2 Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp
2.1.1 Giải bài toán Affine, Euclid bằng cách đưa về bài toán xạ ảnh
Dựa vào mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Affine A2, mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclid
E2, ta đưa bài tốn hình học phẳng về bài tốn hình học xạ ảnh và sử dụng các kết quả trong hình học xạ ảnh để giải quyết chúng. Từ đó, dựa vào ngun tắc đối ngẫu để tìm ra những bài tốn mới.
Bài toán 2.1.1. ([4])
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABCvà ba hình bình hành trong chúng nhận một cạnh của tam giác làm một đường chéo, còn hai cạnh kề nhau là hai cạnh còn lại của tam giác. Chứng minh các đường chéo thứ hai của các hình bình hành đồng quy.
Các hình bình hành đã cho làABCB0,CABA0,BCAC0. Tam giácA0B0C0cóA0B0∥ AB,B0C0 ∥ BC,A0C0∥ AC. Về mặt xạ ảnhP2có nghĩa làA0B0∩AB,B0C0∩BC,A0C0∩ACtại ba điểm vô tận, tức là chúng thẳng hàng.
Xét hai tam giácABC và A0B0C0, theo định lý Desargues trongP2, ta đượcAA0, BB0,CC0
đồng quy.
Bài toán 2.1.2(Định lý Desargues, [11]). Trong mặt phẳng, cho hai tam giácABCvàA0B0C0. Khi đó hai mệnh đề sau tương đương:
(a) AB∩A0B0,BC∩B0C0,CA∩C0A0thẳng thàng. (b) Ba đường thẳngAA0, BB0,CC0đồng quy.
Chứng minh.
Bổ sung vào mặt phẳng đường thẳng vô tậnσsao cho các đỉnh của hai tam giác khơng thuộc
σ. Khi đó, ta có bài tốn tương tự trong mặt phẳng xạ ảnhP2. Giải bài toán xạ ảnh trongP2
:
• (a)⇒(b):
Gọi M =BC∩B0C0,N =CA∩C0A0,P= AB∩A0B0.
Giả sử M, N, P thẳng hàng trên đường thẳng ∆ và BB0∩AC = U, BB0∩A0C0 = U0,
BB0∩∆=V.
Xét f1 : AC 7→ ∆là phép chiếu xuyên tâm, tâm B. Ta có: f1: A7→P,N 7→ N,C 7→ M,U 7→V.
Xét f2 : ∆7→ A0C0là phép chiếu xuyên tâm, tâm B0. Ta có:
Đặt f = f2◦ f1 : AC 7→ A0C0thì f là ánh xạ xạ ảnh. Ta có:
f : N 7→N,A7→ A0,U 7→U0,C 7→C0.
Mà f(N) = Nnên f là phép chiếu xuyên tâm.
Suy raAA0,UU0,CC0đồng quy, tức là ba đường thẳngAA0, BB0,CC0 đồng quy tại một điểmO.
• (b)⇒(a):
Giả sửAA0∩BB0=O∈CC0.
Xétg1: {B} → {O}là phép chiếu xuyên trục, trụcAC. Ta có:
g1 : BN 7→ON,BA 7→OA,BU 7→OU,BC 7→OC.
Xétg2: {O} →nB0olà phép chiếu xuyên trục, trụcA0C0. Ta có:
g2 : ON 7→ B0N,OA 7→B0A0,OU 7→ B0U0,OC 7→ B0C0.
Đặtg=g2◦g1: {B} →nB0othìglà ánh xạ xạ ảnh. Ta có:
g: BN 7→ B0N,BA7→ B0A0,BU 7→ B0U0,BC 7→ B0C0.
Màg(BB0) = BB0nênglà phép chiếu xuyên trục.
Suy ra các giao điểm M, N, P của các cặp tia tương ứng BC, B0C0, BN, B0N0, BA, B0A0
thẳng hàng trên một đường thẳng∆. Ta có điều phải chứng minh trong mặt phẳng.
