Hình học sơ cấp và thực hành giải toán phần 1

BỌ GIAO DỤC VÁ ĐAO TẠO Dự ÁN Đ Á O TẠO G IA O VIÊN THCS LOAN No 1718-VIE (SF) VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) - HOÀNG NGỌC HƯNG ĐỐ MẠNH HÙNG - HOÀNG TRỌNG THÁI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) - HOÀNG NGỌC HƯNG Đ ỏ MẠNIỈ HÙNG - HOÀNG TRỌNG THÁI HÌNH HỌC Sơ CẤP ■ VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN ■ NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC s PHẠM M ã số: 1 /4 1 -Đ H 0 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẨU Chương ĐA GIÁC VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC §1 Đa g iá c 1.1 Các định n g h ĩa 1.2 Miền trong, điểm đa giác 10 1.3 Cốc tính chất đa giác 13 1.4 Phân hoạch - Sự đồng phân đa giác 15 1.5 Diện tích đa giác 18 1.6 Diện tích tính đồng phân 23 §2 Diện tích hình phẳng 25 2.1 Hình diện tích hình 25 2.2 Hình khả diện 26 2.3 Các tính chất diện tích 27 §3 Một sơ chủ dể sem inar 28 Bai tập chương 28 Chương ĐA DIỆN - KHỐI ĐA DIỆN - THỂ t í c h §1 Đa diện - Khối đa d iệ n 31 1.1 Định nghĩa 31 1.2 D ịnh lí J o rd a n 33 1.3 Đa giác lồi 33 1.4 Sơ đồ phang hình đa diện 33 1.5 Đặc sô’ Euler đa diện đơn liên 36 1.7 Da diện nửa 39 §2 Thê’ tích khối đa diện 41 2.1 Phân hoạch khối đa diện 41 2.2 Thể tích khơi đa d iện 41 §3 Một số chủ để S e m in a r 46 Bai tập chuơng 46 Chương MỘT s ố VẤN ĐỂ VỀ ĐƯỜNG TRÒN V À M ẶT C Ẩ U J §1 Phương tích m ột điểm đối vối đường trò n 5| 1.1 Phương tích 1.2 Trục đẳng phương .3 1.3 Tâm đẳng phương §2 Góc hai đường trịn Hai đường tròn trực g ia o 2.1 Góc hai đường tr ò n 2.2 Điều kiện cần đủ để hai đường tròn trực giao 5' §3 Chùm đường trị n 51 3.2 Các tính c h ấ t .51 3.3 Các loại chùm đường trò n 'r>! 3.4 Hai chùm đường tròn liên hợp .51 §4 Phép nghịch đ ả o 6( 4.1 Định nghĩa 6( 4.2 Một số tính chất phép nghịch đ ảo 6( 4.3 Biểu thức tọa độ phép nghịch đ ảo HI 4.4 Ánh đường thẳng qua phép nghịch đảo 6Í 4.5 Anh đường tròn qua phép nghịch đ ảo 6í 4.6 Tính bảo giác phép nghịch đảo .6Í §5 Mặt cẩu 6í 5.1 Phương tích điểm đối vói mặt cầu (ÌS 5.2 Góc hai mặt cầu Hai mặt cầu trực giao 65 5.3 Chùm mặt c ầ u 6Ể 5.4 Các loại chùm m ặt cầu 6G 5.5 Phép nghịch đảo không g ia n 67 5.6 Phép chiếu n ổ i 6fl §6 Độ dài đường trịn Diện tích hình trị n 69 6.1 Độ dài đường tròn 69 6.2 Tính chất độ dài đường tr ị n 70 6.3 Diện tích hình trị n 71 §7 Một số chủ để Sem inar đường tròn mặt c ầ u 73 Bài tập chương 74 Chương QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH §1 Bà tốn quỹ tíc h 77 1.1 Khái niệm quỹ tích 77 1.2 Bài toán quỹ tích có dạng chứng m in h 78 ] Bái tốn tìm quỹ tíc h 80 1.4 Một sơ quỹ tích b ả n 83 1.5 Ap dụng phép biến hình đê giải tốn quỹ tích 83 1.6 Dùng phương pháp tọa độ đê giải tốn quỹ tíc h 86 §2 §3 Dựng h ìn h 89 2.1 2.2 2.3 2.4 Khái niệm dựng h ìn h 89 Các tiên để phép dựng hình (bằng thước compa) 90 Bài toán dựng h ìn h 90 