Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập đại số và giải tích ở trường trung học phổ thông

Bài viết phân tích thực trạng về việc thực hiện thao tác tương tự hóa cho học sinh ở trường THPT và xây dựng một số biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng này (thể hiện thông qua môn Toán THPT).

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2015, Vol 60, No 8A, pp 87-96 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0169 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯƠNG TỰ HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Nguyễn Văn Thuận1 , Nguyễn Thị Mỹ Hằng2 Trường Phổ thông trung học Chuyên, Trường Đại học Vinh Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Vinh Khoa Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi phân tích thực trạng việc thực thao tác tương tự hóa cho học sinh trường THPT xây dựng số biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ (thể thơng qua mơn Tốn THPT) Từ khóa: Tương tự hóa, học sinh, tốn Mở đầu Khi nói vai trò tương tự, nhà thiên văn học tài ba Kepler, người phát minh ba định luật tiếng thiên văn học cho rằng: "Tôi vô biết ơn phép tương tự, người thầy đáng tin cậy tôi, phép tương tự giúp khám phá bí mật tự nhiên, giúp tơi vượt qua trở ngại" [8, tr.148] Có thể thấy rằng, nhận định ý nghĩa, nói lên tầm quan trọng tương tự sống khoa học D P Goocki [4], G Polya [8, 9], Hoàng Chúng [1], Nguyễn Bá Kim [7], Trần Khánh Hưng [6], nghiên cứu tương tự Họ đưa định nghĩa tương tự minh họa mơn Tốn, chủ yếu Trung học sở Họ quan niệm tương tự phép suy luận Trong năm gần đây, có số tác giả cơng trình nghiên cứu đề cập đến tương tự Họ quan niệm tương tự phép suy luận, mang tính dự đốn Chúng tơi nhận thấy chưa có cơng trình tìm hiểu thực trạng việc thực phép tương tự trường phổ thông, thiếu biện pháp dạy học cụ thể nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ Trong viết này, chúng tơi quan niệm tương tự hóa thao tác tư duy, xây dựng quy trình thực thao tác đó, tìm hiểu thực trạng thực thao tác tương tự hóa cho học sinh trường THPT xây dựng số biện pháp dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ 2.1 Nội dung nghiên cứu Kĩ tương tự hóa Từ việc nghiên cứu định nghĩa tương tự hóa nhà khoa học [1, 4, - 9], chúng tơi thống Tương tự hóa q trình dùng trí óc để kết luận giống đối tượng số dấu hiệu, thuộc tính khác từ giống đối tượng số dấu hiệu, thuộc tính nhằm mục đích tạo kết mới, vượt qua trở ngại Ngày nhận bài: 15/7/2015 Ngày nhận đăng: 22/10/2015 Liên hệ: Nguyễn Thị Mỹ Hằng, e-mail: nguyenmyhang3008@gmail.com 87 Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng Thao tác tương tự hóa thực theo bước sau: Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết; Bước 2: Xác định dấu hiệu, thuộc tính vấn đề cần giải quyết; Bước 3: Xác định vấn đề có số dấu hiệu, thuộc tính giống với số dấu hiệu, thuộc tính vấn đề cần giải cách giải vấn đề đó; Bước 4: Đối chiếu dấu hiệu, thuộc tính lại vấn đề cần giải với dấu hiệu, thuộc tính lại đối tượng bước đến kết luận Có thể cho rằng, học sinh có kĩ tương tự hóa học sinh biết thực bước quy trình 2.2 Thực trạng việc thực tương tự hóa dạy học giải tập Đại số Giải tích học sinh