Bài toán 2.1.3 (Định lý Pappus, [11]). Trong mặt phẳng, cho ABC thuộc đường thẳng d; A0B0C0thuộc đường thẳngd0.
Chứng minh AB0∩A0B, BC0∩B0C,CA0∩C0Athẳng hàng.
Chứng minh.
Bổ sung thêm đường thẳng vô tận σ vào mặt phẳng sao cho hai đường thẳng d, d0 khơng trùng với đường thẳng vơ tậnσ;A,B,C,A0, B0,C0khơng thuộcσ, ta có bài toán tương tự trong
mặt phẳng xạ ảnhP2.
Bài toán trong xạ ảnh: "TrongP2, choA, B,Cthuộc đường thẳngd;A0, B0,C0thuộc đường thẳngd0. Chứng minh: AB0∩A0B,BC0∩B0C,CA0∩C0Athẳng hàng".
Giả sửM =AB0∩A0B,N =BC0∩B0C,P =CA0∩C0A.
Xét ánh xạ f1 : BA0 →d0là phép chiếu xuyên tâm, tâmA. Ta có: f1: M 7→ B0.
Xét ánh xạ f2 :d0→ BC0là phép chiếu xuyên tâm, tâmC. Ta có: f2 : B0 7→N.
Khi đó, f = f2◦ f1là phép ánh xạ xạ ảnh. Ta có:
f = f2◦ f1 : BA0 → BC0 M 7→N.
VìB= BA0∩BC0mà f(B) = f2◦ f1(B) = f2(I) = B(I =d∩d0). Nên f là phép chiếu xuyên tâm.
Xác định tâm của phép chiếu xuyên tâm f. Giả sử tâm của f làG.
GọiK =BC0∩A0C. Ta có f(A0) = f2◦ f1(A0) = f2(A0) = K. Suy raG,A0, Kthẳng hàng. GọiH =BA0∩AC0. Ta có f(H) = f2◦ f1(H) = f2(C0) =C0. Suy raH,G,C0thẳng hàng. Do đóG =A0K∩HC0 =A0C∩AC0nênG≡ P.
Vậy tâm của phép chiếu xuyên tâm f làP. Vì f : M7→ NnênM,N, Pthẳng hàng. Từ đó ta
Ta có định lý đối ngẫu của định lý Pappus:
“Cho các đường thẳnga,b,ccùng đi quaA;a0,b0,c0cùng đi quaB. Khi đó ba đường thẳng
qua ba cặp giao điểm:a∩b0vàa0∩b,b∩c0vàb0∩c,a∩c0vàa0∩cđồng quy”.
Bài toán 2.1.4. ([11])
Trong mặt phẳng, cho hyperbol(H), hai tiệm cận p,qcủa(H). ĐiểmEthuộc(H). Qua E
dựng hai đường thẳng p0, q0lần lượt song song với p, qvà dựng tiếp tuyếnt tạiE cắt p,qlần lượt tạiA, B. TừAvàBdựng hai đường thẳngm,nsong song với nhau.
Chứng minh hai điểm M =m∩q0,N =n∩p0thẳng hàng với tâmOcủa(H).
Chứng minh.
• Trên mơ hình AffineA2, gọiσlà đường thẳng vơ tận của mơ hình thì một hyperbol(H) được thể hiện bởi một đường cônic (S) cắtσtại hai điểm phân biệt P, QtrongP2. Hai tiệm cận được thể hiện bởi hai tiếp tuyếnp,qtạiP,Qvà tâmOcủa hyperbol(H)là giao điểm của pvàq.
• Giải bài tốn trong mặt phẳng xạ ảnhP2:
Khi đó p0 =EP,q0 =EQ,m∩n=D∈σ.
GiữA,B,Ecố định, choDthay đổi trên đường thẳng trênσ.
