ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI KỲ: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH1.. Tìm một cơ sở và số chiều của nó.. Xác định hệ cơ sở và số chiều của không gian E.. Tìm toạ độ của vec tơ còn lại đối với hệ cơ sở đã chọn.
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI KỲ: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
1 Chứng minh rằng tập hợp E các vectơ có dạng: x=(a b, ,0,c) với a, b, c ∈ R và
3a+2b−5c=0 là không gian con của không gian vectơ R 4 trên trường số thực Tìm một cơ
sở và số chiều của nó
2 Chứng minh rằng hệ {e e e e1, , ,2 3 4} tạo thành một hệ cơ sở của không gian vectơ R 4 trên
trường R với e1 = ( 1, 1, 1, −1 ) ; e2 = ( 1, 1, −1,1) ;e3 = ( 1, −1, 1, 1) và e4 = (− 1, 1, 1, 1)
Tìm toạ độ của vectơ x = (3, 3, 5, 4) đối với hệ cơ sở ấy.
3 Cho không gian E sinh bởi hệ vectơ {e e e e1, , ,2 3 4} với e 1 = (1; 2; 1; −1) ; e2 = (1, −1, 3, −1) ,
e 3 = (−1, 2, 0, 1) ; e4 = (4, −2, 7, −4) Xác định hệ cơ sở và số chiều của không gian E Tìm toạ độ của vec tơ còn lại đối với hệ cơ sở đã chọn
4 Cho ánh xạ f: 3 2
R → R (x x x1; ;2 3) a (x1+2 ;x x2 2−2x3)
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của f theo các hệ cơ sở chính tắc của các không gian R 3 , R 2
c) Tìm Im(f) , Ker(f) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian Im(f), Ker(f)
5 Cho ánh xạ f : R 3 → R3
xác định bởi: f x x x( 1, ,2 3) (= x1−2 ;x2 x2+x3; x1− +x2 x3)
a) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính của không gian R 3
b) Tìm Imf, kerf
c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R3 và đối với hệ cơ sở:
v1 =(1, 2,1 ,) v2 =(3,1, 2 ,) v1=(1,1, 1− )
6 Trong không gian R 3 cho các cơ sở {e1=(1, 2,3 ,) e2 = −( 1, 2, 10 ,− ) e1= −(1, 1,8) } và
{v1= −1, 2,3 , v2 = 1,1,1 ,v1 = 1,0,3} .Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở {e e e1, ,2 3} sang cơ
sở {v v v1, ,2 3}
7 Cho phép biến đổi tuyến tính f trên R 3 có ma trận theo cơ sở chính tắc {e e e1, ,2 3} của R 3 là :
7.1
A
−
7.2
B
a) Tìm các trị riêng và vectơ riêng tương ứng
b) Tìm một cơ sở mới của R 3 để đối với cơ sở này ma trận của f có dạng đường chéo và tìm
ma trận đường chéo đó.Tìm ma trận chuyển đổi cơ sở
c) Tính An
8 Xác định ma trận của phép biến đổi tuyến tính đã biến những vectơ a1, a2 , a3 thành b1, b2 , b3
trong cùng một hệ cơ sở, với :
a1 = (0; 1; 1) , a2 = (1; 0; 1) , a3 = (1; 1; 0)
b1 = (2; 2; 1) , b2 = (2; 1; 2) , b3 = (1; 2; 2)
9 Dùng phương pháp Lagrangeđưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc Tìm ma trận chuyển
từ cơ sở ban đầu sang cơ sở cuối cùng (để dạng toàn phương có dạng chính tắc):
( )
( )
( )
a x x x x x x x x x x
b x x x x x x x x x x
c x x x x x x x
ϕ
ϕ
ϕ
10. Cũng với câu hỏi như bài tập 9 , bằng cách dùng phương pháp Jacobi ở phần a ,b.