ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ——————— LÊ THANH CƯỜNG ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC TP HỒ CHÍ.
Không gian xạ ảnh
Định nghĩa không gian xạ ảnh P n
Giả sửV n + 1 là một không gian véctơn+1chiều(n≥ 0)trên trườngK Ta kí hiệuh
V n + 1 i là tập hợp các không gian con một chiều của không gian véctơV n + 1 Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X , ∅ và một song ánh p : h
X,p,V n + 1 được gọi là một không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gian véctơV n + 1 trên trườngKbởi song ánh p, kí hiệu làP n Mỗi phần tử trong tập hợpX được gọi là một điểm trong không gian xạ ảnhP n
Không gian xạ ảnh trên trường số thực Rđược gọi là không gian xạ ảnh thực, kí hiệu là
P n ( R ); không gian xạ ảnh trên trường số phứcCđược gọi làkhông gian xạ ảnh phức, kí hiệu làP n ( C ).
Trong khóa luận này, nếu không nói gì thêm, ta chỉ xét không gian xạ ảnh thực.
Như vậy, mỗi điểm của không gian xạ ảnhP n là ảnh của không gian véctơ con1−chiềuV 1 được sinh ra bởi một véctơ~x,~0củaV n + 1 qua song ánh p.
NếuV m + 1 là không gian véctơ con củaV n + 1 (0≤ m≤n), thì tập con ph
V m + 1 i củaX được gọi làm−phẳng của không gian xạ ảnh
;0−phẳng còn gọi làđiểm;1−phẳng còn gọi làđường thẳng,(n−1)−phẳng còn gọi làsiêu phẳng.
Không gian xạ ảnhP 2 còn được gọi làmặt phẳng xạ ảnh.
Mô hình Affine sau khi bổ sung các phần tử vô tận
Gọi A n + 1 là không gian Affinen+1 chiều, liên kết với không gian véctơ V n + 1 Siêu phẳng A n nằm trong A n + 1 có không gian chỉ phương tương ứng với không gian véctơ conn chiều V n.
A n = A n ∪[V n ], và xây dựng một song ánh p : h
→ A n như sau: Lấy điểm cố định Ocủa A n + 1 không nằm trongA n Giả sửV 1 là không gian véctơ con một chiều củaV n + 1
• NếuV 1 1 V n thì trênA n có một điểm M duy nhất sao cho−−→
OM ∈ V 1 Trong trường hợp này ta đặt p
Khi đó, plà một song ánh Như vậy
A n ,p,V n + 1 là một không gian xạ ảnhnchiều và gọi đó làmô hình Affine có bổ sung thêm các phần tử vô tận.
Chú ý rằng nếuavàblà hai đường thẳng Affine song song có không gian chỉ phương làV 1 thìa∪p
V 1 là hai đường thẳng xạ ảnh củaA n , chúng có điểm chung duy nhất là p
V 1 thường được gọiđiểm vô tậncủa các đường thẳng đó Tập hợp các điểm vô tận này củaA n nằm trên(n−1)−phẳng được gọi làsiêu phẳng vô tận.
Như vậy, không gian xạ ảnh A n có được bằng cách lấy không gian AffineA n và bổ sung thêm các điểm vô tận của tất cả các đường thẳng thuộcA n
Véctơ đại diện cho một điểm
Trong không gian xạ ảnh n-chiều Pn liên kết với không gian véctơ Vn+1 qua song ánh p, mỗi véctơ ~a, 0 trong Vn+1 sẽ tạo ra một không gian con một chiều Qua song ánh p, không gian con này sẽ tương ứng với một điểm A duy nhất trong Pn Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng véctơ này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các điểm trong không gian xạ ảnh.
Mỗi véctơ khác véctơ không trong không gian V n + 1 đại diện cho một điểm duy nhất trong không gian xạ ảnh P n Hai véctơ a và b cùng đại diện cho một điểm A trong P n khi và chỉ khi a = k*b, với k là một số thực khác 0.
Hệ điểm độc lập
Trong không gian xạ ảnh P n, một hệ điểm M1, M2, , Mr được coi là hệ điểm độc lập nếu các véctơ đại diện của chúng là độc lập tuyến tính trong không gian véctơ V n + 1 liên kết với P n Theo định lý 1.1.1, nếu hệ điểm M1, M2, , Mr của P n là độc lập, thì sẽ tồn tại duy nhất một (r−1)-phẳng chứa tất cả các điểm này.
