2 Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp
2.1.2 Sử dụng các định lý được chuyển từ mặt phẳng xạ ảnh về mặt phẳng
Affine, mặt phẳng Euclid
1. Các định lý được chuyển từ mặt phẳng xạ ảnh về mặt phẳng Affine, mặt phẳng Euclid
•Định lý Pascal và Định lý Brianchon trong mặt phẳng Affine, mặt phẳng Euclid
Các định lý Pascal, định lý Brianchon có thể được áp dụng đối với đường bậc hai trong mặt phẳng Affine (như elip, hyperbol, parabol) và trong mặt phẳng Euclid (như đường trịn).
Định lí Pascal trong mặt phẳng Affine:
Định lý 2.1.1. Điều kiện cần và đủ để một hình lục giác nội tiếp một đường bậc hai là giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng.
Định lý 2.1.2. Điều kiện cần và đủ để một hình ngũ giác A1A2A3A3A4A5 nội tiếp một đường bậc hai(G) là ba giao điểm của: cạnhA1A2với cạnh A4A5, cạnh A2A3 với tuyến của(G) tại
A5, cạnhA3A4với cạnhA5A1là thẳng hàng.
Định lý 2.1.3. Điều kiện cần và đủ để một hình tứ giác nội tiếp một đường bậc hai là hai cặp cạnh đối diện và hai cặp tiếp tuyến ở các cặp đỉnh đối diện giao nhau theo bốn điểm thẳng hàng.
Định lý 2.1.4. Điều kiện cần và đủ để một hình tam giác nội tiếp một đường bậc hai là ba cạnh của một tam giác cắt với ba tiếp tuyến tại đỉnh đối diện theo ba điểm thẳng hàng.
Định lý Brianchon trong mặt phẳng Affine:
Định lý 2.1.5. Điều kiện cần và đủ để một hình lục giác ngoại tiếp một đường bậc hai là các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy tại một điểm.
Định lý 2.1.6. Điều kiện cần và đủ để một hình tứ giác ngoại tiếp một đường bậc hai là các đường thẳng nối các đỉnh đối diện và các đường thẳng nối các tiếp điểm trên các cạnh đối diện đồng quy.
Định lý 2.1.7. Điều kiện cần và đủ để một hình tam giác ngoại tiếp một đường bậc hai là ba đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm với tiếp điểm trên mỗi cạnh đối diện là ba đường thẳng đồng quy.
Chú ý.Các định lý Pascal và định lý Brianchon đối với đường tròn trong mặt phẳng Euclid được phát biểu tương tự nếu ta thay cụm từ “đường bậc hai” của các định lý trên bởi cụm từ “đường
trịn”.
•Cực và đối cực trong mặt phẳng Affine, mặt phẳng Euclid
Tương tự nội dung trên, các định lý về cực - đường đối cực có thể được áp dụng đối với các đường bậc hai trong mặt phẳng Affine (như elip, hyperbol, parabol) và trong mặt phẳng Euclid (như đường tròn).
Định nghĩa 2.1.1. Trong mặt phẳng Affine,
i) Hai điểm M, N được gọi là liên hợp với nhau đối với đường bậc hai (G) nếu hai giao điểm của(G)với đường thẳng MN chia điều hịa với cặp điểmM, N.
ii) Quỹ tích các điểmNliên hợp với điểm cố địnhMđối với đường bậc hai(G)là một đường thẳng. Đường thẳng này gọi làđường đối cực của điểm Mđối với đường bậc hai(G).
Định lý 2.1.8. Trong mặt phẳng Affine, nếu điểm Athuộc đường đối cực của điểm M đối với đường bậc hai(G)thì điểm Mcũng thuộc đường đối cực của điểmAđối với(G).
Định lý 2.1.9. Trong mặt phẳng Afifine, nếu điểm Mnằm ngồi đường bậc hai(G)kẻ các tiếp tuyếnMP, MQtới(G), khi đóPQlà đường đối cực của điểmMđối với đường bậc hai(G).
Định lý 2.1.10. Trong mặt phẳng Affine, đối với một đường bậc hai(G), các đường đối cực của
các điểm thẳng hàng là các đường thẳng đồng quy; các cực của các đường thẳng đồng quy là các điểm thẳng hàng.
Chú ý.Các định lý cực - đường đối cực với đường tròn trong mặt phẳng Euclid được phát biểu tương tự khi thay từ cụm “đường bậc hai” của các định lý trên bởi cụm từ “đường tròn”.
Nhận xét. Trong mặt phẳng Euclid, với điểm cựcS đối với đường trịn(O)thìS Ovng góc với đường đối cực.
Sau đây là một số cách xác định cực và đường đối cực đối với đường tròn trong mặt phẳng Euclid:
Trường hợp 1:Khi cựcS nằm ngồi đường trịn(O).
