1.3.1 Cực và siêu phẳng đối cực đối với một siêu mặt bậc hai
Định nghĩa 1.3.1. TrongPnvới mục tiêu xạ ảnh cho trước, cho siêu mặt bậc hai(S)có phương trình [x]T A[x] = n+1 X i,j=1 ai jxixj=0, (1.7)
và một điểmU có tọa độ(u1;u2;. . .;un+1). Ta hãy xét phương trình [u]T A[x] =
n+1
X
i,j=1
nếun+1hệ n+1
X
j=1
ai jui với j = 1, 2,. . .,n+1khơng đồng thời bằng 0 thì n+1
X
i,j=1
ai juixj = 0là một phương trình của một siêu phẳng P. Khi đó, siêu phẳngPđược gọi làsiêu phẳng đối cực
của điểmU đối với siêu mặt bậc hai(S), còn điểmUgọi làcực điểmcủa siêu phẳngPđối với siêu mặt bậc hai(S).
Chú ý. Nếun+1 hệ số n+1
X
j=1
ai jui với j = 1, 2,. . .,n+1 đều bằng 0 thì điểm U được gọi là
điểm đặc biệtcủa siêu mặt bậc hai(S).
Định lý 1.3.1. Nếu (S)là một siêu mặt bậc hai khơng suy biến thì bất kì siêu phẳng nào của
Pncũng có một cực điểm duy nhất đối với(S).
Định lý 1.3.2. Nếu điểm U không thuộc siêu mặt bậc hai (S) và một đường thẳng đi qua U cắt siêu phẳng đối cực tại V, đồng thời cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N thì ta có(UV MN) =−1.
Định nghĩa 1.3.2. Hai điểmU,V mà thỏa mãn (UV MN) = −1như ở định lý 1.3.2 được gọi làliên hợp với nhau đối với(S).
Siêu phẳng đối cựccủa điểmUđối với siêu mặt bậc hai(S)(U không thuộc(S)) là tập hợp tất cả các điểmVliên hợp vớiU đối với(S).
Định lý 1.3.3. Nếu điểmV thuộc siêu phẳng đối cực của điểmU đối với siêu mặt bậc hai(S)
thì điểmUthuộc siêu phẳng đối cực của điểmV đối với siêu mặt bậc hai(S).
Định lý 1.3.4. Hai điểmU,V liên hiệp với nhau đối với(S)khi và chỉ khi[U]TA[U] = 0.
1.3.2 Cực và đường đối cực đối với đường cônicĐịnh nghĩa 1.3.3. Trong mặt phẳng xạ ảnhP2, Định nghĩa 1.3.3. Trong mặt phẳng xạ ảnhP2,
i) Hai điểm M,N được gọi làliên hợp với nhau đối với đường cônic(S)nếu hai giao điểm của(S)với đường thẳngMN chia điều hịa với cặp điểmM,N.
ii) Quỹ tích các điểmNliên hợp với điểm cố định Mđối với đường cônic(S)là một đường thẳng. Đường thẳng này gọi làđường đối cực của điểm Mđối với đường cônic(S).
Định lý 1.3.5. Nếu điểmAthuộc đường đối cực của điểm Mđối với đường cơnic(S)thì điểm
Mcũng thuộc đường đối cực của điểmAđối với(S).
Định lý 1.3.6. Nếu điểmMnằm ngồi đường cơnic(S), kẻ các tiếp tuyếnMP, MQtới(S), khi
Định lý 1.3.7. Đối với một đường cônic (S), các đường đối cực của các điểm thẳng hàng là
các đường thẳng đồng quy; các cực của các đường thẳng đồng quy là các điểm thẳng hàng.
Định nghĩa 1.3.4. Hai đường thẳngm,nđược gọi làliên hợp với nhau đối với đường cônic(S) nếu chúng đi qua các cực của nhau đối với đường cônic(S).
Định lý 1.3.8. Hai đường thẳng liên hợp với nhau đối với đường cơnic (S) chia điều hịa hai tiếp tiếp với(S)xuất phát từ giao điểm của hai đường thẳng đã cho.