Hình học sơ cấp và thực hành giải toán phần 2

thư ng MỘT SỐ BÀI TOÁN NỔI TIẾNG Trong lịch sử Hình học ghi lại nhiều toán hay gắn với tên tuổi nhà toán học với huyền thoại Dưới số tốn hình học tiếng §1 MỘT SỐ BÀI TỐN DựNG HÌNH c ổ C húng ta biết tốn chia ba góc a, đưa việc dựng nghiệm :ủ a phương trìn h bậc ba 4x3—3x —a = vối a = COS— Trong chương trước, ta biết: Phương trìn h bậc ba vối hệ sơ' hữu ỉ khơng có nghiệm hữ u tỉ th ì khơng dựng nghiệm bằn g thước :ompa Do to n chia ba góc có giải h ay khơng tu ỳ thuộc 'ào góc a cho Một sơ' tốn dựng hình tiếng c ổ Hy Lạp giải đáp >hờ p d ụ n g đ ị n h lí tr n Bài to án g ấ p đôi khôi lập phương Thòi cổ Hy Lạp (th ế kỉ IV, TCN), ỏ đảo Delos tro n g vùng biển Hy Lạp lạn bệnh dịch lan trà n Một n h tiên tri nói rằn g cần phải xây lại ngơi nộ hình lập phương có th ể tích gấp đơi th ể tích ngơi mộ cũ (cũng hình ập phương) th ì n n dịch trừ Nhiều n h tốn học thời tham [ia giải toán phải dùng dụng cụ khác thưốc kẻ ompa giải Phải đợi đến năm 1837 n h toán học Pháp 117 W antzel (1814 - 1848) chứng m in h rằ n g to án dựng hình “gấp đơi khơi lập phương" b ằng thước kẻ com pa khơng có lời giải Giả sử ngơi mộ h ìn h lập phương có cạnh a, th ể tích V = a \ ngơi mộ hình lập phương có cạnh X, th ể tích 2V = X3, X3= a Lấy a b ằng m ột đơn vị độ dài, ta có phương trìn h bậc hệ sơ’ ngun: X3- = Phương trìn h n ày khơng có nghiệm hữ u tỉ, n ên theo đ ịn h lí trên, k h n g d ự n g đ ợ c n g h iệ m X c ủ a n ó b ằ n g th c v c o m p a 1.2 Bài to n c ẩ u phư ng h ìn h trị n D ựng thước com pa m ột h ìn h vng có diện tích diện tích m ột h ìn h trịn đ ã cho Bài to án đ ặ t vào kho ản g năm 1800 trước C ông nguyên, đắ nh iều n h to n học tiến g n ghiên cứu Gọi X cạnh h ìn h vng có diện tích b ằn g diện tích h ìn h trị n có bán k ín h R, ta có phương trìn h : X2 = R X = R \fn Năm 1882, n h toán học Đức L indem ann (1852 — 1939) chứng m inh rằ n g n m ột sô’ siêu v iệt (không nghiệm đa th ứ c với hệ số hữu tỉ), nên nghiệm phương trìn h trê n khơng biểu diễn nhờ sô' hữ u h n phép to án sơ cấp, to án khơng dự ng nghiệm thưóc compa Đến nay, không n ắm vững v ấ n đề nên v ẫ n n h iề u ngưòi tiếp tục giải to án này, lầm tư ỏng đ ã tìm lời giải m khơng b iết mắc sai lầm tro n g cách giải 118 §2 CÁC BÀI TOÁN KHÁC 2.1 Bài to n C o p e rn ic Cho đường tròn (O, R) đường trịn R ’), có R ’ = R Đường trịn (O') lăn khơng trượt bên đường trịn (O) Tim fuỹ tích điểm M đường tròn (O’) Lời giải: Cho đường tròn (0 , R) ìường trịn ( \ R’), có 2R' = R Đưịng ;rịn (O’) lăn khơng trư ợ t bên đường ;ròn (0 ), p điểm tiếp xúc thời Diêm N vị tr í tiếp xúc sau t giây la i đường tròn, điểm M ỉưịng trị n nhỏ di động đến vị trí điểm ;iếp xúc N h đường trịn Do lăn chơng trư ợ t nên độ dài cung PN ỉường tròn (O) bàng độ dài cung PM ỉường tròn O’ T rên đường trịn (O’), góc nội tiếp POM có sơ đo a (rad) nửa sơ’ !o cung PM, ta có độ dài cung PM 2R'a T rên đường trò n (O), góc tâm PON có sơ' đo p số đo cung PN, ;a có độ dài cung PN b ằng Rp Theo , độ dài cung PM độ dài cung PN, nên 2R’a = Rp, mà ÌR’ = R, a = p, tức là: POM = PON Vậy o , M, N ln th ẳn g làng, hay diêm M ln di dộng trẽn dường kinh ON đường tròn (O) 119 2.2 Tam giác Morley Định lí Morley Ba giao điểm đường thằng chia ba góc (hoặc ngoài) tam giác ABC lập thành tam giác đều, gọi tam giác Morley Frank Morley (1860 - 1961) Nhà tốn học người Anh Hình 64 Lời giải: Đặt góc A = 3ot, B = 3p, c = 3y; có a + p + Y= 60° Giả sử bán kính đưịng trịn ngoại tiếp tam giác ABC 1, th AB = 2sin3y, BC = 2sin3a, AC = 2sin3p Theo công thức hàm sô' sin tam giác BPC: BP _ BC _ 2sin3a _ 2sin3a sin y - sin(180° - p - y) _ sin(P + y) sin(60° - a) 120 ỉo đó: gp _ s in a s in y sin(60° - a ) Lại có: sin a = sin a - 4sin3a Vã = sin a[(——) - sin a] = 4sina(sin260° —sin a) = 4sina(sin60° + sina)(sin60° —sina) H Vậy: BP = sin a siny sin(60° + a) „ _ q P _ _ Tương tự: BR = siny sin a sin(60° + y) Theo công thức h àm s ố cosin: PR = BP + BR - 2BP.BR cosß, = 64sinza sin 2? [sirr(60° + a) + sin2(60° + y) 2sin(60° + a)sin(60° + y)cosß], N hưng (60" + a) + (60u + y) + ß = 120° + a + p + y = 180°, nên từ có tam giác có góc (60° + a), (60° + y), p Áp dụng công thức h m s ố s in v c o s in đ ố i v ố i t a m g iá c đ ó t a đư ợ c: sin2p = sin2(60° + a) + sin2(60° + y) - 2sin(60° + a)sin(60° + y)cosß Cuối ta được: PR = sin a sinß siny Nhận xét tàng biểu thức đối xứng a, ß, y nên ta có: PR = RQ = Q P = sina sinß siny Vậy tam giác PQR 121 2.3 Bài toán Fermat Điểm Fermat Cho tam giác ABC Dựng tam giác ABC’, BCA’, CAB’ khơng có điểm chung với tam giác ABC Chứng minh ba đoạn thắng AA\ BB \ C đường thắng A A ’, BB', CC’ đồng quy điểm (gọi điểm Fermat) Lời giải: Giả sử góc tam giác nhỏ 120° Dễ thấy hai tam giác ABB’ AC’C (c-g-c) nên BB' = CC' Tương tự, AA' = BB' Gọi F giao điểm hai đưòng thẳng BB' CC' Hai tam giác ABB’ AC’C nên AB’F = ACF, tứ giác AFCB’ nội tiếp Tương tự, ta có tứ giác AFBC' nội tiếp Suy ra, AFC = AFB = 120", nên có BFC = 120° tứ giác BFCA' nội tiếp, BFA’ = BCA’ = 60" Ta có BFA’ = AFB = BFA’ = 120° + 60" = 180", ba điểm A, F, A' th ẳ n g h n g Vậy, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy F Bạn đọc tự chứng minh trường hợp tam giác có góc khơng nhỏ ° 120 Hình 65 122 2.4 B ải tố n T o rric e lli Bài toán Fermat đặt vào khoảng 1600, đến năm 1659, nhà toán học Vicenzo Viviane (người Italia) cho công bô lời giải Torricelli, gọi “Định lí Torricelli”: Cho tam giác mặt phang, tìm diêm cho tơng khoảng cách đến ba đinh tam giác cho nhỏ Lời giải: , Evangelista Torricelli (1608 - 1647) Trường hợp tấ t góc tam giác nhỏ 120° Cho tam giác ABC Lấy điểm E bất ki, gọi s = EA + EB + EC Tim vị trí đièm E cho s nhỏ Qua phép quay tâm B, góc quay 60° biến BE thành BD, BE = DE nên tam giác BDE đểu EA = C’D Ta có: s = EA + EB + EC = C’D + BD + EC > Cơ Các điểm c, C’ cô định, nên tổng s nhỏ điểm E, D thuộc đoạn thẳng CC' Điểu xảy điểm E trùng với F (đicm Fermat tam giác ABC) Điếm F điểm cần tìm 123 Trường hợp có m ột góc tam giác hay lớn 1200 (B ạn đọc tự chứng m inh) 2.5 B i to n N a p o lé o n N apoléon m ột vị Hoàng đê r ấ t giỏi chinh chiến r ấ t sa y mê Tốn học Ơ ng thư ờng tự đ ặ t toán độc đáo đư a nhữ ng ý tưởng h a y tro n g cách giải, sau m ột số toán theo tương tru y ề n ông B i t o n N a p o lé o n C hứng m in h rang tâm ba ta m giác dựng ba cạ n h m ột tam giác bất k i tạo th n h m ột ta m giác D Hình 67 Có th ể chứng m in h to án N apoléon dựa vào điểm F e rm a t (xin dành cho độc giả) Dưới đây, tr ìn h bày m ột cách chứng m inh khác Bài to n N apoléon tương đương vâi toán sau: Chia cạnh ta m g iác A B C m ba p h ầ n Vẽ đoạn phía ta m giác Gọi D, E, F đ ỉn h p h ía ngồi tam giác vừa dựng C ng m in h rằ n g ta m giác D E F 124 Lời g iả i: (tóm tắt) nên suy ra: ADB + BEC+ CFA = 360° , tức