2 Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp
2.2 Đề xuất các bài toán mới
2.2.1 Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ định lý trong mặt phẳng xạ
xạ ảnh
Trước tiên, khóa luận trình bày một số định lý trong mặt phẳng Affine thu được bằng cách chuyển từ các định lý quan trọng trong mặt phẳng xạ ảnh (nội dung tham thảo từ [10]).
1. Định lý Pappus
Trong mặt phẳng xạ ảnhP2, định lý Pappus được phát biểu như sau:
Định lý 2.2.1 (Định lý Pappus). Trong mặt phẳng P2
, cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng nằm trên đường thẳngd và ba điểm phân biệt A0, B0, C0 cùng nằm trên đường thẳngd0. Đặt
M =AB0∩BA0, P=AC0∩CA0,N = BC0∩CB0. Khi đó ba điểmM, N,Pthẳng hàng.
Từ định lý này, ta thu được một số kết quả trong hình học sơ cấp bằng cách chuyển vào mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Affine.
Cách chuyển 1:
• Ta chọn đường thẳng MN làm đường thẳng vơ tận và xét trongA2 =P2\MN.
• Khi ta xét trongA2thìBC0 ∥ B0C,A0C ∥ AC0và định lý Pappus trở thành định lý sau:
Định lý 2.2.2. Cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A0, B0, C0. Trong đó A, B,C ∈ d và A0, B0,
Cách chuyển 2:
• Ta chọn đường thẳngCC0 làm đường thẳng vô tận, gọi I là giao điểm của d, d0 và xét trongA2 =P2
\CC0.
• Khi ta xét trongA2thìIB∥ B0N,AP ∥IB0, BN ∥ IB0,IA∥ A0PnênIBN B0,IAPA0; là các hình bình hành và định lý Pappus trở thành định lý sau:
Định lý 2.2.3. Cho hai hình bình hành IBN B0, IAPA0 với A,A0tương ứng thuộc IB, IB0. Gọi
M =AB0∩A0B. Khi đóM,N, Pthẳng hàng.
Cách chuyển 3:
• Ta chọn đường thẳngAC0làm đường thẳng vơ tận và xét trongA2 =P2\AC0.
• Khi ta xét trongA2 thì BCB0M là hình thang có BC ∥ B0M, BN B0A0 là hình thang có
BN ∥ A0B0và định lý Pappus trở thành định lí sau:
Định lý 2.2.4. Tứ giácBCB0A0(BCkhơng song song vớiA0B0). TừB0kẻ song song vớiBCgiao
Cách chuyển 4:
• Ta chọn đường thẳngσkhơng chứa bất kì điểm nào của bài tốn và xét trongA2 =P2\σ. • Khi ta xét trongA2các quan hệ giữa các cặp cạnh trong định lý trên được giữ ngun và
ta có định lý Pappus trong hình học sơ cấp như sau:
Định lý 2.2.5. Trong mặt phẳng, cho ba điểm phân biệt A, B,C cùng nằm trên đường thẳng
d và ba điểm phân biệt A0, B0, C0 cùng nằm trên đường thẳng d0. Đặt M = AB0∩BA0,P =
AC0∩CA0,N =BC0∩CB0. Khi đó ba điểm M, N, P thẳng hàng.
2. Định lý Menelaus
Định lý 2.2.6 (Định lý Menelaus). Trong P2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3 và một đường thẳng d khơng đi qua ba điểm đó cắt các đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 tương ứng tạiK1, K2,K3. GọiL1,L2, L3lần lượt là các điểm tương ứng trên các đường thẳngA2A3,
A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3). Điều kiện cần và đủ để ba điểm L1, L2, L3 thẳng hàng là:
(A2A3L1K1)·(A3A1L2K2)·(A1A2L3K3) =1.
Cách chuyển:
• Ta chọn đường thẳngdlàm đường thẳng vơ tận và xét trongA2=P2\d.
• Khi xét trongA2thìK1, K2,K3là các điểm vơ tận ta có:
(A2A3L1K1) = (L1A2A3) = L1A2
L1A3;
(A3A1L2K2) = (L2A3A1) = L2A3
L2A1;
(A1A2L3K3) = (L3A1A2) = L3A1
L3A2.