Mục tiêu xạ ảnh
Trong không gian xạ ảnh P n liên kết với không gian véctơ V n + 1, nếu có (n+2) điểm A 1, A 2, , A n + 1 với các véctơ đại diện tương ứng là →− e 1, →− e 2, , →− e n + 1, →− e, và nếu hệ véctơ n→− e1, →− e2, , →− e n + 1 tạo thành một cơ sở của V n + 1 với →− e = →− e1 + →− e2 + + →− e n + 1, thì (n+2) điểm này được gọi là một mục tiêu xạ ảnh ứng với cơ sở n→− e 1, →− e 2, , →− e n + 1 của V n + 1.
Các điểm Ai (1 ≤ i ≤ n+1) được gọi là các đỉnh, trong khi điểm E được gọi là điểm đơn vị của mục tiêu {Ai; E} Cơ sở n→− e1, →− e2, …, →− en+1 được xem là cơ sở đại diện cho mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} Định lý 1.1.2 khẳng định rằng mỗi cơ sở của Vn+1 là cơ sở đại diện cho một mục tiêu xạ ảnh duy nhất của Pn.
Tọa độ xạ ảnh của một điểm
Định nghĩa 1.1.5 Giả sử P n là không gian xạ ảnh liên kết với không gian véctơ V n + 1 và
A1, A2, , An + 1 là mục tiêu xạ ảnh của Pn với cơ sở đại diện là ε = n~e1, ~e2, , ~en + 1 o Cho M ∈ Pn và véctơ đại diện của điểm M trong Vn + 1 được ký hiệu là →−m Nếu (x1; x2; ; xn + 1) là tọa độ của véctơ →−m theo cơ sở ε trong Vn + 1, thì (x1; x2; ; xn + 1) cũng được gọi là tọa độ xạ ảnh của điểm M đối với mục tiêu.
Theo định nghĩa trên, đối với mục tiêu
Trong không gian Pn, tọa độ xạ ảnh của một điểm (x1; x2; ; xn + 1) phải có ít nhất một thành phần khác 0, vì véctơ đại diện cho điểm không thể là véctơ 0 Một bộ số có thứ tự gồm n + 1 số, trong đó ít nhất một số khác 0, sẽ xác định duy nhất một điểm M trong Pn Hơn nữa, nếu (x1; x2; ; xn + 1) là tọa độ xạ ảnh của điểm M, thì mọi bộ số có dạng (kx1; kx2; ; kxn + 1) với k khác 0 cũng sẽ là tọa độ của điểm M đó.
Chú ý.Các tính chất trên đây là tính chất đặc biệt của tọa độ xạ ảnh.
Bộ số (0; 0; 0) không đại diện cho tọa độ của bất kỳ điểm xạ ảnh nào trong P2, nhưng lại là tọa độ của điểm gốc trong A3 hoặc E3 Trong khi đó, hai bộ số (1; 0; -2) và (-1; 0; 2) lại là tọa độ của cùng một điểm xạ ảnh trong P2.
A 3 hoặc trongE 3 hai bộ số này là tọa độ của hai điểm hoàn toàn khác nhau.
Các m− phẳng tọa độ
Định nghĩa 1.1.6 TrongP n , mỗi bộm+1đỉnh A i của mục tiêu xạ ảnh
A 1 ,A 2 , .,A n + 1;E với0 0 sao cho →− x 0 = kϕ(→− x) Nếu A là ma trận của phép biến đổi xạ ảnh tuyến tính ϕ đối với cơ sở n→− e 1, →− e 2, , →− e n + 1, thì có thể rút ra những kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa các véctơ và ma trận trong không gian này.
Biểu thức (1.6) được gọi làbiểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh f đối với mục tiêu xạ ảnh
Hệ quả 1.2.2 Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng không thay đổi qua một phép biến đổi xạ ảnh.
Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh và hình học xạ ảnh
Tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của không gian xạ ảnh Pn tạo thành một nhóm với phép toán lấy tích Một tính chất hoặc khái niệm không thay đổi qua bất kỳ phép biến đổi nào của Pn được gọi là tính chất xạ ảnh hoặc khái niệm xạ ảnh, và tập hợp các tính chất này được gọi là bất biến xạ ảnh Ví dụ, tính chất thẳng hàng của các điểm xạ ảnh là một tính chất xạ ảnh, trong khi khái niệm m-phẳng là một khái niệm xạ ảnh Môn học nghiên cứu các bất biến xạ ảnh được gọi là hình học xạ ảnh Trong hình học Affine và hình học Euclid, các khái niệm như sự song song và vuông góc của hai đường thẳng hay độ dài của đoạn thẳng không phải là khái niệm xạ ảnh vì chúng không phải là bất biến của nhóm phép biến đổi xạ ảnh.
Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chùm đường thẳng trong
Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, ánh xạ f : m → m0 chuyển đổi mỗi điểm trên đường thẳng m thành một điểm trên đường thẳng m0 Ánh xạ này bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kỳ trên đường thẳng m, và được gọi là ánh xạ xạ ảnh từ hàng điểm m lên hàng điểm m0.
Khi đó ta nói rằng có mộtliên hệ xạ ảnh giữa hàng điểmmvà hàng điểmm 0 Ta kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểmmvàm 0 như sau:
Điểm I được gọi là điểm tự ứng của hàm số f nếu f(I) = I Theo định lý 1.2.3, với ba điểm phân biệt A, B, C trên đường thẳng m và ba điểm phân biệt A0, B0, C0 trên đường thẳng m0, tồn tại duy nhất một ánh xạ f: m → m0 sao cho f(A) = A0, f(B) = B0, và f(C) = C0 Định nghĩa 1.2.4 đề cập đến ánh xạ f trong mặt phẳng xạ ảnh P2 với tập hợp {S} được ánh xạ tới n.
Ánh xạ xạ ảnh từ chùm tâm S thành chùm tâm S 0 là quá trình biến đổi mỗi đường thẳng của chùm S thành một đường thẳng tương ứng của chùm S 0 Quá trình này đảm bảo rằng tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kỳ trong chùm được bảo tồn.
S 0 o Khi đó ta nói rằng có mộtliên hệ xạ ảnh giữa chùm{S}và chùmn
S 0 o Ta kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh giữa hai chùm{S}vàn
Gọidlà đường thẳng thuộc chùm tâmS Nếu f(d) =dthì đường thẳngdđược gọi làđường thẳng tự ứng của f.
Nhận xét Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng là khái niệm đối ngẫu của ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm.
Phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục
Một ánh xạ giữa hai hàng điểm được gọi là phép chiếu xuyên tâm khi đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn đi qua một điểm cố định, được gọi là tâm chiếu Tâm chiếu của phép chiếu xuyên tâm là điểm O.
Định lý 1.2.4 nêu rõ điều kiện cần và đủ để ánh xạ f : m → m' là phép chiếu xuyên tâm, đó là giao điểm của điểm I của m và m' phải là điểm tự ứng của f Theo định nghĩa 1.2.6, một ánh xạ giữa hai hàng chùm đường thẳng được xem là phép chiếu xuyên trục khi giao điểm của các đường thẳng tương ứng luôn nằm trên một đường thẳng t cố định, và đường thẳng t này được gọi là trục của phép chiếu xuyên trục.
Phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục là hai khái niệm đối ngẫu quan trọng trong toán học Theo nguyên tắc đối ngẫu, ta có thể đưa ra định lý 1.2.5, nêu rõ điều kiện cần và đủ để ánh xạ xạ ảnh f: {S} → n.
S 0 o là phép chiếu xuyên trục là đường thẳng nối hai tâmS S 0 , là đường thẳng tự ứng của f.
Phép cắt, phép nối trong P 2
Định nghĩa 1.2.7 GọiBlà chùm đường thẳng tâmO,dlà đường thẳng không đi quaO. Các ánh xạ: g : B→d,m∈B7→m∩d h : d→ B,M ∈d 7→OM, tương ứng được gọi là phép cắt bóBbởidvà phép nốidbởiO.
Ta cógvàhlà ánh xạ xạ ảnh.
Định lý Steiner
Định lý 1.2.6(Định lý Steiner thuận) Cho hai điểm cố địnhA1,A2 nằm trên đường cônic(S) và điểmMthay đổi trên đường thẳng cônic đó Nếu ánh xạ f : {A 1 } → {A 2 }, biến đường thằng
A1Mthành đường thẳngA2M, thì f là ánh xạ xạ ảnh khác với phép chiếu xuyên trục.
