Tài liệu Ôn tập đại số cơ sở bài 8-TS Trần Huyền doc

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 18 tháng 3 năm 2005 Bài 8. Các Bài Toán Kiểm Tra Vành Và Vành Con Cũng như kỹ năng kiểm tra nhóm, kỹ năng kiểm tra vành là một trong những kỹ năng cơ bản luô n có mặt trong các đề thi đại số cơ sở. Trên cơ sở kế thừa các tri thức về nhóm ta có thể định nghĩa khái niệm vành như sau : Định nghĩa : Vành là một nhóm cộng giao hoán (X; +) được trang bị thêm một phép toán nhân có tính chât kết hợp: ∀x, y, z ∈ X : (xy)z = x(yz) và có tính chất phân phối đối với phép cộng ∀x, y, z ∈ X : x(y + z ) = xy + xz và (y + z)x = yx + zx Như vậy : Vành là một tập X = ø trên đó đã xác định được hai phép toán hai ngôi : một kí hiệu theo lối cộng, còn lại kí hiệu theo lối nhân thỏa : 1. (X; +) là nhóm giao hoán. 2. Phép nhân trong X có tính chất kết hợp. 3. Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Muốn kiể m tra một tập X cho trước với các phép to án đã cho là một vành, hiển nhiên là chúng ta sẽ phải lần lượt kiểm tra các điều kiện định nghĩa đã đưa ra ở trên. 1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng tập M n các ma trận thực vuông cấp n là một vành với hai phép toán cộng và nhân ma trận. Giải Hiển nhiên tổng hay tích của hai ma trận thực vuông cấp n lại là một ma trận thực vuông cấp n nên các phép cộng, nhân ma trận là các phép toán hai ngôi trên M n . Theo 1 lý thuyết nhó m ta đã có (M n ;+) là nhóm cộng giao hoán. Theo đại số tuyến tính ta biết phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp và có tính chất phân phối đối với phép cộng ma trận. Vậy theo định nghĩa : (M n ; + ; .) là một vành. Nhận xét : Khi kiểm tra vành X đòi hỏi trước hết phải kiểm tra (X;+) là nhóm giao hoán, nếu điều đó đã được kiểm tra trong phần nhóm thì ta có thể không cần phải kiểm tra lại mà chỉ nhắc rằng điều đó đã được kiểm tra trước đây trong lí thuyết nhóm rồi. Cũng như ở bên nhóm nếu như một đòi hỏi nào đó trong định nghĩa vành (chẳng hạn tính chất kết hợp của phép nhân ) nếu đã được đảm bảo bởi kết quả của một chuyên ngà nh nào đó (chẳng hạn đại số tuyến tính, số học, ) thì ta cũng chỉ cần nói lại rằng điều đó đã có theo chuyên ngành đó mà không cần viết biểu thức kiểm tra chi tiết. Ta nhận xét rằng phép cộng trong vành đã có đủ các tính chất thông dụng : kết hợp, giao hoán, có đơn vị, tồn tại phần tử đối cho mỗi phần tử; trong lúc đó phép nhân chỉ đòi hỏi thêm duy nhất tính chất kết hợp. Tức là có thể bổ sung thêm cho phép nhân các tính chất thông dụng còn lại. Khi phép nhân trong vành X có tính chất giao hoán ta gọi vành X là vành giao hoán. Khi phép nhân trong vành X có thêm đơn vị (kí hiệu 1 hay e) ta gọi vành X là vành có đơn vị. Vành (M n ; +; .) kiểm tra ở ví dụ 1 là vành có đơn vị (đơn vị của M n là ma trận đơn vị E) tuy nhiên không là vành giao hoán. 2. Ví dụ 2 : Cho X là vành, Z là vành các số nguyên. Trên tập X × Z = {(x, n) : x ∈ X, n ∈ Z} ta xá c định các phép toán : (x 1 , n 1 ) + (x 2 , n 2 ) = (x 1 + x 2 , n 1 + n 2 ) (x 1 , n 1 )(x 2 , n 2 ) = (x 1 x 2 + n 1 x 2 + n 2 x 1 , n 1 n 2 ) Chứng minh X × Z là vành có đơn vị. Vành này có giao hoán không. Với diều kiện nào cho X thì X × Z giao hoán? Giải : Theo cách xác định phép toán cộng trong X × Z (là phép cộng theo từng thành phần !) ta thấy (X × Z, +) là tích Decac của hai nhóm cộng giao hoán (X, +) và (Z, +) nên theo lí thuyết nhóm ta có (X × Z, +) là nhóm cộng giao hoán. Vậy ta còn phải kiểm tra phép nhân kết hợp, và phép nhân phân phối với phép cộng. Thật vậy : ∀(x 1 , n 1 ), (x 2 , n 2 ), (x 3 , n 3 ) ∈ X × Z : • [(x 1 , n 1 )(x 2 , n 2 )](x 3 , n 3 ) = (x 1 x 2 + n 1 x 2 + n 2 x 1 , n 1 n 2 )(x 3 , n 3 ) = (x 1 x 2 x 3 + n 1 x 2 x 3 + n 2 x 1 x 3 + x 1 x 2 n 3 + n 3 n 1 x 2 + n 3 n 2 x 1 + n 1 n 2 x 3 , n 1 n 2 n 3 ) = (x 1 , n 1 )(x 2 x 3 + n 2 x 3 + n 3 x 2 , n 2 n 3 ) = (x 1 , n 1 )[(x 2 , n 2 )(x 3 , n 3 )] (1) 2 • (x 1 , n 1 )[(x 2 , n 2 ) + (x 3 , n 3 )] = (x 1 , n 1 )[(x 2 + x 3 , n 2 + n 3 )] = (x 1 x 2 + x 1 x 3 + n 1 x 2 + n 1 x 3 + +n 2 x 1 + n 3 x 1 , n 1 n 2 + n 1 n 3 ) = (x 1 x 2 + n 1 x 2 + n 2 x 1 , n 1 n 2 ) + (x 1 x 3 + n 1 x 3 + n 3 x 1 , n 1 n 3 ) = (x 1 , n 1 )(x 2 , n 2 ) + (x 1 , n 1 )(x 3 , n 3 ) (2) • [(x 2 , n 2 ) + (x 3 , n 3 )](x 1 , n 1 ) = [(x 2 + x 3 , n 2 + n 3 )(x 1 , n 1 )] = (x 2 x 1 + x 3 x 1 + n 1 x 2 + n 1 x 3 + n 2 x 1 + n 3 x 1 , n 2 n 1 + n 3 n 1 ) = (x 2 x 1 + n 1 x 2 + n 2 x 1 , n 2 n 1 ) + (x 3 x 1 + n 1 x 3 + n 3 x 1 , n 3 n 1 ) = (x 2 , n 2 )(x 1 , n 1 ) + (x 3 , n 3 )(x 1 , n 1 ) (3) Các hệ thức (1) cho ta phép nhân kết hợp, còn các hệ thức (2) và (3) cho ta tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Vậy (X × Z; +, .) là một vành. Đơn vị trong X là cặp (0,1) vì ∀(x, n) ∈ X × Z : (x, n)(0, 1) = (x.0 + n.0 + 1.x, n.1) = (x, n) (0, 1)(x, n) = (0.x + 1.x + n.0, 1.n) = (x, n) Nếu vành X không giao hoán, tức tồn tại x, y ∈ X mà xy = yx. Khi đó xét hai cặp (x, 1), (y, 1) ∈ X × Z ta có: (x, 1)(y, 1) = (xy + x + y, 1) = (yx + x + y, 1) = (y, 1)(x, 1) tức vành X × Z không giao hoán. Nếu vành X giao hoán, khi đó ∀(x 1 , n 1 ), (x 2 , n 2 ) ∈ X × Z ta có : (x 1 , n 1 )(x 2 , n 2 ) = (x 1 x 2 + n 1 x 2 + n 2 x 1 , n 1 n 2 ) = (x 2 x 1 + n 2 x 1 + n 1 x 2 , n 2 n 1 ) = (x 2 , n 2 )(x 1 , n 1 ) tức X × Z là vành giao hoán. Như vậy X × Z là vành giao hoán ⇔ X là vành giao hoán. Khái niệm vành con của một vành cho trước X dược định nghĩa một cách tương tự khái niệm nhóm con của một nhóm. Đó là tập ø = A ⊂ X, ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong X, đồng thời A cùng với hai phép toán cảm sinh tự nó là một vành. Khi đó ta viết : A ⊂vX Tuy nhiên, cũng như trong lý thuyết nhóm, để kiểm tra một vành con ta s ẽ sử dụng tiêu chuẩn về vành con được phát biểu như sau : Tiêu chuẩn vành con : Cho vành X, bộ phận A = ø của X là một vành con của X ⇔ ∀x, y ∈ A thì x − y ∈ A và xy ∈ A Nói vắn tắt ø = A ⊂vX ⇔ A ổn định đối với phép trừ và phép nhân. 3. Ví dụ 3 : cho X là vành. Ta gọi tâm của vành X, tập Z(X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X} (a) Chứng minh Z(X) là vành con của vành X 3 (b) Tìm Z(M n ) với M n là vành các ma trận thực vuông cấp m. Giải : (a) Ta kiểm tra A ⊂vX theo tiêu chuẩn vành con. Thật vây, ∀a, b ∈ Z(X) ⇒  ax = xa bx = xb ∀x ∈ X Do đó : (a − b)x = ax − bx = xa − xb = x(a − b) (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = x (ab) Vậy : a − b ∈ Z(X) và ab ∈ Z(X). Đó là điều phải chứng minh. (b) ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n} gọi E ij là ma trận mà các phần tử trên đường chéo chính và tại vị trí ij là bằng 1, còn các phần tử còn lại là bằng 0. Nếu ma trận A ⊂ Z(M n ) thì AE ij = E ij A, ∀i, j(i = j). Tức nếu A = (a kl ) m×n thì : AE ij =       . . . a 1j + a 1i . . . . . . . . . . . . . . . a ij + a ii . . . . . . . . . . . . . . . a nj + a ni . . .       ← dòng i ↑ cộtj =   . . . . . . . . . . . . . . . a i1 + a j1 . . . a ij + a jj . . . a in + a jn . . . . . . . . . . . . . . .   ← dòng i ↑ cộtj = E ij A (∗) (Thật ra AE ij có được từ A bằng cách cộng cột i vào cột j và E ij A có được là từ A bằng cách cộng dòng j vào dòng i). Vì hai ma trận bằng nhau ⇔ các phần tử tương ứng bằng nhau nên từ hệ thức (*) ta rút ra :a ki = 0 nếu k = i và a ii = a jj . Các kết luận trên là đúng cho mọi cặp ij : i = j. Từ đó suy ra : a ii = a ∈ R, ∀i và a ij = 0 nếu i = j. Vậy : A = aE. Hiển nhiên rằng mọi ma trận aE, a ∈ R đều giao hoán được với bất kì ma trận X ∈ M n Vậy : Z(M n ) = {aE : a ∈ R}. Chú ý : Cũng tương tự như trong nhóm, đôi khi để kiểm tra một tập hợp X = ø với hai phép toán đã cho là một vành trong trường hợp tập X là bộ phận của một vành đã biết và phép toán trên X chính là các phép toán cảm sinh, thay cho việc kiểm tra trực tiếp ta có thể kiểm tra X là vành con của vành đã biết theo tiêu chuẩn vành con. 4 4. Ví dụ 4 : Một ma trận vuông A = (a ij ) m×n gọi là ma trận tam giác nếu a ij = 0 khi i > j. Chứng minh rằng tập M T n các ma trận tam giác lập thành một vành đối với phép cộng và nhân ma trận. Giải : Theo chú ý trên ta chỉ việc chứng minh M T n ⊂vM n hiển nhiên M T n = ø vì E ∈ M T n ∀A = (a ij ), B = (b ij ) ∈ M T n : A − B = C = (c ij ) với c ij = a ij + b ij Nếu i > j thì a ij = 0 = b ij ⇒ c ij = 0 tức C là ma trận tam giác. Vậy : A − B ∈ M T n AB = C = (c ij ) với c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + . . . + a in b nj Nếu i > j thì c ij = [a i1 b 1j + . . . + a ij b jj ] + [a 1j+1 b j+1j + . . . + a 1n b nj ] với a i1 = . . . = a ij = 0 và b j+1j = . . . = b nj = 0 ⇒ c ij = 0 tức A.B ∈ M T n . Vậy theo tiêu chuẩn vành con : M T n ⊂vM n tức M T n là vành. 5 Bài Tập 1. Cho X là một nhóm cộng giao hoán. Gọi End(X) lạ tập tất cả các tự đồng cấu f : X → X ; trong End(X) ta định nghĩa các phép toán sau Phép cộ ng : ∀f, g ∈ End(X) thì f + g : X → X mà ∀x ∈ X : (f + g)(x) = f(x) + g(x) Phép nhân : fg : X → X mà ∀x ∈ X : fg(x) = f [g(x)] (a) Chứng minh End(X) là vành có đơn vị với hai phép cộng và nhân ở trên. (b) Cho A là nhóm con của X. Gọi N(A) tập tất cả các đồng cấu f ∈ End(X) mà f(A) = 0. Chứng minh N (A) ⊂ End(X). (c) Với mỗi số nguyên n ∈ Z ta xác định ánh xạ ϕ n : X → X mà ∀x ∈ X : ϕ n (x) = nx. Chứng minh rằng ϕ n là tự đồng cấu và H = {ϕ n : n ∈ Z} là vành con giao hoán có đơn vị của End(X). Có thể khẳng định rằng H = Z(End(X)) không, trong đó vành bên phải đẳng thức là tâm của vành End(X). 2. Cho các tập ma trận vuông cấp n sa u : (a) M c n = {A = (a ij ) m×n : a i1 = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n} (b) M F n = {A = (a ij ) m×n : a i1 = 0 = a 1j , ∀i, j = 1, 2, . . . , n} Chứng minh rằng các tập hợ p trên đều là vành với hai phép toán cộng và nhân các ma trận. 3. CHo Z là nhóm cộng các số nguyên. Chứng minh vành các tự đồng cấu của Z, End(Z), là một vành giao hoán có đơn vị, có tính chất là tích hai phần tử khác 0 là khác 0. 4. Cho X = Z × Z là tích Decac của nhóm cộng các số nguyên Z với chính nó. Chứng minh vành các tự đồng cấu nhóm End(Z × Z) là vành không giao hoá n. Tìm tâm của End(Z × Z). 6 . ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 18 tháng 3 năm 2005 Bài 8. Các Bài Toán Kiểm Tra. năng kiểm tra vành là một trong những kỹ năng cơ bản luô n có mặt trong các đề thi đại số cơ sở. Trên cơ sở kế thừa các tri thức về nhóm ta có thể định