Hình học là một ngành của Toán học, nghiên cứu các vấn đề liên quan đến các câu hỏi về hình dạng, kích thước, vị trí tương đối của các hình khối và các tính chất không gian. Cùng với số học, hình học là một trong hai ngành toán học được con người nghiên cứu từ thời cổ đại.
Mục lục Chương Phương pháp tiên đề 1.1 Sơ lược lịch sử phương pháp tiên đề hình học 1.2 Phương pháp tiên đề hình học 1.3 Hệ tiên đề Hilbert hình học Euclide 1.3.1 Nhóm I: 08 tiên đề liên thuộc 1.3.2 Nhón II: 04 tiên đề thứ tự 1.3.3 Nhón III: 05 tiên đề 12 1.3.4 Nhón IV: 02 tiên đề liên tục 16 1.3.5 Nhón V: 01 tiên đề song song 17 1.3.6 Một số mơ hình hệ tiên đề Hilbert 20 1.4 Hệ tiên đề Pogorelop hình học Euclide 22 1.5 Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thơng Việt Nam 24 1.5.1 Hệ tiên đề Pogorelop sách giáo khoa phổ thông 24 1.5.2 Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thơng Việt Nam 25 Chương Đường, mặt, khối không gian Euclid 28 2.1 Hình hình học 28 2.1.1 Hai hình khoảng cách hình 28 2.1.2 Các phương pháp xác định hình 30 2.2 Đường tròn chùm 39 2.2.1 Đường tròn 39 2.2.2 Chùm đường tròn 44 2.3 Đa giác 50 2.3.1 Đường gấp khúc 50 2.3.2 Hình đa giác 51 2.4 Đa diện khối đa diện 54 2.4.1 Góc đa diện 54 2.4.2 Hình đa diện, khối đa diện 54 2.4.3 Khối (gần) lăng trụ 56 2.4.4 Khối đa diện 57 2.5 Khối tròn xoay 58 2.6 Đo diện tích thể tích 63 2.6.1 Đo diện tích đa giác 63 2.6.2 Đo thể tích khối đa diện 73 2.7 Các hình đẳng hợp đẳng diện 74 Chương Phương pháp tiên đề Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức hệ thống phương pháp tiên đề Nội dung chương viết dựa tài liệu [?, ?] phần Tài liệu tham khảo 1.1 Sơ lược lịch sử phương pháp tiên đề hình học 1.2 Phương pháp tiên đề hình học 1.3 Hệ tiên đề Hilbert hình học Euclide 1.3.1 Nhóm I: 08 tiên đề liên thuộc 1.3.2 Nhón II: 04 tiên đề thứ tự 1.3.3 Nhón III: 05 tiên đề 12 1.3.4 Nhón IV: 02 tiên đề liên tục 16 1.3.5 Nhón V: 01 tiên đề song song 17 1.3.6 Một số mô hình hệ tiên đề Hilbert 20 1.4 Hệ tiên đề Pogorelop hình học Euclide 22 1.5 Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thơng Việt Nam 24 1.5.1 Hệ tiên đề Pogorelop sách giáo khoa phổ thông 24 1.5.2 Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thông Việt Nam 25 1.1 Sơ lược lịch sử phương pháp tiên đề hình học Hình học ngành Tốn học, nghiên cứu vấn đề liên quan đến câu hỏi hình dạng, kích thước, vị trí tương đối hình khối, tính chất khơng gian Cùng với số học, hình học hai ngành toán học người nghiên cứu từ thời cổ đại Hình học cổ điển tập trung vào xây dựng hình thước kẻ compa Euclide cách mạng hóa hình học cách giới thiệu phương pháp chứng minh toán học tiên đề mà ngày sử dụng Cuốn sách “The Elements” Euclide đặt móng cho việc xây dựng sở tốn học nói chung hình học nói riêng, làm cho tốn học trở thành khoa học trừu tượng, suy diễn đa dạng Cuốn sách coi sách có ảnh hưởng thời đại sử dụng rộng rãi phương Tây kỉ 20 Ngày nay, khái niệm hình học khái quát hóa đến mức độ trừu tượng cao phức tạp Hình học trở thành đối tượng phương pháp giải tích đại số trừu tượng, nhiều