng trong CAD/ CAM. Các đường cong phức hợp chính trong CAD/ CAM là: + Hermite, Cubic , Spline + Bezier + B-spline 1. Đường cong Hermite Đường cong Hermite trơn tham số bậc ba được định nghĩa bởi tọa độ và vecto tiếp tuyến tại hai điểm đầu mút. Phương trình tổng quát được viết như sau: P(t) = i 0 Trong đó P( t) là điểm trên đường cong Khai triển phương trình ta được : (19.1) Viết dưới dạng vecto : P(t)=a 3 t 3 + a 2 t 2 + a 1 t+ a 0 (19.2) Viết dưới dạng ma trận : P(t)= * (19.3) Vécto tại một điểm trên đường cong nhận được bằng cách đạo hàm : P(t)= t (19.4) Viết dưới dạng vecto : (19.5) Dể xác định các hệ số a i cần dựa vào các điều kiện biên đã biết là P0, P1, P ’ 0 tại t=0, P ’ 1tại t=1 Thay phương trình (19.1) vào (19.2) ta được : P0= a 0 P ’ 0= a 1 P1= a 3 + a 2 + a 1 + a 0 (19.6) P ’ 1= 3a 3 + 2a 2 + a 1 Từ đó ta tính được các hệ số a i như sau: a 0 = P(0) a 1 = P’(0) a 2 = -3P(0)+ 3P(1)- 2P ’ (0)- P ’ (1) (19.7) a 0 = 2P(0)- 2P(1)+ P ’ (0)+P ’ (1) Thay phương trình (19.7) vào phương trình (19.2) ta nhận được : P(t) = (2t 3 -3t 2 +1) *P(0)+ (-2t 3 + 3t 2 ) *P(1)+ (t 3 -2t 2 +t)*P ’ (0) +(t 3 -t 2 )*P ’ (1) (19.8) P ’ (t)=(6t 2 -6t)* P(0)+ (-6t 2 + 6t) *P(1)+ (3t 2 -4t+1)*P ’ (0) +(3t 2 -2t)*P ’ (1) (19.9) Phương trình (19.8) viết dưới dạng ma trận như sau : P(t) = T.M H .G H Trong đó : T= được gọi là ma trận tham số M H = được gọi là ma trận đặc trưng của đường cong Hermite G H = gọi là ma trận hình học Tương tự ta có phương trình (19.9) viết dưới dạng ma trận P ’ (t) = T.M H *.G H Trong đó : M H *= 2. Đường cong Bezier Bezier đã bắt đầu làm công việc trên dựa trên các công thức toán học để cho công việc thiết kế mềm dẻo hơn dựa trên phương pháp nội suy. Đường cong Bezier nhận các điểm điều khiển hoặc các đỉnh điều khiển được sắp xếp theo một trật tự điểm (P 0 …P n ) đó là các điểm gần với đường cong. Các điểm này có thể được biểu diễn trên màn hình đồ họa và được con người sử dụng dùng để điều khiển hình dạng của đường cong theo ý muốn của mình. Đường cong Bezier dựa trên nền tảng các hàm đa thức, dùng để biểu diễn các đường cong tự do. Đường cong Bezier có bậc n được định nghĩa bằng n+1 đỉnh điều khiển và hàm tham số có dạng : P(t)= (t) (19.10) Trong đó các vecto P i biểu diễn n+1 điểm điều khiển. Hàm B i,n (t) là hàm trộn cho các biểu diễn Bezier và được mô tả bằng đa thức Bernstein như sau : B i,n (t)=C(n,i).t i (1-t) n-i 0 (19.11) Trong đó C(i,n) là nhị thức Newton được tính như sau: C(i,n)= i=0….n Các hàm trộn này thỏa mãn điều kiện sau : B i,n (t)≥0 cho tất cả các i 0 (19.12) (t) =1 0 Dạng thứ hai của phương trình (19.12) gọi là ‘’đặc trưng chung ‘’. Các điều kiện này tác động vào các đường cong để làm đảm bảo tồn tại thực thể với các hình thù lồi được cài đặt bởi các điểm ngoài cùng của đa giác đươc tạo ra bằng các điểm điều khiển và được gọi là thân lồi. Thân lồi có thể được coi tương đương với các đa giác và nó sẽ nhận được nếu ta dùng một sợi dây cao su bọc quanh các điểm điều khiển. Các hàm trộn của Bezier tạo ra bậc n của đa thức và cho n+1 điểm điều khiển. Nói chung tác động vào đường cong Bezier để thêm vào các điểm điều khiển đầu và cuối. Các điểm điều khiển ở giữa chỉ có tác dụng lôi kéo