1.2 Ánh xạ xạ ảnh và phép biến đổi xạ ảnh trong Pn
1.2.9 Định lý Pascal và định lý Brianchon
Định nghĩa 1.2.8. Trong mặt phẳng xạ ảnhP2, tập hợp sáu điểm và sáu đường thẳng sao cho mỗi điểm là giao điểm của hai đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua hai và chỉ hai điểm, gọi là mộthình lục giác. Các điểm đã cho gọi là cácđỉnhvà các đường thẳng đã cho gọi là cáccạnh
Hình 4.
Ta có thể sắp xếp các đỉnh và các cạnh của lục giác theo một thứ tự nhất định nào đó bằng cách đánh số thứ tự. Chẳng hạn A1,a1,A2,a2,. . .,A6,a6 (Ai là đỉnh vàai là các cạnh) sao cho cạnh ai đi qua hai đỉnh Ai và Ai+1(xem A6+1 là A1) và do đó cạnh ai và ai+1 đi qua đỉnh
Ai+1(xema6+1làa1).
Khi đó các cặp đỉnhA1và A4,A2vàA5,A3vàA6gọi là cáccặp đỉnh đối diện, các cặp cạnh
a1vàa4,a2vàa5,a3vàa6gọi làcác cặp cạnh đối diện.
Định lý 1.2.10(Định lý Pascal). Điều kiện cần và đủ để một hình lục giác nội tiếp trong một cơnic (các đỉnh của nó thuộc cơnic) là giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng (đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal) (hình 5).
Hình 5.
Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal
Ta có thể xem hình ngũ giác, tứ giác, tam giác nội tiếp một cônic là trường hợp đặc biệt của lục giác khi một cặp đỉnh, hai cặp đỉnh hay ba cặp đỉnh trùng nhau. Khi đó ta xem cạnh của lục giác chứa cặp đỉnh trùng nhau là tiếp tuyến của cơnic tại điểm đó. Ta chứng minh được định lý Pascal vẫn đúng trong các trường hợp đặc biệt đó. Ta có các định lý sau đây:
giao điểm của:A1A2 với cạnhA4A5, cạnhA2A3với tuyến của(S)tạiA5, cạnhA3A4 với cạnh
A5A1thẳng hàng (hình 6).
Hình 6.
Định lý 1.2.12. Điều kiện cần và đủ để một hình tứ giác nội tiếp cơnic là hai cặp cạnh đối diện và hai cặp tiếp tuyến ở các cặp đỉnh đối diện giao nhau theo bốn điểm thẳng hàng (hình 7).
Hình 7.
Định lý 1.2.13. Điều kiện cần và đủ để một hình tam giác nội tiếp cơnic, ba cạnh của một tam giác cắt với ba tiếp tuyến tại đỉnh đối diện theo ba điểm thẳng hàng (hình 8).
Dùng nguyên tắc đối ngẫu, ta có định lí Brianchon:
Định lý 1.2.14(Định lý Brianchon). Điều kiện cần và đủ để một hình lục giác ngoại tiếp một đường cơnic (có cạnh tiếp xúc với cơnic) là các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy tại một điểm (gọi là điểm Brianchon) (hình 9).
Hình 9.
Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal cũng có các mệnh đề đối ngẫu tương ứng, sau đây là hai trong số các mệnh đề là đối ngẫu của các trường hợp đặc biệt của định lý Pasacal:
Định lý 1.2.15. Điều kiện cần và đủ để một hình tứ giác ngoại tiếp cơnic là các đường thẳng nối các đỉnh đối diện và các đường thẳng nối các tiếp điểm trên các cạnh đối diện đồng quy (hình 10).
Hình 10.
Định lý 1.2.16. Điều kiện cần và đủ để một hình tam giác ngoại tiếp cơnic là ba đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm với tiếp điểm trên mỗi cạnh đối diện là ba đường thẳng đồng quy (hình 11).
Hình 11.