ngành tốn học đại hình học khác biệt nhiều đến mức khơng cịn liên quan tới hình học cổ điển, chẳng hạn như: hình học đại số, hình học giải tích, 1.2 Phương pháp tiên đề hình học Muốn xây dựng mơn tốn học nói chung mơn hình học nói riêng, trước hết người ta phải có “khái niệm bản”- khái niệm khơng định nghĩa Đó khái niệm xuất phát dùng để định nghĩa khái niệm khác Các khái niệm gồm có “đối tượng bản” “tương quan bản” Trong hình học người ta thường dùng ba đối tượng sau đây: “điểm”, “đường thẳng” “mặt phẳng” Giữa đối tượng lại có mối liên hệ gọi tương quan như: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng” Người ta hiểu tính chất khái niệm thơng qua tiên đề Tiên đề mệnh đề tốn học cơng nhận đúng, làm điểm xuất phát để suy định lí lập luận logic chặt chẽ Để trình bày mơn Hình học theo phương pháp tiên đề, người ta làm sau: 1) Không định nghĩa khái niệm: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, điểm nằm hai điểm, độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, Các khái niệm gọi khái niệm hình học Các khái niệm khác định nghĩa dựa vào khái niệm Ví dụ 1.1 Sự tam giác định nghĩa dựa vào đoạn thẳng góc 2) Nêu số mệnh đề thừa nhận mà chứng minh Các mệnh đề gọi tiên đề Ví dụ 1.2 Ta thừa nhận tiên đề: “Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước” tiên đề: “Có đường thẳng qua ba điểm phân biệt thẳng hàng cho trước” Mọi mệnh đề khác phải chứng minh dựa vào tiên đề mệnh đề chứng minh trước Ở đây, ta cần lưu ý rằng, “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” không định nghĩa chúng buộc phải thỏa mãn tiên đề Do đó, nói chúng định nghĩa cách gián tiếp qua tiên đề Như vậy, xây dựng hình học phương pháp tiên đề trình đưa hệ tiên đề, sau dùng quy tắc logic để định nghĩa khái niệm (khái niệm dẫn xuất) chứng minh định lí Hệ thống tất khái niệm bản, khái niệm dẫn xuất, tiên đề định lí gọi mơn học • Hệ tiên đề cần phải thỏa mãn yêu cầu sau: i) Tính phi mâu thuẫn: điều có nghĩa phát biểu tiên đề kết suy từ chúng khơng có trái ngược Hay nói cách khác, hệ tiên đề không mâu thuẫn từ đó, suy diễn logic, khơng ta suy kết mâu thuẫn với tiên đề hay hai kết mâu thuẫn với Chú ý: Nếu hệ tiên đề mà mâu thuẫn mệnh đề suy từ có sai thừa nhận Trong logic toán, người ta chứng tỏ rằng: lí thuyết xây dựng dựa hệ tiên đề mâu thuẫn người ta chứng minh tất mệnh đề, điều có nghĩa lí thuyết khơng có giá trị mặt khoa học Vì vậy, tính phi mâu thuẫn hệ tiên đề vấn đề quan trọng Câu hỏi: làm kiểm tra tính phi mâu thuẫn hệ tiên đề? ii) Tính độc lập: tiên đề hệ phải độc lập với tiên đề cịn lại, nghĩa khơng thể suy từ tiên đề cịn lại iii) Tính đầy đủ: hệ tiên đề đầy đủ khẳng định môn học suy từ hệ tiên đề 1.3 Hệ tiên đề Hilbert hình học Euclide Trong mục ta trình bày hệ tiên đề Hilbert gồm 20 tiên đề với khái niệm 06 khái niệm gồm có: + 03 đối tượng bản: “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng”; + 03 tương quan bản: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng” 20 tiên đề Hilbert chia làm nhóm: + Nhóm I: 08 tiên đề “liên thuộc”; + Nhóm II: 04 tiên đề “thứ tự”; + Nhóm