co giãn đường cong và có thể được sử dụng điều chỉnh cho đường cong thay đổi hình thể. Các đa thức Bernstein được sử dụng như các hàm trộn cho các đường cong Bezier tương đương với mảng các điểm điều khiển đường cong đa thức đơn giản. Mức độ hình dạng cuối cùng phụ thuộc vào số lượng các điểm điều khiển. Các đường cong này được gọi là điều khiển cục bộ : đó là khi di chuyển một điểm điều khiển chỉ làm thay đổi hình dáng của một đoạn đường cong. Để cung cấp sự mềm dẻo trong thiết kế thì với một số lượng lớn các điểm điều khiển là cần thiết, kết quả cho ở các đa thức mức độ cao có thể sẽ khó cho việc điều khiển. Các ứng dụng của công thức Bezier là làm cánh máy bay, thân ô tô … Thuật toán của đường cong Bezier không gian với n điểm điều khiển như sau : Subroutine Bezier_curve () # n+1 –số điểm điều khiển # P i - điểm điều khiển thứ i có tọa độ là (P ix , P iy , P iz ) Begin For i=0 to n do Read control point P i Next i For t=0.0 to 1.0 insteps of 0.05 do x=y=z=0.0 for i=0 to n do B=Blend(i,n,t) x=x+P ix *B y=y+P iy *B z=z+P iz *B next i if (x,y,z) is start point then Move _to (x,y,z) Else Draw_to (x,y,z) endif return end Function Blend(i,n,t) Begin Blend = Factorial(n)/factoria(i)*factoria(n-i) Blend= blend *(t) i (1-t) n-i Return(blend) End Dạng ma trận của đường cong Bezier : Các đường cong Bezier có thể biểu diễn đơn giản dưới dạng ma trận. Xét đường cong Bezier bậc ba có 4 điểm điều khiển. Bốn hàm trộn phải tìm dựa trên đa thức Bernstein cho ở phương trình (19.10) là: Ta có thể viết lại đường cong Bezier bậc ba dưới dạng ma trận như sau: P(t)= * Hoặc P(t)= * Và có thể rút gọn lại : P(t)= * * Viết dạng gọn nhất : P(t)= * * 3. Đường cong B-Spline Đường cong B-Spline là dạng đường cong trơn có tính chất linh hoạt hơn đường cong Bezier. Bậc của đường cong không phụ thuộc vào số điểm điều khiển với 4 điểm điều khiển tạo đường cong của Bezier bậc thì cùng với 4 điểm đó có thể tạo thành đường cong B-Spline bậc 1, 2 hoặc 3. Tính linh hoạt này có được bởi việc chọn các hàm trộn khác nhau. Phương trình tổng quát của đường cong B-Spline định nghĩa bởi n+1 điểm điều khiển như sau: P(u)= (u) (19.13) 0 u max Tham số u không lấy giá trị từ 0÷1 như đường cong Bezier . Trong đó : P i là các điểm điều khiển. N i,k (u) là các hàm trộn ( hàm B-Spline) (k-1) là bậc của đường cong. Hàm trộn ( hàm B-Spline) có các đặc điểm sau : + (u) =1 + N i,k (u) >0 + N i,k (u) = 0 nếu u≠ , N i,k (u) có k-2 lần vi phân liên tục. Đặc điểm thứ nhất đảm bảo sự liên quan giữa đường cong và các điểm điều khiển là bất biến qua phép biến đổi affine. Đặc điểm thứ hai đảm bảo đoạn cong nằm hoàn toàn về phía lồi của P i và đặc điểm thứ ba cho thấy đoạn cong chỉ bị ảnh hưởng bởi k điểm điều khiển. Ví dụ : đường cong B-Spline bậc ba (k=4) thì đoạn chỉ bị ảnh hưởng của 4 điểm điều khiển . Hàm B-Spline tổng quát có đặc điểm đệ quy và xác định bởi công thức : N i,k (u) = (u-u i ) * + (u i+1 -u)* Trong đó : N i,1 = N i,1 (k=1) là hằng số, còn trong trường hợp tổng quát k≠1 thì sẽ là đa thức bậc k-1. U i gọi là các nút tham số, chúng tạo thành 1 dãy các số nguyên không giảm gọi là vecto nút. Giá trị của các U i phụ thuộc vào đường cong B-Spline là mở hay đóng. Đối với đường cong mở U i xác định bởi : U i = (19.14) Trong đó : 0 (19.15) Và khoảng cách chia của u là : 0 (19.16) Trong (19.15) dùng chỉ số j và j thường lớn hơn n. mà n là giới hạn trên của i, các u i sẽ lấy bằng u j khi i=j. Phương trình (19.16) chỉ rằng (n+k+1) nút là cần thiết để tạo đường cong bậc k-1 với (n+1) điểm điều khiển. Các nút này được đặt đều nhau trong phạm vi của u với =1, như vậy sẽ cho phép tạo ra hàm B- Spline đồng nhất; (19.16) cho giới hạn của u đồng thời cũng cho giới hạn của k xác định bởi : n-k+2>0 Quan hệ này cho thấy số điểm điều khiển tối thiểu là 2,3,4 là bắt buộc để định nghĩa đường cong B- Spline bậc 1,2 hoặc 3. Có nghĩa là có hai điểm điều khiển thì chỉ định nghĩa được B-Spline bậc 1, có 4 điêm điều khiển mới có thể định nghĩa được đường cong bậc 3, n n+1 điểm điều khiển k k-1 bậc n-k+2>0 1 2 2 1 Đúng 2 3 3 2 Đúng 3 4 4 3 Đúng B-Spline là dạng đường cong rất hiệu quả cho thiết kế mô hình khung dây bởi chúng có đặc điểm sau: + Khả năng điều khiển cục bộ : bằng cách thay đổi vị trí 1 điểm điều khiển hay cho một số điểm điều khiển trùng nhau thì không ảnh hưởng đến toàn bộ đường cong mà chỉ ảnh hưởng đến k đoạn quanh điểm điều khiển đó .  B-Spline mở sẽ tiếp tuyến với đoạn (P 1 -P 0 ) và (P n+1 -P n )  Bậc của đường cong càng thấp thì dạng càng gần với điểm điều khiển  k=1 bậc 0 thì đường cong suy biến thành các điểm điều khiển  k=2 bậc 1 thì đường cong suy biến thành các đoạn đa giác điều khiển  Nếu B-Spline là bậc 2 thì nó tiếp tuyến tại điểm giữa của các đa giác điều khiển  Nếu k=n+1 thì đường cong B-Spline suy biến thành đường cong Bezier  Sử dụng nhiều điểm điều khiển trùng nhau để kéo spline vể điểm đó Dạng ma trận của đường cong B-Spline Đường cong B-Spline nội suy qua n+1 điểm điều khiển nhưng do tính chất điểu khiển cục bộ mà đường cong B-Spline được chia thành các đoạn, mỗi đoạn chỉ chịu ảnh hưởng của 4 điểm điều khiển. Có (n+1) điểm điều khiển sẽ được (n+1-3) hay (n-2) đoạn cong. Ký hiệu đoạn cong là Q i thì Q i được điều khiển bởi 4 điểm P i-3 , P i-2 , P i-1 , P i . Vecto hình học G Bsi cho trong đoạn Q i là: G Bsi = 3 Định nghĩa ma trận = [...]... trình gia công dao bị mòn dần , và trong quá trình lập trình gia công do ta lấy điểm đỉnh dao để lập trình gia công không trùng với điểm đầu dao tiếp xúc với phôi ngoài thực tế nên khi gia công sẽ gây ra sai số Vì vậy ta cần phải bù dao trong quá trình gia công để gia công được kích thước đúng yêu cầu tránh gây ra sai số ảnh hưởng tới chất lượng của chi tiết gia công Trong quá trình gia công tùy thuộc... cong phẳng G(u)=P(u,v) cho quay một góc v quanh trục ZL được điểm P(u,v) Công thức xác định P(u,v) chính là phương trình tham số của bể mặt tròn xoay: P(u,v) = rz(u) + rz(u) + zL(u) 0 Chuyển P(u,v) về không gian mô hình thông qua ma trận chuyển hình dựa vào P L, , , ta có P(u,v) trong không gian mô hình để hiển thị bề mặt cơ sở dữ liệu của bề mặt tròn xoay bao gồm profile, trục quay, góc đầu, góc cuối... mặt đầu của lỗ và những yếu tố khác cần được gia công Trên chi tiết dạng càng bao giờ cũng có một hoặc một số lỗ cơ bản mà tâm chúng bao giờ cũng song song với nhau hoặc tạo với nhau một góc nào đó Cũng như các chi