Các tốn dựng hình b ản 92 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Các bước giải tốn dựng h ìn h 92 Áp dụng quỹ tích đê giải tốn dựng hình 95 Áp dụng phép biến hình đê giải tốn dựng h ìn h 98 Dựng hình phương pháp đại sơ’ .101 Điều kiện giải tốn dựnghình thưâc compa 106 Một sô 'ch ủ để s e m in a r 110 Bài tập chương 111 Chương MỘT s ố BÀI TỐN N ổl TIẾNG §1 Một số toán dựng hinh cổ 117 1.1 Bài toán gấp đôi khối lập phương » 117 1.2 Bai tốn cảu phương hinh trị n 118 §2 Các toán k h c 119 2.1 2.2 2.3 2.4 Bài toán Copernic 119 Tam giác Morley Định lí Morley 120 Bài toán Fermat Điểm Fermat 122 Bài toán Torricelli 123 2.5 Bài toán Napoléon 124 §3 Một số chủ đế sem ina r t ậ p 127 ! Tâm tỉ cự 127 3.2 Tọa độ tỉ c ự 129 Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HỈNH HỌC §1 Các phương pháp suy luận giải tốn hình h ọ c 13 1.1 Phương pháp suy luận diễn dịch 12 1.2 Những suy luận có lí thường gập giải tốn hình học ] §2 Các bưỏc giải tốn hình h ọ c 15 2.1 Tìm hiểu đề to n 15 2.2 Tìm tịi lịi giải to án 15 2.3 Trình bày lòi giải to n 16 2.4 Nhìn lại toán lời g iải 16 §3 Sem inar giải tốn hình h ọ c 17 3.1 Công tác chuẩn bị IV 3.2 Tiến hành buổi sem inar 17 §4 Một sơ chủ đề sem in ar 17 §1 Bài tốn chứng m in h 17: Chương MỘT sô' DẠNG TỐN HÌNH HỌC 1.1 Chứng minh hình n h a u 17: 1.2 Chứng minh hai đưịng thẳng vnggóc với n h a u 1K( 1.3 Cốc toán liên quan đến đa giác nội tiếp,ngoại tiếp đường trcòm 18i 1.4 Chứng minh hệ thức hình học 19! 1.5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đưòng thẳng đồng quy song song 20ị §2 Tính tốn hinh h ọ c 22 bc(b + c2- a 2) = d (b2 + c2 + bc) - bV (2 ) Thay (2) giá trị b + c2 ỏ (1) ta đến: bc(2 m - — ) = d ( m + — + bc) - bV Đ ặt be = X ta đến phương trìn h bậc h sau đốivới X: f(X) = 2X2 + (2m - — - 2d2)X - d (2m + — ) = (3) a» Từ phương trìn h (1) ta có (b + c) - 2bc = 2m + — Bởi đ ặ t Y = b + c Y2 = 2X + m + — (4) Nếu ta dựng X Y có th ể dựng hai cạnh b c ABC dựng tam giác ABC 2) Cách dựng: - Dựng nghiệm dương X phương trìn h (3) - Dựng nghiệm dương Y phương trìn h (4) 105 —D ựng h a i đoạn th ẳ n g b c cho b + c = Y, bc = X —D ựng ta m giác với ba canh a, b, c 3) C ng m inh: D ành cho b ạn đọc 4) B iện luận: — Phư ơng trìn h (3) ln ln có h nghiệm trá i dấu, v ậ y có nghiệm dương —Phư ơng trìn h (4) ln có m ột nghiệm dương —Để dự ng b, c ta cần có điều kiện: Y2^ 4X (vì (b + c) > 4bc), a2 „ a2 tức là: 2X + 2m + — > 4X, hay X < m + — Đ iểu k iên tương đương vối f(m + —- ) > hay: (m + — )2 + (2 m - — 2 d 2).