Bài tập tỉ số thể tích khối đa diện có lời giải chi tiết

Trong quá trình học chương trình Hình học 12 chương 1 (khối đa diện và thể tích của chúng) và luyện tập với các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán, chúng ta thường bắt gặp các bài toán vận dụng tính tỉ số thể tích giữa hai khối đa diện. Để giải quyết được dạng toán này, ngoài việc nắm vững công thức tính thể tích các khối đa diện thường gặp, còn phải biết vận dụng các định lí về tỉ số thể tích … trong trường hợp việc tính thể tích khối đa diện là phức tạp hoặc không có đủ giả thiết để tính toán.

TỈ SỐ THỂ TÍCH A BÀI TẬP Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi, tam giác ABD cạnh a , tam giác BCD cân  = 120° SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với SC C BCD Câu cắt cạnh SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích khối chóp S AMNP a3 a3 2a 3 a3 A B C D 42 12 21 14 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng ( P ) qua A vng góc SC cắt SC , SB, SD B′, C ′, D′ Biết 3SB′ = SB Gọi V1 ,V2 thể tích hai khối chóp S A′B′C ′D′ S ABCD Tỉ số V1 V2 V1 V V C = D = = V2 V2 V2 = 60° SA = ; SB = ; SC = Tính thể tích V ASB =  ASC= BSC Câu Cho hình chóp S ABC có  A V1 = V2 B khối chóp 7 C V = D V = Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC , mặt phẳng ( P ) chứa V AM song song với BD , cắt SB SD B′ D′ Tỷ số S AB ' MD ' VS ABCD 1 B C D A 3 Câu 5.Cho hình chóp S ABCD tích V Gọi M , N trung điểm SA , MC Thể tích khối chóp N ABCD V V V V A B C D ′ ′ ′ Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C tích Tính thể tích V khối chóp A′ AB′C ′ 1 A V = B V = C V = D V = Câu Trong không gian Oxyz , cho điểm A , B , C thay đổi trục Ox , Oy , Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC Biết mặt phẳng ( ABC ) tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu A B C D Câu 8.Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 12 3a Thể tích khối chóp A′ ABC A V = B V = 3a Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) A V = 3a B V = 3a C V = 3a D V = vng góc với đáy, biết SC = a Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh SB , SD , CD , BC Tính thể tích khối chóp https://toanmath.com/ a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Câu 10 Cho hình chóp S ABC có A′ B′ trung điểm SA SB Biết thể tích khối chóp S ABC 24 Tính thể tích V khối chóp S A′B′C A V = B V = 12 C V = D V = Câu 11 Cho khối tứ diện tích V Gọi V ′ thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh V′ khối tứ diện cho Tính tỉ số V V′ V′ V′ V′ A B C D = = = = V V V V Câu 12 Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy, SB hợp với đáy góc 45° H , K hình chiếu A lên SB , SD mặt phẳng ( AHK ) , cắt SC I Khi thể tích khối chóp S AHIK là: A V = a3 a3 12 B V = C V = a3 18 D V = a3 36 Câu 13 Cho khối chóp S ABC , M trung điểm cạnh BC Thể tích khối chóp S MAB 2a Thể tích khối chóp S ABC C a B 4a D a A 2a Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Trên cạnh SB , cho SM 3= MB, SN NC Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh SD SC lấy điểm M , N = P P P P điểm P Tính thể tích khối chóp S MNP theo V 9V 7V V V A B C D 40 80 Câu 15 Cho tứ diện ABCD tích 12 I trung điểm CD , M trung điểm BI Tính thể tích V khối chóp A.MCD A V  B V  C V  D V  Câu 16 Cho hình chóp S ABCD tích V Gọi M , N trung điểm SA , MC Thể tích khối chóp N ABCD V V V V A B C D Câu 17 Cho tứ diện ABCD có DA = , DA ⊥ ( ABC ) ∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên ba DM DN DP , = , cạnh DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà= = Thể tích V tứ diện DA DB DC MNPD 3 A V = B V = C V = D V = 12 96 96 12 Câu 18 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Trên cạnh SA lấy A′ cho SA′ =   SA Mặt phẳng qua A′ song song với mặt đáy hình chóp cắt cạnh SB , SC , SD  lần lượt B ' , C ′ , D′ Tính thể tích khối chóp S A′B′C ′D′ V V V V A B C D 81 27 https://toanmath.com/ 1; DA ⊥ ( ABC ) ∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên cạnh Câu 19 Cho tứ diện ABCD có DA = DM DA DA, DB, DC lấy điểm M , N , P cho= MNPD A V = 96 DN DP = ; = ; Thể tích tứ diện DB DC 3 C V = D V = 12 12 96 Câu 20 Cho khối chóp S ABCD tích a Gọi M , N , P, Q theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC , SD Thể tích khối chóp S MNPQ là: B V = a2 a3 a3 a3 B C D 16 Câu 21 Cho khối chóp S ABC Gọi A′ , B′ trung điểm SA SB Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A′B′C S ABC bằng: A A B C D Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành M , N , P, Q trung điểm SA, SB, SC , SD Tỉ số thể tích khối chóp S MNPQ khối chóp S ABCD 1 1 B C D 16 A SA AD = 2a Góc Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD hình chữ nhật = ( SBC ) mặt đáy ( ABCD ) 60° Gọi G trọng tâm tam giác SBC Tính thể tích khối chóp S AGD 32a 3 4a 3 8a 3 16a A B C D 27 27 Câu 24 Cho hình chóp S ABCD tích 48 , đáy ABCD hình thoi Các điểm M , N , P, Q thuộc SA, SB, SC , SD thỏa: = SA 2= SM , SB 3= SN , SC SP , SD = 5SQ Thể tích khối chóp S MNPQ A B C D 5 5 ACB= 60° Câu 25 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B , cạnh SA vng góc với đáy, góc  , BC = a , SA = a Gọi M trung điểm SB Tính thể tích V khối tứ diện MABC a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = Câu 26 Cho tứ diện ABCD Gọi B′ C ′ trung điểm AB, AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB′C ′D khối ABCD bằng: A B Câu 27 Cho hình đa diện hình vẽ https://toanmath.com/ C D S D B C A     ASB = BSC = CSD = DSA = BSD = 60° Thể tích khối Biết SA = , SB = , SC = , SD =  đa diện S ABCD A 10 B C D 30 Câu 28 Cho tứ điện MNPQ Gọi I , J , K trung điểm cạnh MN , MP, MQ Tính tỉ số thể tích VMIJK VMNPQ 1 1 B C D Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SA = a Gọi B′ , D′ hình chiếu A lên SB , SD Mặt phẳng ( AB′D′ ) cắt SC C ′ Thể A tích khối chóp S AB′C ′D′ là: 2a 3 2a 3 2a a3 B V = C V = D V = 3 9 Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt bên ( SAB ) ( SAD ) A V = vuông góc với mặt đáy Biết góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) 45° Gọi V1 ;V2 thể tích khối chóp S AHK S ACD với H , K trung điểm SC SD V Tính độ dài đường cao khối chóp S ABCD tỉ số k = V2 1 1 A B C.= D.= = h 2= a; k = h 2= a; k h a= ;k h a= ;k Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vng góc đơi OA = a, OB = 2a, OC = 3a Gọi M , N trung điểm hai cạnh AC , BC Thể tích khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: 2a a3 3a A B a C D 4 https://toanmath.com/ Câu 32 Cho khối chóp S ABC Trên ba cạnh SA , SB , SC lấy ba điểm A′ , B′ , C ′ cho 1 SA′ = SA ; SB′ = SB ; SC ′ = SC Gọi V V ' thể tích khối chóp S ABC S A′B′C ′ Khi tỉ số V V' 1 A B 24 C D 12 24 12 Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SA = a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB , SD , SC B′ , D′ , C ′ Thể tích khối chóp S AB′C ′D′ là: 2a 3 2a 3 2a a3 B V = C V = D V = 9 Câu 34 Cho khối tứ diện ABCD tích 2017 Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ 8068 4034 2017 2017 A B C D 81 27 27 Câu 35 Cho khối chóp S ABC , M trung điểm cạnh SA Tỉ số thể