Chú ý rằng cho A ∈ (S) và điểm M thay đổi trên (S), khi M trùng với A thì đường thẳng AM được xem là tiếp tuyến của (S) tại A Theo định lý 1.2.7 (Định lý Steiner đảo), nếu f: {A1} → {A2} là ánh xạ giữa hai chùm đường thẳng phân biệt và không phải là phép xuyên trục, thì tập hợp giao điểm của đường thẳng tương ứng sẽ tạo thành một đường cônic (S) Đường cônic này đi qua hai tâm A1, A2, tiếp xúc với ảnh và tạo ảnh (qua f) của đường thẳng A1A2 tại A2 và A1.
Theo nguyên tắc đối ngẫu, ta có hai định lý quan trọng Định lý 1.2.8 (Đối ngẫu của định lý Steiner thuận) phát biểu rằng, với hai đường thẳng a1 và a2 phân biệt, cùng tiếp xúc với đường conic (S), và m là một tiếp tuyến thay đổi của đường conic đó, nếu tồn tại ánh xạ f: a1→a2 biến giao điểm của m và a1 thành giao điểm của m và a2, thì f được coi là ánh xạ xạ ảnh khác phép chiếu xuyên tâm.
Chú ý rằng khi có hai điểm ai (i=1, 2), ta có thể quy ước m∩ai (i=1, 2) là tiếp điểm của ai và đường cong (S) Định lý 1.2.9, được biết đến như đối ngẫu của định lý Steiner đảo, chỉ ra rằng nếu f : a1 → a2 là ánh xạ giữa hai hàng điểm phân biệt và không phải là phép chiếu xuyên tâm, thì các đường thẳng nối hai điểm tương ứng sẽ tiếp xúc với một đường cônic Đặc biệt, đường cônic này tiếp xúc với a1 và a2 tại các điểm tương ứng là ảnh và tạo ảnh của a1∩a2 qua ánh xạ f.
Định lý Pascal và định lý Brianchon
Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, một hình lục giác được định nghĩa là tập hợp gồm sáu điểm và sáu đường thẳng, trong đó mỗi điểm là giao điểm của hai đường thẳng và mỗi đường thẳng đi qua hai điểm duy nhất Các điểm trong hình lục giác được gọi là các đỉnh, trong khi các đường thẳng được gọi là các cạnh của hình lục giác.
Chúng ta có thể sắp xếp các đỉnh và cạnh của lục giác theo một thứ tự nhất định bằng cách đánh số từ A1, a1, A2, a2, cho đến A6, a6 Trong đó, cạnh a_i nối hai đỉnh A_i và A_(i+1) (với A_(6+1) được coi là A1), tạo ra sự liên kết giữa các cạnh a_i và a_(i+1) thông qua đỉnh.
Các cặp đỉnh A1 và A4, A2 và A5, A3 và A6 được gọi là các cặp đỉnh đối diện, trong khi các cặp cạnh a1 và a4, a2 và a5, a3 và a6 được gọi là các cặp cạnh đối diện Theo Định lý Pascal (Định lý 1.2.10), điều kiện cần và đủ để một hình lục giác nội tiếp trong một cônic là giao điểm của các cặp cạnh đối diện phải nằm trên một đường thẳng, được gọi là đường thẳng Pascal.
Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal
Hình ngũ giác, tứ giác và tam giác nội tiếp một cônic là những trường hợp đặc biệt của lục giác khi có một hoặc nhiều cặp đỉnh trùng nhau Trong những trường hợp này, cạnh của lục giác chứa cặp đỉnh trùng nhau sẽ được xem là tiếp tuyến của cônic tại điểm tương ứng Định lý Pascal vẫn được chứng minh là đúng trong các trường hợp này Định lý 1.2.11 chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một hình ngũ giác A1A2A3A4A5 nội tiếp cônic (S) là ba giao điểm của các cạnh: A1A2 với cạnh A4A5, A2A3 với tiếp tuyến của (S) tại A5, và A3A4 với cạnh.
Theo Định lý 1.2.12, một hình tứ giác có thể nội tiếp trong một conic nếu và chỉ nếu hai cặp cạnh đối diện và hai cặp tiếp tuyến tại các đỉnh đối diện giao nhau tại bốn điểm thẳng hàng.
Định lý 1.2.13 chỉ ra rằng một hình tam giác có thể nội tiếp trong một cônic nếu và chỉ nếu ba cạnh của tam giác cắt với ba tiếp tuyến tại các đỉnh đối diện theo ba điểm thẳng hàng.