(m + — ) - d (2 m + — ) > 4 R út gọn biểu thức trê n ta được: m > d - Đ ể dự ng ta m giác ABC cần có điều kiện: I b —c I < a < b + c h ay VY - 4X < a < Y Y - 4X < a z < Ya a2 a2 co -2X + 2m + — < a < 2X + 2m + — -X < — - m < X Độc giả có th ể tín h to n để th ấ y rằn g điều kiện ln ln thực Vậy to án có m ột nghiệm h ìn h m > d 2.9 Điểu kiện giải toán dựng hinh thước compa a) K hơng p h ải tốn dựng hình đểu có th ể giải thước v compa (m ặc d ầu có th ể giải dụng cụ khác) Trước h ế t ta th ấ y rằ n g m ột b ài to n dự ng h ìn h quy việc dựng m ột sô' đoạn th ẳ n g m độ dài biểu th ị q u a đoạn th ẳ n g 106 cho Đ ịnh lí sa u cho ta th ấ y phạm vi giải tốn dựng hình thước compa Đ ịn h lí Điều kiện cần đủ đế đoạn thắng dựng thước compa độ dài biêu thị qua độ dài đoạn thắng cho nhờ sô hữu hạn phép tính: cộng, trừ, nhăn, chia bậc hai (khi phép tốn có nghĩa) Chứng m inh: Điều kiện đủ: Hiển nhiên, phép tín h cộng, trừ, nhân, chia, bậc hai có thê dựng thước compa Điều kiện cần: Giả sử dựng đoạn th ẳn g AB thưóc compa Điều có nghĩa sau thực số hữu h ạn phép dựng đoạn th ắn g đường trịn điểm A B giao điểm hai sô" đường Hãy đưa vào m ặt phang hệ tọa độ Đểcác vng góc, tọa độ A B nghiệm hệ hai phương trìn h , hai phương trìn h bậc n h ấ t hay phương trìn h phương trìn h bậc n h ất cịn phương trìn h phương trìn h bậc hai (chú ý giao hai đường trịn có th ể xem giao trục đẳng phương chúng với hai đường trịn đó) Dễ thấy nghiệm hệ biếu thị qua sô cho phép cộng trừ n hân chia bậc Định lí chứng minh b) Từ định lí ta suy ra: phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, (a * ) có nghiệm dương; với a, b, c độ dài đoạn th ẳn g dựng được, dựng đoạn th ẳ n g có độ dài nghiệm Đối với phương trìn h bậc ba: ax + bx + cx + d = (a * 0) ta ý đến kết dại sO' sau đây: + Nếu phương trìn h nói có hệ sơ' a, b, c, d hữu tỉ khơng có nghiệm hữu tỉ th ì nghiệm (vơ ti) khơng th ể biểu th ị qua hệ số phép toán cộng , trừ, nhân, chia bậc hai + Nếu a, b, c, d số nguyên th ì nghiệm hữu tỉ phương trìn h nói có dạng — , m ước số d n ước sô’ a n Sau ta hăy xét tốn cổ có tên gọi "chia ba góc" 107 B ài to n : Cho góc có số đo a Hãy dựng góc có sơ đo — Lời giải: Ta b iế t rằ n g c o s a = 4cos3ậ —3 c o s ậ 3 Ta đ ă t cosa = a, co s— = X ta đươc phương trìn h : 4x - 3x - a = (1) cX oc V Góc — dư ng đươc dưng đươc co s— , vây to n quy vê viêc dưng 3 nghiệm phương trìn h ( ) Khi a = 60°, cosa = —, phương trìn h (1) trở nên 4x - 3x - — = hay x - x - 1= (2) Phương trìn h khơng có nghiệm hữu tỉ, nên nghiệm khơng th ể dựng Vậy to n chia ba m ột góc nói chung khơng dựng thước com pa S au ta nêu m ột ví dụ phức tạ p hơn: Ví d ụ : D ựng tam giác ABC biết h cạnh BC = a, AB = c đường p h ân giác góc A AD = d, (hình 62) A 108 Lời giải: Ta biết liên hệ phân giác d với ba cạnh tam giác ABC bc(b' + c2 —a 2) = d2(b2 + c2 + 2bc) —2b2c2 Đặt b = X, (1) (1) trở th n h phương trìn h bậc ba x: cx3 + (2 c - d 2)x + (c3 - a 2c - cd2)x - d V = (2 ) Để dựng tam giác ABC ta cần dựng cạnh b nghiệm phương trìn h (3), ng (3) phương trìn h bậc ba tốn nói chung khơng giải thước compa (chang hạn cho a = c = d = 3) Dựng đa giác đều: Chúng ta b iết cách dựng tam giác đều, tứ giác (hình vng), ngũ giác đều, Tuy n h iên đa giác có th ế dựng thước compa T