DÃF + FCẼ + ẼBD = 720° - 360°, (hình 69) Cách giải dựa ý tưởng sau: Cắt rời quay tam giác DAF quanh đỉnh D góc quay 240° cho đỉth A trùng với B, cịn F trùng F’; Cũng làm đôi với tam giác FCE (quay tam giác FEC quanh đỉnh E góc quay -240"cho đỉnh c trùng với B, F trùng F’) T h e o t r ê n , p h ó p q u a y có góc q u a y b n g °, n c n t a có: F’DF = F’EF = 120° có ADFE = ADF’E (c-c-c), có FDẼ = ẼDF’ = 60° FẼĨ) = r i ò = 60° Vậy A DFE tam giác 126 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn thời lại ngoai tiếp đường tròn khác có tiếp điểm M, N, p, Q lấn lượt với cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác cho Chứng minh MP NQ Cho hai đưởng trịn tâm o , tâm có bán kính cắt hai điểm A B Gọi c điểm đường tròn tâm o , D điểm đường tròn tâm cho tứ giác ,C D hình bình hành Chứng minh điểm A, B, c , D trực tâm tam giác tạo đỉnh lại Cho đường trịn đường kính AB Hai đường thẳng qua p ngồi đường trịn tiếp xúc với đưởng tròn cho c D Gọi Q giao điểm AC với BD Chứng minh PQ X AB Trên cạnh CD hình vng ABCD lấy điểm M bất ki Đường trịn đường kính AM đường trịn đường kính CD cắt điểm thứ hai N Gọi p giao điểm DN BC Chứng minh PM AC Tứ giác nơi, ngoai tiếp đưịnq trịn: Từ điểm M ngồi đường tròn tâm o , kẻ cát tuyến MAB qua tâm o tiếp tuyến MC, MD Gọi K giao điểm AC BD Chứng minh bốn điểm B, c, M, K giao điểm AC BD Chứng minh bốn điểm B, c , M, K thuộc đường tròn Xác định tâm đường tròn Cho đường tròn tâm o , dây AB, CD vng góc với Các tiếp tuyến với đường tròn A, B, c , D cắt lấn lượt E, F, G, H Chứng minh EFGH tứ giác nội tiếp Gọi AB đường kinh đường tròn tâm o Từ A kẻ dây b ấ t kì cắt tiếp tuyến B đường tròn E F cắt đường tròn tám o ỏ c Vià D Chứng minh tứ yiác D C E F nội tiêp Cho hình bình hành ABCD (góc ABC tù), gọi o giao' đỉiểm hai đường chéo AC BD Gọi A' hinh chiếu D BC , B’ hìtrih chiếu D AC, C' hình chiếu D AB Chứng minh nẳm đường tròn ngoại tiếp tam giác A 'B ’C' Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm o Gọi D E llà hai tiếp điểm AB AC Các đường phân giác hai góc B c cắt AB), điểm I ỏ bên tam giác G ọi D giao điểm BI với AC, E giao điểm Cl với AB Chứng minh ADIE tứ giác ngoại tiếp đường trịn chì khi: IC - IB = AC - AB 9t Cho hình thang vng có tích độ dài hai cạnh đáy diện tích Chứng minh hình thang vng ngoại tiếp đường tròn 10 Tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt o Các đường tròn nội tiếp tam giác AOB, BOC, COD, DOA tiếp xúc với đường chéo BD K, L, M, N Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn KM = LN 1"í Hai đường trịn tâm o , tiếp xúc E Gọi AB CD hai tiếp tuyến chung đường trịn ( A D đường trịn tâm o ,) Chứng m inh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Chứng m inh thức hình hoc: 1y \ Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tia Ax, By vng góc với AB Trên Ax By lấy tương ứng hai điểm c D cho góc COD = 90° (O trung điểm đoạn AB) Chứng minh: a CD = AC + BD b 4(AC BD) = A B ^ Qua đinh A hlnh vuông ABCD cạnh a, vẽ đường thảng cát cạnh BC M cắt đường thẳng DC ỏ I Chứng minh rằng: AM _ AI2 a2 ' Gợi ỳ: Vẽ thêm đường thảng d vng góc A với AM cắt CD N A ANI Một đường thảng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: 252 a AE2 = EK.EG b — = — — AE AK + AG Cho tarriigiác ABC gọi r, R lấn lượt bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp Ra, Rb, Rc thứ tự bánkính đường trịn bàng tiếp trongcác góc A, B, C; diện