2 Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp
2.2 Đề xuất các bài toán mới
2.2.2 xuất một số bài tốn hình học sơ cấp từ các bài toán trong mặt phẳng
phẳng xạ ảnh
Bài toán 2.2.1. ([12])
Trong P2, cho ba đường thẳng a, b,c thuộc chùm tâmI. Trênalấy hai điểm J, K. Trênc
lấy hai điểm B,C. Gọi D = JC∩b;A = JB∩b. Gọi M,Qlần lượt nằm trênABvà AD. Gọi N =K M∩BC;P= KQ∩DC;O =MP∩NQ.
Chứng minh.
Xét hai tam giácBMNvàDPQ, ta có
BM∩DP = J; MN∩PQ = K;
N B∩QD = I;
màI, J,K thẳng hàng. Theo định lý Desargues, ta cóMP,NQ,BDđồng quy.
MàMP∩NQ =O. Suy raO∈ BDhay B,O, Dthẳng hàng.
Cách chuyển 1:
• Ta chọn đường thẳngalàm đường thẳng vơ tận và xét trongA2 =P2\a.
• Khi ta xét trongA2 thìABsong song vớiCD, ADsong song vớiBC hay ABCDlà hình bình hành. Ta có bài tốn hình học sơ cấp sau:
Bài tốn 1.Cho hình bình hànhABCD. Từ điểm Mtùy ý trên cạnhAB, ta dựng đường thẳngd
cắt cạnhBC tạiN. Từ điểm Qtùy ý trên cạnhAD, ta dựng đường thẳngbsong songa, cắtCD
tạiP. GọiOlà giao điểm của MPvà NQ. Chứng minhO,B, Dthẳng hàng.
Cách chuyển 2:
• Ta chọn đường thẳng BDlàm đường thẳng vơ tận và xét trongA2 =P2\BD.
Bài tốn 2.Cho hình thangMNI J (M Jsong songNI) có các cạnh bên cắt nhau tạiK. Trên hai
cạnh đáy lấy hai điểm AC (A ∈ M J,C ∈ NI) sao cho AI song song vớiC J. Qlà điểm bất kì thuộcAI;KQcắtC JtạiP. Chứng minhMPsong songNQ.
Cách chuyển 3:
• Ta chọn đường thẳng BClàm đường thẳng vô tận và xét trongA2=P2\BC.
• Khi ta xét trongA2. Ta có bài tốn hình học sơ cấp sau:
Bài tốn 3.Cho hình thang BOM J (BOsong song M J) có các cạnh bên cắt nhau tại P. Lấy
điểmAbất kì thuộc M J. Trên ADlấy điểmQ. Đường thẳng qua M, song song vớiOQcắtPQ
tạiK. Chứng minhK Jsong songAD.
Cách chuyển 4:
• Ta chọn đường thẳng BAlàm đường thẳng vơ tận và xét trongA2=P2\BA.
• Khi ta xét trongA2. Ta có bài tốn hình học sơ cấp sau:
Bài tốn 4. Cho tứ giácKNQI, trên IQ lấy điểm D. Qua Dvẽ đường thẳng song song vớiIN
cắt NQ tạiO. Qua Ovẽ đường thẳng song song với KN cắt KQ tại P. Chứng minh DPsong songIK.
Bài tốn 2.2.2. ([10])
TrongP2cho tứ giácABMN nội tiếp cơnic(S). Hai tiếp tuyến tạiA, Bcắt nhau tạiO. Gọi Q, P,E lần lượt là giao điểm củaAMvớiBN, ANvới BMvàABvới MN.
Chứng minh Q,O,Pthẳng hàng.
Áp dụng định lý Pascal, ta sẽ có kết quả.
Cách chuyển 1:
• Ta chọnσlà đường thẳng chỉ đi quaElàm đường thẳng vơ tận xét trongA2 =P2\σ.
• Khi ta xét trongA2thìABsong song vớiMN và đường cơnic(S)trở thành elip(E)nên ta có bài tốn sau trong hình học sơ cấp:
Bài tốn 1.Cho elip(E)ngoại tiếp hình thangABMN, ABsong song với MN, Gọi Qlà giao điểm củaBN và AM. ĐiểmOlà giao điểm của hai tiếp tuyến tạiAvà B. Điểm Plà giao điểm hai đường chéoAN và BNcủa hình thangABMN. Chứng minh P, Q,Othẳng hàng.
Cách chuyển 2:
• Ta chọnσlà tiếp tuyến tại Ncủa cơnic và xét trongA2 =P2\σ.
• Khi ta xét trong A2thì đường cơnic (S) trở thành parabol(P) và NA, N Blà hai đường thẳng song song với phương tiệm cận. Ta có NA∩BM = P,N B∩AM =Q. Vậy nên ta
có bài tốn sau trong hình học sơ cấp:
Bài toán 2.Cho ba điểm A, B, M phân biệt nằm trên parabol (P). Từ A, Blần lượt kẻ đường thẳnga,bsong song với phương tiệm cận của P. GọiP, Qlà các giao điểm của các cặp cạnha
vớiBM,bvớiAMvàOlà giao điểm của các cặp tiếp tuyến với(P)tạiA, B. Chứng minhO,P, Qthẳng hàng.