a ý rằn g vấn để dựng đa giác n cạnh tương đương vổi vấn đề chia m ột đường tròn th n h n cung Trước rằng: ) Nếu dựng đa giác n cạnh hiển nhiên có th ế dựng đa giác 2n cạnh, 4n cạnh, hay tổng quát có th ể dựng đa giác đêu kn cạnh, với k sô nguyên dương ) Nếu dựng đa giác rij cạnh đa giác n cạnh n, n h sô nguyên tố n h au th ì đa giác với số cạnh n = rii.n có th ể dựng T h ậ t n, n nguyên tô’ nh au nên tồn sô nguyên dương kj, k cho kjii, + k n = Khi k , n , ^ I + n k 2n 2— = ^ C ĩ> k ,ỉĩ + k 2— = — , từ suy ta có th ể chia đường trịn n n n2 n, n n phần Ví d u : Nếu n, = 3, n = th ì 7.3 - 4.5 = nên — n ti có nghía lấy lần cung — trừ lần cung n — = — Điều n 15 71 — (hai cung có n điểm đầu trù n g n hau) th ì ta cịn lai cung —— Vây có th ể dưng đươc đa giác 15 có cạnh 15 = 3.5 109 Đ ịn h lí G a u ss Điều kiện cần đ ủ đê đ a giác n cạnh có thê dụng b ằ n g thước compa sô'nguyên n có dạng: n = m n = m.p ,.p ps Trong sỏ Pi số nguyên tố có dạng p, = 2 + , với k, sô nguyên T đ ịn h lí ta suy ra: + H ìn h vuông, h ìn h cạn h đều, 16 c ạn h đều, 32 cạnh dựng + N ếu n = 2 + th ì đa giác n cạnh dựng được: với k = 0, k = 1, k = 2, k = 3, k = ta có đa giác cạnh, cạn h , 17 cạnh, 257 cạnh, 65537 số nguyên tô' nên nhữ ng đa giác dựng + N ếu k = 5, , th ì n không p hải số ngu y ên tô' n ê n đa giác có sơ c n h n h th ê không dự ng + Đ a giác cạnh, cạnh, 11 cạnh khơng dụng số ngun t ố n h n g khơng có dạng: 2 + §3 MỘT SỐ CHỦ ĐỂ SEMINAR S u tầ m v giải b ài tốn quỹ tích Sử d ụ n g p h ầ n mềm hình học động G eoSketchpad để m in h họa quỹ tích trê n m áy vi tính Sưu tầm giải tốn dựng hình Các to án khơng dự ng b ằn g thước compa, n h n g giải d ụ n g cụ khác 110 S u tầ m giải to án dựng h ìn h giải thước b ằng compa BÀI TẬP CHƯƠNG C ác toán quỹ tích Cho đường trịn đường kính AB, điểm N di động đường tròn.Trên tia đối NA lấy điểm M cho NM = NB Tim quỹ tích điểm M Trên đường tròn (O, R) lấy hai điểm cố định A, B điểm c di động.Tìm quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp tam giác ABC Cho góc xAy Hai điểm B c thay đổi tia Ax Ay cho AB + AC = d không đổi TỪA kẻ đường thẳng song song với BC, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M Tìm quỹ tích điểm M Cho hai đường thẳng a, b, cắt I điểm o cách a b Các điểm A, B hình chiếu o a t> Lấy điểm M e a, N e b cho MN = AM + BN Tìm quỹ tích hình chiếu H điểm o lên đường thẳng MN Cho hai điểm A, B với AB = a Hai nửa đường thẳng Ax, By nằm phía với dường thảng AB vng góc với AB Lấy hai điếm di động M M e Ax, N Ay, cho ABMN có diện tích s khơng đổi Tlm quỹ tích hình chiếu H trung điểm AB lẽn đường thẳng MN Cho đoạn thẳng AB = a Hai nửa đường thảng Ax, By nằm phía AB vng góc với AB Hai điểm M, N di động Ax By cho MN = AM + BN Tìm quỹ tích hình chiếu H trung điểm AB lên đường thẳng MN Cho hai điểm A, B điểm c di động cho góc ACB = a không đổi Trèn tia AC lấy điểm M cho AM = BC Tìm quỹ tích điểm M Tìm quỹ tích tâm I đường trịn chia hai đường tròn cho thành nửa đường trịn Cho ba điểm A, B, c cố định, tìm quỹ tích điểm M cho MB2 + MC2 = MA2 Cho hai đường tròn (O, R) ( \ R') Điểm A thay đổi (O, R); điểm c thay đổi (O1, R') Tìm quỹ tích điểm B cho OABC hình bình hành Cho hình binh hành ABCD Hai điểm M, N thay đổi hình bình hành Chứng minh quỹ tích trung điểm đoạn thẳng MN !