ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI KỲ: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chứng minh tập hợp E vectơ có dạng: x = ( a, b, 0, c ) với a, b, c ∈ R 3a + 2b − 5c = không gian không gian vectơ R4 trường số thực Tìm sở số chiều Chứng minh hệ { e1 , e2 , e3 , e4 } tạo thành hệ sở không gian vectơ R4 trường R với e1 = ( 1, 1, 1, −1 ) ; e2 = ( 1, 1, −1,1) ;e3 = ( 1, −1, 1, 1) e4 = (− 1, 1, 1, 1) Tìm toạ độ vectơ x = (3, 3, 5, 4) hệ sở Cho không gian E sinh hệ vectơ { e1 , e2 , e3 , e4 } với e1 = (1; 2; 1; −1) ; e2 = (1, −1, 3, −1) , e3 = (−1, 2, 0, 1) ; e4 = (4, −2, 7, −4) Xác định hệ sở số chiều không gian E Tìm toạ độ vec tơ lại hệ sở chọn R3 → R Cho ánh xạ f: ( x1; x2 ; x3 ) ( x1 + x2 ; x2 − x3 ) a a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f theo hệ sở tắc không gian R3, R2 c) Tìm Im(f) , Ker(f) Tìm sở số chiều không gian Im(f), Ker(f) Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi: f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 ; x2 + x3 ; x1 − x2 + x3 ) a) Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính không gian R3 b) Tìm Imf, kerf c) Tìm ma trận f sở tắc R3 hệ sở: v1 = ( 1, 2,1) , v2 = ( 3,1, ) , v1 = ( 1,1, −1) Trong không gian R3 cho sở { e1 = ( 1, 2,3) , e2 = ( −1, 2, −10 ) , e1 = ( 1, −1,8 ) } { v = ( 1, −2,3) , v = ( 1,1,1) , v = ( 1, 0,3) } sở { v1 , v2 , v3 } Tìm ma trận chuyển sở từ sở { e1 , e2 , e3 } sang Cho phép biến đổi tuyến tính f R3 có ma trận theo sở tắc { e1 , e2 , e3 } R3 : 7.1 1 −2 ÷ A = 1 ÷ 1 ÷ 0 ÷ 7.2 B = ÷ −1 −1 ÷ a) Tìm trị riêng vectơ riêng tương ứng b) Tìm sở R3 để sở ma trận f có dạng đường chéo tìm ma trận đường chéo đó.Tìm ma trận chuyển đổi sở c) Tính An Xác định ma trận phép biến đổi tuyến tính biến vectơ a1, a2 , a3 thành b1, b2 , b3 hệ sở, với : a1 = (0; 1; 1) , a2 = (1; 0; 1) , a3 = (1; 1; 0) b1 = (2; 2; 1) , b2 = (2; 1; 2) , b3 = (1; 2; 2) Dùng phương pháp Lagrangeđưa dạng toàn phương sau dạng tắc Tìm ma trận chuyển từ sở ban đầu sang sở cuối (để dạng toàn phương có dạng tắc): a ) ϕ ( x ) = x12 + x22 + x32 − x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 b) ϕ ( x ) = x12 + x22 − 3x32 + x1x2 − x1 x3 − x2 x3 c) ϕ ( x ) = x1 x2 + x1 x3 − x2 x3 10 Cũng với câu hỏi tập , cách dùng phương pháp Jacobi phần a ,b