trường Trung học phổ thơng Trong học tập, học sinh (HS) gặp nhiều tình sử dụng thao tác tương tự hóa khơng phải em biết tương tự hóa mang tính dự đốn, kết tương tự hóa phải chứng minh khẳng định tính đắn Chẳng hạn việc chuyển phép biến đổi phương trình sang phép biến đổi bất phương trình; chuyển từ việc giải tập sang giải tập có dạng; việc chuyển từ phép biến đổi dãy số sang phép biến đổi hàm số; , tất thao tác chuyển Tuy nhiên, có nhiều HS cơng nhận kết tương tự Ví dụ 1: Tìm điều kiện cần đủ để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ 0, (a = 0) có nghiệm thực? Có HS giải sau: Điều kiện cần đủ để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ 0, (a = 0) có nghiệm thực ∆ = b2 − 4ac ≥ HS áp dụng tương tự điều kiện có nghiệm thực bất phương trình bậc hai phương trình bậc hai Trong trường hợp này, điều kiện ∆ = b2 − 4ac ≥ điều kiện đủ điều kiện cần để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ (a = 0) có nghiệm thực Chẳng hạn, bất phương trình x2 + x + ≥ 0, có biệt thức ∆ = −3 < 0, bất phương trình có nghiệm thực với x Việc có nghiệm bất phương trình phụ thuộc vào dấu hệ số a dấu biệt thức ∆ Với ∆ ≥ tam thức vế trái nhận giá trị khơng âm, nhận giá trị khơng dương, bất phương trình ln có nghiệm Còn ∆ < tam thức vế trái dấu với hệ số a tập xác định, tức bất phương trình vơ nghiệm có nghiệm ∀x ∈ R, điều phụ thuộc vào dấu hệ số a Từ dạy học chủ đề phương trình sang dạy học chủ đề bất phương trình có nhiều nét tương tự, suy luận tương tự Chẳng hạn, HS thường ngộ nhận phép biến đổi sau (chú ý phép biến đổi sau phương trình đắn): f (x) ≥ g(x) = 0; +) f (x) ≥0⇔ g(x) +) 1 > ⇔ f (x) g(x) +) |f (x)| ≥ g(x) ⇔ 88 g(x) > f (x) f (x) = 0; g(x) ≥ f (x) ≥ g (x); Rèn luyện kĩ tương tự hóa cho học sinh dạy học giải tập Đại số Giải tích +) |f (x)| ≥ |g(x)| ⇔ f (x) ≥ g(x) f (x) ≥ −g(x); +) g(x) ≥ f (x) ≥ g (x); f (x) ≥ g(x) ⇔ +) af (x) ≥ ag(x) ⇔ f (x) ≥ g(x); +) loga f (x) ≥ loga g(x) ⇔ f (x) ≥ g(x) g(x) ≥ 0; Do đó, dạy học chủ đề bất phương trình, giáo viên (GV) phải hình dung trước sai lầm xảy HS để khắc phục kịp thời Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng qt dãy số cho công thức truy hồi: a) un+1 = 6un + 5, ∀n ≥ b) u1 = un+1 = 4un + 2n + 3, ∀n ≥ Bài tập yêu cầu giải sau HS vừa giải xong tập số 43 [10, tr 122], có nội dung sau: Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = un+1 = 5un + 8, với n ≥ a) Chứng minh dãy số , với = un + 2, cấp số nhân Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số nhân b) Dựa vào kết phần a), tìm số hạng tổng quát dãy số (Un ) Nhiều HS giải câu a) ví dụ tương tự câu a) tập 43 cách đặt = un + cách máy móc mà khơng hiểu tập người ta lại làm Trong dạy giải tập, GV yêu cầu HS giải hết sang khác mà khơng có lí giải xác đáng HS khơng giải tập có cấu trúc tương tự Chẳng hạn, sau HS giải xong tập 43 trên, GV khơng giải thích lại đặt = un + đa số HS không giải tập a) ví dụ G Polya cho rằng: "Một trình bày sách hay bảng khó hiểu chẳng bổ ích gì, khơng nêu mục đích giai đoạn nối tiếp, người đọc người nghe hiểu tác giả làm cách để có chứng minh vậy, trình bày khơng gợi cho tự tìm chứng minh tương tự" [8, tr 53] Có thể giải thích cho HS số phép đặt = un +2 