Định lý 2.2.7. Cho tam giácABC, ba điểmM,N, Plần thuộc các cạnh BC,CA,AB. Ba điểm M,N,Pthẳng hàng khi và chỉ khi MB MC · NC NA · PA PB =1. 3. Định lý Ceva Định lý 2.2.8 (Định lý Ceva). Trong P2
cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3 và một đường thẳng d khơng đi qua ba điểm đó cắt các đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2tương ứng tại
K1,K2,K3. GọiL1, L2, L3lần lượt là các điểm tương ứng trên đường thẳngA2A3,A3A1, A1A2
(khácA1,A2, A3). Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳngA1L1,A2L2,A3L3 đồng quy tại một điểm là:
(A2A3L1K1)·(A3A1L2K2)·(A1A2L3K3) =−1.
Cách chuyển:
• Ta chọndlà đường thẳng vơ tận và xét trongA2 =P2\d.
• Khi ta xét trongA2
thìK1,K2,K3là các điểm vơ tận và ta có:
(A2A3L1K1) = (L1A2A3) = L1A2
L1A3;
(A3A1L2K2) = (L2A3A1) = L2A3
L2A1;
(A1A2L3K3) = (L3A1A2) = L3A1
L3A2.
• Định lý Ceva trong hình học sơ cấp được phát biểu lại như sau:
Định lý 2.2.9. Cho tam giác ABC, ba điểmE, F, Glần lượt thuộc các cạnh BC,CA, AB. Ba
đường thẳngAE,BF,CGđồng quy khi và chỉ khi
EB EC · FC FA · GA GB =−1.
4. Định lý Desargues
Định lý 2.2.10(Định lý Desargues). Trong mặt phẳngP2
, cho hai tam giác ABCvà A0B0C0. Khi đó hai mệnh đề sau tương đương.
a) AB∩A0B0,BC∩B0C0,CA∩C0A0thẳng hàng. b) Ba đường thẳngAA0, BB0,CC0đồng quy.
Cách chuyển 1:
• Ta chọnσlà đường thẳng đi quaS (AA0,BB0,CC0đồng quy tạiS) nhưng không đi qua sáu điểm A,B,C, A0, B0,C0và xét trongA2 =P2\σ.
• Khi ta xét trong A2 thì AA0, BB0, CC0 đơi một song song nên AA0B0B, AA0C0C là các hình thang.
• Định lý Desargues trong hình học sơ cấp được phát biểu lại như sau:
Định lý 2.2.11. Cho hình thangAA0CC0(AA0song songCC0) và đường thẳngasong song với cạnh đáy hình thang. Giả sửB,B0là các điểm trênasao cho sáu điểmA, B,C,A0, B0,C0trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Các cặp đường thẳngABvà A0B0, BC và B0C0, AC và
Cách chuyển 2:
• Ta chọn đường thẳngAA0làm đường thẳng vơ tận và xét trongA2 =P2\AA0.
• Khi ta xét trongA2thì các cặp đường thẳngB0R1vàC0R2,BR2vàRR1,BB0vàCC0song song với nhau nên RR1PR2 là hình bình hình (R1 = A0B0∩CR,R2 = BP∩C0R) và BB0CC0là hình thang nội tiếp hình bình hành đó.
Với cách chuyển này ta thu được kết quả sau:
Định lý 2.2.12. Nếu hình thangBB0CC0(BB0song songCC0) nội tiếp hình bình hànhRR1PR2
thì các điểmR,Pvà giao điểmQcủaC0B0vàCBlà thẳng hàng.
Cách chuyển 3:
• Ta chọnσlàm đường thẳng vơ tận khơng chứa bất kì điểm nào của bài tốn và xét trong
A2 =P2\σ.
• Khi ta xét trongA2thì các dữ kiện của bài tốn giữa ngun và ta có định lý Desargues trong mặt phẳng sơ cấp.
Định lý 2.2.13. Cho hai tam giác ABC và A0B0C0, phân biệt nếu các đường thẳng AA0, BB0,
CC0đồng quy thì các giao điểm của các cặp đường thẳngABvàA0B0,BCvàB0C0,CAvàC0A0
thẳng hàng.