tích, p nửa chu vi s tam giác a Tinh r, RA, RB, Rc theo s , p a, b, c độ dài cạnh L , b Chứng minh: — + h c.Chứng minh: 5.' ' 1 hh h 1 R, R r 1 R, r Cho tam giác ABC, trọng tâm G Gọi o điểm thuộc miềntrong tam giác (O khác G) Đường thằng OG cắt dườngthẳng BC,AC theo thứ tự A', B \ C' „ u O A' O B' O C' Chứng minh: —— + —— + —— G A' GB' GC (Định li ơle) • = Chứng minh rằng: khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tính hệ thức d2 = R(R - 2r), r, R bán kính đường trịn nội tiếp vồ ngoại tiếp tam giác cho Biết cạnh tam giác ABC BC = a, AC = b, AB = c a Chứng minh góc A = 2B thi a2 = b2 + bc b Ngược lại, a2 = b2 + bc A = 2B Chứng minh điểm thẳng hàng: o điểm trung tuyến AA, tam giác ABC Đường thẳng BO cắt cạnh AC điểm B, Qua B, vẽ đường thẳng song song với đáy BC cắt cạnh AB c , Chứng minh c , o , c , nằm đường thẳng 253 Cho tam giác ABC, ta dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE ACPG C ác tia qua E G song song với AG AE cắt I Chứng minh rằng: a Điểm I nằm đường cao xuất phát từ A AABC b Giao điểm BP CD nằm đường cao AH tam giác ABC Cho hình binh hành ABC D lấy điểm E, M, N, F tương ứng AB, BC, CD, D A cho BM = DN, BE = DF Gọi I, o , K lấn lượt trung điểm EF, BD, MN a Chứng minh ba điểm I, o , K thẳng hàng b Trong trường hợp điểm A , I, o , K , c thẳng hàng Cho tam giác A BC (AB * AC) đường trung trực BC cắt BC M cắt tia phân giác A I Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu I AB, AC Chứng m inh điểm H, M, K thẳng hàng Từ giao điểm o đường phân giác tam giác ABC hạ đường vng góc với cạnh BC AC D E Gọi B, A,lấn lượt hình chiếu B A AO BO Chứng minh điểm A,, B,, D E nằm m ột đường thẳng Gọi o tâm đường tròn nội tiếp tam giác A BC Trên cạnh AC BC lấy điểm G K cho: B K.AB = BO 2; A G AB = A O Chứng m inh: G, o , K thẳng hàng Cho đường tròn tâm o , , tiếp xúc ngồi với đơi Gọi B, A, c lấn lượt tiếp điểm cặp đường tròn: ( ,) ,( 2); ( 2), ( 3); ( 3), (O,) Tia AB cắt (O ,) D, tia AC cắt (O,) E Chứng minh D, o ,, E thảng hàng Cho tam giác nhọn ABC nộl tiếp đường tròn tâm o Gọi H trực tâm tam giác, M điểm cung BC khơng chứa A Gọi N, E điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC Chứng minh điểm N, H, E thẳng hàng s (Đường thẳng steiner) Cho điểm M đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M ,, M 2, M 3, M4 điểm đối xứng M qua cạnh BC, CA, AB qua trực tâm H AABC nằm m ột đường thẳng (được gọi đường thẳ ng s te in e r) 254 Chứng minh đường thằng quy: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi A', B', C ’, D' thứ tự trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh đường thẳng AA', BB', CC', DD’ quy -2 Cho tam giác ABC Gọi o điểm bất ki tam giác; L, M, N trung điểm AO, BO, CO D, E, F chân đường trung tuyến thuộc đỉnh A, B, c tam ^ giác ABC Chứng minh DL, EMvà FN quy điểm Gọi H trực tâm tam giác đếu ABC Đường cao AD Lấy M cạnh BC, gọi E, F theo thứ tự hình chiếu M AB, AC I trung điểm AM a Tứ giác DEIF hình gì? b Chứng minh đường thẳng ID, EF, MH quy Cho tứ giác ABCD, gọi o giao điểm hai đường chéo AC BD, M điểm AC cho AM = o c , N điểm BD cho BN = OD, L trung điểm AC, BD Chứng minh đường thẳng ML, NK đường thẳng nối trọng tâm tam giác ABC ACD quy điểm Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm o có H trực tâm Gọi O,, 2, Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC, HCA, HAB Chứng minh AO,, B 2, C đồng quy điểm ACFG