III: 05 tiên đề “bằng nhau”; + Nhóm IV: 02 tiên đề “liên tục”; + Nhóm V: 01 tiên đề “song song” 1.3.1 Nhóm I: 08 tiên đề liên thuộc Tương quan nhóm tương quan “thuộc”, đơi gọi “đi qua”, 08 tiên đề nhóm là: I1) Với hai điểm ln tồn đường thẳng qua; I2) Với hai điểm phân biệt có khơng đường thẳng qua; I3) Mỗi đường thẳng có hai điểm Có ba điểm không thuộc đường thẳng; I4) Cho ba điểm A, B, C không đường thẳng, có mặt phẳng chứa tất điểm Mỗi mặt phẳng chứa điểm I5) Cho ba điểm A, B, C bất kì, khơng thuộc đường thẳng, khơng có mặt phẳng qua điểm đó; I6) Nếu hai điểm A, B thuộc đường thẳng a, đồng thời thuộc mặt (α), điểm khác đường thẳng a thuộc mặt phẳng (α); I7) Nếu hai mặt phẳng qua điểm A chúng qua điểm thứ hai B đó; I8) Có điểm không thuộc mặt phẳng Tiếp theo, nêu số định nghĩa định lí có liên quan tới Nhóm I Định nghĩa 1.1 Nếu điểm đường thẳng a thuộc mặt phẳng (α) ta nói đường thẳng a thuộc mặt phẳng (α), mặt phẳng (α) thuộc đường thẳng a Ở đây, ta lưu ý có tương quan "thuộc" điểm đường thẳng, điểm mặt phẳng tương quan bản, tương quan khác phải định nghĩa Các định lí liên quan là: Định lí 1.1 Hai đường thẳng phân biệt có nhiều điểm chung Chứng minh Giả sử trái lại, hai đường thẳng a, b phân biệt có điểm chung Khi đó, theo tiên đề I2) hai đường thẳng a, b phải trùng nhau, tức chúng hai đường thẳng phân biệt điều trái với giả thiết Định lí 1.2 Một mặt phẳng đường thẳng khơng thuộc mặt phẳng có nhiều điểm chung Chứng minh Giả sử trái lại, mặt phẳng (α) a đường thẳng có điểm chung A, B Khi đó, theo tiên đề I6), đường thẳng a phải thuộc mặt phẳng (α), điều trái với giả thiết (a không thuộc (α)) Vậy chúng có nhiều điểm chung Định lí 1.3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Định nghĩa 1.2 i) Hai đường thẳng gọi cắt hai đường thẳng có điểm chung điểm chung gọi giao điểm hai đường thẳng cho ii) Đường thẳng mặt phẳng gọi cắt đường thẳng mặt phẳng có điểm chung Điểm chung gọi giao điểm đường thẳng mặt phẳng cho iii) Hai mặt phẳng gọi cắt hai mặt phẳng có đường thẳng chung đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng cho Định lí 1.4 Qua đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳng qua hai đường thẳng cắt có mặt phẳng qua chúng Định lí 1.5 Một mặt phẳng ln chứa điểm khơng thẳng hàng 1.3.2 Nhón II: 04 tiên đề thứ tự Ở ta có thêm tương quan “ở giữa” Các tiên đề thứ tự cho ta biết vị trí tương đối điểm đường thẳng mặt phẳng Mỗi điểm đường thẳng có tương quan “ở giữa” hai điểm khác đường thẳng Các tiên đề là: II1) Nếu điểm B điểm A điểm C A, B, C điểm khác thuộc đường thẳng điểm B C A Chú ý rằng, tiên đề II1) cho biết tương quan "ở giữa" đặt ba điểm khác thẳng hàng tương quan không phụ thuộc vào thứ tự hai đầu mút II2) Cho hai điểm A C, có điểm B đường thẳng với AC cho C A B Tiên đề II2) cho ta biết có điểm B ngồi đoạn AC, tức đoạn thẳng có điểm ngồi Do đó, từ tiên đề ta biết thêm rằng, đường thẳng có điểm phân biệt II3) Trong ba điểm thuộc đường thẳng khơng có điểm hai điểm Tiên đề II3) cho biết ba điểm thẳng hàng có nhiều điểm Định nghĩa 1.3 Một cặp điểm A B