Cách chuyển 3:
• Ta chọnσlà đường thẳng đi qua A,Bvà xét trongA2 =P2\σ.
• Khi ta xét trongA2thì đường cơnic(S)trở thành hyperbol(H)với hai tiệm cậnOA,OB
và ta cũng có MQsong song với NP; MP song song với NQ hay MNPQ là hình bình hành. GọiIlà tâm của hình bình hành, khi đó ta có bài tốn sau trong hình học sơ cấp:
Bài tốn 3.Cho hyperbol(H), gọiOlà giao điểm hai tiệm cận; M, N là hai điểm cùng thuộc một nhánh của(H). Ilà trung điểm MN, trên IOlấy điểm Q. Chứng minh rằngPlà đỉnh của hình bình hànhQNPMnhậnIlà tâm vàPthuộcQO.
Kết luận
Từ khơng gian Affine, ta có thể xây dựng được một mơ hình của khơng gian xạ ảnh bằng cách thêm vào các không gian này những “điểm vơ tận”. Từ đó, nhiều bài tốn hình học sơ cấp sẽ trở nên đơn giản dưới góc nhìn hình học xạ ảnh. Ngược lại, nếu ta có một khơng gian xạ ảnh, bằng cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó (xem như một siêu phẳng vơ tận) thì ta có thể xây dựng phần cịn lại thành một mơ hình xạ ảnh của khơng gian Affine hoặc mơ hình xạ ảnh của khơng gian Euclid. Trong không gian xạ ảnh P2, bằng cách chọn đường thẳng thích hợp làm đường thẳng vơ tận, ta có thể đề xuất nhiều định lý, bài tốn mới trong hình học sơ cấp.
Khóa luận này đã đề cập tới việc khai thác mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh với hình học sơ cấp, dùng các kiến thức của hình học xạ ảnh nhằm soi sáng, định hướng cho lời giải sơ cấp của bài tốn hình học đã cho hoặc khai thác mối liên hệ giữa chúng để sáng tạo ra các bài tốn hình học mới trong chương trình phổ thơng.
Khóa luận tập trung vào việc nghiên cứu mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh với hình học Affine và hình học Euclid nhằm nghiên cứu, khai thác và vận dụng mối liên hệ giữa nội dung hình học xạ ảnh với nội dung hình học sơ cấp trong dạy học hình học ở trường phổ thơng. Qua đó, giúp cho người giáo viên tốn ở trường phổ thơng và sinh viên sư phạm tốn hiểu rõ được bản chất, cội nguồn của các kiến thức của hình học sơ cấp ở trường phổ thông, cũng như thấy được mối quan hệ giữa nội dung kiến thức hình học cao cấp được học ở các trường sư phạm với nội dung kiến thức hình học sơ cấp ở trường phổ thơng.
Khóa luận đã trình bày các nội dung chính sau:
• Trình bày các khái niệm trong khơng gian xạ ảnhPnvà một số kết quả trong khơng gian xạ ảnhP2.
• Xây dựng mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Affine A2, mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng EuclidE2.
• Ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và đề xuất các bài tốn mới trong hình học sơ cấp.
Tài liệu tham khảo
[1] Văn Như Cương (1999),Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm.
[2] Đồng Thanh Triết,Giáo trình Hình học xạ ảnh, Đại Học Sài Gịn.
[3] Nguyễn Mộng Hy (2003),Bài tập Hình học cao cấp, NXB Giáo Dục.
[4] Phạm Bình Đơ (2003),Bài tập Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm.
[5] Nguyễn Mộng Hy (2003),Hình học cao cấp, NXB Giáo Dục.
[6] Nguyễn Cảnh Tồn (1979),Hình học cao cấp, NXB Giáo Dục.
[7] Phan Hoàng Chơn, Đồng Thanh Triết,Giáo trình đại số tuyến tính, Đại Học Sài Gịn.
[8] Nguyễn Ngọc Giang (2015), Lê Viết Ân,Sáng tạo mới trong hình học, NXB Đại Học
Quốc Gia Hà Nội.
[9] Trần Thị Quỳnh Anh (2015),Khóa luận: Ứng dụng Định lý Pascal và định lý Brianchon vào hình học sơ cấp, Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
[10] Văn Đức Chín (2015),Luận Văn: Hình học xạ ảnh và một số ứng dụng trong hình học sơ cấp, Đại Học Thái Nguyên.
[11] Nguyễn Thị Mai Hương (2015),Khóa luận: Vài ứng dụng của hình học xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh vào hình học phẳng, Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
[12] Bùi Thị Thanh Đào,Báo cáo sinh viên nghiên cứu khoa học: Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán Affine, Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa
học lần thứ 7 Đại học Hà Nội năm 2010.
[13] H.S.M Coxeter and S.L. Greitzer (1967),Geometry Revisited, The Mathematical Associ-