với cạnh AB AC, hlnh vuông BMCN với đường chéo BC Chứng minh đường trịn ngoại tiếp với hình vng qua điểm Trong mặt phảng cho đường thẳng đôi cắt điểm A, B, c, D, E, F Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, BDE, AEF, CDF qua điểm Đường tròn (O) cắt cạnh BC, CA AB AABC điểm A,, A2, B,, c,, C2 A, nằm c A2, B, nằm A vá c Chứng minh c, đồng quy thi đường vng góc với cạnh nói A2, B2, c B2; đường vuông góc với cạnh BC, CA AB điểm A,, B 1, đồng quy Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm o , chứng minh rằng: a) Đường thằng Simson điểm D tam giác ABC đường thẳng Simson điểm c tam giác ABD vuiơng góc với o 255 b) Đường thẳng Simson điểm D tam giác ADC đường thẳng Sim son điểm B tam giác ABC trùng với c) Đường thẳng Sim son điểm c tam giác ADC đường thẳng Sim son điểm A tam giác ABC song song với 10 Cho m ột điểm p đoạn thẳng AB nửa mạt phảng có bờ đường thẳng AB, dựng hai hình vng APè PBCD Chứng minh: 1) Ba đường thẳng AD, BE CF đống quy điểm Q 2) Đường thẳng PQ luông qua điểm cố định điểm p di động đoạn thảng AB 11 Cho ba đường trịn (A), (B), (C) ngồi Các tiếp tuyến chung cặp đường tròn (B), (C); (C), (A); (A), (B) giao đôi D, E F Chứng m inh đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Chứng minh hai đường thẳng song song: ^ Chứng minh rằng: a Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với đáy qua trung điểm hai đường chéo trung điểm cạnh bên lại b Trung điểm hai cạnh bên trung điểm hai đường chéo hình thang điểm nằm đường thẳng song song với đáy hình thang ,2 Cho hình bình hành ABCD có góc B = 120° Lấy điểm E, F thứ tự thuộc cạnh AD, CE cho DE = CF Gọi K điểm đối xứng với F qua BC Chứng minh EK song song với AB ^3 Cho E m ột điểm thuộc cạnh bên BC hình thang ABCD Vẽ đường thảng qua c song song VỚI AE cắt AD K Chứng minh BK song song với DE ^ Gọi AD, BE CF đường trung tuyến tam giác ABC Vẽ tia Fx // BE \ tia Ey song song với BF Hai tia Fx Ey cắt G Chứng minh AD song song với CG Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F, G, H thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho EG không song song với AD Cho biết diện tích tứ giác EFGH nửa diện tích hình bình hành Chứng minh HF song song với CD ^ \ị^ Gọi E F trung điểm cạnh AB CD tứ giác ABCD Chứng minh trung điểm AF, CE, BF DE đỉnh hình binh hành 256 Gọi o giao điểm hai đường chéo tứ giác lồi ABCD, đường thẳng cắt cạnh AB CD M N Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC E Đường thẳng qua N song song với AB cắt BD F Chứng minh BE song song với CF Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm o Các điểm M, N, p điểm cung AB, BC, CA Gọi D giao điểm MN AB, gọi E giao điểm PN AC Chứng minh DE song song với CF Cho đường trịn tâm o nội tiếp hình vng ABCD, Gọi Mlà tiếp điểm AB Một tiếp tuyến với đường tròn tâm o cắt cạnh BC, CD E, F Chứng minh rằng: a ADFO đồng dạng với ABOE b ME song song với AF Tinh tốn hình học Tính sơ' đo mơt g ó c: Cho thinh thang vng ABCD (A = D = 90°) có AB = 1/2CD Gọi H hình chiếu D AC, M trung điểm HC Tính góc BMD 2.^ Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D, E Gọi G trọng tâm tam giác ADE, I trung điểm CD Tính số đo góc tam giác GIB J3,\ Cho E thuộc cạnh AC tam giác ABC Đường vng góc với AB kẻ từ E cát đương vuOng gức VỚI BC Kẻ từ c điểm D Gọi K lằ trung điểm Afc Tính góc KBD 4.\ Tứ giác lồi ABCD có c = 40° D = 80° , AD = BC Gọi E, F r.rung điểm AB, CD Tính góc EFD EFC N Trong tam giác ABC có góc c nhọn Tính độ lớn góc c bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác \ Góc A AABC 75° Qua đỉnh A vẽ đường thảng cắt cạnh BC M Đoạn 'th ẳ n g Am chia tam giác cho thành hai tam giác cân Tính góc cịn lại tam giác cho 257 Đường cao tam giác vuông hạ xuống cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có hiệu cạnh góc vng Tính góc tam giác Trong mơt tam giác, đường cao, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh chia góc làm phần Tính góc tam giác Biết số đo góc ỏ đỉnh A tam giác cân A BC 100° Gọi M điểm thuộc miển tam giác với góc MBC = 10°; MCB = 20° Tính góc AMB Cho hình thang ABCD, cạnh bên AB vng góc với đáy AD BC Biết AB = n/AD.BC Gọi E giao điểm AB CD, o giao điểm hai đường chéo, M trung điểm AB Tính EOM Tính đỏ dài đoan thá ng: Cho tam giác ABC có BC = a, trung tuyến BD, CE Lấy điểm M, N cạnh BC cho BM = MN = NC Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm AN CE Tính độ dài IK Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm; tổng quát với AB = c, BC = a Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD Tính độ dài BD, biết BC = 5cm, AC = 20cm Tính chu vi tam giác ABC vng A, biết đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai tam giác có chu vi 18cm 24cm Trong tam giác vuông, biết hiệu độ dài cạnh huyền với cạnh góc vng 25cm 2cm Tính cạnh tam giác Hai phân giác góc nhọn tam giác vng chia cạnh đối diện với góc thành phấn tỉ lệ 4:5 3:5 Biết chu vi tam giác 72cm Tính cạnh tam giác Tia phân giác góc A tam giác vng BAC (A = 90°) chia cạnh huyến thành đoạn 2cm 5cm Hỏi đường cao dựng từ A chia cạnh huyền tam giác theo tỉ số nào? Tiếp tuyến chung hai đường tròn tâm o , cắt (tại hai điểm phán biệt) có tiếp điểm A B Đường thảng AB cát đường nối tâm , ỏ c Tính độ dài đoạn thẳng c o , C 2, biết đoạn thẳng , = 21cm, độ dài bán kính đường tròn o , tần lượt 17cm 10cm Hai đường tròn tâm o , tiếp xúc với Đường thẳng chứa tiếp tuyến chung ngồi hai đưởng trịn cắt đường nối tâm theo góc 30° Độ dài đoạn tiếp tuyến chung bao gồm hai tiếp điểm 108cm Tính độ dài bán kinh đường tròn 10 Khoảng cách hai tâm hai đường trịn ngồi 65cm, độ dài đoạn tiếp tuyến chung chung đường tròn theo thứ tự 63cm 25cm (tinh theo tiếp điểm tương ứng) - Tính bán kính đường tròn - Gọi I, J giao điểm tiếp tuyến chung chung với đường nối tâm Tính độ dài đọan IJ Tính diên tích: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB BC lấy điểm K p cho AK:BK = 1:2; CP:PB = 2:1 Các đường thảng AP, CK cắt E Biết diện tích tam giác BEC s Tính diện tích AABC theo s Cho tứ giác lồi ABCD Qua trung điểm đường chéo BD dựng đường thẳng song song với đường chéo AC Đường thẳng cắt cạnh AD ỏ E Chứng minh CE chia tứ giác thành phần có diện tích ' Tính tỉ sơ' diện tích tam giác ABC diện tích tam giác có cạnh độ dài trung tuyến tam giác ABC Các đáy hình thang a b Hãy xác định độ dài đoạn thảng song ' song với cạnh đáy hình thang chia hình thang thành hai phần có diện tích ' a) Chứng minh cơng thức tính diện tích tam giác s = - absina a gòc xen giừa cạnh a vâ b b) Cho tam giác ABC cạnh a Hãy dựng đường thảng cắt cạnh AB, BC phận kéo dài cạnh AC theo thứ tự K, N, M cho SKNB = SNCM = SKNC M, N trung điểm cạnh AB CD tứ giác lối ABCD Các đoạn thẳng MC, MD, NA, NB tạo thành tứ giác Chứng minh diện tích tứ giác tạo thành tổng diện tích hai tam giác AED, BFC (E, F lấn lượt giao AN với MD, BN với MỌ) Gọi AD BC hai cạnh đáy hình thang ABCD o giao điểm hai đường chéo Gọi s , s lẩn lượt diện tích tam giác AOD BOC Tinh diện tích hình thang ABCD 259 Vẽ đường trịn có đường kính chiều cao tam giác cạnh a Tính diện tích phấn tam giác nằm hình trịn Cho đường trịn tâm o bán kính 2cm, bán kính O A O B vng góc với Gọi M điểm cung AB, c giao điểm AM OB H hình chiếu M OA Tính diện tích hình thang O HM C 10 Gọi o trung điểm đoạn thẳng AB = 2R Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính thứ tự OA, OB, AB Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với ba nửa đường tròn a) Tính bán kính đường trịn tâm I b) Tính diện tích phần hình trịn lớn nằm ngồi hình trịn tâm I nằm ngồi hai nửa hình trịn nhỏ 11 Cho tập hợp •J J tam giác ABC có chu vi 2p không đổi, gọi D, E, F tâm đường tròn bàng tiếp với cạnh BC, CA, AB tương ứng Xác định tam giác ABC tập hợp 'J J tam giác nói để chu vi DE + EF + FD đạt giá trị nhỏ 12 (Bài tốn Kurschak) Cho hình vng, cạnh dựng tam giác hướng vào Tám giao điểm tam giác kế bốn trung điểm cạnh hình vng có bốn đỉnh bốn đỉnh tam giác (khác đình hình vng) tạo thành m ột hình mười hai cạnh Chứng minh: Hình mười hai cạnh nội tiếp m ột đường trịn (0 , r) Giả sử bán kính r = diện tích hình mười hai cạnh H ình 163 260 H ình 164 Tính diên tích thể tích mơt sơ' hinh không gian: \ Cho hlnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C'D' VỚ I AB = AA' = a A'CA = 30° Tính diện tích tồn phần thể tích hinh hộp V Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đường chéo đáy cạnh bên 3a Một điểm A' cạnh SA chia đoạn Sa theo tỉ số 1/2 Mặt phăng qua A' song song với đáy ABCD cắt cạnh SB, sc, SD, điểm B', c \ D’ a) Tính thể tích hình chóp SABCD, SA'B'C'D' b) Tính thể tích hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D' 3.\ Tam giác vng ABC (A = 90°) quay xung quanh AB tính bán kính đáy đường cao hình nón tạo thành, từ tính thể tích diện tích xung quanh hình nón đó, biết BC = a góc ACB = 60° 4.\ Cho hình trụ với đáy hai hình trịn (O, r) (O', r') Đường sinh 2r Người ta khoét bỏ hai nửa hình cấu mà đáy hình trịn (O, r); (O’, r') So sánh thể tích cịn lại với thể tích bị khoét bỏ \ Cho tứ diện SABC, chân đường cao hạ từ s xuống mặt phảng (ABC) trùng với tâm o đường tròn ngoại tiếp tam giác a Chứng minh SA = SB = s c b Trong trường hợp ABC tam giác có cạnh 18 s o = 11 Hãy tính diện tích xung quanh thể tích tứ diện Bài tốn cực trị hình học Cho góc vng xOy, điểm A thc miền góc Các điểm M, N thứ tự chuyển động tia Ox, O y cho góc MAN = 90° Xác định vị trí M, N để: a) MN có độ dài nhỏ b) AM + AN có độ dài nhỏ c) AM + AN có độ dài lớn Cho tam giác ABC Tìm điểm M thc miền hình nằm cạnh tam giác cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác có giá trị nhỏ 261 Cho tam giác ABC cân A, điểm M, N thứ tự chuyển động cạnh AB, AC cho AM = CN Xác định vị trí M, N để a) MN có giá tri nhỏ , LổĨ b) Diện tích tam giác AMN có giá trị nhỏ Cho hình thang có diện tích Hỏi đường chéo hình thang có độ M điểm tam giác ABC với AB = c; BC = a; AC = b Từ M ẻ MA,, MB,, MC, vng góc với cạnh BC, CA, AB Tìm vị trí M cho dài nhỏ bao nhiêu? tổng —— + —— + - — đạt giá trị nhỏ MA, MB, MC, Cho tam giác ABC Tìm đường thẳng qua đinh A tam giác cho tổng khoảng cách từ B c đến d là: nhỏ nhất, lớn Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Xét tập hợp tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC (ba đỉnh M, N, p nằm cạnh tam giác ABC) Hăy tìm tam giác có chu vi nhỏ Hai đường tròn tâm o , cắt điểm phân biệt A B Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O ,) ỏ c cắt ( 2) D cho A nằm CD Tìm vị trí cát tuyến CD để chu vi tam giác BCD lớn Cho góc xO y điểm M nằm góc Dựng đường thẳng qua M cắt Ox , Oy A, B cho tam giác OAB có chu vi nhỏ 10 Cho đưịng trịn tâm o , đường kính AB, đường thẳng d ngồi đường trịn Dựng điểm M thuộc d cho tia MA, MB cắt đường tròn D, E có độ dài DE nhỏ 262 BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ T h u ậ t ngữ Trang T h u ậ t ngữ Trang Bài tốn Carnot 204 Định lí Desargues 211 Bài tốn cầu phương hinh trịn 118 Định li Menelaus 208 Bài tốn chứng minh 173 Định lí Morley 120 Bài tốn bướm 176 Định lí Ptõlêmê Bái tốn Copernic 119 Định lí Sylvester 152 Bài tốn cực trị hinh học 237 Định lí Van Aubel 136 Bài tốn dựng hinh 92 76 Miền đa giác 11 Bái toán Fermat 122 Miền ngồi đa giác 11 Bài tốn gấp đói khối lập phuong 117 Miền trong, điểm đa giác 10 Bài toán Kurschak 260 n-giác Bài toán Napoléon 124 Phân hoạch đa giác Bài toán Torricelli 123 Phương pháp loại trừ 143 Công thức Steiner 159 Phương pháp suy luận diễn dịch 139 15 Chùm đường tròn liên hợp 58 Phân hoạch khối đa diện 28 C hùm đường tròn 55 Phép chiếu 68 Đa diện đơn liên 35 Phép nghịch đào 60 Đa diện đéu 36 Quỹ tích cờ Đa diện nửa 39 Quy nạp khơng hồn tồn 150 36 83 Quỹ tích 186 135 Sơ đổ phân tích lên 167 Đường quy vng 134 Sơ đồ phân tích xuống 167 Đường thẳng le 219 Số Fermat 150 Đường thảng Sirnson 225 Sơ đổ phảng cùa đa diện Đường thảng Steiner 254 Suy luặn có li Đường trịn ơle 197 Tam giác phân Đặc số ơle Đường C oncoide Nicomedes 33 146 16 Đường xoắn ốc Archim edes 134 Tam giác Morley 120 Điểm Napoléon tam giác 135 Tâm tì cự 128 Điểm Fermat 135 Thể tích khối đa diện 29 Đ iểm tới hạn 58 Tinh bảo giác 63 Điểm Vectnen 135 Tọa độ tỉ cự 129 Định li Ceva 208 Trinh bày lời giải toán 134 263 TÀI LIỆU THAM KHẢO Các tà i liệu giáo trìn h trường Đại học íSư p h ạm H Nội V ăn N hư Cương (C hủ biên), Kiều H uy Lu;ân, H ồng T rọng Thái H ìn h học - - (giáo tr ìn h CĐSP) NXB G iá o dục, 1998 Lê Đ ình Phi H ìn h học sơ cấp NXB Giáo dục,, 1963 H oàng T rọ n g T hái, P h ạm V ăn Thảo H ìn h học sơ cấp Giáo trìn h Vũ Dương T huỵ (Chủ biên), Phạm Gia Đức, H o n g Ngọc H ưng,Đ ặng Trường Cao đ ẳ n g Sư p h ạm H Nội, 1987 Đ ình Lăng Thực h n h giải tốn (giáo trìm h Cao đẳng Sư Ịhạm) NXB Giáo dục, 2001 Ac—G u -n ố p H ìn h học sơ cấp NXB Giáo dục, 1974 G eom etry from th e L and of th e Incas P ro b le m s, th eo rem s, proofs, quyzzes, w ith an im a tio n s an d sounds Euclidlean G eom etry h ttp ://ag u tie.h o m estead co m /files/in d ex h tm l h ttp ://w w w c u t-th e -k n o t.o rg / h ttp ://w w w c u t-th e -k n o t.o rg /tria n g le/in d e x sỉh tm l h ttp://w w w b ritan n ica.co m / 264 C h iu tr c h n h iê m x u ấ t bản: Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO Tổng biên tập LÊ A N g ivờ i n h ậ n xét: GS ĐOÀN QUỲNH PGS TS NGUYỄN ĐẢNG PHẤT B iê n tậ p n ộ i d u n g : NGUYỄN TIẾN TRUNG T r ìn h b y bia: PHẠM VIỆT QUANG K ĩ th u ả t vi tin h : TRẦN THỊ PHƯƠNG HỈNH HỌC Sơ CẤP VÀ THựC HÀNH GIẢI TOÁN In 3100 cuốn, khổ 17x24cm Xưởng in Tống cục Cơng nghiệp quốc phịng Giấy phép xuất sơ: 126 - 452/XB-QLXB, kí ngày tháng năm 2005 In xong nộp lưu chiểu tháng năm 2005