gọi đoạn thẳng , kí hiệu AB BA Các điểm A B gọi điểm đoạn thẳng AB, hay thuộc đoạn thẳng AB Các điểm A B gọi hai đầu mút đoạn thẳng Tất điểm thuộc đường thẳng AB mà điểm điểm đầu mút đoạn AB gọi điểm đoạn AB II4) Tiên đề Pasch: Cho ba điểm A, B, C không thuộc đường thẳng đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) không thuộc điểm ba điểm A, B, C Nếu đường thẳng a có điểm chung với đoạn AB cịn có điểm chung khác với đoạn AC với đoạn BC Tiếp theo ta phát biểu định lí nhóm Định lí 1.6 Bất kì đoạn AB nào, có điểm hai điểm A B Chứng minh Theo tiên đề I3), tồn điểm D không thuộc đoạn thẳng AB Theo tiên đề II2), đường thẳng AD có điểm E cho D A E Cũng theo tiên đề II2) đường thẳng EB có điểm F cho B nằm E F Theo tiên đề II4), điểm A, B, E không thẳng hàng, đường thẳng F D có điểm chung với đoạn AE D nên phải có điểm chung với đoạn AB đoạn EB Nếu đường thẳng F D có điểm chung với đoạn EB đường thẳng F D đường thẳng EF phải trùng theo tiên đề I2), điều vơ lí E D hai điểm phân biệt Vậy đường thẳng F D phải có điểm chung C với đoạn AB Ta nói F D cắt AB C, điểm C nằm A B Định lí 1.7 Trong điểm A, B, C đường thẳng có điểm nằm hai điểm Từ tiên đề II2)-II3) kết hợp với Định lí 1.6 1.7 ta có hệ sau Hệ 1.1 a) Với đoạn AC bất kì, đường thẳng AC có điểm ngồi đoạn AC b) Với điểm đường thẳng có điểm hai điểm Định lí 1.8 Nếu điểm B A C, điểm C B D điểm B C A D Định lí 1.9 Nếu điểm C hai điểm A D, điểm B A C điểm B A D, điểm C B D Định lí 1.10 Nếu B điểm đoạn AC, đoạn AB đoạn BC thuộc đoạn AC, nghĩa điểm đoạn AB BC thuộc đoạn AC Định lí 1.11 Nếu B điểm đoạn AC điểm đoạn AC khác với B phải thuộc đoạn AB đoạn BC Định lí 1.12 Nếu điểm B C A D điểm đoạn BC thuộc đoạn AD Định lí 1.13 Mỗi đường thẳng có vơ số điểm Định nghĩa 1.4 Cho điểm O, A, B thuộc đường thẳng Nếu điểm O không A B ta nói A B nằm phía O Nếu O nằm A B ta nói A B nằm khác phía O Định lí 1.14 Một điểm O đường thẳng a chia tất điểm cịn lại đường thẳng làm lớp không rỗng cho điểm thuộc lớp phía O hai điểm nằm khác lớp khác phía O Định nghĩa 1.5 Một điểm O đường thẳng a chia tập hợp điểm đường thẳng làm lớp Mỗi lớp nửa đường thẳng hay tia nhận O làm gốc Hai nửa đường thẳng hay hai tia gọi bù chúng có chung gốc tạo nên đường thẳng Định nghĩa 1.6 Trên tia gốc O, điểm A gọi trước điểm B A thuộc đoạn OB 10 miền đa giác, cho điểm thỏa mãn điều kiện sau: Là điểm miền đa giác cho; Là điểm nằm cạnh mà đỉnh điểm chung hai miền đa giác; Là đỉnh chung tất miền đa giác chứa miền đa giác tạo thành góc đa diện đơn nhận điểm làm đỉnh Mỗi miền đa giác cho gọi mặt hình đa diện H Các đỉnh, cạnh mặt gọi đỉnh mặt hình đa diện H Ta nhận xét rằng, hình đa diện đơn H chia tập hợp E3 thành hai tập A, B (E3 \ H = A ∪ B, A ∩ B = ∅) cho hai điểm tùy ý M, N thuộc vào tập hợp A B có đường gấp khúc nằm hồn tồn tập nối M N Mỗi tập A, B gọi miền Trong hai miền có miền chứa hoàn toàn đường thẳng gọi miền ngồi hình đa diện H, miền cịn lại gọi miền hình đa diện H Định nghĩa 2.15 (Khối đa diện đơn) Hình đa diện đơn H với miền gọi khối đa diện đơn, H gọi chu diện khối đa diện đơn Nếu khối đa diện đơn hình lồi khối đa diện gọi khối đa diện đơn lồi chu diện gọi hình đa diện đơn lồi Từ trở đi, ta xét hình đa diện đơn lồi thường gọi tắt đa diện Có thể rằng, hình đa diện đơn hình lồi giao số hữu hạn nửa khơng gian Ví dụ 2.16 Các khối tứ diện, khối hộp, khối chóp, khối lăng trụ ví dụ khối đa diện đơn lồi (Vẽ hình minh họa) 55 Hình 2.20: Khối đa diện đơn Hình 2.21: Khối đa diện lồi khối đa diện không lồi 2.4.3 Khối (gần) lăng trụ Định nghĩa 2.16 (Khối lăng trụ) Khối đa diện có hai mặt hai đa giác H1 H2 nằm hai mặt phẳng song song mặt lại tam giác tứ giác có tất đỉnh đỉnh hai đa H1 H2 gọi khối lăng trụ Hai đa giác H1 H2 gọi hai đáy Khoảng cách hai đáy gọi chiều cao khối lăng trụ Chú ý: hai đáy điểm đường thẳng 56 Hình 2.22: Khối lăng trụ 2.4.4 Khối đa diện Định nghĩa 2.17 Khối đa diện khối đa diện lồi thỏa mãn hai tính chất sau: i) Các mặt đa giác n cạnh; ii) Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại {n, p} Như vậy, khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh Chỉ có loại khối đa diện đều, loại: {3, 3}-tứ diện đều; {4, 3}-khối lập phương; {3, 4}-khối bát diện đều; {5, 3}-khối mười hai mặt đều; {3, 5}-khối hai mươi mặt đều; Số mặt, số cạnh số đỉnh khối đa diện thỏa mãn công thức Euler: M + Đ − C = 2, M số mặt, Œ số đỉnh C số cạnh đa diện 57 Hình 2.23: Năm khối đa diện 2.5 Khối tròn xoay Trong đời sống ta gặp nhiều vật thể mà mặt ngồi có hình dạng mặt trịn xoay bình hoa, nón lá, bát, Dựa vào xoay tròn bàn xoay, người thợ gốm tạo vật dụng có dạng trịn xoay đất sét Dựa vào quay tròn trục máy tiện, người thợ khí tạo nên chi tiết máy kim loại có dạng trịn xoay Hình 2.24: Mặt trịn xoay tạo quay phần đường cong x = + cos z quanh trục Oz Trong toán học, người ta định nghĩa mặt trịn xoay sau Trong khơng gian cho mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng ∆ đường ℓ Khi quay mặt phẳng (P ) quanh ∆ góc 3600 điểm M đường ℓ vạch đường trịn có tâm O thuộc ∆ nằm mặt phẳng vng góc với ∆ Định nghĩa 2.18 Khi cho mặt phẳng (P ) quay quanh trục ∆ góc 3600 đường ℓ tạo nên hình gọi mặt tròn xoay 58 Đường ℓ gọi đường sinh mặt trịn xoay Đường thẳng ∆ gọi trục mặt tròn xoay Mặt trịn xoay với phần khơng gian phía bên gọi khối trịn xoay Hình 2.25: Mặt tròn xoay tạo quay phần đường cong ℓ quanh trục ∆ Các mặt khối tròn xoay thường gặp: a) Mặt cầu khối cầu Định nghĩa 2.19 (Mặt cầu) Trong không gian cho điểm O cố định R số dương không đổi Tập hợp tất điểm M khơng gian có tính chất OM = R gọi mặt cầu tâm O bán kính R Các điểm M mà OM < R gọi điểm trong; Các điểm M mà OM > R gọi điểm ngồi; Hình tạo mặt cầu (O, R) tất điểm gọi hình cầu tâm O bán kính R Phương trình mặt cầu: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 b) Mặt nón trịn xoay khối nón trịn xoay 59 Hình 2.26: Mặt cầu khối cầu Định nghĩa 2.20 Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng d ∆ cắt điểm O góc tạo β, 00 < β < 900 Khi quay mặt phẳng (P ) quanh ∆ đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay Mặt nón trịn xoay với phần khơng gian phía bên gọi khối nón trịn xoay Ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón Phương trình mặt nón: x2 y z2 + = , a2 b2 c2 a, b, c số Hình 2.27: Mặt nón trịn xoay Chú ý: cần phân biệt khối nón trịn xoay với hình nón khối nón c) Mặt trụ tròn xoay khối trụ tròn xoay 60 Hình 2.28: Hình nón khối nón Định nghĩa 2.21 Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ ℓ song song với cách khoảng r Khi quay mặt phẳng (P ) quanh ∆ đường thẳng ℓ sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay Mặt trụ trịn xoay với phần khơng gian phía bên gọi khối trụ trịn xoay r gọi bán kính mặt trụ Ta thường gọi tắt mặt trụ trịn xoay mặt trụ Phương trình mặt trụ: x2 y + = ⇐⇒ x2 + y = r2 r r Hình 2.29: Mặt trụ trịn xoay Chú ý: cần phân biệt khối trụ tròn xoay với hình trụ khối trụ d) Mặt Ellipsoid trịn xoay khối Ellipsoid tròn xoay e) Mặt Hyperboloid tròn xoay khối Hyperboloid trịn xoay 61 Hình 2.30: Hình trụ khối trụ Hình 2.31: Mặt Ellipsoid trịn xoay Hình 2.32: Mặt Hyperboloid trịn xoay tầng f) Mặt Paraboloid trịn xoay khối Paraboloid trịn xoay 62 Hình 2.33: Mặt Hyperboloid trịn xoay tầng Hình 2.34: Mặt Paraboloid trịn xoay 2.6 Đo diện tích thể tích 2.6.1 Đo diện tích đa giác a) Định nghĩa diện tích đa giác: Định nghĩa 2.22 Diện tích đa giác H số, kí hiệu S(H), thỏa mãn bốn điều kiện đây: i) S(H) > 0; ii) Nếu H chia thành hai đa giác H1 , H2 mà chúng khơng có điểm chung nào, S(H) = S(H1 ) + S(H2 ); iii) Nếu hai đa giác H H ′ S(H) = S(H ′ ); iv) Nếu H hình vng có cạnh đơn vị độ dài S(H) = 63 Ta cơng nhận kết sau: Mọi đa giác H có số S(H) thỏa mãn đầy đủ bốn điều kiện định nghĩa Bây giờ, ta trình bày cách xác định số S(H) với đa giác H b) Cách tính diện tích miền đa giác: Trong mặt phẳng cho đa giác H hình vng có cạnh đơn vị độ dài Để tính S(H) ta tiến hành sau: Bước 1: Trong mặt phẳng, lấy hai họ đường thẳng song song với hai cạnh kề hình vng đơn vị, đường thẳng cách đường thẳng khoảng đơn vị độ dài Hai họ đường thẳng chia mặt phẳng thành hình vng có độ dài cạnh đơn vị độ dài Ta gọi lưới bước chia thứ mặt phẳng Hình 2.35: Đo diện tích đa giác H + Ta gọi p1 số hình vng lưới bước chia thứ nằm hồn tồn H q1 số hình vng lưới chia thứ có điểm chung với H Ta ln có p1 ≤ q1 + Nếu p1 = q1 lấy S(H) = p1 = q1 Bước 2: Trường hợp p1 < q1 Ta thực phép chia lưới lần thứ hai Trên mặt phẳng lại lấy hai họ đường thẳng song song với cạnh hình vng đơn vị cách khoảng đơn vị 10 độ dài Các đường thẳng chia hình vng đơn vị mặt phẳng thành hình vng có độ dài cạnh đơn vị độ dài Ta gọi 10 lưới bước chia thứ hai + Gọi p2 số hình vng lưới bước chia thứ hai nằm hoàn toàn H q2 số hình vng lưới chia thứ hai có 64 điểm chung với H Ta có p1 ≤ p2 q2 ≤ ≤ q1 100 100 + Nếu p2 = q2 lấy S(H) = p2 q2 = 100 100 Bước 3: Trường hợp p2 < q2 , ta thực phép chia lưới lần thứ ba, tương tự bước bước 2, ta lấy hai họ đường thẳng song song với cạnh hình vng đơn vị, cách khoảng đơn vị độ dài Hai họ chia hình vng đơn vị mặt phẳng 100 đơn vị độ dài Ta gọi thành hình vng có độ dài cạnh 100 lưới phép chia thứ ba + Gọi p3 số hình vng lưới bước chia thứ ba nằm hồn tồn H q3 số hình vng lưới chia thứ hai có điểm chung với H Ta có p1 ≤ p2 p3 q3 q2 ≤ ≤ ≤ ≤ q1 100 10000 10000 100 + Nếu p3 = q3 lấy S(H) = p3 q3 = 10000 10000 Nếu p3 < q3 ta lại thực phép chia lưới lần thứ tư, , lần chia lưới thứ n Khi đó, gọi pn số hình vng (của lưới chia thứ n) nằm hồn tồn H qn số hình vng có điểm chung với H Khi đó, ta có p1 ≤ p2 p3 pn qn q2 ≤ ≤ · · · ≤ ≤ · · · ≤ ≤ · · · ≤ ≤ q1 100 1002 100n−1 100n−1 100 pn Như vậy, ta thu dãy { } tăng bị chặn q1 dãy n−1 100 qn { } giảm bị chặn p1 Do đó, theo theo tính chất 100n−1 giới hạn dãy số ta có pn qn = p ≤ q = lim n→∞ 100n−1 n→∞ 100n−1 lim Người ta chứng minh p = q Khi S(H) = p = q Vậy ta tính S(H) 65 Hình 2.36: Đo diện tích đa giác Lưu ý với hình phẳng khơng tồn giới hạn qn pn , lim tồn chúng khác Những hình lim n→∞ 100n−1 n→∞ 100n−1 gọi hình khơng có diện tích Ví dụ 2.17 Cho hình chữ ABCD có cạnh AB = a, BC = b Ta đặt hình vng đơn vị vào góc hình chữ nhật Bằng cách xây dựng cách tính diện tích đa giác trên, ta có p1 ≤ ab ≤ q1 p2 q2 ≤ ab ≤ 100 100 ··· pn qn ≤ ab ≤ 100n−1 100n−1 Do đó, qn pn = lim = ab n→∞ 100n−1 n→∞ 100n−1 lim Vậy SABCD = ab Diện tích số hình quen thuộc: Diện tích hình bình hành: SABCD = AH · CD (AB + CD) · AH = Diện tích hình tam giác: SABC = AH · BC Diện tích hình thang: SABCD Một số toán sử dụng phương pháp diện tích 66 Hình 2.37: SABCD = AH · BC Hình 2.38: SABC = AH · BC Hình 2.39: SABCD = (AB + CD) · AH Ví dụ 2.18 Áp dụng phương pháp tính diện tích đa giác giải toán sau: “Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm đa giác đến cạnh đa giác số khơng đổi”? Giải Vẽ hình minh họa: Giả sử ta có đa giác n cạnh AB ED với tâm O Gọi d khoảng cách từ O tới cạnh đa giác a độ dài cạnh đa giác Giả sử M điểm tùy ý nằm đa giác đều, gọi di khoảng cách từ điểm M tới cạnh thứ i (i = 1, 2, , n) Khi đó, ta có diện tích 67 đa giác là: n X S = ·a· di i=1 Mặt khác, theo cơng thức tính diện tích đa giác ta có S = a · n · d Từ đó, ta suy n X di = nd i=1 Vì n d khơng đổi nên ta suy điều phản chứng minh Ví dụ 2.19 Chứng minh rằng: “Trong tứ giác có đường nối trung điểm hai cạnh đối diện chia tứ giác thành hai phần có diện tích tứ giác hình thang” Giải Vẽ hình 68 Giả sử tứ giác ABCD có đường nối hai trung điểm cạnh AB, CD đường thẳng M N chia tứ giác ABCD thành hai tứ giác AM N D M N CB có diện tích Khi đó, nối BN, AN, ta có SAM N D = SAN D + SAM N = S1 + S2 ; SM N CB = SM N B + SBN C = S3 + S4 Ta có hai tam giác AM N BM N có chiều cao có độ dài hai đáy nhau, nên SAM N = SBM N hay S2 = S3 Mặt khác, từ giả thiết theo ta suy SAN D = SBN D hay S1 = S4 Trong tam giác AN D BN C kẻ đường cao AK BH Do S1 = S4 N C = N D nên ta có 1 AK.N D = BH.N C, 2 từ suy BH = AK, điều chứng tỏ AB//CD Vậy ABCD hình thang có hai đáy AB CD Ví dụ 2.20 Chứng minh Định lí Pitago: “Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng” Giải Vẽ hình: Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vuông BCDE, ABF G, ACM N Ta chứng minh SBCDE = SABF G + SACM N Thật vậy, vẽ đường cao AH tam giác ABC, AH kéo dài cắt DE K, nối AE, CF Khi ta có ∆ABE = ∆F BC (c.g.c) =⇒ SABE = SF BC 69