tích khối chóp S MBC thể tích khối chóp S ABC 1 A B C D Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = 2a Gọi B′; D′ hình chiếu vng góc A cạnh SB, SD Mặt phẳng ( AB′D′) cắt cạnh SC C ′ Tính thể tích khối chóp S AB′C ′D′ A V = 2a 16a a3 a3 B C D 45  ASB = CSB = 600 ,  ASC = 900 , SA Câu 37 Cho hình chóp S ABC có  = SB = a; SC = 3a Thể tích V khối chóp S ABC là: a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 18 12 Câu 38 Cho tứ diện ABCD có DA = , DA ⊥ ( ABC ) ∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên ba cạnh A DM DN DP Thể tích V tứ diện , , = DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà = = DA DB DC MNPD bằng: 2 3 V= A V = B V = C V = 96 12 96 12 D Câu 39 Cho hình chóp S ABC có M , N trung điểm SA , SB Tính thể tích khối chóp S MNC biết thể tích khối chóp S ABC 8a A VSMNC = a B VSMNC = 2a C VSMNC = 6a D VSMNC = 4a Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc α Thể tích khối chóp có đáy đáy lăng trụ đỉnh điểm đáy cịn lại 3 3 a b cos α a b cos α a b sin α a b sin α A B C D 12 12 https://toanmath.com/ Câu 41 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N trung điểm SA , SB Tính tỉ số VS ABC VS MNC 1 B ⋅ C D ⋅ Câu 42.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích 48 Trên cạnh SA , SB , SC , SD SB′ SD′ SA′ SC ′ lấy điểm A′ , B′ , C ′ D′ cho = = = = Tính thể tích SB SD SA SC V khối đa diện lồi SA′B′C ′D′ A V = B V = C V = D V = Câu 43 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp A S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng: 7 B C D 5 Câu 44 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng với C qua D ; N trung điểm SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 1 7 A B C D 5 S ABC V Câu 45 Cho khối chóp tam giác tích Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB , N điểm nằm AC cho AN = NC Gọi V1 thể tích khối chóp S AMN Tính tỉ số V1 V V V V V A = B = C = D = V V V V Câu 46 Cho khối chóp S ABCD tích V Các điểm A′ , B′ , C ′ tương ứng trung điểm cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S A′B′C ′ V V V V A B C D 16 Câu 47 Cho tứ diện ABCD tích 12 I trung điểm CD , M trung điểm BI Tính thể tích V khối chóp A.MCD A V  B V  C V  D V  Câu 48 Cho khối chóp S ABC có= SA 9,= SB 4,= SC đơi vng góc Các điểm A′, B′, C ′ thỏa       mãn SA = 2.SA′, SB = 3.SB′, SC = 4.SC ′ Thể tích khối chóp S A′B′C ′ A B 24 C 16 D 12 Câu 49 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích bầng V Lấy điểm A′ cạnh SA cho SA′ = SA Mặt phẳng qua A′ song song với mặt đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC , SD B′, C ′, D′ Khi thể tích chóp S A′B′C ′D′ bằng: V V V V A B C D 81 27 Câu 50 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi E , F trung điểm cạnh SB , SC Biết mặt phẳng ( AEF ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Tính thể tích khối A chóp S ABC a3 A 12 https://toanmath.com/ B a3 C a3 24 D a3 24 Câu 51 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Lấy A′ cạnh SA cho SA′ = SA Mặt phẳng qua A′ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC , SD B′, C ′, D′ Khi thể tích khối chóp S A′B′C ′D′ là: V V V V A B C D 81 27 Câu 52 Cho hình chóp S ABCD tích 18, đáy hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD cho SM = MD Mặt phẳng ( ABM ) cắt SC N Tính thể tích khối chóp S ABNM A B C 10 D 12 Câu 53 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm BC Mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với SM cắt SB , SC E , F Biết VS AEF = VS ABC Tính thể tích V khối chóp S