tìm sau: Đặt = un +a, cơng thức truy hồi trở thành: vn+1 = 5vn − 4a + Để cấp số nhân −4a + = hay a = HS tiếp tục giải câu b) ví dụ sau: Đặt = un + a ⇒ vn+1 = un+1 + a HS tìm a để cấp số nhân Do vn+1 = 4vn − 3a + 2n + nên cấp số nhân 2.1 + 11 2n + Khi đó, cấp số nhân với v1 = u1 + = , −3a + 2n + = ⇒ a = 3 11 n−1 công bội q = nên có số hạng tổng quát = Suy ra, số hạng tổng quát un là: 11 2n + un = 4n−1 − 3 Một lần nữa, HS sai lầm giải tương tự câu a), tìm số a để = un + a cấp số nhân Tuy nhiên, với này, HS khơng thể tìm số a để cấp số nhân số hạng tổng qt un có lượng biến thiên 2n 89 Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng √ x2 − 2x + + 2x Ví dụ 3: Tính lim x→−∞ x+1 Rất nhiều học sinh giải tốn tương tự tìm giới hạn dãy số Các em giải sau: + +2 1+2 x x lim = = x→−∞ 1+ x Sai lầm học sinh thực phép biến đổi chia tử mẫu phân thức √ x2 − 2x + + 2x cho x mà không ý giả thiết x → −∞ Thật ra, x → −∞ x+1 √ − 1− + x2 − 2x + + 2x x x = x+1 1+ x Qua số ví dụ nêu trên, thấy GV chưa phân tích kĩ yếu tố, phép biến đổi HS chưa có ý thức việc tìm hiểu dụng ý lời hướng dẫn giải tốn, HS làm tốn có cấu trúc tương tự √ 2.3 x2 − 2x + + 2x = lim x→−∞ x+1 1− Một số biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ tương tự hóa cho học sinh Tạo hội cho học sinh luyện tập kĩ tương tự hóa trình giải tốn cách liên hệ với tốn tương tự đơn giản hơn, tìm cách vận dụng kết phương pháp giải toán tương tự để giải toán cho Cách thức thực hiện: - Yêu cầu HS giải tốn mà việc giải tốn nghĩ toán tương tự dễ hơn; - Tìm cách giải tốn tương tự dễ đó; - Dùng tốn tương tự dễ làm mơ hình Ví dụ 4: Cho n ∈ N ∗ , tính tổng sau: 1 1 + + + + ; S1 = 1.2 2.3 (n − 1) n n (n + 1) 1 1 S2 = + + + + ; 1.3 3.5 (n − 2) n n (n + 2) 1 1 + + + + S3 = 1.2.3 2.3.4 (n − 1) n (n + 1) n (n + 1) (n + 2) GV hướng dẫn HS tìm tổng S1 câu hỏi gợi ý sau: Tổng S1 rút gọn cách nào? Các số hạng tổng có mối quan hệ sao? Số hạng tổng quát tổng gì? Có thể phân tích số hạng tổng quát nào? Với câu hỏi dẫn dắt trên, HS số hạng tổng quát tổng , số hạng phân tích sau: k (k + 1) (k + 1) − k k+1 k 1 = = − = − k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) k k+1 90 Rèn luyện kĩ tương tự hóa cho học sinh dạy học giải tập Đại số Giải tích Từ đó, HS tính tổng S1 dễ dàng cách phân tích số hạng tổng thành hiệu hai số hạng, số trừ số hạng thứ k trùng với số bị trừ số hạng thứ k+1, chúng triệt tiêu lẫn 1 1 n 1 1 − + − =1− = S1 = − + − + + 2 n−1 n n n+1 n+1 n+1 Tổng S2 có nét tương tự với tổng S1 q trình tương tự hóa bắt đầu xuất Hãy tìm cách tách số hạng tổng quát S2 ? Phải tương tự phân tích số 1 = − ? Thử kiểm tra lại, em thấy điều gì? hạng tổng S1 , tức k (k + 2) k k+2 1 k+2−k − = = k k+2 k (k + 2) k (k + 2) Do đó, số hạng tổng quát S2 tách thành sau: 1 1 = − k (k + 2) k k+2 Việc tách có tính chất số trừ số hạng thứ k trùng với số bị trừ số hạng thứ k+1, chúng triệt tiêu lẫn 1 1 1 1 1 1 − + − + + − + − − = S2 = 3 n−2 n n n+2 n+2 n = n+2 Tổng S3 có nhiều nét giống với tổng S1 Mỗi số hạng tổng S3 có dạng , k = 1, 2, , n gần giống với số hạng tổng S1 k (k + 1) (k + 2) 1 1 , thử suy nghĩ xem tổng S1 phân tích = − , Bắt đầu từ số 1.2.3 1.2 1 1 tổng S3 , phân tích = − − chăng? 1.2.3 (HS dễ dàng kiểm tra nhận định sai) Ở tốn tính tổng S1 trên, HS tách số hạng thành hiệu hai số, tổng S3 , để tách số hạng thành hiệu hai số, HS thử ghép đôi từ số mẫu Mẫu số 1 số hạng đầu có ba số 1, 2, 3, HS thử ghép thành (1,2) (2,3), có nghĩa là: = − 1.2.3 1.2 2.3 1 1 Hãy kiểm tra lại kết xem! − = , hay = Như vậy, kết gấp đôi 1.2 2.3 1.2.3 1.2.3 1 − Hãy thử xét tiếp số hạng thứ hai! 1.2 2.3 1 1 1 − = , hay = − 2.3 3.4 24 2.3.4 2.3 3.4 Hãy thử thêm vài trường hợp nữa! Kết khả quan, từ đưa giả thuyết: 1 1 = − ∀n ∈ N ∗ ta có: n (n + 1) (n + 2) n (n + 1) (n + 1) (n + 2) Lúc ta có: 1 1 1 1 − − − S3 = + + + 1.2 2.3 2.3 3.4 n (n + 1) (n + 1) (n + 2) 91 Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng n (n + 3) (n + 1) (n + 2) Bây giờ, giả thử có HS lại ghép ba số 1, 2, thành hai số (1,3) (2,3) = nào? 1 1 1 − = , nên tách thành − Tuy nhiên, việc tách 1.3 2.3 1.2.3 1.3 2.3 lại khơng có tính chất số trừ số hạng thứ k trùng với số bị trừ số hạng thứ k+1, nên khơng rút gọn tổng S3 GV hướng dẫn HS khai thác toán theo hướng sau đây: (k + 1) − k 1 = = − , tức Để tính tổng S1 , HS tiến hành phân tích: k (k + 1) k (k + 1) k k+1 HS lấy (k + 1) − k tử số, k + klà hai thừa số mẫu Tương tự tính tổng S2 , HS sử dụng phương pháp phân tích trên, kết (k + 2) − k = Từ đó, HS thấy phân tích đắn = có là: k (k + 2) k (k + 2) k (k + 2) 1 − k k+2 Khi tính tổng S3 , HS liên hệ đến phương pháp em phân tích sau: 1 (k + 2) − k 1 = − = k (k + 1) (k + 2) k (k + 1) (k + 2) k (k + 1) (k + 1) (k + 2) Sau HS biết cách tính tổng S1 , S2 , S3 , thao tác tương tự hóa, GV u cầu HS tính tổng sau: 1 + + + ; S4 = 1.4 4.7 (3n − 2) (3n + 1) 1 + + + ∀n ∈ N ∗ , (un ) cấp số cộng với công sai S5 = u1 u2 u2 u3 un un+1 d = un = với ∀n ∈ N ∗ Bằng cách tương tự, HS tính tổng S5 sau: 1 1 1 1 1 n S5 = − + − + + − − = = d u1 u2 u2 u3 un un+1 d u1 un+1 u1 un+1 Khuyến khích học sinh đề xuất toán sở khai thác tốn cho GS Nguyễn Cảnh Tồn nhận định: "Học sinh học toán xong làm tập Vậy tập đâu mà ra? Ai người nghĩ tập đó, nghĩ nào? Ngay nhiều giáo viên biết sưu tầm tập sách giáo khoa khác nhau, chưa biết cách sáng tác đề tập" [11, tr 93] G Polya cho rằng: "Có thể khơng có phát minh toán học sơ cấp cao cấp, chí lĩnh vực nào, ta khơng dùng thao tác tư khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, Phép tương tự có lẽ có mặt phát minh, số phát minh chiếm vai trò quan trọng cả" [9, tr 23] Vấn đề tương tự hai tốn xem xét khía cạnh sau: - Chúng có đường lối giải, phương pháp giải giống nhau; - Nội dung chúng có nét giống nhau; - Chúng đề cập đến vấn đề giống nhau, đối tượng có tính chất giống Khi 92 Rèn luyện kĩ tương tự hóa cho học sinh dạy học giải tập Đại số Giải tích Cần tạo cho HS thói quen giải tốn nên đặt câu hỏi lại có tốn đó, tốn giải nào, làm tạo toán gần giống (về đường lối giải cấu trúc nội dung) Nhiều khi, phân tích cách giải tốn cho tạo tốn khác Cách thức thực hiện: Quy trình tạo tốn tương tự hóa theo bước sau đây: - Phân tích cấu trúc cách giải toán cho; - Tạo toán tương tự với toán cho; - Giải toán vừa tạo được; - Phát biểu tốn Ví dụ 5: Tạo tốn tương tự với tốn sau: Giải phương trình: (2x + 1) (x2 − x + 2) = 2x2 + (1) - Phân tích cấu trúc cách giải toán cho Về mặt cấu trúc, phương trình (1) có vế trái bậc hai tích nhị thức bậc với tam thức bậc hai, vế phải tam thức bậc hai Về cách giải, trước hết liên tưởng tới dạng g (x) ≥ f (x) = g (x) ⇔ f (x) = g (x) Tuy nhiên trường hợp phương trình có sau bình phương hai vế phương trình bậc bốn khơng có nghiệm hữu tỉ nên việc giải khó khăn Vì vậy, phải hướng dẫn học sinh nhìn vế phải phương trình dạng 2x + + x2 − x + Khi đó, (1) √ √ phương trình đẳng cấp bậc hai 2x + x2 − x + Mà phương trình đẳng cấp bậc hai có thuật giải Lời giải cụ thể sau: (1) ⇔ (2x + 1) (x2 − x + 2) = 2x + + x2 − x + √ √ Đặt u = 2x + 1, v = x2 − x + 2, (1) trở thành 3uv = u2 + 2v ⇔ Nếu u = v thì: √ √ 2x + = x2 − x + ⇔ √ 3−  x= 2√ ⇔ 3+ x= Nếu u = 2v thì:  √ √ 2x + = x2 − x + ⇔ (vô nghiệm) 2x + ≥ 2x + = x2 − x + u=v u = 2v  x ≥ − ⇔ x2 − 3x + = 2x + ≥ 2x + = x2 − x +  x ≥ − ⇔ 4x2 − 6x + = √ √ 3− 3+ Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = x = 2 - Tạo toán tương tự với toán cho GV yêu cầu HS tìm câu trả lời lại tạo phương trình thế? Có phải 93 Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng phương trình có cấu trúc tương tự giải cách giải tương tự hay khơng? Thử xét phương trình có cấu trúc giống (1) (vế trái bậc hai tích nhị thức bậc với tam thức bậc hai, vế phải tam thức bậc hai): (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + (2) HS tìm cách biểu diễn vế phải phương trình (2) tuyến tính theo (x + 3) x2 + 2x + Thật vậy, giả sử phân tích x2 + 5x + = a (x + 3) + b x2 + 2x + Sử dụng đồng   1 = b , hệ phương trình vơ nghiệm Do phương trình (2) thức hai vế ta có = a + 2b   = 3a + 8b giải theo cách phương trình (1) Mấu chốt khơng giải theo cách phân tích vế phải theo (x + 3) x2 + 2x + 3, hay cụ thể hơn, hệ phương trình bậc hai ẩn lại ba phương trình nên vơ nghiệm Vậy, để tạo phương trình tương tự cần biểu diễn vế phải (2) theo (x + 3) x2 + 2x + Vấn đề đặt vế phải phải biểu thức để biểu diễn vậy? Giả sử vế phải biểu thị tuyến tính theo (x + 3) x2 + 2x + 3, chẳng hạn vế phải (x + 3) + x2 + 2x + = x2 + 5x + 12, ta có phương trình: (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + 12 Việc chọn hệ số đứng trước x + hệ √ số đứng√trước x + 2x + có dụng ý làm cho phương trình đẳng cấp bậc hai x + x + 2x + có nghiệm hữu tỉ - Trình bày lại lời giải phương trình: (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + 12 - Phát biểu toán Như vậy, cách thay a b số cụ thể, HS có loạt tập tương tự Và cách trên, GV yêu cầu HS đề xuất số phương trình tương tự (1) để có hệ thống tập phong phú Xây dựng số tình có chứa lời giải tốn với sai lầm tương tự hóa, hướng dẫn học sinh phân tích để giúp họ nhận sai lầm thường gặp tìm cách khắc phục Cách thức thực hiện: - GV xây dựng số tình có chứa lời giải sai lầm yêu cầu HS giải tốn gặp phải sai lầm tương tự hóa; - GV hướng dẫn HS phân tích, tìm sai lầm từ ví dụ cụ thể, sau tổng hợp lại để khái quát cho lớp toán loại; - GV hướng dẫn HS tìm biện pháp dạy học thích hợp nhằm giúp HS khắc phục sai lầm Ví dụ 6: GV cho HS tìm sai lầm lời giải sau toán "Một hộp đựng "Một hộp đựng 20 viên bi gồm bi xanh, bi đỏ, bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp Hỏi có cách chọn để viên bi có đủ màu?" Lời giải 1: Công việc chọn ngẫu nhiên viên bi hộp thực trường hợp (TH) sau: TH 1: Chỉ có màu xanh có C86 cách; TH 2: Chỉ có vàng, loại khơng có cách (vì có viên bi vàng); TH 3: Chỉ có màu đỏ, loại có C76 cách; TH4: Có xanh, đỏ vàng: x 94 Rèn luyện kĩ tương tự hóa cho học sinh dạy học giải tập Đại số Giải tích ⇒ x = C - C -C (cách chọn) cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có: x +C86 +C76 = C20 20 Lời giải 2: Công việc chọn ngẫu nhiên viên bi hộp thực trường hợp (TH) sau: cách; TH 2: Chỉ màu xanh vàng có C cách; TH 1: Chỉ màu xanh đỏ có C15 13 TH 3: Chỉ màu đỏ vàng có C12 cách; TH 4: Chỉ màu xanh có C86 cách; TH5: Chỉ màu đỏ có +C +C + C76 cách; TH 6: Cả xanh, đỏ vàng có x cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có: x +C15 12 13 6 6 6 6 C8 +C7 =C20 ⇒ x = C20 - C15 -C13 -C12 - C8 -C7 (cách chọn) Các lời giải sai lầm chỗ: Các TH đưa chưa độc lập, việc thực công việc cách chọn có hai màu TH bị trùng lặp TH Chẳng hạn, lời giải 1, C15 xanh đỏ, trường hợp bi xanh lặp lại C13 cách chọn có màu xanh vàng cách chọn có hai màu xanh đỏ, trường hợp bi xanh Đối với lời giải 2, C15 lặp lại C8 cách TH có màu xanh Trước yêu cầu học sinh tìm sai lầm hai lời giải này, giáo viên cho HS giải toán sau: ""Một hộp đựng 20 viên bi gồm bi xanh, 12 bi đỏ Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp Hỏi có cách chọn để viên bi có đủ hai màu?" Có thể giải tốn sau: Cơng việc chọn viên bi hộp thực trường hợp: TH1: Cả viên bi cách màu xanh, loại có C86 cách chọn; TH2: Cả viên bi màu đỏ, loại có C12 + C6 = chọn; TH3: Có hai màu xanh đỏ có x cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có: x+C12 6 6 C20 ⇒ x = C20 -C12 - C8 (cách chọn) HS sử dụng thao tác tương tự hóa để làm ví dụ 1, tức em phân chia cách chọn viên bi theo tiêu chí có màu giống có màu (lời giải 1) Trong lời giải 2, không rập khn lời giải có cách suy nghĩ giống thế, dẫn tới đếm lặp Từ đó, đưa nhận xét tổng quát nguyên nhân sâu xa việc thực thao tác tương tự sai lầm HS phân chia toán đếm thành trường hợp riêng đơn giản để đếm, dựa vào tiêu chí để phân chia, khơng biết u cầu việc phân chia khái niệm, từ dẫn đến sai lầm phân chia không đầy đủ trường hợp, trường hợp đưa không độc lập (không biết vận dụng quy tắc cộng) Sau HS làm tốn "Có số tự nhiên lẻ, gồm chữ số phân biệt?", GV u cầu HS giải tốn tương tự "Có số tự nhiên chẵn, gồm chữ số phân biệt?" Có số HS giải tốn tương tự toán làm, cụ thể sau: Giả sử số tự nhiên cần lập có dạng abcd công việc lập số tự nhiên trải qua giai đoạn Giai đoạn chọn chữ số hàng đơn vị d từ tập hợp {0; 2; 4; 6; 8} có cách chọn (tương tự số tự nhiên lẻ, d chọn từ tập hợp {1; 3; 5; 7; 9}); giai đoạn chọn chữ số hàng nghìn a từ tập E = {0; 1; 2; ; 9} |{0; d} có cách chọn; giai đoạn chọn hai chữ b c từ tập E| {a; d} có A28 cách chọn Theo quy tắc nhân có tất 5.8.A28 cách chọn Mỗi cách chọn số thỏa mãn yêu cầu toán nên đáp số 5.8.A28 số Tuy nhiên, lời giải phạm phải sai lầm chỗ giai đoạn d chọn chữ số giai đoạn chữ số a có cách chọn, giai đoạn chữ số d chọn giai đoạn chữ số a lại có cách chọn Tức cách chọn giai đoạn phụ thuộc vào cách chọn giai đoạn Nguyên nhân sai lầm HS thực thao tác tương tự hóa xem số cách đếm số chẵn giống số cách đếm số lẻ HS nắm khơng xác điều kiện để thực quy tắc nhân Từ việc phân tích sai lầm mà HS thường gặp phải thực thao tác tương tự hóa ví dụ nêu trên, dạy học quy tắc đếm, GV cần thiết đưa lưu ý điều kiện tiến hành quy tắc nhằm giúp HS khắc phục sai lầm Đối với quy tắc nhân, GV cần đưa sơ đồ sau: 95 Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng Qua sơ đồ này, GV nhấn mạnh để HS thấy cơng việc A muốn hồn thành buộc phải trải qua tất giai đoạn từ A1 đến Ak , khơng bỏ qua giai đoạn nào, khơng có cách giai đoạn thứ Ai+1 lại phụ thuộc vào cách giai đoạn thứ Ai , hay nói cách, khác ứng với cách chọn giai đoạn A1 có mi+1 cách chọn giai đoạn Ai+1 Và điều trước hết phải biết hành động cần làm thực cơng việc A, sau tìm số cách thực hành động Kết luận Thao tác tương tự hóa quan trọng sống học tập Nếu trình dạy học, giáo viên có biện pháp thích hợp học sinh rèn luyện kĩ Cụ thể học sinh giải toán tương tự dễ dàng hơn, học sinh tạo tốn mới, từ góp phần phát triển lực giải vấn đề, lực sáng tạo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Chúng, 1969 Rèn luyện khả sáng tạo tốn trường phổ thơng Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xn Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đồn Quỳnh, Ngơ Xn Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình Bài tập Đại số Giải tích 11 nâng cao Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh, 2001 Lôgic Tốn Nxb Thanh Hóa, Thanh Hóa [4] D P Goocki, 1974., Lôgic học Nxb Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Thị Mỹ Hằng, 2013 Thiết lập toán sơ khai thác toán cho tương tự hóa Tạp chí Giáo dục, (318), tr 43-45 [6] Trần Khánh Hưng, 2000 Giáo trình phương pháp dạy - học Toán (Phần đại cương) Nxb Giáo dục, Hà Nội [7] Nguyễn Bá Kim, 2002 Phương pháp dạy học môn Toán Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội [8] G Polya, 2010 Sáng tạo Toán học Nxb Giáo dục Hà Nội [9] G Polya, 2010 Toán học suy luận có lí Nxb Giáo dục, Hà Nội [10] Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, 2007 Đại số giải tích 11 nâng cao Nxb Giáo dục, Hà Nội [11] Nguyễn Cảnh Toàn, 1997 Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, Tập I Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội ABSTRACT Teaching the use of analogy to mathematics students in secondary schools In this paper, we look at examples of high school students’ use of the operation of analogy and ways in which this skill could be taught to students in high school mathematics classrooms Keywords: Analogy, student, problem 96 ... rằng, học sinh có kĩ tương tự hóa học sinh biết thực bước quy trình 2.2 Thực trạng việc thực tương tự hóa dạy học giải tập Đại số Giải tích học sinh trường Trung học phổ thơng Trong học tập, học sinh. .. 90 Rèn luyện kĩ tương tự hóa cho học sinh dạy học giải tập Đại số Giải tích Từ đó, HS tính tổng S1 dễ dàng cách phân tích số hạng tổng thành hiệu hai số hạng, số trừ số hạng thứ k trùng với số. .. = lim x→−∞ x+1 1− Một số biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ tương tự hóa cho học sinh Tạo hội cho học sinh luyện tập kĩ tương tự hóa trình giải tốn cách liên hệ với tốn tương tự đơn giản hơn, tìm