à miền bình hành ABCD 12 Cho bốn đường thẳng d „ d 2, d3, d4 cắt tạo thành m ột hình vrrg có cạnh a Chứng minh quỹ tích điểm M mà tổng khoảng cách từ đến đường thẳng 2a miền hình vng nói 13 Cho tam giác cạnh a Chứng minh quỹ tích điểm M mà tổng khoảng cách từ tới ba cạnh tam giác 14 miến tam giác Khoảng cách từ điểm A tới hình H giá trị bé độ dài A M , với M e H Khoảng cách kí hiệu d(A, H) Giải tốn sau đây: Cho hai đường trịn phân biệt c c v tìm quỹ tích điểm M cho d(M, C) = d(M, C ’) 15 Tìm quỹ tích điểm M mà khoảng cách từ tói miến hình vng ABCD m ột độ dài a khơng đổi Ap dung phép biến hình để giải toán sau đảv: 46 Cho ba điểm A, B, c thuộc đường trịn (O, R) điểm A cố định dây cung BC thay đổi song song với Điểm M trung điểm góc BAC Tìm quỹ tích điểm N 17 Cho ba điểm A, B, c thuộc đưòng tròn (O, R), điểm A cố định cịn dây cung BC thay đổi song song với Điểm H chân đường vng góc hạ từ A xuống BC, H,, H2 điểm đối xứng với H lấn lượt qua BC AC Đường thẳng H,H2 cắt đường thẳng AB, AC D E tia HE cắt đưòng tròn (O, R) M Trên tia HD lấy điểm N cho HM = HN Tim quỹ tích điểm N 18 Cho đường thẳng d đường tròn (O, R) Một đường tròn (O ,, R,) thay đổi tiếp xúc với đường tròn (O, R) có bán kính R, khơng đổi Gọi a đưàng thẳng song song với d tiếp xúc với (O,, R,) Tlm quỹ tlch tiếp điểm 19 Cho điểm B di động đường tròn (O, R) cho điểm A khơng thuộc đường trịn Tìm quỹ tích giao điểm M đường thẳng AB phân giác góc AOB ¿0 Cho hai điểm B, c cố định đường tròn (O, R) điểm A di động đường trịn Điểm M trung điểm BC, N điểm đối xứng M qua phân giác góc BAC Tìm quỹ tích điểm N 21 Cho nửa đường trịn c đường kính AB Điểm M di động nửa đường trịn Vẽ hình vng BMCD nằm ngồi tam giác AMB Tìm quỹ tích điểm c điểm D 112 22 Một hình vng thay đổi ABCD có điểm A cố định đường thẳng BC qua điểm cố p định Tim quỹ tích đỉnh cịn lại hình vuông 23.^ Cho hai điểm BC cố định đường tròn (O) điểm A thay đổi đường trịn Tìm quỹ tích điểm M’ hình chiếu trung điểm AB đường thẳng AC 24 Cho tam giác ABC, phân giác góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp (O) tam giác điểm D Một đường tràn (O') thay đổi đường trịn (O) Tìm quỹ tích điểm B điểm c 25 Cho tâm giác ABC thay đổi luôn dạng với Trực tâm H’ ABC điểm cô' định, điểm A thay đổi đường trịn (O) Tim quỹ tích điểm B điểm c 26 Cho hai đường tròn (O) (O') tiếp xúc A, d tiếp tuyến chung A Chứng minh có hai đường trịn (I) (I’) qua điểm M cho d tiếp xúc vối (O) (O') Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai M' hai đường trịn 27 Cho đường trịn (O) điểm I khơng nằm Hai cát tuyến thay đổi kẻ từ điểm I cắt đường tròn A, A' B, B’ Tim quỹ tích giao điểm M (khác I) hai đường tròn (I, A, B) (I, A', B') 28 Cho hai đường tròn (O, R) (O', R’) phân biệt Gọi r r cặp đường tròn tiếp xúc với đường chúng tiếp xúc với (O, R) (O', R’) Tìm quỹ tích tiếp điểm M r r 29 Giải tốn 28 đường trịn (O, R) thay đường thẳng Hãv áp dung phưona pháp đai số để giải toán sau đâv: 30 Cho ba điểm A, B, c cố định Tìm quỹ tích điểm M cho MA2 + MB2 + MC2 = k2 khơng đổi 31 Cho đường trịn (O, r), hai đường kinh AB CD vuông góc với Một điểm M di động đường trịn, I hình chiếu M CD, p giao điểm AI OM Tìm quỹ tích điểm p 32 t Cho hai điểm A, B cố định đường thẳng d không song song với AB Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC với c điểm thay đổi đường thẳng d 33 Cho hai đường thẳng a b cắt o Hai điểm A, B lấn lượt thay đổi a b cho O A.OB = k2 khơng đổi Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB 113 34 Trong không gian cho hai đường thẳng a, b chéo vng góc với Gọi AB đường vng góc chung a b, A ea, B e b Trên a, b lấy hai điểm thay đổi M N cho AM.BN = k2 khơng đổi Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thảng MN Các tốn dựng hình Ạ Cho đoạn thẳng AB đường thảng d Chỉ dùng thước dựng trung điểm I đoạn thảng AB Cho đoạn thẳng AB với trung điểm I điểm c không thẳng hàng với AB Chỉ dùng thước, dựng qua c đường thẳng song song với AB v3 Cho đường tròn (O, R) điểm M Hãy dùng thước để dựng: - Một đường thẳng qua M vng góc với đường kính AB (O, R) - M ột đường thẳng qua M song song với đường kính AB (O, R) - Một đường thẳng qua M vng góc với đưịng thẳng d cho Cho hai điểm A, B Chỉ dùng compa dựng điểm c cho B trung điểm AC, dựng điểm I trung điểm AB Hãy dùng com pa để dựng đinh hình lục giác Cho đường trịn (O, r) ta xét phép nghịch đảo có cực o phương tích r2 Chỉ dùng com pa xây dựng ảnh điểm A cho trước Chỉ dùng com pa, chia đoạn thẳng cho thành n phẩn Dưng hình thước compạ: Cho đường thẳng d, đường tròn (O) điểm I thuộc (O) Dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) I tiếp xúc vâi đường thẳng d Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua A cho tổng khoảng cách từ B, c tới d lớn 10 Cho góc xO y điểm M nằm góc Dựng đường thẳng d qua M cắt Ox O y A, B cho a) MA = MB; b) MA = 2MB 11 Dựng hình thang ABCD biết cạnh đáy AB = a đường cao h hai đường chéo có độ dài c d 114 12 Dựng đường tròn qua I tiếp xúc với hai đường thẳng d d' song song với 13 Dựng hình thoi biết cạnh a bán kính r đường trịn nội tiếp 14 Dựng tam giác ABC biết AC = b, trung tuyến CM = m bán kính 15 Cho đường trịn (O), hai điểm đường tròn ngoại tiếp R hai điểm 16 c, D cắt đường tròn c, D đường thẳng d Dựng đường tròn qua (O) hai điểm A, B cho AB // d Dựng hình bình hành ABCD biết AB = a, đường cao h tỉ số hai đường chéo - (p q e Z) q 115