Định lý Brianchon (Định lý 1.2.14) khẳng định rằng, một hình lục giác có thể ngoại tiếp một đường cônic nếu và chỉ nếu các đường thẳng nối các đỉnh đối diện của hình lục giác đồng quy tại một điểm, được gọi là điểm Brianchon.
Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal có các mệnh đề đối ngẫu tương ứng Một trong những mệnh đề này là Định lý 1.2.15, nêu rõ rằng điều kiện cần và đủ để một hình tứ giác ngoại tiếp cônic là các đường thẳng nối các đỉnh đối diện và các đường thẳng nối các tiếp điểm trên các cạnh đối diện đồng quy.
Định lý 1.2.16 chỉ ra rằng để một hình tam giác có thể ngoại tiếp một conic, cần và đủ là ba đường thẳng nối mỗi đỉnh của tam giác với điểm tiếp xúc trên cạnh đối diện phải đồng quy.
Vấn đề xác định một cônic
Định lý 1.2.17 Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bao giờ cũng có một đường cônic duy nhất đi qua 5 điểm này.
Phép xạ ảnh của đường cônic
Định nghĩa 1.2.9 nêu rõ rằng với bốn điểm A, B, C, D trên đường cônic (S) và một điểm M thay đổi trên (S), nếu N cũng thuộc (S), thì ánh xạ f: {M} → {N} được xác định bởi f(MX) = NX (với X thuộc (S)) là một ánh xạ xạ ảnh.
(MA,MB,MC,MD) = (NA,N B,NC,ND).
Nghĩa là tỉ số kép (MA,MB,MC,MD) có giá trị không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D trên đường cônic (S) được ký hiệu là (ABCD)(S) Định nghĩa 1.2.10 cho biết rằng một song ánh f: (S) → (S) được gọi là phép xạ ảnh của (S) nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kỳ thuộc (S) Theo định lý 1.2.18, nếu f: (S) → (S) là phép xạ ảnh khác phép đồng nhất của đường cônic (S), thì với mọi cặp điểm M, N thuộc (S), giao điểm của hai đường thẳng M f(N) sẽ được xác định.
Phép xạ ảnh f của đường cônic (S) được gọi là phép xạ ảnh đối hợpcủa (S) nếu f^2 = Id(S) Theo định lý Fréger, nếu f là phép xạ ảnh đối hợp khác phép đồng nhất của đường cônic, thì các đường thẳng M f(M) (với M ∈ (S)) luôn đi qua một điểm cố định F Điểm cố định này được gọi là điểm Fréger của f.
Định lý Fréger đảo (Định lý 1.2.20) khẳng định rằng, với một điểm F không nằm trên đường cônic (S), ta có thể xác định một điểm M0 thuộc (S) sao cho ba điểm F, M và M0 thẳng hàng Ánh xạ f : (S) → (S) với f(M) = M0 được xem là một phép xạ ảnh đối hợp của đường cônic (S).
Chùm đường bậc hai
Định nghĩa 1.2.12 Phép biển đổi xạ ảnh f : P 2 → P 2 được gọi là phép biến đổi xạ ảnhđối hợp (gọi tắt là phép đối hợp) củaP 2 nếu f 2 là phép đồng nhất củaP 2
Trong khóa luận này chỉ xét các phép đối hợp của đường thẳng. Định nghĩa 1.2.13 Phép biến đổi xạ ảnh f : d → dđược gọi làphép biến đổi xạ ảnh đối hợp
Phép đối hợp, ký hiệu là f, là một phép xạ ảnh khác với phép đồng nhất trên đường thẳng d Theo định lý 1.2.21, f được coi là phép xạ ảnh đối hợp nếu và chỉ nếu tồn tại hai điểm phân biệt
Nếu P là điểm bất động của f thì f còn điểm bất động nữa là Q (Q , P) Khi đó, nếu
Nếu f là phép xạ ảnh đối hợp khác phép đồng nhất của đường thẳng d, thì f sẽ không có điểm bất động hoặc chỉ có đúng hai điểm bất động Định lý 1.2.23 chỉ ra rằng mỗi phép xạ ảnh đối hợp, khác phép đồng nhất của đường thẳng, hoàn toàn được xác định khi biết ảnh của hai điểm phân biệt trên đường thẳng đó Định nghĩa 1.2.14 cho biết rằng tập hợp các đường bậc hai đi qua bốn điểm A, B, C, D, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, được gọi là một chùm đường bậc hai, ký hiệu là S(ABCD).