Cách 1. Từ S kẻ tới (O)hai tiếp tuyến S A, S B(A, B là hai tiếp điểm). Khi đó đường đối cực củaS đối với(O)làAB.
Cách 2.TừS kẻ tới(O)hai cát tuyếnS AB, S BD. Giả sử ADcắt BC ởF, AC cắtBDở E.
Khi đó đường đối cực củaS đối với(O)làEF.
Trường hợp 2.Khi cựcS nằm trong đường tròn(O)
Cách 1.TừS dựng đường vng góc vớiS O, đường này cắt(O)ởAB. Tiếp tuyếnA,Bcắt nhau tạiP. Khi đó đường đối cục củaS đối với(O) là đường thẳng đi quaPvà vng góc với
S O.
Cách 2.TừS dựng hai dây cungABvàCD. Giả sửADcắtBC ởE,AC cắtBDởF. Khi đó
Trường hợp 3.Khi cựcS nằm trên đường trịn(O).
Khi đó, tiếp tuyến của(O)tạiS chính là đường đối cực củaS đối với(O).
2. Sử dụng định lý Pascal và định lý Brianchon trong mặt phẳng Affine, mặt phẳng Euclid
Bài toán 2.1.18. ([9])
Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O). Gọi A0, B0,C0lần lượt là các điểm chính giữa của các cungBC,CA,ABkhơng chứaA,B,C của(O). Các cạnhBC,CA,ABcắt các cặp đoạn thẳngC0A0và A0B0,A0B0và B0C0, B0C0 vàC0A0lần lượt ở các cặp điểm Mvà N, Pvà Q,Rvà
S.
Chứng minh MQ, NR,PS đồng quy.
Chứng minh.
•VìA0,B0,C0lần lượt là các điểm chính giữa các cungBC,CA,ABnênAA0,BB0,CC0theo thứ tự là các đường phân giác của góc BAC,d ABC,d ACB. Suy rad I = AA0∩BB0∩CC0 (do ba đường phân giác đồng quy).
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểmC,C0,A0,B0,B,Ata có:
CC0∩BB0 = I; C0A0∩BA = S;
A0B0∩AC = P.
VậyI, P,S thẳng hàng.(1)
•Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A,A0, B0,C0,C, Bta có:
AA0∩CC0 = I; A0B0∩CB = N; B0C0∩AB = R.
VậyN,I,Rthẳng hàng.(2)
•Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm B,B0,C0, A0,A,Cta có:
BB0∩AA0 = I; B0C0∩AC = Q; C0A0∩CB = M.
VậyI, Q, Mthẳng hàng.(3)
Bài toán 2.1.19. ([9])
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) và ba điểm M, N, P cùng thuộc đường thẳng
d. AM, BM, C M cắt (O) tương ứng ở A1,B1,C1 và A1N,B1N,C1N cắt (O) tương ứng ở
A2,B2,C2;A2P,B2P,C2Pcắt(O)tương ứng ởA3,B3,C3. Chứng minh AA3,BB3,CC3,dđồng quy.
Chứng minh.
•GọiS =AA3∩BB3vàV = B1A3∩B3A1.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1,A2,A3,B1,B2,B3ta có:
A2A3∩B2B3 = P; B1A3∩B3A1 = V; A2A1∩B2B1 = N.
Suy ra ba điểm M,S,V thẳng hàng. Hay điểmS nằm trênd.(1) •GọiS0 =AA3∩CC3vàQ=C1A3∩C3A1.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1, A2,A3,C1,C2,C3ta có:
C1A3∩C3A1 = Q; C1C2∩A1A2 = N; A2A3∩C2C3 = P.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểmC,C1,A3, A,A1,C3ta có:
CC1∩AA1 = M; C1A3∩C3A1 = Q;
CC3∩AA3 = S0.
Suy ra ba điểmM,Q,S0thẳng hàng hayS0nằm trênd. (2)
Từ(1)và(2)suy raS ≡S0. Từ đó, ta cóAA3,BB3,CC3,dđồng quy.
Bài tốn 2.1.20. ([9])
Cho hình chữ nhật ABCDnội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A cắtCD ở S.
BS cắt lại đường trònOởT.
Chứng minhCT,S O,ADđồng quy.
Chứng minh.
GọiI =CT∩AD,dlà tiếp tuyến với đường tròn tạiA.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểmA,C,T,B,D, Ata có:
AC∩BD = O; AD∩CT = I;
d∩BT = S.
Suy ra ba điểmS, I,Othẳng hàng. HayCT,S O,ADđồng quy.
Bài tốn 2.1.21. ([9])
Cho tam giácABCnội tiếp đường trịn(O), ngoại tiếp đường tròn(I). Một đường tròn(O0) tiếp xúc với(O)và tiếp xúc với hai cạnhAB,AC lần lượt tạiS, M,N.
