TÀI LIỆU ÔN TẬP ĐẠI SỐ 11

Bài tập: Bài1: Giải các phương trình sau: a... Bài tập: Bài1: Giải các phương trình sau: a... Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bấ

Trang 1

HỌC KÌ I

CHƯƠNG I:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I Tóm tắt lí thuyết:

1 Hàm số sin

 Hàm số y = sinx có tập xác định D = R

 Tập giá trị − ≤1 sinx 1≤

 y = sinx là hs lẻ ( đồ thi nhận O làm tâm đối xứng )

 y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π

 đồ thị hs : khảo sát hs y = sinx trên ½ chu kỳ cơ sở [0; π]; sau đó lấy đối xứng qua O để được nửa chu kỳ còn lại[-π;0] Tịnh tiến đồ thị trên theo trục x’Ox với 2

r

ta được đồ thị y = sinx

 Bảng biến thiên: y = sinx tăng trên đoạn [ 0;

2

π ] và giảm trên [ ;

2

π π ] x

0

2

 Đồ thị

 Các giá trị đặc biệt của hs y = sinx

• Sinx = 0 khi x = kπ; k∈Z

• Sinx = 1 khi x =

2

π + k2π; k ∈Z

• Sinx = -1 khi x = -

2

π + k2π; k ∈Z

2 Hàm số cosin

 Hàm số y = cosx có tập xác định D = R

 Tập giá trị − ≤ 1 cosx≤ 1

 y = cosx là hàm số chẵn ( đồ thị đối xứng qua Oy)

 y = cosx là hs tuần hoàn với chu kỳ T = 2π

 Khảo sát đồ thị hàm số trên đoạn [0; π]; sau đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị trên đoạn [-π;0]; tịnh tiến đồ thị nhận được trục Ox với vr=2π ta được đồ thị

y = cosx

Trang 2

 Hs y = cosx giảm trên đoạn [0; π]

Bảng biến thiên:

x

0

2

y = cosx 1

0

-1

 Đồ thị

 Các giá trị đặc biệt của hàm số y = cosx

• Cosx = 0 khi x =

2

π + kπ; k ∈Z

• Cosx = 1 khi x = k2π; k ∈Z

• Cosx = - 1 khi x = ( 2k + 1) π; k ∈Z

•

2 Hàm số tan

 Hàm số y = tanx = sinx

cos x có tập xác định D = R \ ;

2 k k Z

 y = tanx là hàm số lẻ ( nhận O làm tâm đối xứng )

 y = tanx tuần hoàn với chu kỳ T = π

 Khảo sát hàm số trên nửa chu kỳ : [0;

2

π ]; lấy đối xứng qua O ta được phần đồ thị trên

[-2

π

; 0]; tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ theo trục x’Ox thành từng đoạn với độ dài π ta được đồ thị y = tanx

 Chiều biến thiên : hàm số tăng trên nửa đoạn [0;

2

π ] x

0

2

π

0

Trang 3

 Đồ thị

 Các giá trị đặc biệt của hs y = tanx

• Tanx = 0 khi x = kπ; k ∈Z

• Tanx = 1 khi x =

4

π + kπ; k ∈Z

• Tanx = - 1 khi x = -

4

π + kπ; k ∈Z

3 Hàm số cotan

 Hàm số y = cotx = cos

sinx

x

có tập xác định D = R\ {k kπ ∈; Z}

 y = cotx là hàm số lẻ ( đt đối xứng qua gốc tọa độ O)

 y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π

 Khảo sát đồ thị trên nửa chu kỳ [0; π]; tịnh tiến phần đồ thị này theo phương song song vơi Ox từng đoạn có độ dài π ta được đò thị hàm số y = cotx.( hoặc

xét các bước như hs y = tanx )

