Bài tập ôn tập Đại số tuyến tính Học kì I năm học 2016 2017

Bài tập ôn tập Đại số tuyến tính Học kì I năm học 2016 2017 tập hợp 34 câu hỏi tự luận về mô học Đại số tuyến tính. Đây là tài liệu hữu ích dành cho các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn đang luyện thi cho môn học này.

BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 2 Bài Cho ma trận: A   3 5 6 7 , B  7 0 2  1 34  ,C   3  6 Hãy thực phép tính sau: A  B , A  3B , At  Bt , At B , A.Bt , A.B t C 14 14  6 34 62  t ĐS: A B   28 16 23 , A.Bt   , A B C    62   2     42 34  t  2 6  1  Bài Cho hai ma trận: A   1  B   1 4       7   2 1) Hãy tính tích AB BA Từ cho biết ma trận A có khả nghịch khơng? ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận A ĐS: AB  I , BA  I , I ma trận đơn vị cấp 2) Tìm ma trận X (nếu có) thỏa mãn: XA  B ĐS: X  B  Bài Thực phép tính :  4 2 3   1)    3 ; 1 0 1    1 1 2)  2   1   1 27 9 14   ĐS:   ; 18 28   10       2 1  Bài Cho ma trận : A   1 1 Tính det( A) , det(5 At ) , det( A4 )     ĐS: det A  ; det(5 At )  53.2  250 ; det( A4 )  24  16 Bài Tính định thức ma trận sau: 1 0 1   x 1 1 a  2 1) 1 x  ; 2) 1 x  ; 3)  a  ; 4)         1 1 x  1 x     4 ĐS: 1) ( x  2)( x  1) ; 2) ; 3) 3a  4a  ; 3 12 4) ; 1  0 1  3  0  ; 5)  0 2  1    0 1 1  5) -45 BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 Bài Tìm hạng ma trận sau: 3 2 2 6 1   ; A   2  ; B   1 10 17  9 2   4 3 ĐS: r  A  ; r  B   ; 0 1 C 3  7 9 0  3  7 r (C )  1 2  Bài Cho ma trận: A  0 m 1   1 1  1) Tìm m để ma trận A khả nghịch 2) Với m  1 , tìm ma trận nghịch đảo A ba cách (cách 1: sử dụng ma trận phụ hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính, cách 3: sử dụng biến đổi sơ cấp)  5 3 ĐS: 1) m   ; 2) A1   2 1    1 1   1  Bài Cho ma trận: A   m     1 2 1) Với giá trị m hạng ma trận A 3? Với giá trị m vừa tìm ma trận A có khả nghịch khơng? 2) Với m  1 , tìm ma trận nghịch đảo A hai cách (cách 1: sử dụng ma trận phụ hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính) ĐS: 1) Hạng mt vng A cấp mt det( A)  ĐS: m    5 1 1 2.5 0.5 1 1 2) A  3 1  1 1.5 0.5    2 0 1  0 0.5 0.5  Bài Hãy tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận sau hai cách (cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp; cách 2: sử dụng ma trận phụ hợp):  1 2  2   1       1 1 1) A    ; 2) B   4 2  ; 3) C   6 ; ĐS: A   2  ; B  1        1 1  1 8 3 6 BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 Bài 10 Giải hệ phương trình tuyến tính sau  x  y  z  t  2  x1  x2  3x3  x4    1) 2 x  y  z  3t  3 ; 2)  x1  x2  3x3  x4  ;  x  y  3z  2t  1 5 x  10 x  13x  x  20    x1  x2  12 x  z  x   y  1  z   ĐS: 1)  ; 2)  x   t   z   z   x2  Bài 11 1) Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm:  x  y  z  t  1  a) 3x  y  z  t  ;  x  y  z  mt    x  y  10 z  6t   b)  x  y  mz  t  2 x  y  z  mt   HD: Biến đổi ma trận bổ sung hệ pttt dạng bậc thang Hệ pttt có nghiệm r ( A)  r ( Abs ) ĐS: a) m  ; b) m  2) Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm nhất? Có vơ số nghiệm?  