Chứng minh.
•Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
“Cho đường tròn (O)với dây cung AB. Một đường tròn(I) tiếp xúc trong với (O) và tiếp xúc vớiABlần lượt tạiM,N. Khi đó MNđi qua điểm chính giữa cungABkhơng chứa điểm M
của(O)”.
GọiP= MN∩(O).
Xét tam giác MNI, ta có I MN[ =IN M[ (tam giác MNIcân). Xét tam giác MPO, ta cóOMP[ =OPM[ (tam giác MPOcân). Suy ra MNI[ =MPO.[
Do hai góc ở vị trí đồng vị, suy raOP∥ IN màIN ⊥ABnênOP⊥AB(đpcm). •Trở lại bài tốn:
• Ta có: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nênCI là tia phân giác ACB, gọid F =CI∩(O). Suy raF là điểm chính giữa của dây cung AB. Áp dụng bổ đề trên ta cũng có S,M,Fthẳng hàng. Suy raS M,CI và(O)đồng quy tại điểmF.
•Tương tự ta có:BI là tia phân giácABC,d E = BI∩(O)nênE là điểm chính giữa của dây cungAC. Suy raB,I, Ethẳng hàng.
Áp dụng bổ đề trên ta cũng cóS,N,Ethẳng hàng. Suy raS N, BIvà(O)đồng quy tại điểm
E.
•Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm F,C,A, B,E,S ta có:
FC∩BE = I; CA∩ES = N;
AB∩S F = M.
Vậy ba điểm M, I,N thẳng hàng.
Bài toán 2.1.22. ([9])
Cho bốn điểmA, B,C, Dnằm trên đường tròn(O). GọiPlà giao điểm hai tiếp tuyến tạiA
vàD. GọiQlà giao điểm hai tiếp tuyến tạiBvàC. Đặt M =AC∩DP,N =BD∩CQ.
Chứng minh MN,PQ,ABđồng quy.
Chứng minh.
ĐặtE =AP∩BQ,F =DP∩CQ,K =AC∩BD.
Áp dụng định lý Brianchon cho tứ giácPEQF ngoại tiếp(O), ta cóPQ,EF,AC,BDđồng quy. Do đóEF đi qua giao điểmK =AC∩BD.
VậyE,F,K thẳng hàng.
Bài tốn 2.1.23. ([9])
Cho hình vngABCDngoại tiếp đường trịn(O). Tiếp điểm(O)trênAB,BC,CD,DAlần lượt là M, N, P,Q. Một điểm S nằm trên cung nhỏPN của(O). Tiếp tuyến của (O) tạiS cắt
BC,CDlần lượt tạiH,K.
Chứng minh MH ∥ AK.
Chứng minh.
•Xét cực và đối cực đối với(O). GọiS N∩AB=I;vàS P∩MQ= J.
Áp dụng định lí Pascal cho sáu điểm M, P,S, N,Q, Mta có:
MP∩NQ = O; S N∩M M = I;
QM∩PS = J.
Suy ra ba điểmI,O, Jthẳng hàng.
• Ta cóI thuộc đường đối cực M M của điểm M và thuộc đường đối cực NS của điểm H;
do đóH Mlà đường đối cực của điểmI đối với(O).
Tương tự, AKlà đường đối cục của điểm Jđối với(O). •VìI,O, Jthẳng hàng vàI J ⊥AK vàI J ⊥ MH.
Suy ra MH ∥ AK (đpcm).
Bài toán 2.1.24. ([9])
Cho sáu điểm A, B,C, D,E, Fcùng thuộc một đường trịn(O)sao choABCDlà hình chữ nhật. Giả sửEF cắtAB,CDlần lượt ởP, Q;BEcắtAF tạiH,CE cắtDF ởK.
Chứng minh.
•Xét cực và đối cực với(O). GọiAE∩BF =IvàDE∩CF = J.
Áp dụng định lí Pascal cho sáu điểmA,C,F, B,D, Eta có:
AC∩BD = O; AE∩BF = I; DE∩CF = J.
Suy ra ba điểmO,I,Jthẳng hàng.(1)
•Xét tứ giácEDFCnội tiếp(O), ta cóQKlà đường đối cực củaJđối với(O)nênQK ⊥I J.
Tương tự, ta cóOH là đường đối cục củaIđối(O)nênPH ⊥I J.(2)
Từ(1)và(2)nênPH ∥ QK.
Bài toán 2.1.25. ([9])
Cho tam giác cânABC tạiA, nội tiếp đường trịn(O). Kẻ đường kính ADcủa đường trịn,
S là một điểm thay đổi trên đường tròn.S BcắtACở M,S DcắtBC ởN. Chứng minh rằngMN luôn đi qua một điểm cố định.