Trong chùm đường bậc hai S(ABCD), có ba cặp đường thẳng suy biến, bao gồm AB với CD, AC với BD, và AD với BC Các đường bậc hai còn lại đều là đường cônic.
Nếu điểm E không trùng với các điểm A, B, C, D, thì sẽ tồn tại một đường bậc hai duy nhất của chùm đi qua E Theo định lý Desargues thứ hai, cho một chùm đường bậc hai S (ABCD) và một đường thẳng s không đi qua bốn điểm A, B, C, D, thì đường thẳng s sẽ cắt mỗi đường bậc hai của chùm theo một cặp điểm tương ứng thông qua một phép xạ ảnh đối hợp xác định.
Nếu (S) là đường bậc hai suy biến của chùm S(ABCD), ví dụ như cặp đường thẳng AB và CD, thì đường thẳng s cắt (S) tại hai điểm N và N0 Khi đó, ta có phép biến đổi f từ N thành N0, và f cũng chính là phép xạ ảnh đối hợp của đường thẳng s.
Cực và đường đối cực trong P n
Cực và siêu phẳng đối cực đối với một siêu mặt bậc hai
Định nghĩa 1.3.1 TrongP n với mục tiêu xạ ảnh cho trước, cho siêu mặt bậc hai(S)có phương trình
X i, j = 1 a i j x i x j =0, (1.7) và một điểmU có tọa độ(u 1 ;u 2 ; .;u n + 1) Ta hãy xét phương trình
X j = 1 ai jui với j = 1, 2, .,n+1không đồng thời bằng 0 thì n + 1
Phương trình X i, j = 1 ai juixj = 0 xác định một siêu phẳng P, được gọi là siêu phẳng đối cực của điểm U liên quan đến siêu mặt bậc hai (S) Trong mối quan hệ này, điểm U được xem là cực điểm của siêu phẳng P đối với siêu mặt bậc hai (S).
Nếu tất cả các hệ số \( a_{ij} \) với \( j = 1, 2, \ldots, n+1 \) đều bằng 0, thì điểm \( U \) được coi là điểm đặc biệt của siêu mặt bậc hai \( (S) \) Theo định lý 1.3.1, nếu \( (S) \) là một siêu mặt bậc hai không suy biến, thì bất kỳ siêu phẳng nào của nó đều có những đặc điểm riêng biệt.
Điểm P n có một cực điểm duy nhất đối với siêu mặt bậc hai (S) Theo Định lý 1.3.2, nếu điểm U không thuộc (S) và một đường thẳng đi qua U cắt siêu phẳng đối cực tại V, đồng thời cắt (S) tại hai điểm phân biệt M và N, thì có (UV MN) = -1 Hai điểm U và V thỏa mãn điều kiện này được gọi là liên hợp với nhau đối với (S).
Siêu phẳng đối cực của điểm U đối với siêu mặt bậc hai S (U không thuộc S) bao gồm tất cả các điểm V liên hợp với U đối với S Theo định lý 1.3.3, nếu điểm V thuộc siêu phẳng đối cực của điểm U, thì điểm U cũng thuộc siêu phẳng đối cực của điểm V Định lý 1.3.4 chỉ ra rằng hai điểm U và V liên hiệp với nhau đối với S khi và chỉ khi [U] T A[U] = 0.
Cực và đường đối cực đối với đường cônic
Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, hai điểm M và N được gọi là liên hợp đối với đường cônic (S) nếu hai giao điểm của (S) với đường thẳng MN chia điều hòa cặp điểm M, N Quỹ tích các điểm N liên hợp với điểm cố định M đối với đường cônic (S) là một đường thẳng, được gọi là đường đối cực của điểm M Nếu điểm A thuộc đường đối cực của điểm M đối với đường cônic (S), thì điểm này có những tính chất đặc biệt liên quan đến cặp điểm M và N.
Trong hình học, đường đối cực của điểm M đối với đường cônic (S) được xác định qua các tiếp tuyến từ M tới (S) Cụ thể, nếu điểm M nằm ngoài đường cônic (S), thì đường PQ sẽ là đường đối cực của M Ngoài ra, các đường đối cực của các điểm thẳng hàng trên đường cônic (S) sẽ tạo thành các đường thẳng đồng quy, và các cực tương ứng của các đường thẳng này cũng sẽ tạo thành các điểm thẳng hàng Hai đường thẳng m và n được gọi là liên hợp với nhau đối với đường cônic (S) nếu chúng đi qua các cực của nhau Hơn nữa, hai đường thẳng liên hợp sẽ chia điều hòa hai tiếp tuyến từ giao điểm của chúng đến đường cônic (S).
Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Affine A 2
Xây dựng mô hình
Trong mặt phẳng xạ ảnhP 2 liên kết với không gian véctơV 3 , lấy một một đường thẳngP 1 liên kết với không gian véctơV 2 ⊂V 3 nào đó trongP 2 , đặtA 2 = P 2 \ P 1
Chọn mục tiêu {A 1 ,A 2 ,A 3 ;E} của P 2 sao cho{A 1 ,A 2 } ∈ P 1 Khi đó phương trình P 1 là x3 =0.
Nếu điểm X thuộc A2 có tọa độ xạ ảnh đối với mục tiêu đã chọn là (x1; x2; x3), thì x3 = 0 và tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của X là (X1; X2) với X1 = x1/x3 và X2 = x2/x3 Điều này tạo ra sự tương ứng một-một giữa tập các điểm của A2 và tập hợp các bộ số thực có thứ tự Đối với hai điểm X và Y trong A2 có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất là (X1; X2) và (Y1; Y2), ta có thể tương ứng với một véctơ trong không gian véctơ V2 ⊂ V3, được ký hiệu là −−→.
Không gian Affine A2 tương ứng với không gian véctơ V2, cho thấy sự liên kết giữa chúng Do đó, A2 được coi là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Affine A2.
Mục tiêu và tọa độ Affine trong A 2
Chúng ta tiếp tục xem xét mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3; E} trong không gian P2 Đặt E1 và E2 là các giao điểm của đường thẳng A1A3 và A2A3 với đường thẳng đi qua E và các đỉnh còn lại của mục tiêu Đồng thời, gọi X1 và X2 là các giao điểm của hai đường thẳng A1A3 và A2A3 với đường thẳng đi qua X và các đỉnh còn lại của mục tiêu Kết quả là chúng ta có tỉ số kép.
Do đó các điểmE1,E2có tọa độ xạ ảnh là
Tọa độ không thuần nhất củaE 1 ,E 2 vàA 3 là
A 3 E 2 = → −e 2 thì ta có→− e 1 = (1; 0),→− e 2 = (0; 1) Dễ thấyn
A 3 ,→− e 1 ,→− e 2 o là một mục tiêu Affine của A 2 Mục tiêu này gọi là mục tiêu được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh
Giả sử một điểm X∈A 2 có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất là(X1;X2) Khi đó ta có
Do đó(X 1 ;X 2 )là tọa độ Affine của điểmXđối với mục tiêu Affinen
Vậy tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh {A1,A2,A3;E} chính là tọa độ Affine của điểm X đối với mục tiêu Affinen
A 3 ;→− e 1 ,→− e 2 o được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh nói trên.
Đường thẳng trong A 2
Giả sử d là một đường thẳng trong P2 và không trùng với P1 Khi đó, d0 = d ∩ P1 là một đường thẳng trong A2 = P2 \ P1 Với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, giả sử đường thẳng d có phương trình a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0.
Vìdlà đường thẳng không trùng vớiP 1 nên mỗiX ∈d,X = (x 1 ;x 2 ;x 3 )thìx 3 ,0.
Ta chia hai vế (1.9) cho x3thì tọa độ không thuần nhất của điểm Xthỏa mãn phương trình a 1 X 1 +a 2 X 2 +a 3 =0 (1.10)
Từ (1.10) suy rad 0 là đường thẳng trongA 2
Sự song song của hai đường thẳng trong A 2
Chod 1 ,d 2 là hai đường thẳng phân biệt trongP 2 khácP 1 , sao choI =d 1 ∩d 2 ∈P 1 Đối với mục tiêu xạ ảnh{A 1 ,A 2 ,A 3 ;E}đã chọn, giả sửd 1 vàd 2 có phương trình d1 : a1x1+a2x2+a3x3 =0, d2 : b1x1+b2x2+b3x3=0.
Khi đó, ta cóI =d 1 ∩d 2 ∩P 1 Nên điểmI có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình sau
Hệ phương trình này có ba phương trình, nhưng do dimI = 0, nên chỉ có hai phương trình độc lập Chúng ta có thể sử dụng hai phương trình cuối cùng của hệ Do đó, mỗi hệ số ở vế trái của phương trình đầu có thể được biểu thị tuyến tính thông qua các hệ số ở vế trái của hai phương trình cuối.
Và trongA 2 = P 2 \P 1 gọi,d 0 1 ,d 0 2 là các đường thẳng tương ứng vớid 1 ,d 2 Khi đó,d 0 1 vàd 2 0 có phương trình d 0 1 :a1X1+a2X2+a3=0, d 2 0 : b1X1+b2X2+b3 =0.
Vì mỗi hệ sốa i ở vế trái của phương trìnhd 0 1 được biểu thị tuyến tính qua các hệ số ở vế trái của phương trìnhd 2 0 , nghĩa là a 1 =kb 1 , a 2 =kb 2 vàa 3 , kb 3
Do đó,d 1 0 vàd 2 0 song song với nhau trongA 2 =P 2 \P 1
Kết luận: Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, khi chọn một đường thẳng P1 nào đó làm đường thẳng vô tận, phần còn lại sẽ tạo thành mặt phẳng Affine.
Khi hai đường thẳng xạ ảnh cắt nhau trên đường thẳng vô tận P1, trong không gian A2, chúng trở thành hai đường thẳng song song Ngược lại, nếu hai đường thẳng trong A2 song song, chúng có thể được biểu thị bằng hai đường thẳng xạ ảnh cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng vô tận P1.
Tỉ số kép trong A 2
Giả sửA, B,C, Dlà bốn điểm phân biệt nằm trên một đường thẳnglcủaP 2 nhưng không có điểm nào trong bốn điểm thuộcP 1
Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {A 1 ,A 2 ,A 3 ;E} sao cho A 3 ≡ A, A 1 = l∩P 1 Khi đó các điểm
B,C,Dcó tọa độ biểu thị tuyến tính qua tọa độ củaA3vàA1.
Ta có:A(0; 0; 1); B(b; 0; 1);C(c; 0; 1);D(d; 0; 1) Thật vậy, ta hãy tính tọa độ của điểm
Tương tự ta tính được tọa độ điểmCvàD.
Ta tính tỉ số kép(ABCD) Ta có
Suy ra(ABCD) = à 1 λ 1 : à2 λ 2 Thay tọa độ các điểmA,B,C,Dvào công thức định nghĩa tỉ số kép, ta có:
Do dó(ABCD) = c b−c : d b−d. Nếu chuyển tọa độ xạ ảnh của các điểm A,B,C,Dsang tọa độ Affine, ta có
Thì ta tính được tọa độ của các véctơ sau đây:
Do đó(CAB) = − c b−c và (CAB) =− d b−d.
(DAB). Đặc biệt nếuChoặcDnằm trênP 1 , giả sử làDthì ta có
Tương tự, ta cũng có thể tính được tỉ số kép trên trong trường hợpC∈P 1
Nhận xét Nếu điểmDnằm trênP 1 và(ABCD) =−1thì khi đó trong mặt phẳng AffineA 2 ,điểmClà trung điểm của đoạnAB.
Thể hiện Affine của các đường cônic trong A 2
Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 với mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3; E}, chúng ta xem xét đường cônic (S) có phương trình x1^2 + x2^2 - x3^2 = 0 và đường thẳng P1 với phương trình x3 = 0 Mô hình Affine A2 được xác định là P2 \ P1 Đối với điểm X(x1; x2; x3) thuộc (S) và X nằm trong P2, ta có x3 < 0, do đó, khi chia hai vế của phương trình (1.11) cho x3^2, ta sẽ thu được phương trình x1 x3.
Ta thấy rằng đây là một elip (E) Chú ý rằng trong trường hợp này đường cônic (S)và đường thẳngP 1 không cắt nhau vì hệ sau vô nghiệm:
Chú ý.Tọa độ xạ ảnh của một điểm trongP 2 phải khác(0; 0; 0).
• Bằng cách hoán vị các đỉnh của mục tiêu tọa độ ta đưa phương trình cônic(S)về dạng x 2 1 −x 2 2 +x 2 3 =0 (1.12)
Với điểmX(x1;x2;x3)∈(S)và X