tiết khác, đối với chi tiết dạng càng tính công nghệ có ý nghĩa quan trọng vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến năng suất và độ chính xác gia công Vì vậy khi thiết kế càng nên chú ý tới kết cấu... nối các điểm trên mặt cong không gian G(u) và Q(u) bằng các thẳng Đặc điểm chính của mặt kẻ là tại 1 điểm P(u,v) trên bề mặt tồn tại ít nhất một đường thẳng nằm toàn bộ trên bề mặt đó Bề mặt kẻ có thể kể đến là : mặt phẳng, mặt côn , mặt trụ… Xét điểm P(u,v) nằm trên đường thẳng nối hai điểm G i và Qi tham số u=ui ta có : P(ui,v) = Gi + v (Qi-Gi) (20.5) Trong đó v là tham số dọc theo đường kẻ Tổng quát...Trong đó ui là các nút tham số được tính theo công thức (19.14) Thì công thức ma trận cho B-Spline như sau : Pi(u) = * * ui ≤ u ≤ ui+1 ; 3 ≤ i ≤ n Trong đó ma trận cơ bản của B-Spline MBs như sau : MBs = Câu 20 Trình bày mô hình mặt lưới? cơ sở toán... sinh luôn luôn song song với 1 vecto cố định, vecto này định nghĩa phương v của bề mặt Vecto vị trí P(u,v) tại một điểm trên bề mặt được viết như sau : P(u,v) = G(u) + v 0≤ u ≤ umax ; 0≤ v ≤ vmax Cơ sở dữ liệu của bề mặt trụ là : đường chuẩn, vecto trụ (hay đường sinh) và giới hạn trên, dưới của mặt 2.2 Biểu diễn các bề mặt cong trơn • Bề mặt Hermite bậc 3 Bề mặt Hermite bậc 3 nội suy qua dữ liệu tại... tạo ra những bề mặt có hình dạng tương đối phức tạp và có ít quy luật 1 Phương pháp để biểu diễn bề mặt trong CAD Các bề mặt được biểu diễn trong không gian tham số và không gian đề các Bề mặt là một dạng mô hình hình học trong thiết kế kĩ thuật và gia công Bề mặt chi tiết thường được tạo bởi nhiều mảnh bề mặt ghép lại, mỗi mảnh bề mặt tùy thuộc theo đặc điểm hình học sẽ được biểu diễn bằng các mô hình... 0 ≤ v ≤ 1 (20.1) Vécto tiếp tuyến tại P được xác định theo hai hướng u và v : Pu(u,v) = P1-P0 Pv(u,v) = P2-P0 Vecto pháp tuyến của bề mặt : = (20.2) b Phương trình đi qua điểm P0 và chứa hai vecto đơn vị P(u,v)= P0 + uLu + v.Lv 0≤u≤1; 0≤v≤1 (20.3) Tùy theo độ lớn của Lu, Lv mà ta có mảnh mặt phẳng có kích thước khác nhau c Mặt phẳng đi qua P0 và vuông góc với vecto pháp tuyến Ta có : (P-P0) =0 (20.4)... càng nên đối xứng với nhau qua một mặt phẳng nào đó Đối với những càng có lỗ vuông góc với nhau thì kết cấu phải thuận lợi cho việc gia công các lỗ đó Kết cấu của càng phải thuận lợi cho việc gia công nhiều chi tiết cùng một lúc Hình dáng của càng phải thuận lợi cho việc chọn chuẩn thô và chuẩn thống nhất Chi tiết càng gia công trên là chi tiết có tác dụng như đùi xe đạp để truyền chuyển động quay từ... Extrude để tạo khối cơ bản ban đầu của chi tiết Ta cho các thông số kích thước để sau này có được kích thước của chi tiết yêu cầu Ta có hình vẽ minh họa cho công việc thực hiện như sau: Hình 2 khối cơ bản ban đầu : dùng lệnh Extrude Sau đó để thực hiện tiếp ta chọn mặt phẳng để vẽ phác thảo tiếp như hình vẽ duới đây: Hình 3 chọn mặt phẳng để gia công và phác thảo biên dạng hình vẽ tiếp theo Hình 4 Tạo khối . Tài liệu Ôn tập Đại số tuyến tính . phần lý thuyết Câu 19. Trình bày đường cong phức hợp?. khi gia công sẽ gây ra sai số. Vì vậy ta cần phải bù dao trong quá trình gia công để gia công được kích thước đúng yêu cầu tránh gây ra sai số ảnh hưởng