Xét các ánh xạ:
f2 :{A} → {B}là phép chiếu xuyên trục, trụcσ. Ta có f2 : AM 7→BD. f3 :{B} → p0là phép cắt p0bởi{B}. Ta có f3 : BD7→ N.
Đặt f = f3◦ f2◦ f1 : q0→ p0thì f là ánh xạ xạ ảnh và f(M) = N.
Ta lại có
f(E) = f3◦ f2◦ f1(E) = f3◦ f2(AE) = f3(BK) = f3(BE) = E.
nên f là phép chiếu xuyên tâm. Do đóMN đi qua tâm chiếu. ĐặtM1 = p∩q0,N1=q∩p0.
KhiD≡Pthìm≡ p,n≡ BP,N ≡P. Do đó tâm chiếu nằm trên MN ≡ M1P≡ p.
KhiD≡Qthìm≡ AQ,n≡q,N ≡ N1. Do đó tâm chiếu nằm trên MN ≡ QN1≡q.
Vậy tâm chiếu làO= p∩q, tức làMNđi quaO. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài tốn 2.1.5. ([11])
Trong mặt phẳng, cho đường thẳnga,bphân biệt và các điểmA,Bkhông thuộca,b. Đường
thẳngdthay đổi qua Acắta,btạiM,N. GọiM0,N0lần lượt là giao điểm củaBNvớia,BMvới
b.
Chứng minh các đường thẳngM0N0luôn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh.
• Bổ sung vào mặt phẳng đường thẳng vơ tậnσ. A,Bkhơng thuộcσ;a,bkhơng trùng với đường thẳngσ. Ta có bài tốn tương tự trong mặt phẳng xạ ảnhP2.
Giả sửO =a∩b,D0= AB∩a,D00=AB∩b.
Xét f1 :a→ blà phép chiếu xuyên tâm, tâmB. Ta có:
f1(M0) = BM0∩b=N.
Xét f2 :b→ alà phép chiếu xuyên tâm, tâmA. Ta có:
f2(N) = NA∩a= M. Xét ánh xạ: f3≡ f1 : a →b M 7→ N0= BM∩b. Đặt f = f3◦ f2◦ f1: a→bthì f là ánh xạ xạ ảnh, ta có f : M0→ N0. Mặt khác, ta có
f(O) = f3◦ f2◦ f1= f3◦ f2◦ f1(O) = f3◦ f2(O) = f3(O) = O.
Suy ra f là phép chiếu xuyên tâm. Do đóM0N0đồng quy ở tâmPcủa f. Mà f(D0) = D00nên tâm chiếuP=D0D00∩M0N0.
VậyM0N0đi quaPcố định. Ta có điều phải chứng minh.
Dùng ngun tắc đối ngẫu, ta có bài tốn sau:
“Trong mặt phẳng, cho hai điểm A,B phân biệt, hai đường thẳng phân biệt a,b không đi quaA,B. Một điểmDthay đổi trêna. ĐặtM0 =DA∩b,N0 = DB∩b. Chứng minh các điểm P =BM0∩AN0thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Bài toán 2.1.6. ([11])
Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệta,b; ba điểm phân biệt thẳng hàngP,Q,Rkhông thuộca,b. Một đường thẳng thay đổi pđi qua PcắtatạiA, cắtbtạiB.
Tìm quỹ tích các điểmM =QB∩RAvà N =QA∩RB.
Giải.
• Bổ sung vào mặt phẳng đường thẳngσlà đường thẳng vô tận;a,b, pkhông trùng vớiσ;
P, Q,Rlà các điểm thực. Khi đó, ta có một bài tốn tương tự trong mặt phẳng xạ ảnhP2.
ĐặtO=a∩b,A0=a∩QR,B0 =b∩QR.
Xét các ánh xạ:
g :{R} →
Q là phép chiếu xuyên trục, trụca. Ta cóg: RM7→ QA.
h :
Q → alà phép chiếu cắt chùmQbởia. Ta cóh: QA 7→ A.
k : a→blà phép chiếu xuyên tâm, tâmP. Ta cók: A7→ B.
l :b→
Q là phép nối bởi tâm Q. Ta cól: B7→ QB≡ QM.
Đặt f =l◦k◦h◦g. Khi đó f :{R} →
Q là ánh xạ xạ ảnh, ta có
f : RM7→ QM.
Mặt khác,
f(RQ) = l◦k◦h◦g(RQ) =l◦k◦h(QA0) = l◦k(A0) =l(B0) = QB0 ≡QR.
Suy ra f là phép chiếu xun trục.
Vì f(RM) = QM. Do đó quỹ tích của các điểmMlà trục f. Khi pđi quaOthìA≡O,B≡O, nên trục này đi quaO.
Vậy quỹ tích của điểmMlà một đường thẳng đi quaO.
Tương tự, ta có f(RN) = QN nên quỹ tích củaMlà đường thẳng đi quaO.
Vậy kết quả của bài toán:quỹ tích của điểm Mlà một đường thẳng đi quaO, quỹ tích của N là đường thẳng đi quaO.
Bài tốn 2.1.7. ([11])
Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng phân biệta, bvà ba điểm phân biệtC, D, E không nằm trên hai đường thẳng đã cho. Một đường thẳngdthay đổi đi quaCcắta,blần lượt tạiA,B.
Tìm quỹ tích của các điểm M =DA∩BE.
Giải.
• Bổ sung vào mặt phẳng một đường thẳng vô tậnσsao choa,bkhông trùng vớiσ;C,D,E
là những điểm thực. Khi đó ta có bài tốn tương tự trong mặt phẳng xạ ảnhP2.
• Giải bài tốn trong mặt phẳngP2:
ĐặtO=a∩b.
Xét các ánh xạ:
g:{D} →alà phép cắt{D}bởia. Ta cóg: DM 7→A. h:a→ blà phép chiếu xuyên tâm, tâmC. Ta cóh: A7→ B. k: b→ {E}là phép nốibvới tâmE. Ta cók: B7→ E M.
Đặt f =k◦h◦g, thì f : {D} → {E}là ánh xạ xạ ảnh và f(DM) = E M.
Khid ≡CO, thìA≡ O,M ≡O. VậyOlà một điểm thuộc quỹ tích.
• NếuC,D,Ethẳng hàng thì f(DE) = DEnên f là phép chiếu xuyên trục. Suy ra quỹ tích các điểm Mlà một đường thẳng đi quaO.
NếuC,D, Ekhơng thẳng hàng thì f(DE) ,DE nên f là không phép chiếu xuyên trục. Theo định lý Steiner, quỹ tích Mlà một đường cơnic đi qua(S), ngồi ra(S)cịn đi quaO.
Vậy kết quả của bài toán:
Trong mặt phẳng, quỹ tích điểm M là một đường thẳng đi quaO, nếuC, D, E thẳng hàng; và là một đường cônic đi quaD, E,OnếuC,D, Ekhông thẳng hàng. Cụ thể, nếuσcắt(S)tại hai điểm phân biệt thì quỹ tích là một hyperbol, nếuσtiếp xúc với(S)tại một điểm thì quỹ tích là một parabol, nếuσkhơng cắt(S)thì quỹ tích là một elip.
Ta có bài tốn đối ngẫu: “Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A,B và ba đường phẳng phân biệtc,d,ekhông quaA,B. Một điểmNchạy trênc. ĐặtD=AN∩d,E =BN∩e, m = DE. Khi đó nếuc,d,eđồng quy thì các đường thẳngmcũng đồng quy tại một điểm trên
AB; còn nếu c, d, ekhơng đồng quy thì các đường thẳngmtiếp xúc với đường cơnic (G) nào đó màd,e,ABlà ba tiếp tuyến.
Bài tốn 2.1.8. ([4])
Chứng minh rằng không tồn tại hai tiếp tuyến song song của một parabol.
Chứng minh.
Trên mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng AffineA2, một parabol được thể hiện trong P2 bằng một đường cônic (G) tiếp xúc với đường thẳng thẳng vô tận σ. Nếu parabol này có hai tiếp
tuyến song song thì đường cơnic(G) có ba tiếp tuyến xuất phát từ một điểm củaσ. Điều này
khơng thể xảy ra.
Bài tốn 2.1.9. ([11])
Trong mặt phẳng, cho ba đường thẳng không thẳng hàng O, A, B và một đường thẳng d
không đi quaA, B. Một điểm M thay đổi trênd. GọiR = AM∩OB,S = BM∩OA. Tìm tập
hợp các đường thẳngRS.
• Bổ sung vào mặt phẳng đường thẳngσlà đường thẳng vô tận sao choO,A,Bkhông thuộc
σ;dkhông trùng vớiσ. Ta có bài tốn tương tự trong mặt phẳng xạ ảnh. • Giải bài tốn xạ ảnhP2:
Xét các ánh xạ:
f1: OA→ dlà phép chiếu xuyên tâm, tâmB. Ta có f1: S 7→ M. f2: d→ OBlà phép chiếu xuyên tâm, tâmA. Ta có f2: M 7→R.
Đặt f = f2◦ f1: OA→ OBthì f là ánh xạ xạ ảnh và f(S) = R.
p Trường hợp 1:NếuO<d.
Giả sửF =OB∩d,E =d∩OA. Ta có:
f(O) = f2◦ f1(O) = f2(F) =F , O.
Suy ra f là ánh xạ xạ ảnh khác phép chiếu xuyên tâm.
Vậy quỹ tíchRS là tiếp tuyến của đường cơnic tiếp xúc vớiOA,OBtạiE, F.
p Trường hợp 2:NếuO∈d.
Ta có
f(O) = f2◦ f1(O) = f2(O) =O.
Khi đó f là phép chiếu xuyên tâm.
Mà f(S) =RnênRS đi qua tâm của f. Giả sử tâm làI.
Khi đó tập hợp các đường thẳngRS là chùm đường thẳng tâm I.
•Xác định tâmI:
f(S) =Rvà f(A) = f2◦ f1(A) = f2(K) = B.
Suy ra,AB∩RS =I.
Xét hình bốn đỉnh tồn phầnAS BR, ta có(A,B,I,K) =−1.
Vậy quỹ tích đường thẳngRS là các đường thẳng đi qua tâmI.
Kết quả trong mặt phẳng:
NếuO∈d,dsong song vớiAB, thì quỹ tích đường thẳngRS là các đường thẳng đi quaIlà trung điểm của đoạn thẳngAB.
NếuO ∈ d, dkhông song song vớiAB, thì quỹ tích đường thẳng RS là các đường thẳng đi quaI, vớiI được xác định bởi(A,B,I,K) =−1.
Nếu O < d thì quỹ tích đường thẳng RS là các tiếp tuyến của đường cơnic tiếp xúc với
OA,OBtạiE,F.
Bài tốn 2.1.10. ([11])
Trong mặt phẳng, cho đường cônic(S)và hai điểmA, Bcố định trên nó. Một đường thẳng
dcố định khơng đi qua A, B. Với mỗi điểm M thay đổi trênd, các đường thẳngAM, BM lần lượt cắt(S)tạiA0, B0. Tìm quỹ tích giao điểmAB0vàA0B.
Giải.
• Bổ sung vào mặt phẳng đường thẳng σlà đường thẳng vơ tận. Khi đó, đường cơnic (S) được thể hiện trong P2 bởi một đường cônic (S0) . A,Bkhông thuộc σ, đường thẳngd