ABC a a3 2a a3 = V V = V = A V = B C D 12 Câu 54 Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB , SAC , SAD chia V khối chóp thành hai phần tích V1 V2 (V1 < V2 ) Tính tỉ lệ V2 16 16 B C D A 81 19 27 75 Câu 55 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có M , N , P , Q trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tỉ số A VS MNPQ VS ABCD B 16 C D Câu 56 Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung điểm cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ 2018 V thể tích MIJK bằng: VMNPQ 1 1 A B C D Câu 57 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD A V = B V = C V = 12 D V = Câu 58 Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD tam giác vuông C với BC = a , CD = a Hai mặt ( ABD ) ( ABC ) vng góc với mặt phẳng ( BCD ) Biết AB = a , M , N thuộc cạnh AC , AD cho AM = MC , AN = ND Thể tích khối chóp A.BMN 2a 3 a3 a3 a3 A B C D 9 18 Câu 59 Cho tứ diện ABCD Gọi B′ C ′ trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB′C ′D khối tứ diện ABCD https://toanmath.com/ 1 1 B C D Câu 60 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng B SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) mp ( ABC ) qua A vng góc với đường thẳng SB cắt SB, SC H , K Gọi V1 , V2 tương ứng thể tích khối chóp S AHK S ABC Cho biết tam giác SAB vng cân, tính A tỉ số V1 V2 V V1 V V B = C = D = = V2 V2 V2 V2 Câu 61 Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung điểm cạnh MN ; MP; MQ Tỉ số thể tích VMIJK VMNPQ A 1 1 B C D Câu 62 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác SAB , SBC , SCD , SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ V , thể tích khối chóp S ABCD là: A 9V 9 C   V D 2 Câu 63 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , M trung điểm SC Mặt phẳng ( P ) qua AM song A 81V B 27V song với BD cắt SB , SD N , K Tính tỉ số thể tích khối S ANMK khối chóp S ABCD 1 A B C D Câu 64 Cho khối chóp S ABC Trên đoạn SA, SB, SC lấy ba điểm A′, B′, C ′ cho 1 = SA′ = SA; SB′ = SB; SC ′ SC Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A′B′C ′ S ABC 1 1 A B C D 12 24 Câu 65 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 30° Gọi M trung điểm cạnh SC Thể tích khối chóp S ABM bằng: A a3 18 https://toanmath.com/ B a3 24 C a3 36 D a3 12 Câu 66 Cho hình chóp S ABC , M trung điểm SB , điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN = NC Tỉ VS AMN VS ABC A số B C D Câu 67 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau,= AB a= ; AC 2a AD = 3a Gọi M N trung điểm BD, CD Tính thể tích V tứ diện ADMN 3a 2a a3 A V = B V = a C V = D V = 4 = CSA = 60°, SA = a, SB = 2a, SC = 4a Tính thể tích khối Câu 68 Cho khối chóp S ABC có  ASB= BSC chóp S ABC theo a 2a 4a a3 8a A B C D 3 3 Câu 69 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′ , B′ , C ′ , D′ lần trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A′B′C ′D′ S ABCD 1 1 A B C D 16 12 Câu 70 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AMPN V Tìm giá trị nhỏ ? V 1 A B C D 8 3 Câu 71 Cho tứ diện S ABC Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ∆SAB, ∆SBC , VS G1G2G3 ∆SCA Tính VS ABC 1 A B C D 48 36 81 27 Câu 72 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA , SB , SC lấy ba điểm A′ , B′ , C ′ cho 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC ′ = SC Gọi V V ′ thể tích khối chóp S ABC 3 ′ V S A′B′C ′ Khi tỉ số V 1 1 A B C D 27 Câu 73 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi M trung điểm SB P điểm thuộc cạnh SD cho SP = DP Mặt phẳng ( AMP ) cắt cạnh