1.2 Ánh xạ xạ ảnh và phép biến đổi xạ ảnh trong Pn
1.2.12 Chùm đường bậc hai
Định nghĩa 1.2.12. Phép biển đổi xạ ảnh f : P2 → P2 được gọi là phép biến đổi xạ ảnhđối hợp (gọi tắt là phép đối hợp) củaP2nếu f2là phép đồng nhất củaP2.
Trong khóa luận này chỉ xét các phép đối hợp của đường thẳng.
Định nghĩa 1.2.13. Phép biến đổi xạ ảnh f : d → dđược gọi làphép biến đổi xạ ảnh đối hợp
(gọi tắt là phép đối hợp) củadnếu f2là phép đồng nhất củad.
Định lý 1.2.21. Giả sử f : d → d là phép xạ ảnh khác phép đồng nhất. Khi đó, f là phép xạ ảnh đối hợp củadnếu và chỉ nếu tồn tại hai điểm phân biệtM,M0∈dsao cho f(M) = M0và
f(M0) = M.
Định lý 1.2.22. Cho f là ánh xạ xạ ảnh đối hợp khác phép đồng nhất của đường thẳng d.
Nếu P là điểm bất động của f thì f cịn điểm bất động nữa là Q (Q , P) . Khi đó, nếu
M ∈d, f(M) = M0 , Mthì(P,Q,M,M0) = −1. Từ đó suy ra: nếu f là phép xạ ảnh đối hợp khác phép đồng nhất của đường thẳng d thì hoặc là f khơng có điểm bất động hoặc là f có đúng hai điểm bất động.
Định lý 1.2.23. Mỗi phép xạ ảnh đối hợp, khác phép đồng nhất của đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết ảnh của hai điểm phân biệt của đường thẳng ấy.
Định nghĩa 1.2.14. Cho bốn điểm A,B,C,D, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Tập
hợp các đường bậc hai đi qua bốn điểmA,B,C,D, được gọi là một chùm đường bậc haiđược xác định bởi bốn điểm này, ký hiệu làS(ABCD).
Trong số các đường bậc hai của chùmS(ABCD) có ba đường bậc hai suy biến thành các cặp đường thẳng. Đó làABvàCD,ACvà BD,ADvàBC. Ngồi ra các đường bậc hai khác đều
là đường cônic.
Rõ ràng là nếu điểmEkhông trùng với một trong các điểm A,B,C,Dthì có một đường bậc hai duy nhất của chùm đi quaE.
Định lý 1.2.24(Định lý Desargues thứ hai). Cho một chùm đường bậc haiS(ABCD)và một đường thẳngskhông đi qua bốn điểm A, B, C, D. Khi đó, đường thẳng s cắt mỗi đường bậc hai của chùm theo một cặp điểm tương ứng qua một phép xạ ảnh đối hợp xác định củas(hình 13).
Hình 13.
Nhận xét. Nếu(S)là đường bậc hai suy biến của chùmS(ABCD), chẳng hạn(S)là cặp đường thẳngABvàCD, đường thẳngscắt(S)tại hai điểmN,N0thì ta cũng có f biếnNthànhN0và
f cũng là phép xạ ảnh đối hợp của đường thẳng s.