2t  x  3y   y  2z  t    z t 0 2 x 4 x  y  mz  HD: det( A)  11m  với A ma trận hệ số hệ pttt Hệ vuông có nghiệm det( A)  Hệ vng có vơ số nghiệm det( A)  Bài 12 Tìm tất ma trận X (nếu có) thỏa mãn:  1   2 1   1  1 1)  ; 2) X  1    XX     2 1 3 1 3   1 2 x ĐS: 1) Các ma trận X thỏa mãn pt có dạng: X   y 2  3 2) X     1.5 0.5 y  , x, y  x  y  ; BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 Bài 13 Trong khơng gian véctơ cho tập hợp: W   x; y; z   | x  y  z  0 a) Véctơ u  1; 2;3 có thuộc W khơng? Chỉ véctơ (khác véc tơ không) thuộc W b) Chứng minh W khơng gian véctơ c) Tìm sở, số chiều không gian W d) Chứng minh véctơ u  1; 2;5 thuộc W tìm tọa độ u sở W tìm câu hỏi ĐS: a) không; VD: u  1;1;  W c) Một sở S  u1   3;1;0  ; u2   1;0;1 ; dimW  d) uS   2;5  Bài 14 Trong không gian véctơ  cho tập hợp: V   x; y; z; t     2t   x |   y  z  t  0 a) Véctơ u  1; 2;5;  có thuộc V khơng? b) Chứng minh V khơng gian véc tơ c) Tìm sở tính số chiều khơng gian V ĐS: a) Không; c) Một sở S  u1   2;1;1;0  ; u2   0;1;0;1 ; dimV  Bài 15 Trong không gian véctơ cho tập hợp: V   x; y; z; t   a) Chứng minh V khơng gian véctơ b) Tìm sở, số chiều không gian V 4 | y  2t  0 c) Chứng minh véctơ u   4; 2; 1;1 thuộc V tìm tọa độ u u sở tìm ĐS: b) Một sở S  u1  1;0;0;0  ; u2   0; 2;1;0  ; u3   0;0;0;1 ; dimV  c) uS   4; 2;1 Bài 16 Các tập hợp sau có khơng gian véctơ không gian tương ứng không? a) V   x; y; z; t  | x  3z  1 b) V   x; y; z  | xy  z  0   x  2t    c) V   x; y; z; t  |    y t  z    ĐS: a) không; b) không; c) không Bài 17 Trong không gian véctơ  cho tập hợp: V   x; y; z    a) Chứng minh V không gian véctơ 3  x  2z   |   x  y  z  0 BỘ MÔN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 b) Tìm sở tính số chiều khơng gian V  1 c) Chứng minh véctơ u  1; ;  thuộc V tìm tọa độ u sở tìm  2 ĐS: b) Một sở S  v   2;1;1 ; dimV  ; c) uS    Bài 18 Họ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a) S  u1  1; 2;0;  ; u2   3; 2;1,1 ; u3   2; 2;1;3 b) S  u1  1; 2;0;  ; u2   3; 2;1,1 ; u3   2;0;1; 3 c) U  u1   1; 2;  ; u2   3; 2;  ; u3  1;0;3 ; u4  1;1;1  ĐS: a) ĐLTT b) PTTT c) PTTT Bài 19 1) Chứng minh họ vectơ sau sở không gian vectơ V  v1   1; 2;  ; v2   3; 2;1 ; v3   2; 1;5 2) Họ vectơ sau có phải sở không gian vectơ U  u1   2;3;  ; u2   3; 2;5 ; u3   5;0; 23 : không? ĐS: 2) không Bài 20 Với giá trị m họ vectơ sau độc lập tuyến tính? Phụ thuộc tuyến tính? a) V  v1   2;1;1; m  ; v2   2;1; 1, m  ; v3  10;5; 1;5m  b) U  u1   2;1; 2m  ; u2   2;1; 1 ; u3  1  m; 2; 3 c) V  u1   m; 2;1 ; u2  1; 2, m  ; u3   2; 2;3 3 1 1 ; ĐLTT m  2 1 1 b) PTTT m  m=3; ĐLTT m  m  2 c) PTTT m  1 m=0; ĐLTT m  1 m  ĐS: a) PTTT m  Bài 21 Trong , véctơ u sau có phải tổ hợp tuyến tính véctơ lại không? Tại sao? Với u1  1;1;1 ; u2   0; 1;1 ; u3   2; 1;3 ; u   2; 1;5  ĐS: Có u  2u1  u2 Bài 22 Tìm điều kiện m để véctơ u sau tổ hợp tuyến tính véc tơ lại với u1   0;1; 1 ; u2   2;1;3 ; u3   m; 2; 1 ; u  1; m;  BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 ĐS: Là THTT m  Bài 23 Trong không gian véctơ 1 cho hai tập hợp: U  u1  1; 1 ; u2   2;1 V  v1   3;1 ; v2  1; 1 a) Chứng minh U V hai sở b) Tìm ma trận chuyển sở từ U sang V c) Tìm ma trận chuyển sở từ V sang U d) Tìm tọa độ vectơ x   3; 1 sở U e) Tìm vectơ y có tọa độ sở U yU  (4; 5) f) Biết tọa độ vectơ z sở U zU  (7; 2) , tìm tọa độ vectơ z sở V  1    1 0   13  5 2 ĐS: b) A    ; c) B    ; d) xU   ;  ; e) y   6; 9  ; f) zV   ;  2  3 3  0 1       Bài 24 Trong không gian vectơ cho hai tập hợp: U  u1  1;1; 1 ; u2  1;1;0  ; u3   2;1; 1 V  v1  1;1;0  ; v2  1;0; 1 ; v3  1;1;1 a) Chứng minh U V hai sở b) Tìm ma trận chuyển sở từ U sang V c) Tìm ma trận chuyển sở từ V sang U d) Tìm tọa độ vectơ x   2;3; 1 sở U e) Tìm vectơ y có tọa độ sở U yU  1;1; 1 f) Biết tọa độ vectơ z sở V zV  1;0;  , tìm tọa độ vectơ z sở U 0 1 ĐS: b) A  1 1  ;   0  d) xU   2; 2; 1 ;  1 c) B   0  ;    1 0 e) y   0;1;0  ; f) zU   0; 2; 1 Bài 25 Tìm hạng họ véc tơ sau: a) U  u1   2;1;1 ; u2   2; 3;1 ; u3   1;0;1 ; u4  1; 3;  không gian vectơ b) V  v1   2;1;1 ; v2   2; 3;1 ; v3   4;0;1 không gian vectơ 3 BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 c) W  w1   2; 2;0;0; 1 ; w2   3; 3;1;5;  ; w3  1; 1; 1;0;0  không gian vectơ ĐS: a) 2; b) 3; c) Bài 26 Trong không gian véc tơ tìm hạng họ véc tơ sau tùy theo m : U  u1   2;1;1; m  ; u2  1;3; 1;  ; u3   3;1; 3m;0  ĐS: m  hạng họ vectơ 2; với m  hạng họ vectơ Bài 27 Cho ánh xạ f :  xác định bởi: u   x; y; z   , f (u )   x  y; y  z  Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Tìm ker f , Im f tính hạng f Tìm ma trận f sở U   u1  (1;1;0); u2  (1;0;1); u3  (1;1;1) V   v1  (1;1); v2  (1; 2) ĐS: ker f  u   t; t; t  | t  ; Bài 28 Cho ánh xạ tuyến tính f : sở Im f   3 3 4 ; r ( f )  dim  Im f   ; A     1 2 2 xác định bởi: u   x; y; z   , f (u )   x  y;3 y  z;3x  z  Tìm ker f , Im f cho không gian sở Tìm hạng ánh xạ f Tìm ma trận A ánh xạ f sở U   u1  (0;1;1); u2  (1;0;1); u3  (1;1;1) ĐS: ker f  u   2t; t;3t  | t  Im f    2; 1;3 ;  span 1;0;3 ,  2;3;0  ,  0;1; 2   1;0;3 ,  0;1; 2  ; r( f )  ;  4 2 A   6 3   Bài 29 Cho ánh xạ tuyến tính f :  0 1  có ma trận A  1  sở tắc   1 0 E  e1  (1;0;0); e2  (0;1;0); e3  (0;0;1) Tìm cơng thức xác định ánh xạ tuyến tính f Tìm ma trận ánh xạ f sở U   u1  (1;0;0); u2  (1;0;1); u3  (1;1;1) Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A Ma trận A có chéo hóa khơng ? có viết ma trận P làm chéo hóa A BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 HD&ĐS: Giả sử u   x; y; z   , có u  xe1  ye2  ze3 suy f (u )  xf (e1 )  yf (e2 )  zf (e3 ) f axtt ĐS: f (u )   y  z; x  z; x  y   1 0  B   1     2 Mt A có hai giá trị riêng 1  (bội 1) 2  1 (bội 2) Vectơ riêng ứng với gt riêng 1  có dạng v   x x x  , x  t Vectơ riêng ứng với gt riêng 2  1 có dạng v   x y  x  y  , x, y  t 1  2 0    1 Ma trận P  1 làm chéo hóa A P AP  0 1      1 1 1 0 1 1  có ma trận A    hai sở 2 1 U  u1  (1;1;0); u2  (1;0;1); u3  (1;1;1) sở V  v1  (1;1); v2  (1; 2) Bài 30 Cho ánh xạ tuyến tính f :  2 Tính f (4; 2;1) Tìm cơng thức xác định ánh xạ tuyến tính f Tìm hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính f cho không gian sở ĐS: u   4; 2;1  3u1  2u2  u3  f (u )  f (u1 )  f (u2 )  f (u3 ) ĐS: f (4; 2;1)  (10;17) 2.Với u   x; y; z   , có u  ( x  z )u1  ( x  y )u2  ( x  y  z )u3 CT xác định f là: f (u )   x  y; x  y  z  ker f  u   x; 2 x;2 x  , x    1; 2;2 Dùng định lý: dim(ker f )  dim(Im f )  dim( Bài 31 Cho f :   sở: S1  1; 2;  ) suy Im f  ánh xạ xác định bởi: u   x; y   2 , có sở V , f (u)   8 x  15 y; 6 x  11y  Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Tìm ker f , Im f tính hạng f Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f trong sở U  u1  (1;1); u2  (2;1) Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A Ma trận A có chéo hóa khơng ? có viết ma trận P làm chéo hóa A BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 HD&ĐS: ker f  (0;0)  Im f   1 A    ; 2  ; A có giá trị riêng 1  2  x Vectơ riêng ứng với gt riêng 1  có dạng u    , x  2 x   x Vectơ riêng ứng với gt riêng 2  có dạng u    , x   x 1 1 1  Ma trận P   làm chéo hóa A P1 AP     2 1 0  Bài 32 Cho ánh xạ f :  xác định bởi: u   x; y; z   , f (u )   x  z; y; x  z  Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Tìm ker f , Im f tính hạng f Chỉ cho không gian ker f , Im f sở Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f trong sở tắc E  e1  (1;0;0); e2  (0;1;0); e3  (0;0;1) Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A Ma trận A có chéo hóa khơng ? có viết ma trận P làm chéo hóa A HD&ĐS: ker f   x;0;  x  , x    (1;0; 1) ; Im f  (1;0;1), (0;1;0) ; r ( f )  1  A  0 0   1  A có giá trị riêng 1  , 2  3  Vectơ riêng ứng với gt riêng 1  có dạng u   x  x , x  t Vectơ riêng ứng với gt riêng 2  có dạng u  0 y 0 , y  t Vectơ riêng ứng với gt riêng 3  có dạng u   x x , x  t  1 0 0    1 Ma trận P  làm chéo hóa A P AP  0       1  0 2 6 3 1  u    , v    Hỏi u , v có phải vectơ riêng  5  5  2 Bài 33 Cho ma trận A   ma trận A khơng ? ?  9 HD: Au  4u ; Av     v,    11  BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 Bài 34 Ma trận sau có chéo hóa khơng ? đưa ma trận dạng chéo : 3 2  A   4 6 3  3  HD: Ma trận A có hai giá trị riêng 1  (bội 1) 2  2 (bội 2) K/g riêng ứng với giá trị riêng 1  (bội 1) không gian chiều sinh v  1 1 1 t K/g riêng ứng với giá trị riêng 2  2 (bội 2) không gian chiều sinh v   1 0 t nên mt A vuông cấp khơng có đủ vectơ riêng độc lập tuyến tính, ma trận A khơng thể chéo hóa HẾT BỘ MÔN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM 10 ... 6 BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM B I TẬP ƠN TẬP Đ I SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017 B i 10 Gi i hệ phương trình tuyến tính sau  x  y  z  t  2... TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM B I TẬP ÔN TẬP Đ I SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017 b) Tìm sở tính số chiều không gian V  1 c) Chứng minh véctơ u  1; ; ... BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM B I TẬP ÔN TẬP Đ I SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017 B i 13 Trong không gian véctơ cho tập hợp: W   x; y; z   | x