SC N Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP theo V 23 19 A VABCDMNP = V B VABCDMNP = V C VABCDMNP = V D VABCDMNP = V 30 30 30 Câu 74 Cho khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ tích 12 , đáy ABCD hình vng tâm O Thể tích khối chóp A′.BCO A B C D https://toanmath.com/ Câu 75 Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N , P , Q theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S MNPQ S ABCD 1 1 A B C D 16 Câu 76 Cho tứ diện S ABC tích V Gọi M , N P trung điểm SA , SB SC Thể tích khối tứ diện có đáy tam giác MNP đỉnh điểm thuộc mặt phẳng ( ABC ) V V V V A B C D Câu 77 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc 60° Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD cắt SB E cắt SD F Tính thể tích V khối chóp S AEMF a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 36 18 Câu 78 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình V chóp cho Tính tỉ số V2 V 32 V V V 32 A = B = C = D = V2 V2 V2 V2 27 Câu 79 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA Mặt phẳng MBC chia hình chóp thành phần Tỉ số thể tích phần phần 3 A B C D 8 V Câu 80 Cho hình chóp S ABC có A′, B′ trung điểm cạnh SA, SB Khi tỉ số S ABC VS A′B′C 1 A B C D Câu 81 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau; AB = a , AC = 2a AD = 2a Gọi H , K hình chiếu A DB, DC Tính thể tích V tứ diện AHKD 3 3 3 3 B V  C V  D V  a a a a 21 7 21 Câu 82 Cho hình chóp S ABC có A , B  trung điểm cạnh SA, SB Tính tỉ số thể tích A V  VSABC VSA ' B ' C A B C D Câu 83.Cho tứ diện ABCD Gọi B ', C ' trung điểm AB, AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D khối tứ diện ABCD bằng: 1 1 A B C D Câu 84.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy ( ABCD ) , góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( ABCD ) 60° Gọi M , N trung điểm SB , SC Tính thể tích khối chóp S ADMN https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn D VS ABC SB SC = = VS AMN SM SN     Câu 109 Cho khối chóp S ABC có M ∈ SA , N ∈ SB cho MA = −2 MS , NS = −2 NB Mặt phẳng (α ) qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện ( số bé chia số lớn ) A B C Hướng dẫn giải Chọn D D T T S M N Q C A P B Cách 1: Ta có mặt phẳng (α ) cắt mặt ( SAC ) theo giao tuyến MQ  SC cắt mặt ( SBC ) theo giao tuyến NP  SC Thiết diện tạo mặt phẳng (α ) với hình chóp hình thang MNPQ Do VMNABPQ = VN ABPQ + VN AMQ , gọi V = VS ABC S = S ∆ABC ta có: 1   d ( S , ( ABC ) ) = S− S V 3 3  27  = d ( B, ( SAC ) ) S ∆ASC V 3 27 = V ⇒ VSMNPQC = V 9 VN ABPQ = d ( N , ( ABC = ) ) S ABPQ VN AMQ= = d ( N , ( SAC ) ) S ∆AMQ Vậy VMNABPQ = VN ABPQ + VN AMQ Suy VSMNPQC VMNABPQ Cách 2: https://toanmath.com/ = S M N B A I P Q C I MN ∩ AB ,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB , ta có Gọi= MS IA NB IB ⋅ ⋅ =⇒ = MA IB NS IA BI SA NM NM Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác ∆AMI , ta có: 1⇔ ⋅ ⋅ = = BA SM NI NI AM AQ PI Tương tự ta có: = = = Vì MQ //SC ⇒ AS AC PQ V IB IN IP 1 1 15 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Khi đó: I BNP = ⇒ VAMQ NBP = VI AMQ VI AMQ IA IM IQ 2 16 16 S AIQ d ( M ; ( ABC ) ) S AIQ d ( M ; ( ABC ) ) MA V AI AQ = ⋅ = ⋅ = Mà M AIQ với = ⋅ = = S ABC AB AC 3 SA VS ABC d ( S ; ( ABC ) ) S ABC d ( S ; ( ABC ) ) 15 ⋅ ⋅ ⋅ VS ABC = VS ABC 16 9 1− = Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: 5 Câu 110 Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi B′ , C ′ hình chiếu vng góc S AB , AC Tính thể tích hình chóp S AB′C ′ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 24 48 12 Hướng dẫn giải Chọn A Suy VAMQ NBP = A C' B' S B C Ta có ∆SAC vng cân S , SC ′ đường cao ⇒ SC ′ trung tuyến ⇒ https://toanmath.com/ AC ′ = AC AB′ = AB 1 a3 a3 ⇒ VS AB 'C ' = VS ABC = = 2 24 Câu 111 Cho khối tứ diện ABCD cạnh a , M trung điểm DC Thể tích V khối chóp M ABC bao nhiêu? 