 Bảng biến thiên

x

0

2

y = cotx +∞

0

−∞

 Bảng giá trị

x 0 6

π 4

π 3

π 2

3

π 3 4

π 56π π

y = cotx

|| 3 1 33 0 33 1 3 ||

Trang 4

 Đồ thị

 Các giá trị đặc biệt của hàm số y = cotx

• Cotx = 0 khi x =

2

π + kπ; k ∈Z

• Cotx = 1 hki x =

4

π + kπ; k ∈Z

• Tanx = - 1 khi x = -

4

π + kπ; k ∈Z

VD: Tìm tập xác định của hàm số:

sin

y

x

Giải: a Hàm số xác định khi và chỉ khi

sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ

b Hàm số xác định khi và chỉ khi

10 180 10 180

x+ ≠k ⇔ ≠ −x +k

II Bài tập:

Bài1: Tìm tập xác định của hàm số:

a y = cos 2

1

x

1 1

x x

+

−

b y = 1

t anx 1− d y = cot( 2x - 4

π ) Bài2: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số:

Bài3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

2c x

c y = 2sin( x -

2

π

BÀI2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Trang 5

1 Phương trình sinx = a

* Nếu a 1> : Phương trình vô nghiệm

* Nếu a 1≤ :

+ Nếu tồn tại α đặc biệt sao cho sinα =a thì

sin sinx = sin x = + k2

x = - + k2

α



+ Nếu không tồn tại α đặc biệt sao cho sinα =a thì

sin x = arcsina +k2

x = - arcsina + k2



Chú ý:

+)sinf x( ) sin ( ) f x( ) ( ) ( ) ( )2

π

0

.360 sinx = sin

180 360

k

β β

β

 = +

+) Trong công thức nghiệm không thể có 2 đơn vị ( độ và rađian)

2 Phương trình cosx = a

* Nếu a 1> : Phương trình vô nghiệm

* Nếu a 1≤ :

* Nếu tồn tại α đặc biệt sao cho cosα =a thì

cosx a= ⇔cos x = cosα ⇔ = ± +x α k2 ,π k∈¢

* Nếu không tồn tại α đặc biệt sao cho cosα =a thì

cosx a= ⇔x = arccosa +k2 ,± π k∈¢

Chú ý:

+)cos f x( ) =co g xs ( ) ⇔f x( ) = ±g x( )+k2 ,π k∈¢

+)co x cos = sβ0 ⇔ = ±x β0+k360 ,0 k∈¢

3 Phương trình t anx = a

Điều kiện: osx 0(x , )

2

¢

* Nếu tồn tại α đặc biệt sao cho tanα =a thì

tanx a= ⇔tan x = tanα ⇔ = +x α k kπ, ∈¢

* Nếu không tồn tại α đặc biệt sao cho tanα =a thì

tanx a= ⇔x = arc tan a +k ,π k∈¢

Chú ý:

+)tan f x( ) =tang x( ) ⇔f x( ) =g x( ) +k kπ, ∈¢

+)tanx=tanβ0 ⇔ =x β0+k180 ,0 k∈¢

4 Phương trình c otx = a

Điều kiện: sinx 0 x k ,k≠ ( ≠ π ∈¢ )

* Nếu tồn tại α đặc biệt sao cho c otα =a thì

c otx a= ⇔c otx = c otα ⇔ = +x α k kπ, ∈¢

* Nếu không tồn tại α đặc biệt sao cho tanα =a thì

Trang 6

c otx a= ⇔x = arc c ota +k ,π k∈¢

Chú ý:

+)c otf x( ) =c otg x( ) ⇔f x( ) =g x( )+k kπ, ∈¢

+)c otx=c otβ0 ⇔ =x β0+k180 ,0 k∈¢

VD: Giải các phương trình sau:

a sinx = 3

2 b osx = 2

3

c

c tan( ) 3

6 3

x+π = d cot(2 1) cot( )

3

Giải:

a

2

sinx = sinx = sin ,

2

2 3

k

π

 = +



 = +



¢

b osx = 2 = cos +k2 ,k2

6 2 k k

π π≠ + π ∈

¢ 3

¢

d ĐK: 2x+1≠k kπ, ∈¢

x+ = x+π ⇔ x+ = + +x π k kπ ∈ ⇔ = − +x π k kπ ∈

II Bài tập:

Bài1: Giải các phương trình sau:

a sinx = 2 b s x = 1

2

co

c.tanx = 1

5 d.cotx = cot 2x + 7

5

π

sin 30

2

x+ = b s 2( 1) s 2

3

c tan2 tan x -

4

  d.cot 2x 6 1

π

 + = −

Bài 3: Giải các phương trình sau trên các khoảng đã chỉ ra:

a.sinx = 3

2 với − < <π x π b.cos 2( x+100)=0 với 00 < <x 1200

BÀI3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác

Trang 7

Có dạng at b+ =0 ; trong đó a,b là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

a 2s inx - 1 = 0 b 0

3cot(2x+15 )− 3 0=

Giải: a

1 2sinx - 1 = 0 sinx sinx sin

π

2

2 6

k

π

 = +



 = − +



¢

b

0 0

3 3cot(2 15 ) 3 0 cot(2 15 )

3 cot(2 15 ) cot 60 2 15 60 180 ,

22,5 90 ,

¢

2 Phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác:

Có dạng at2+ + =bt c 0; trong đó a,b,c là các hằng số (a≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)

rồi giải phương trình theo ẩn phụ này Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản

a sin2x−3sinx + 2 = 0 d 2cot2x−5c otx +3 = 0

Giải: a

Đặt t =sinx t 1( ≤ ) Khi đó ta được phương trình

3 2 0

2

t

=



− + = ⇔  =

2

t= ⇔ x= ⇔ = +x π k π k∈

¢ +Với t=2 PTVN

Vậy phương trình có nghiệm là 2 ,

2

x= +π k π k∈

¢ b

ĐK: x k k≠ π, ∈¢

Đặt t =c otx Khi đó ta được phương trình

2

1

2

t

=





− + = ⇔

 =



t= ⇔ x= ⇔ x= π ⇔ = +x π k kπ ∈

¢

Trang 8

+ Với 3 cot 3 cot3

t= ⇔ x= ⇔ =x arc +kπ , k∈¢

Vậy phương trình có nghiệm là 4 ,

3 cot 2

k

π

 = +



∈





¢

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Có dạng asinx + bcosx = c; trong đó a,b,c là các hằng số và a2+b2 ≠0

Cách giải:

asinx + bcosx = c 2a 2 sinx + 2b 2 osx = 2c 2

⇔

os sinx + sin cosx= 2c 2

a

c

b

⇔

+ sin(x ) 2c 2

α

+ (1), với

2 2

sin

os =

b

a c

α α







 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2

2 2 1 a

c

+

VD: Giải phương trình sau:

3 sinx + cosx = 2

Giải:

3 sinx + cosx = 2 sinx + cosx = sin

+ 2

6 4

+ 2

12 , 7

+ 2 12

x

k

π

 + =



 =



 =



¢

II Bài tập:

a 2 sin( ) 1 0

3

2cos(x+30 )+ 3 0=

b tan 2x− =1 0 d cot(3x+ =1) 3

a sin2x−3sinx + 2 = 0 b cos2x c+ osx - 6 = 0

c tan2x+ −(2 3 t anx - 2 3 0) = d 3cot2 x− +(6 3 c otx + 2 3 0) =

a 3 sinx + cosx = 1 b 2 sinx + 3 osx = 6c

c 2s inx + cosx = 1 d s inx + cosx = 1

Trang 9

CHƯƠNG2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

BÀI 1:QUY TẮC ĐẾM

1 Quy tắc cộng:

Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:

( ) ( ) ( )

Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động

VD: Trong một chiếc hộp chứa 2 viên bi xanh được đánh số 1, 2 và 3 viên bi đỏ

được đánh số 3, 4, 5 Có bao nhiêu cách chọn một trong các viên bi đó

Giải: vì các viên bi xanh và đỏ đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một viên bi bất kì là một lần chọn Nếu chọn viên bi xanh thì có 2 cách chọn, còn nếu chọn viên

bi đỏ thì có 3 cách chọn

Do đó, số cách chọn một trong các viên bi là 2 + 3 =5 (cách)

2 Quy tắc nhân:

Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành

Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động

VD: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ B đến C có 4 con đường

Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C, qua B ?

Giải: Từ A đến B có 3 cách đi

Từ B đến C có 4 cách đi Vậy theo quy tắc nhân, đi từ A đến C,qua B có 3.4=12 (cách)

II Bài tập:

Bài1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhieu số tự nhiên gồm:

a Hai chữ số

b Ba chữ số

c Ba chữ số khác nhau

Bài2: Từ thành phố A đến thành B có 2 cách đi, từ B đến C có 3 cách đi, từ C đến D

có 4 cách đi.Hỏi:

a Có bao nhiêu cách đi từ A đến D

b Có bao nhiêu cách đi từ A đến D qua B và C chỉ một lần

c Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A

Trang 10

BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

1 Hoán vị:

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Kí hiệu P n là số các hoán vị của n phần tử.khi đó ta có:

! ( 1) 2.1

n

P = =n n n−

VD: Trong giờ học môn giáo dục quốc phòng , một tiểu đội học sinh gồ 10 người

được xếp thành một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?

Giải: Số cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng là số hoán vị của 10 phàn tử

Vậy P10 =10! 10.9 2.1 3628800= = (cách).

2 Chỉnh hợp:

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử cửa tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

Kí hiệu k

n

A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n≤ ≤ ) Khi đó ta có:

( 1) ( 1)

k n

Chú ý:+) Với quy ước 0!=1, ta có:

! ,1 ( )!

k n

n

n k

− +) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần

tử Vì vậy:

n

A

VD: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3,

4, 5 ?

Giải: Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là

số chỉnh hợp chập ba của năm phần tử Do đó:

3 5

5! 5!

5.4.3 60 (5 3)! 2!

3 Tổ hợp:

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1) Mỗi tập con có k phần tử của A là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

Chú ý: 1 k n≤ ≤ Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập hợp rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử

Kí hiệu k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử (1 k n≤ ≤ ) Khi đó ta có:

!

!( )!

k n

n C

k n k

=

−

Trang 11

*) Tính chất 1:

, (0 )

k n k

n n

*) Tính chất 2:

1

1 1

k k k

n n n

C =C − +C −−

VD: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ?

Giải: Số các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là số tổ hợp chập ba của năm phần tử Do đó:

3 5

5! 5! 5.4

10 3!(5 3)! 3!2! 2

II Bài tập:

Bài1: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào một bàn ăn gồm

10 chiếc ghế

Bài2: Giả sử có 7 người khách và 10 chiếc ghế kê thành một dãy Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 7 người khách đó ngồi vào 10 chiếc ghế, biết 7 người khách đó khác nhau

Bài3: Giả sử trong hộp có 6 viên bi Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 viên bi từ 6 viên

bi đã cho nếu

a Các viên bi khác nhau ?

b Các viên bi giống nhau ?

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU-TƠN

I Tóm tắt lý thuyết:

Công thức nhị thức Niu-tơn

0

n

n k n k k n n k n k k n n n n

k

=

Trong công thức (1) :

+ Vế phải của công thức (1) có n+1 số hạng

+ Số hạng thứ k+1 là k n k k

n

C a b− (Đây cũng là số hạng tổng quát)

+ Tổng số mũ của a và b không đổi bằng n

Với a=b=1 ta có

0 1 2

Với a=1, b=-1 ta có

0 1

= − + + − + + −

1 n 1 k k n n

1 n 1 1 k k k 1 n n n

II Bài tập:

Bài 1:Viết khai triển theo nhị thức Niu-tơn

a (a−2)6 b (2a−3 )b 5 c 1 10

(a )

b

− Bài 2: Tìm hệ số của x y8 7 trong khai triển ( )15

2x y+

Trang 12

Bài 3: Tìm số hạng khơng chứa x ( số hạng tự do ) trong khai triển

12

2 1

x x

 + 

Bài 4:Trong khai triển ( )n

a b+ cĩ tổng các hệ số bằng 256 Tìm n?

Bài 5: Biết hệ số của 2

x trong khai triển (1 2 + x)n là 84 Tìm n?

Bài 6: Tìm hệ số của x5 trong khai triển ( )5 2( )10

P x= − x +x + x

Bài 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển

10 7 4

1

x x

 + 

Bài 8: Tìm số hạng chính giữa của khai triển

a ( )10

1 x+ b

2008

2

4

x x

 + 

BÀI 4: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

I Tĩm tắt lý thuyết:

1 phép thử, khơng gian mẫu

a Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quarcuar nĩ, mặt dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể cĩ của kết quả đĩ

VD: Khi gieo một địng tiền ta khơng thể đốn trước được kết qua là mặt sấp hay mặt

ngửa nhưng ta biết được chỉ cĩ hai kết quả cĩ thể xảy ra la mặt sấp hoặc mặt ngửa

b Khơng gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử gọi là khơng gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω

VD: Giả sử kí hiệu S, N lần lượt là kết quả mặt sấp xuất hiện và kết quả mặt ngửa

xuất hiện khi gieo một đồng tiền

+ Nếu gieo đồng tiền 1 lần thì khơng gian mẫu là

{S N, }

Ω = + Nếu gieo đồng tiền 2 lần thì khơng gian mẫu là

{SS NN SN, , }

Ω =

2 Biến cố:

Biến cố là một tập con của khong gian mẫu

Tập rỗng được gọi là biến cố khơng, cịn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn

3 Phép tốn trên các biên cố:

Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A kí hiệu A

- Tập A∪B được gọi hợp của hai biến cố A và B.

- Tập A∩B được gọi giaocủa hai biến cố A và B.

- Nếu A∩B = ∅ thì ta nói A và B là hai biến cố xung khắc.

Trang 13

Ví dụ5: Gieo một con súc sắc hai lần Hãy xác định các biến cố sau:

A: “kết quả hai lần gieo như nhau”

B: “lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt sáu chấm”

C:”Tổng các chấm trên hai con súc sắc bằng 8”

Giải

A = {(1;1),(2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6)}

B = {(6;1); (6;2),(6;3), (6;4), (6;5), (6;6)}

C = {(2;6), (6,2), (3;5), (5;3), (4;4)}

II Bài tập

Bài 1: Gieo một đồng tiền ba lần

a Mô tả không gian mẫu

b Hãy xác định các biến cố:

A: “Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”

B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”

C: “Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần”

Bài 2: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia Kí kiệu Ak là biến cố: “người thứ k bắn trúng”, k = 1, 2

HÃy xác định các biến cố sau qua các biến cố A1, A2

A: “không ai bắn trúng”

B: “Cả hai đều bắn trúng”

C: “Có đúng một người bắn trúng”

D: “Có ít nhất một người bắn trúng”

Bài 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1 Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số n n A( )( )Ω là xác suất của biến cố A,

k/h: P(A)

Vậy P(A) = n n A( )( )Ω

VD: Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối hai lần Tính xác suất các biến cố sau:

a) A:“Mặt ngửa xuất hiện hai lần”

b) B:“Mặt N xuất hiện đúng 1 lần”

c) C:“Mặt N xuất hiện ít nhất 1lần”

Giải

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	815,5 KB