Giả sửBM, AN cắt(O)tương ứng ởS,I; tiếp tuyến của(O)tạiCcắtS IởT.
•Vì tam giácABClà tam giác cân tạiAnênBAD[ =CAD[ hay cungBD=CD. Suy raS N
là tia phân giácBS Cd nên S C
S B = NC
N B.
Vì tam giácABC là tam giác cân tạiAnênAIBd =AIC. Suy rad IN là tia phân giácBICd nên
IC
IB = NC
N B.
Vì vậyBS CIlà tứ giác điều hòa nênS I, tiếp tuyến tạiB,Ccủa(O)đồng quy (hayT là giao điểm của hai tiếp tuyếnB,Ccủa(O)nênT cố định).
•Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểmA,C,C,B,S,I ta có:
AC∩BS = M; BC∩AI = N; S I∩CC = T.
Suy ra ba điểm M, N,T thẳng hàng.
Bài toán 2.1.26. ([9])
Cho tam giácABC nội tiếp đường trịn(O), có tâmO. GọiMlà điểm nào đó trên cạnhAC
(M , A,C). Đường thẳng BMcắt đường tròn tạiN. Đường thẳng quaAvng góc với ABvà đường thẳng quaNvng góc vớiNCcắt nhau tạiQ.
Chứng minh rằngQMluôn đi qua một điểm cố định khi Mthay đổi trên cạnhAC.
Gọi đường thẳng quaAvng góc vớiABlàdvà đường thẳng qua Nvng góc với NClà d0. Khi đód∩d0= Q. •Kẻ các đường kínhBDvàCE. Ta có:AB⊥d(gt) vàAB⊥AD(vìBDlà đường kính). Suy ra ba điểmA,D, Qthẳng thàng.(1) Mặt khácNC⊥d0(gt)NC ⊥NE (vìBDlà đường kính). Suy ra ba điểmE,N, Qthẳng hàng.(2) Từ(1)và(2), suy raAC∩EN =Q.
•Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểmC,E,N, B,D,Ata có:
CE∩BD = O; EN∩DA = Q; N B∩AC = M.
Suy ra ba điểmO, M,Qthẳng hàng. VậyQMluôn đi qua điểmO.
Bài toán 2.1.27. ([9])
Cho bốn điểmA,B,C,Dthuộc parabol(P). Gọia,blần lượt là tiếp tuyến của(P) tạiA,B
vàM =AC∩b, M0 =BC∩a,N = AD∩b,N0 =BD∩a.
Chứng minhAB,CD,M0N,N0Mđồng quy nếuABcắtCD.
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếpCAADDBvới:S =AB∩DC, N0=AA∩BD, M =BB∩AC ta cóS,N0,Mthẳng hàng.
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếpAABBCDvới:S =AB∩DC, M0=AA∩BC, N =BB∩DAta cóS,M0,N thẳng hàng.
Do đó AB,CD,M0N,N0M đồng tạiS.
Bài tốn 2.1.28. ([4])
Trong mặt phẳng, cho năm điểmA,B,C,D,E, một đường thẳngdthay đổi quaA. Hãy dựng
giao điểmF củadvới đường cơnic(S)đi qua năm điểmA, B,C,D,E.
Giải.
•Phân tích
Giả sử đã dựng được điểm F của d với đường cơnic (S) đi qua năm điểm A,B,C,D,E.
Khi đó: Hình lục giác ABCDEF nội tiếp đường cônic (S) nên AB∩ED = α,CD∩AF =
β,EC∩EF =γthẳng hàng. •Cách dựng
Dựngα= AB∩ED,β =CD∩d,γ = BC∩αβ, thì điểm F =d∩Eγlà giao điểm củad
với đường cơnic(S)đi qua năm điểmA,B,C,D,E.
•Chứng minh
Xét hình lục giácABCDEF, ta có
AB∩ED = α,
CD∩AF = β,
BC∩EF = γ.
Vìα,β,γthẳng hàng, theo định Pascal, ta có một đường cơnic(S0)đi qua 6 điểmA,B,C,D,E,F
hay điểmF thuộc đường cônic(S0). Do các điểmA,B,C,D,E,F là duy nhất nên(S0) ≡(S). •Biện luận
Vì các điểmA,B,C,D,E,Flà duy nhất nên các đường thẳngα,β,γ là duy nhất. Vậy điểm
F =a∩Eγlà duy nhất.
3. Sử dụng cực và đường đối cực trong mặt phẳng Euclid
Bài toán 2.1.29. Cho đường trịn(O) tâmObán kínhR. Qua điểm M vẽ hai cây cungCDvà
EFkhông đi qua tâm. Hai tiếp tuyến tạiC,Dcủa(O)cắt nhau tạiA, hai tiếp tuyến tạiC,Dcủa