3a 2a 2a a3 A V = B V = C V = D V = 24 12 24 Hướng dẫn giải Chọn D Tương tự Gọi H trung điểm BD , ABCD trọng tâm ∆ABD a a ⇒ AG = AH = Ta có AH = 3 a AC − AG = Trong ∆ACG có CG = 1 2a Do = VCABD sin 60° = CG.S ABD CG AB AD = 3 12 V CM 1 2a ⇒ VCABM = VCABD = Mà CABM = = VCABD CD 2 24 Câu 112 Cho khối chóp tam giác S ABC tích Gọi M , N , P trung điểm cạnh BC , CA, AB Thể tích V khối chóp S MNP A V = B V = C V = D V = 2 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ S M C A P N B + Gọi h chiều cao hình chóp S ABC S MNP VS ABC  h.S ABC VS MNP  h.S MNP Mà S MNP  S ABC 6   VS MNP   Suy VS MNP Câu 113 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA, SB, SC lấy ba điểm A′, B′, C ′ cho 1 SA′ = SA , SB′ = SB , SC ′ = SC Gọi V V ′ thể tích khối chóp S ABC 3 ′ V S A′B′C ′ Khi tỉ số V 1 1 A B C D 27 Hướng dẫn giải Chọn D V ′ SA′ SB′ SC ′ 1 1 Ta có = = = V SA SB SC 3 27 Câu 114 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD 1 A V = B V = C V = D V = 12 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ S E A D B VSBCD Ta có= C 1 = VSABCD 2 VSEBD SE.SB.SD Do VSEBD = = = VSCBD SC.SB.SD Câu 115 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ A B Chọn B V1 ? V Hướng dẫn giải C D Gọi O tâm hình bình hành ABCD G trọng tâm tam giác SAC VS ABCD V SM SM = ⇔ S AMP = SD VS ABCD SD V= Ta có M , G, N thẳng hàng Do ABCD hình bình hành nên V= S ADC S ABC VS AMP SM SP V = ⇔ S AMP VS ADC SD SC VS ABCD V V V SN SP SN SN Tương tự S ANP = ⇔ S ANP = ⇔ S ANP = VS ABC SB SC SB V SB S ABCD VS ABCD V V  SM SN  VS AMNP  SM SN  + = + Từ suy S AMP + S ANP =  ⇒   VS ABCD VS ABCD  SD SB  VS ABCD  SD SB  V1  SM SN  Hay = +   V  SD SB  Theo công thức tỉ số thể tích ta có: https://toanmath.com/ SD SB + = SM SN Thậy vậy, qua B, D kẻ đường song song với MN cắt SO E , F Ta chứng minh SD SF SB SE SD SB SE + SF = ; = ⇒ + = SM SG SN SG SM SN SG SD SB 2SO ⇒ + = = = SM SN SG SD SB ; y Ta có x + y = Đặt = x= SM SN V  SM SN   1  x + y 3 Mặt khác =  + = ≥ = =  + = V  SD SB   x y  xy xy ( x + y ) Ta có: V1 nhỏ V Câu 116 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng ( MNI ) chia khối chóp Vậy S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích IA ? IS A lần phần cịn lại Tính tỉ số 13 k= Chọn A https://toanmath.com/ B Hướng dẫn giải C D S H I Q J A E D M D M O P A E N B N C B F C F Dễ thấy thiết diện tạo mặt phẳng ( MNI ) với hình chóp hình ngũ giác IMNJH với MN // JI Ta có MN , AD , IH đồng qui E với EA = ED MN , CD , HJ đồng qui F với FC = FD , ý E , F cố định HS HS HS ED IA Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có 3.k = 1⇔ = =1 ⇔ HD HD 3k HD EA SI d ( H , ( ABCD ) ) HD 3k Từ = = d ( S , ( ABCD ) ) SD 3k + Suy VHJIAMNCD = VH DFE − VI AEM − VJ NFC Đặt V = VS ABCD S = S ABCD , h = d ( S , ( ABCD ) ) ta có S= S= AEM NFC d ( I , ( ABCD ) ) IA k = = d ( S , ( ABCD ) ) SA k + 1 S 21k + 25k 3k k 9  Thay vào ta= VHJIAMNCD V h  S  − h S = ( 3k + 1)( k + 1) 3k +   k +1 Theo giả thiết ta có VHJIAMNCD = 13 21k + 25k 13 , giải phương V nên ta có phương trình = 20 ( 3k + 1)( k + 1) 20 Câu 117 Cho tứ diện ABCD tích V , gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD BCD Thể tích khối tứ diện MNPQ V 4V 4V V A B C D 27 9 27 Hướng dẫn giải Chọn B trình k = https://toanmath.com/ Gọi E , F , I trung điểm đoạn thẳng BC , CD , BD 8 V Ta có AMNP = ⇒ VAMNP = VAEFI = V 9 VAEFI 11 1 V S MNP S MNP S MNP = = VMNPQ d ( Q, ( MNP )= d ( A, ( MNP )= d ( Q, ( MNP )= VAMNP ) ) ) 32 Câu 118 Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = 2a AD = 4a Tính theo a thể tích V khối tứ diện    = CAD = DAB = 60° ABCD biết BAC A V = a B V = a C V = a D V = 2 a Hướng dẫn giải Chọn D A 2a 2a D' 2a C H 2a M B' a B D ′ ′ ′ Trên cạnh AB lấy điểm B ; cạnh AB lấy điểm D cho AB = AD =′ AC = 2a Gọi V1 thể tích tứ diện A.B′CD′; V2 thể tích tứ diện A.BCD Khi tam giác AB′C ; ACD′; AB′D′ cạnh 2a suy tam giác B′CD′ đều, cạnh 2a Tứ diện AB′CD′ cạnh 2a nên tích   2 11 3  3  2 V1 = S ∆B′CD′ AH = a  2a.2a  ( 2a ) −  2a   = 3  2        V1 AB′ AD′ 1 ⇒ V2 = 3V1 = 2a Áp dụng tỷ lệ thể tích ta có = = = V2 AB AD 3 Câu 119 Cho khối chóp S ABCD tích đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD 1 A V = B V = C V = D V = 12 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ 2 VS EBD SE.SB.SD SE = ⇒ VS EBD = VS CBD = = VS ABCD = 3 VS CBD SC.SB.SD SC - Câu 120 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi A′ Ta có 1 = VS ABCD 3 điểm cạnh SA cho ′ SA = Mặt phẳng ( P ) qua A′ song song với ( ABCD ) cắt SB , SC , SD SA B′ , C ′ , D′ Mặt phẳng ( P ) chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là: A 37 98 B 27 37 C 19 Hướng dẫn giải D 27 87 Chọn B V ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = Ta có: S A= VS ABC SA SB SC V 27 Do S A ' B ' C ' = ; tương tự VABC A ' B ' C ' 37 27 3 =  64 4 VS D ' B ' C ' 27 = VDBC D ' B ' C ' 37 Theo tính chất dãy tỉ số suy ra: VS A ' B ' C ' VS D ' B ' C ' VS A ' B ' C ' + VS D ' B ' C ' 27 = = = VABC A ' B ' C ' VDBC D ' B ' C ' VABC A ' B ' C ' + VDBC D ' B ' C ' 37 Câu 121 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tích V Gọi I trọng tâm tam giác SBD Một mặt phẳng chứa AI song song với BD cắt cạnh SB, SC , SD B′, C ′, D′ Khi thể tích khối chóp S AB′C ′D′ bằng: https://toanmath.com/ A V B V 27 V C D Hướng dẫn giải Chọn C V 18 SB′ SD′ SI = = SB SD SO SC ' CA OI SC ' SC ' Mà 1⇒ = 1⇒ = = C ' C AO IS C 'C SC VS AB′D′ = V  S ABD V ⇒ ⇒ VS AB′C ′D′ = V C ′D′  S B′= =  VS BCD 9 Ta có = k V1 3  V2 Câu 122 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh A′B′ BC Mặt phẳng ( DMN ) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số A 55 89 B 37 48 V1 V2 C D S M A' M A' E B' B' K D' C' D' C' A A B B N N D C D Hướng dẫn giải C Chọn A H AB ∩ DN ; MH cắt B ' B K , cắt A ' A S ; SD cắt A ' D ' E Gọi = Thiết diện tương ứng ngũ giác DNKME Phần đa diện chứa A tích là: V1 =VS ADH − VS A ' EM − VK BNH https://toanmath.com/ H Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA = BH ; AH = A ' M ; AD = A ' E = SA ' B= 'K A' A = ; KB 3 1 1 Ta có: VS ADH =SA AD AH =1 +  1.2 = 6 3 1 1 ;= VK BNH = VS ADH = VS A ' EM = VS ADH 18 64 144 1 55 Vậy phần đa diện chứa A tích là: − − = 144 18 144 55 89 Suy phần đa diện khơng chứa A tích là: 13 − = 144 144 Câu 123 Cho tứ diện ABCD có M , N , P thuộc cạnh AB, BC , CD cho , NB NC , PC PD Mặt phẳng ( MNP ) chia tứ diện thành hai phần Gọi T tỉ số = MA MB = = Đặt độ dài cạnh hình lập phương thì: = SA ' thể tích phần nhỏ chia phần lớn Giá trị T bằng? 19 26 13 A B C 45 25 26 Hướng dẫn giải Chọn A D 25 43 Đặt V V= = = VBDMNPQ , V2 VACMNPQ ABCD , V1 MA NB PC QD QD = = 1⇒ MB NC PD QA QA V2 = VACMNPQ = VC MNP + VC MPQ + VC AQM V VCMNP CN CP 2 VBCDM BM 1 V ; = = = = = ⇒ CMNP = ⇒ VCMNP = = VCMBD CB CD 3 VBCDA BA VABCD 9 2 2 V ; SCPQ = SCDQ = S ACD = S ACD ⇒ VMCPQ = VMACD = VABCD = 3 15 15 15 15 VAMCQ AM AQ 2V = = = ⇒ VAMCQ = VABCD AB AD 5 V V V 2V 26V 19V 26 Suy ra: V2 = + + = ⇒ V1 = ⇒ = V1 19 15 45 45 Câu 124 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′ , B′ , C ′ , D′ trung điểm SA , SB , SC , SD Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A′B′C ′D′ S ABCD là: Q= ( MNP ) ∩ AD ⇒ https://toanmath.com/ A B 16 Hướng dẫn giải C D Chọn B Xét hình chóp S.ABC VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 1 = = ⇒ VS A ' B ' C ' = VS ABC VS ABC SA SB SC Tương tự: VS A ' C ' D ' = VS ACD VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Câu 125 Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đối vng góc; SA = a , SB = 2a , SC = 3a Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , SAB , SBC , SCA Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a A 2a 27 Chọn B B a3 27 2a Hướng dẫn giải C Gọi E , F , K trung điểm SB , BC , CS https://toanmath.com/ D a3 Ta= có: VS ABC SA.SB.SC a = Gọi h chiều cao từ đỉnh P MNPQ h = SA 4 1 2 Mặt khác MN = EF ; MQ = FK ⇒ S MNQ = S EFK = S SBC = S SBC 9 3 VS ABC a 1 1 V= h = S SA = S = MNPQ MNQ SBC 3 27 27 Câu 126 Cho tứ diện ABCD cạnh Xét điểm M cạnh DC mà DM = DC Thể tích tứ diện ABMD 2 A V = B V = C V = D V = 48 12 12 Hướng dẫn giải Chọn C ABCD tứ diện đều, cạnh nên VABCD = 12 V 2 DM Ta có: DABM = = ⇒ VDABM = = 12 48 VDABC BC Câu 127 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD // BC AD = BC Kết luận sau đúng? A VS ABCD = 2VS ABC B VS ABCD = 4VS ABC C VS ABCD = 6VS ABC D VS ABCD = 3VS ABC Hướng dẫn giải Chọn D S A B M D C 1 Ta có S ∆ABC = S ABCD ⇒ VS ABC = VS ABCD 3 Câu 128 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng với C qua D ; N trung điểm SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 7 1 A B C D 5 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ V = VSABIKN V Đặt  → = ? V2 V2 = VNBCDIK a = a = NH S ∆BMC * VN BMC = a SO 1a 6 = S ∆BMC = a.2a a 3 12 MK * Nhận thấy K trọng tâm tam giác SMC → = MN VM DIK MD MI MK 1 = = * = VM CBN MC MB MN 2 = * VS ABCD → V= VM CBN − VM DIK = 5 6 VM CBN = a= a 6 12 72 a V1 6 72 = →V = V − V = a − a = a → = S ABCD V2 6 72 72 a 72 Câu 129 Cho khối chóp S ABC ; M N trung điểm cạnh SA, SB; thể tích khối chóp S MNC a Thể tích khối chóp S ABC A a B 12a C 8a D 4a Hướng dẫn giải Chọn D Theo cơng thức tính tỷ số thể tích VS MNC SM SN = = VS ABC SA.SB Câu 130 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M N theo thứ tự trung điểm V SA SB Tính tỉ số thể tích S CDMN là: VS CDAB A Chọn D Phân tích: https://toanmath.com/ B Hướng dẫn giải C D S N A D B C Ta thấy việc so sánh ln thể tích hai khối trực tiếp khó khăn ta chia sau: S.MNCD = S.MCD + S.MNC S ABCD = SACD + S ABC Khi ta có ( ( ) ) d M ; ( SCD ) VSMCD 1 = chung diện tích đáy SCD ) = ⇔ VSMCD = VSABCD ( VSACD 2 d A; ( SCD ) Ta có VSMNC SSMN 1 = = ⇒ VSMNC = V SABCD VSABC SSAB 1 1 Từ suy VSMNCD = V  +  VSABCD = 8 SABCD  https://toanmath.com/  ... ABC có A′ B′ trung điểm SA SB Biết thể tích khối chóp S ABC 24 Tính thể tích V khối chóp S A′B′C A V = B V = 12 C V = D V = Câu 11 Cho khối tứ diện tích V Gọi V ′ thể tích khối đa diện có. .. Câu 35 Cho khối chóp S ABC , M trung điểm cạnh SA Tỉ số thể tích khối chóp S MBC thể tích khối chóp S ABC 1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Theo công thức tính thể tích tỷ số thể tích VS MBC... Cho khối chóp S ABC có M ∈ SA , N ∈ SB cho MA = −2 MS , NS = −2 NB Mặt phẳng (α ) qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện