Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ——————— LÊ THANH CƯỜNG ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC TP HỒ CHÍ.

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN ——————— LÊ THANH CƯỜNG ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN HỌC TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6, NĂM 2022 ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ——————— LÊ THANH CƯỜNG ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN HỌC TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS PHAN HỒNG CHƠN TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6, NĂM 2022 Lời nói đầu Hình học xạ ảnh môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Sư Phạm nước Mục đích mơn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan hình học mối quan hệ chúng Nhưng khn khổ chương trình quy định, giảng viên khơng trình bày hết tất vấn đề hình học xạ ảnh cho sinh viên Đặc biệt ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Nhiều định lý hình học tiếng nhiều tốn hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh cơng cụ hữu hiệu việc giải đề xuất tốn hình học sơ cấp Mục đích khóa luận trình bày số khái niệm không gian xạ ảnh n chiều, mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Affine, mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Euclid đặc biệt ứng dụng hình học xạ ảnh để giải đề xuất số định lý, tốn hình học sơ cấp Nội dung khóa luận trình bày hai chương: Chương – Cơ sở lý thuyết Chương – Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp Trong chương 1, nội dung chương giới thiệu khái niệm không gian xạ ảnh Pn liên kết với không gian véctơ thực n + chiều, mục tiêu xạ ảnh tọa độ xạ ảnh Pn , m− phẳng Pn , tỉ số kép Pn , siêu mặt bậc hai Pn , tính đối ngẫu không gian xạ ảnh Trong nội dung giới thiệu ánh xạ xạ ảnh, đặc biệt phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu xuyên trục, số định lý định lý Steiner, định lý Pascal, định lý Brianchon, Nội dung tiếp theo, khóa luận trình bày cực - siêu phẳng đối cực siêu mặt bậc hai Pn Nội dung cuối chương trình bày mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Affine mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Euclid Chương khóa luận trình bày ứng dụng hình học xạ ảnh vào việc chứng minh số định lý giải số tốn hình học sơ cấp Trong phần cuối chương 2, khóa luận trình bày ứng dụng hình học xạ ảnh để đề xuất định lý, tốn hình học sơ cấp từ số định lý, tốn cho trước khơng gian xạ ảnh Khóa luận hồn thành hướng dẫn, bảo tận tình PGS.TS Phan Hồng Chơn Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng sâu sắc đến thầy giúp đỡ quý báu Do thời gian hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý từ quý thầy bạn bè Mục lục Lời nói đầu CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian xạ ảnh 1.1.1 Định nghĩa không gian xạ ảnh Pn 1.1.2 Mơ hình Affine sau bổ sung phần tử vô tận 1.1.3 Véctơ đại diện cho điểm 1.1.4 Hệ điểm độc lập 1.1.5 Mục tiêu xạ ảnh 1.1.6 Tọa độ xạ ảnh điểm 1.1.7 Các m− phẳng tọa độ 10 1.1.8 Phương trình m− phẳng P n 10 1.1.9 Tỉ số kép P n 11 1.1.10 Hình bốn cạnh tồn phần 14 1.1.11 Tọa độ xạ ảnh không 14 1.1.12 Nguyên tắc đối ngẫu 15 1.1.13 Siêu mặt bậc hai P n 17 1.1.14 Một số kết tọa độ xạ ảnh P2 19 Ánh xạ xạ ảnh phép biến đổi xạ ảnh P n 23 1.2.1 Ánh xạ xạ ảnh 23 1.2.2 Phép biến đổi xạ ảnh 24 1.2.3 Biểu thức tọa độ phép biến đổi xạ ảnh 24 1.2.4 Nhóm phép biến đổi xạ ảnh hình học xạ ảnh 24 1.2.5 Ánh xạ xạ ảnh hàng điểm chùm đường thẳng 1.2 1.2.6 P2 25 Phép chiếu xuyên tâm phép chiếu xuyên trục 25 1.3 1.4 1.5 1.2.7 Phép cắt, phép nối P2 26 1.2.8 Định lý Steiner 27 1.2.9 Định lý Pascal định lý Brianchon 27 1.2.10 Vấn đề xác định cônic 31 1.2.11 Phép xạ ảnh đường cônic 31 1.2.12 Chùm đường bậc hai 32 Cực đường đối cực Pn 33 1.3.1 Cực siêu phẳng đối cực siêu mặt bậc hai 33 1.3.2 Cực đường đối cực đường cônic 34 Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Affine A2 35 1.4.1 Xây dựng mơ hình 35 1.4.2 Mục tiêu tọa độ Affine A2 35 1.4.3 Đường thẳng A2 36 1.4.4 Sự song song hai đường thẳng A2 36 1.4.5 Tỉ số kép A2 37 1.4.6 Thể Affine đường cônic A2 39 Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Euclid 40 1.5.1 Các phần tử ảo không gian xạ ảnh phức 40 1.5.2 Xây dựng mơ hình 41 1.5.3 Cái tuyệt đối không gian xạ ảnh P n 42 1.5.4 Ý nghĩa xạ ảnh tính vng góc E n 42 1.5.5 Một số kết mặt phẳng Euclid thể P2 (C) 43 Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp 46 2.1 Dùng hình học xạ ảnh để giải tốn hình học sơ cấp 46 2.1.1 Giải toán Affine, Euclid cách đưa toán xạ ảnh 46 2.1.2 Sử dụng định lý chuyển từ mặt phẳng xạ ảnh mặt phẳng 2.2 Affine, mặt phẳng Euclid 69 Đề xuất toán 86 2.2.1 Một số kết hình học sơ cấp thu từ định lý mặt phẳng xạ ảnh 2.2.2 87 Đề xuất số tốn hình học sơ cấp từ toán mặt phẳng xạ ảnh 92 Kết luận 96 Tài liệu tham khảo 97 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 1.1.1 Không gian xạ ảnh Định nghĩa không gian xạ ảnh Pn Giả sử V n+1 không gian véctơ n + chiều (n ≥ 0) trường K Ta kí hiệu V n+1 tập hợp không gian chiều không gian véctơ V n+1 Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X ∅ song ánh p : V n+1 → X Khi ba X, p, V n+1 gọi không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gian véctơ V n+1 trường K song ánh p, kí hiệu Pn Mỗi phần tử tập hợp X gọi điểm không gian xạ ảnh Pn Không gian xạ ảnh trường số thực R gọi không gian xạ ảnh thực, kí hiệu Pn (R); khơng gian xạ ảnh trường số phức C gọi khơng gian xạ ảnh phức, kí hiệu Pn (C) Trong khóa luận này, khơng nói thêm, ta xét không gian xạ ảnh thực Như vậy, điểm không gian xạ ảnh Pn ảnh không gian véctơ 1− chiều V sinh véctơ x V n+1 qua song ánh p Nếu V m+1 không gian véctơ V n+1 (0 ≤ m ≤ n), tập p V m+1 X gọi m− phẳng không gian xạ ảnh X, p, V n+1 ; 0− phẳng gọi điểm; 1− phẳng gọi đường thẳng, (n − 1)− phẳng cịn gọi siêu phẳng Khơng gian xạ ảnh P2 gọi mặt phẳng xạ ảnh 1.1.2 Mơ hình Affine sau bổ sung phần tử vô tận Gọi An+1 không gian Affine n + chiều liên kết với không gian véctơ V n+1 An siêu phẳng An+1 có không gian phương không gian véctơ n chiều V n V n+1 Đặt An = An ∪ [ V n ] , xây dựng song ánh p : V n+1 → An sau: Lấy điểm cố định O An+1 không nằm An Giả sử V không gian véctơ chiều V n+1 • Nếu V −−→ V n An có điểm M cho OM ∈ V Trong trường hợp ta đặt p V = M; • Nếu V ⊂ V n ta đặt p V = V Khi đó, p song ánh Như An , p, V n+1 không gian xạ ảnh n chiều gọi mơ hình Affine có bổ sung thêm phần tử vô tận Chú ý a b hai đường thẳng Affine song song có khơng gian phương V a ∪ p V b ∪ p V hai đường thẳng xạ ảnh An , chúng có điểm chung p V Bởi điểm p V thường gọi điểm vơ tận đường thẳng Tập hợp điểm vô tận An nằm (n − 1)− phẳng gọi siêu phẳng vô tận Như vậy, khơng gian xạ ảnh An có cách lấy không gian Affine An bổ sung thêm điểm vô tận tất đường thẳng thuộc An 1.1.3 Véctơ đại diện cho điểm Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Pn không gian xạ ảnh n− chiều liên kết với không gian véctơ V n+1 qua song ánh p Trong V n+1 , véctơ a sinh không gian chiều qua song ánh p không gian tương ứng với điểm A Pn Ta nói véctơ a đại diện cho điểm A Nhận xét i) Mỗi véctơ khác véctơ V n+1 , đại diện cho điểm không gian xạ ảnh Pn ii) Hai véctơ a b đại điện cho điểm A Pn a = kb với k số thực khác 1.1.4 Hệ điểm độc lập Định nghĩa 1.1.3 Trong không gian xạ ảnh Pn , hệ r điểm M1 , M2 , , Mr gọi hệ điểm độc lập r véctơ đại diện chúng độc lập tuyến tính khơng gian véctơ V n+1 liên kết với Pn Định lý 1.1.1 Nếu hệ r điểm M1 , M2 , , Mr Pn độc lập tồn (r − 1)− phẳng chứa chúng 1.1.5 Mục tiêu xạ ảnh Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian xạ ảnh Pn liên kết với không gian véctơ V n+1 , cho hệ −e ,→ − → − → − (n + 2) điểm A1 , A2 , , An+1 ; E có véctơ đại diện → e , , e n+1 , e Nếu hệ → −e ,→ −e , ,→ −e −e = → −e + → −e + + → −e sở V n+1 → , (n + 2) điểm n+1 n+1 −e ,→ − → − n+1 nói gọi mục tiêu xạ ảnh ứng với sở → Ta kí hiệu e , , e n+1 V A1 , A2 , , An+1 ; E {Ai ; E} , (1 ≤ i ≤ n + 1) Các điểm Ai (1 ≤ i ≤ n + 1) gọi đỉnh điểm E gọi điểm đơn vị −e ,→ − → − mục tiêu {Ai ; E} Cơ sở → e , , e n+1 gọi sở đại diện mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} Định lý 1.1.2 Mỗi sở V n+1 sở đại diện cho mục tiêu xạ ảnh Pn 1.1.6 Tọa độ xạ ảnh điểm Định nghĩa 1.1.5 Giả sử Pn không gian xạ ảnh liên kết với không gian véctơ V n+1 A1 , A2 , , An+1 ; E mục tiêu xạ ảnh Pn có sở đại diện ε = e1 , e2 , , en+1 − Lấy M ∈ Pn gọi → m véctơ đại diện điểm M V n+1 Nếu ( x ; x ; ; x n+1 ) − tọa độ véctơ → m sở ε V n+1 , ( x1 ; x2 ; ; xn+1 ) gọi tọa độ xạ ảnh điểm M Pn mục tiêu A1 , A2 , , An+1 ; E V n+1 Ta kí hiệu M = ( x1 ; x2 ; ; xn+1 ) M ( x1 ; x2 ; ; xn+1 ) Theo định nghĩa trên, mục tiêu A1 , A2 , , An+1 ; E , ta có A1 = (1; 0; 0; ; 0; 0) A2 = (0; 1; 0; ; 0; 0) An = (0; 0; 0; ; 1; 0) Dựng α = AB ∩ ED, β = CD ∩ d, γ = BC ∩ αβ, điểm F = d ∩ Eγ giao điểm d với đường cônic (S ) qua năm điểm A, B, C, D, E • Chứng minh Xét hình lục giác ABCDEF, ta có AB ∩ ED = α, CD ∩ AF = β, BC ∩ EF = γ Vì α, β, γ thẳng hàng, theo định Pascal, ta có đường cơnic (S ) qua điểm A, B, C, D, E, F hay điểm F thuộc đường cônic (S ) Do điểm A, B, C, D, E, F nên (S ) ≡ (S ) • Biện luận Vì điểm A, B, C, D, E, F nên đường thẳng α, β, γ Vậy điểm F = a ∩ Eγ Sử dụng cực đường đối cực mặt phẳng Euclid Bài tốn 2.1.29 Cho đường trịn (O) tâm O bán kính R Qua điểm M vẽ hai cung CD EF không qua tâm Hai tiếp tuyến C, D (O) cắt A, hai tiếp tuyến C, D (O) cắt A, hai tiếp tuyến E, F (O) cắt B Chứng minh OM AB vng góc với Chứng minh Ta xét cực đối cực (O) 83 Đường đối cực A CD qua M nên đường đối cực M qua A (1) Tương tự ta có đường đối cực M qua B (2) Từ (1) (2) suy đường đối cực M AB Vậy OM AB vng góc với Bài toán 2.1.30 (Định lý Brocard) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Giả sử AC cắt BD M, AB cắt CD N, AD cắt BC P Chứng minh O trực tâm tam giác MNP Chứng minh Xét cực đối cực (O) Ta có PM đường đối cực N nên ON vng góc với PM (1) Tương tự, ta có OM vng góc với PN (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài toán 2.1.31 Cho tam giác ABC với ( I ) đường tròn nội tiếp Tiếp điểm ( I ) BC, CA, AB D, E, F Gọi M, N, P điểm chung cặp đường thẳng EF BC; DF CA; DE AB Chứng minh M, N, P thẳng hàng Chứng minh 84 • Xét cực đối cực với ( I ) Áp dụng định lý Brianchon, ta có AD, BE, CF đồng quy S • Ta có M thuộc đường đối cực EF cực điểm A ( I ) M thuộc đường đối cực DB cực điểm D ( I ) Suy AD đường đối cực điểm M ( I ) Lập luận tương tự ta có: đường đối cực N BE đường đối cực P CF Vì ba đường AD, BE, CF đồng quy nên ta có M, N, P thẳng hàng Bài tốn 2.1.32 Trong tam giác ABC kẻ đường cao AA , BB , CC gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi J giao điểm AA với đường trịn (O) đường kính BC Chứng minh BC, B C tiếp tuyến J ( I ) đồng quy Chứng minh 85 Gọi giao điểm AH với ( I ) J1 , J2 hình vẽ, J J1 J2 Ta chứng minh BC, B C tiếp tuyến J1 ( I ) đồng quy Gọi giao điểm BC, B C S Ta có AH đường đối cực S , mà AH qua J1 nên đường đối cực J1 qua S hay tiếp tuyến J1 qua S Chứng minh với J2 tương tự Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tốn 2.1.33 Cho đường tròn (O) đường thẳng d cố định nằm (O) Một điểm S thay đổi d, Từ S kẻ tới M hai tiếp tuyến S A, S B (A, B tiếp điểm) Chứng minh S thay đổi AB ln qua điểm cố định Chứng minh Xét cực đối cực (O) Gọi I cực d O, d cố định nên I cố định Điểm S thuộc d suy đường đối cực S qua cực d hay AB qua I cố định 2.2 Đề xuất toán Từ mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Affine, ta đưa số tốn mặt phẳng xạ ảnh toán sơ cấp cách chọn đường thẳng thích hợp mặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vơ tận Do đó, từ tốn xạ ảnh ban đầu ta đề xuất nhiều toán sơ cấp khác Các bước thực chuyển đổi sau: Chọn đường thẳng vơ tận thích hợp Biểu diễn lại khái niệm, tính chất tốn xạ ảnh sang tốn hình học sơ cấp Phát biểu toán sơ cấp vừa chuyển 86 2.2.1 Một số kết hình học sơ cấp thu từ định lý mặt phẳng xạ ảnh Trước tiên, khóa luận trình bày số định lý mặt phẳng Affine thu cách chuyển từ định lý quan trọng mặt phẳng xạ ảnh (nội dung tham thảo từ [10]) Định lý Pappus Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 , định lý Pappus phát biểu sau: Định lý 2.2.1 (Định lý Pappus) Trong mặt phẳng P2 , cho ba điểm phân biệt A, B, C nằm đường thẳng d ba điểm phân biệt A , B , C nằm đường thẳng d Đặt M = AB ∩ BA , P = AC ∩ CA , N = BC ∩ CB Khi ba điểm M, N, P thẳng hàng Từ định lý này, ta thu số kết hình học sơ cấp cách chuyển vào mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Affine Cách chuyển 1: • Ta chọn đường thẳng MN làm đường thẳng vơ tận xét A2 = P2 \MN • Khi ta xét A2 BC ∥ B C, A C ∥ AC định lý Pappus trở thành định lý sau: Định lý 2.2.2 Cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A , B , C Trong A, B,C ∈ d A , B , C ∈ d Nếu BC ∥ B C, A C ∥ AC AB ∥ A B 87 Cách chuyển 2: • Ta chọn đường thẳng CC làm đường thẳng vô tận, gọi I giao điểm d, d xét A2 = P2 \CC • Khi ta xét A2 IB ∥ B N, AP ∥ IB , BN ∥ IB , IA ∥ A P nên IBNB , IAPA ; hình bình hành định lý Pappus trở thành định lý sau: Định lý 2.2.3 Cho hai hình bình hành IBNB , IAPA với A, A tương ứng thuộc IB, IB Gọi M = AB ∩ A B Khi M, N, P thẳng hàng Cách chuyển 3: • Ta chọn đường thẳng AC làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \AC • Khi ta xét A2 BCB M hình thang có BC ∥ B M, BNB A hình thang có BN ∥ A B định lý Pappus trở thành định lí sau: Định lý 2.2.4 Tứ giác BCB A (BC không song song với A B ) Từ B kẻ song song với BC giao BA M; từ B kẻ song song với A B giao CB N MN ∥ A C 88 Cách chuyển 4: • Ta chọn đường thẳng σ khơng chứa điểm toán xét A2 = P2 \σ • Khi ta xét A2 quan hệ cặp cạnh định lý giữ ngun ta có định lý Pappus hình học sơ cấp sau: Định lý 2.2.5 Trong mặt phẳng, cho ba điểm phân biệt A, B, C nằm đường thẳng d ba điểm phân biệt A , B , C nằm đường thẳng d Đặt M = AB ∩ BA , P = AC ∩ CA , N = BC ∩ CB Khi ba điểm M, N, P thẳng hàng Định lý Menelaus Định lý 2.2.6 (Định lý Menelaus) Trong P2 cho ba điểm không thẳng hàng A1 , A2 , A3 đường thẳng d không qua ba điểm cắt đường thẳng A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 tương ứng K1 , K2 , K3 Gọi L1 , L2 , L3 điểm tương ứng đường thẳng A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 (khác A1 , A2 , A3 ) Điều kiện cần đủ để ba điểm L1 , L2 , L3 thẳng hàng là: ( A2 A3 L1 K1 ) · ( A3 A1 L2 K2 ) · ( A1 A2 L3 K3 ) = Cách chuyển: • Ta chọn đường thẳng d làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \d • Khi xét A2 K1 , K2 , K3 điểm vơ tận ta có: ( A2 A3 L1 K1 ) = ( L1 A2 A3 ) = ( A3 A1 L2 K2 ) = ( L2 A3 A1 ) = ( A1 A2 L3 K3 ) = ( L3 A1 A2 ) = L1 A2 L1 A3 L2 A3 L2 A1 L3 A1 L3 A2 ; ; • Định lý Menelaus hình học sơ cấp phát biểu lại sau: 89 Định lý 2.2.7 Cho tam giác ABC, ba điểm M, N, P lần thuộc cạnh BC, CA, AB Ba điểm MB NC PA M, N, P thẳng hàng · · = MC NA PB Định lý Ceva Định lý 2.2.8 (Định lý Ceva) Trong P2 cho ba điểm không thẳng hàng A1 , A2 , A3 đường thẳng d khơng qua ba điểm cắt đường thẳng A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 tương ứng K1 , K2 , K3 Gọi L1 , L2 , L3 điểm tương ứng đường thẳng A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 (khác A1 , A2 , A3 ) Điều kiện cần đủ để ba đường thẳng A1 L1 , A2 L2 , A3 L3 đồng quy điểm là: ( A2 A3 L1 K1 ) · ( A3 A1 L2 K2 ) · ( A1 A2 L3 K3 ) = −1 Cách chuyển: • Ta chọn d đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \d • Khi ta xét A2 K1 , K2 , K3 điểm vô tận ta có: ( A2 A3 L1 K1 ) = ( L1 A2 A3 ) = ( A3 A1 L2 K2 ) = ( L2 A3 A1 ) = ( A1 A2 L3 K3 ) = ( L3 A1 A2 ) = L1 A2 L1 A3 L2 A3 L2 A1 L3 A1 L3 A2 ; ; • Định lý Ceva hình học sơ cấp phát biểu lại sau: Định lý 2.2.9 Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G thuộc cạnh BC, CA, AB Ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy EB FC GA · · = −1 EC FA GB 90 Định lý Desargues Định lý 2.2.10 (Định lý Desargues) Trong mặt phẳng P2 , cho hai tam giác ABC A B C Khi hai mệnh đề sau tương đương a) AB ∩ A B , BC ∩ B C , CA ∩ C A thẳng hàng b) Ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy Cách chuyển 1: • Ta chọn σ đường thẳng qua S ( AA , BB , CC đồng quy S ) không qua sáu điểm A, B, C, A , B , C xét A2 = P2 \σ • Khi ta xét A2 AA , BB , CC đôi song song nên AA B B, AA C C hình thang • Định lý Desargues hình học sơ cấp phát biểu lại sau: Định lý 2.2.11 Cho hình thang AA CC (AA song song CC ) đường thẳng a song song với cạnh đáy hình thang Giả sử B, B điểm a cho sáu điểm A, B, C, A , B , C khơng có ba điểm thẳng hàng Các cặp đường thẳng AB A B , BC B C , AC A C cắt P, Q, R Khi P, Q, R thẳng hàng 91 Cách chuyển 2: • Ta chọn đường thẳng AA làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \ AA • Khi ta xét A2 cặp đường thẳng B R1 C R2 , BR2 RR1 , BB CC song song với nên RR1 PR2 hình bình hình (R1 = A B ∩ CR, R2 = BP ∩ C R) BB CC hình thang nội tiếp hình bình hành Với cách chuyển ta thu kết sau: Định lý 2.2.12 Nếu hình thang BB CC (BB song song CC ) nội tiếp hình bình hành RR1 PR2 điểm R, P giao điểm Q C B CB thẳng hàng Cách chuyển 3: • Ta chọn σ làm đường thẳng vơ tận khơng chứa điểm tốn xét A2 = P2 \σ • Khi ta xét A2 kiện tốn nguyên ta có định lý Desargues mặt phẳng sơ cấp Định lý 2.2.13 Cho hai tam giác ABC A B C , phân biệt đường thẳng AA , BB , CC đồng quy giao điểm cặp đường thẳng AB A B , BC B C , CA C A thẳng hàng 2.2.2 Đề xuất số tốn hình học sơ cấp từ tốn mặt phẳng xạ ảnh Bài toán 2.2.1 ([12]) Trong P2 , cho ba đường thẳng a, b, c thuộc chùm tâm I Trên a lấy hai điểm J, K Trên c lấy hai điểm B, C Gọi D = JC ∩ b; A = JB ∩ b Gọi M, Q nằm AB AD Gọi N = K M ∩ BC; P = KQ ∩ DC; O = MP ∩ NQ Chứng minh B, O, D thẳng hàng 92 Chứng minh Xét hai tam giác BMN DPQ, ta có BM ∩ DP = J; MN ∩ PQ = K; NB ∩ QD = I; mà I, J, K thẳng hàng Theo định lý Desargues, ta có MP, NQ, BD đồng quy Mà MP ∩ NQ = O Suy O ∈ BD hay B, O, D thẳng hàng Cách chuyển 1: • Ta chọn đường thẳng a làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \a • Khi ta xét A2 AB song song với CD, AD song song với BC hay ABCD hình bình hành Ta có tốn hình học sơ cấp sau: Bài tốn Cho hình bình hành ABCD Từ điểm M tùy ý cạnh AB, ta dựng đường thẳng d cắt cạnh BC N Từ điểm Q tùy ý cạnh AD, ta dựng đường thẳng b song song a, cắt CD P Gọi O giao điểm MP NQ Chứng minh O, B, D thẳng hàng Cách chuyển 2: • Ta chọn đường thẳng BD làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \BD • Khi ta xét A2 , ta có tốn hình học sơ cấp sau: 93 Bài tốn Cho hình thang MNI J (MJ song song NI) có cạnh bên cắt K Trên hai cạnh đáy lấy hai điểm AC (A ∈ MJ, C ∈ NI) cho AI song song với CJ Q điểm thuộc AI; KQ cắt CJ P Chứng minh MP song song NQ Cách chuyển 3: • Ta chọn đường thẳng BC làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \BC • Khi ta xét A2 Ta có tốn hình học sơ cấp sau: Bài tốn Cho hình thang BOMJ (BO song song MJ) có cạnh bên cắt P Lấy điểm A thuộc MJ Trên AD lấy điểm Q Đường thẳng qua M, song song với OQ cắt PQ K Chứng minh K J song song AD Cách chuyển 4: • Ta chọn đường thẳng BA làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \BA • Khi ta xét A2 Ta có tốn hình học sơ cấp sau: Bài tốn Cho tứ giác KNQI, IQ lấy điểm D Qua D vẽ đường thẳng song song với IN cắt NQ O Qua O vẽ đường thẳng song song với KN cắt KQ P Chứng minh DP song song IK Bài toán 2.2.2 ([10]) Trong P2 cho tứ giác ABMN nội tiếp cônic (S ) Hai tiếp tuyến A, B cắt O Gọi Q, P, E giao điểm AM với BN, AN với BM AB với MN Chứng minh Q, O, P thẳng hàng Chứng minh 94 Áp dụng định lý Pascal, ta có kết Cách chuyển 1: • Ta chọn σ đường thẳng qua E làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2 \σ • Khi ta xét A2 AB song song với MN đường cônic (S ) trở thành elip ( E ) nên ta có tốn sau hình học sơ cấp: Bài tốn Cho elip ( E ) ngoại tiếp hình thang ABMN, AB song song với MN, Gọi Q giao điểm BN AM Điểm O giao điểm hai tiếp tuyến A B Điểm P giao điểm hai đường chéo AN BN hình thang ABMN Chứng minh P, Q, O thẳng hàng Cách chuyển 2: • Ta chọn σ tiếp tuyến N cơnic xét A2 = P2 \σ • Khi ta xét A2 đường cơnic (S ) trở thành parabol ( P) NA, NB hai đường thẳng song song với phương tiệm cận Ta có NA ∩ BM = P, NB ∩ AM = Q Vậy nên ta có tốn sau hình học sơ cấp: Bài toán Cho ba điểm A, B, M phân biệt nằm parabol ( P) Từ A, B kẻ đường thẳng a, b song song với phương tiệm cận P Gọi P, Q giao điểm cặp cạnh a với BM, b với AM O giao điểm cặp tiếp tuyến với ( P) A, B Chứng minh O, P, Q thẳng hàng Cách chuyển 3: • Ta chọn σ đường thẳng qua A, B xét A2 = P2 \σ • Khi ta xét A2 đường cơnic (S ) trở thành hyperbol ( H ) với hai tiệm cận OA, OB ta có MQ song song với NP; MP song song với NQ hay MNPQ hình bình hành Gọi I tâm hình bình hành, ta có tốn sau hình học sơ cấp: Bài toán Cho hyperbol ( H ), gọi O giao điểm hai tiệm cận; M, N hai điểm thuộc nhánh ( H ) I trung điểm MN, IO lấy điểm Q Chứng minh P đỉnh hình bình hành QNPM nhận I tâm P thuộc QO 95 Kết luận Từ khơng gian Affine, ta xây dựng mơ hình khơng gian xạ ảnh cách thêm vào không gian “điểm vô tận” Từ đó, nhiều tốn hình học sơ cấp trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Ngược lại, ta có khơng gian xạ ảnh, cách bỏ siêu phẳng (xem siêu phẳng vơ tận) ta xây dựng phần cịn lại thành mơ hình xạ ảnh khơng gian Affine mơ hình xạ ảnh không gian Euclid Trong không gian xạ ảnh P2 , cách chọn đường thẳng thích hợp làm đường thẳng vơ tận, ta đề xuất nhiều định lý, tốn hình học sơ cấp Khóa luận đề cập tới việc khai thác mối liên hệ hình học xạ ảnh với hình học sơ cấp, dùng kiến thức hình học xạ ảnh nhằm soi sáng, định hướng cho lời giải sơ cấp tốn hình học cho khai thác mối liên hệ chúng để sáng tạo tốn hình học chương trình phổ thơng Khóa luận tập trung vào việc nghiên cứu mối liên hệ hình học xạ ảnh với hình học Affine hình học Euclid nhằm nghiên cứu, khai thác vận dụng mối liên hệ nội dung hình học xạ ảnh với nội dung hình học sơ cấp dạy học hình học trường phổ thơng Qua đó, giúp cho người giáo viên tốn trường phổ thơng sinh viên sư phạm tốn hiểu rõ chất, cội nguồn kiến thức hình học sơ cấp trường phổ thơng, thấy mối quan hệ nội dung kiến thức hình học cao cấp học trường sư phạm với nội dung kiến thức hình học sơ cấp trường phổ thơng Khóa luận trình bày nội dung sau: • Trình bày khái niệm không gian xạ ảnh Pn số kết khơng gian xạ ảnh P2 • Xây dựng mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Affine A2 , mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Euclid E2 • Ứng dụng hình học xạ ảnh để giải đề xuất tốn hình học sơ cấp • Trình bày tốn chuyển từ toán P2 sang A2 96 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương (1999), Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm [2] Đồng Thanh Triết, Giáo trình Hình học xạ ảnh, Đại Học Sài Gòn [3] Nguyễn Mộng Hy (2003), Bài tập Hình học cao cấp, NXB Giáo Dục [4] Phạm Bình Đơ (2003), Bài tập Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm [5] Nguyễn Mộng Hy (2003), Hình học cao cấp, NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Cảnh Toàn (1979), Hình học cao cấp, NXB Giáo Dục [7] Phan Hồng Chơn, Đồng Thanh Triết, Giáo trình đại số tuyến tính, Đại Học Sài Gòn [8] Nguyễn Ngọc Giang (2015), Lê Viết Ân, Sáng tạo hình học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [9] Trần Thị Quỳnh Anh (2015), Khóa luận: Ứng dụng Định lý Pascal định lý Brianchon vào hình học sơ cấp, Đại Học Sư Phạm Hà Nội [10] Văn Đức Chín (2015), Luận Văn: Hình học xạ ảnh số ứng dụng hình học sơ cấp, Đại Học Thái Nguyên [11] Nguyễn Thị Mai Hương (2015), Khóa luận: Vài ứng dụng hình học xạ ảnh biến đổi xạ ảnh vào hình học phẳng, Đại Học Sư Phạm Hà Nội [12] Bùi Thị Thanh Đào, Báo cáo sinh viên nghiên cứu khoa học: Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải sáng tạo toán Affine, Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ Đại học Hà Nội năm 2010 [13] H.S.M Coxeter and S.L Greitzer (1967), Geometry Revisited, The Mathematical Association of America, Washington 97 ... ) (hình 18) Hình 18 45 Chương Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp 2.1 Dùng hình học xạ ảnh để giải tốn hình học sơ cấp 2.1.1 Giải toán Affine, Euclid cách đưa tốn xạ ảnh Dựa vào mơ hình. .. hình học xạ ảnh cho sinh viên Đặc biệt ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Nhiều định lý hình học tiếng nhiều tốn hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình. .. biệt ứng dụng hình học xạ ảnh để giải đề xuất số định lý, tốn hình học sơ cấp Nội dung khóa luận trình bày hai chương: Chương – Cơ sở lý thuyết Chương – Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp