Giáo trình hình học sơ cấp pgs ts đào tam

ĐAO T A M Giáo trình HÌNH HOC Sơ CÁP NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC su PHẠM PGS.TS Đ À O TAM Giáo trình HÌNH H Ọ C S CẤP NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C sư PHẠM Mã số:01.02.253/411 ĐH - 2005 Mực LỤC Trang Lịi nói đầu Phần t h ứ nhất: Các hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thơng thực hành ứng dụng Chương ì: Các hệ tiên đê xây dựng hình học ỏ trường phơ thơng §1 Một sơ u cầu việc xây dựng hình học phương pháp tiên đề §2 Hệ tiên đề Hinbe hình học ơclit §3 Hệ tiên đề Pogorelov hình học ơclit §4 Hệ tiên đề Waylơ hình học ơclit §5 Mối quan hệ gi a hệ tiên đề §6 Hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thơng Việt Nam Hướng dẫn học chương ì 24 27 31 32 39 Chương l i : Sự liên thuộc gi a hình quan hệ song song, quan hệ vng góc 4Q §1 Các tốn liên thuộc gi a hình §2 Quan hệ song song, phép chiêu song song 41 56 §3 Quan hệ vng góc §4 Seminar chủ đề : Các toán aphin xạ ảnh vận dụng vào giải tốn hình học sơ cấp 65 70 Hướng dẫn học chương li 80 P h ầ n t h ứ hai: H ì n h đ a d i ệ n , h ì n h lồi B i ế n h ì n h D ự n g h ì n h 81 C h n g I U : Hình đa diện hình lồi 81 § Góc n h ị d i ệ n v góc t a m d i ệ n 81 § Góc đ a d i ệ n 88 §3 Hình đa diện 90 §4 H ì n h l i 95 Hướng dẫn học chương IU C h n g IV: Các p h é p b i ế n h ì n h 108 § Ì P h é p dời h ì n h 108 §2 P h é p đồng d n g 142 § Seminar: Tích p h é p b i ế n h ì n h 154 Hướng 157 dẫn học chương TV C h n g V: Dựng h ì n h 165 § C c t i ê n đ ể h ì n h học d ự n g h ì n h 165 § C c p h é p d ự n g b ả n 166 § C c n ộ i d u n g b ả n c ủ a lí t h u y ế t d ự n g 168 § D ự n g h ì n h b ằ n g p h n g p h p q u ỹ t í c h t n g giao 177 §5 Dựng h ì n h b ằ n g p h n g p h p đ i số 181 Hướng 187 dẫn Tài liệu tham 102 học chương khảo V 191 MỪJ 'MÓI IP, k h i đó: Nêu K L > MN m.MN m + ri nghiệm h ì n h nhảt In - = MN ml — t o n có 2(m + ri) In - mị Nếu KL < M N tốn vơ nghiệm 2(m + n ) 179 Ví d ụ 2: Cho t a m giác n h ọ n A B C thuộc m ặ t p h ả n g p D ự n g t ứ d i ệ n S A B C cho góc t a m d i ệ n đ ỉ n h s góc t a m d i ệ n v u ô n g P h â n t í c h : (xem h ì n h 69) G i ả sử đ ã d ự n g t ứ d i ệ n vuông SABC có góc tam g diện đỉnh s v u n g K h i đó, h ì n h chiếu H s l ê n m ặ t p h a n g p t r ự c t â m H tam giác ABC, (bạn / dóc t ự k i ể m t r a ) Bài tốn dựng h ì n h dẫn tới A dựng đ i ể m s thuộc m ặ t p h ă n g ; /C \ | qua đ n g t h ậ n g A v đ i ể m A (À ' ^1 , \ \ đ n g t h a n g v u n g góc v i p t i H ) G i ả sử A H c ắ t B C t i A ] Do SA Ì SB v S A Ì se, suy ỵ / A] Q (H69) SA Ì (SBC) v t đ ó SA _L S A j V ậ y s c ầ n p h ả i t h u ộ c đ n g t r ò n đ n g k í n h AAx, t r o n g m ặ t p h a n g (A, A ) v s t h u ộ c A B i t o n d ự n g c h u y ể n v ề b i t o n p h a n g Dựng: - D ự n g t r ự c t â m H c ủ a t a m g i c A B C (btcb 2) - D ự n g đường t h ắ n g A qua H v A ± (P) (btcb k h ô n g gian) - D ự n g m ặ t p h a n g (A, A ) (btcb t r o n g k h ô n g g i a n ) - T r o n g m ặ t p h a n g (A, A ) d ự n g đ n g t r ò n đ n g k í n h A A ) - Trong mặt p h a n g (A, A ) d ự n g giao c ủ a d ự n g v đ n g t h a n g A (giao h a i q u ỹ t í c h ) 180 đường tròn vừa Chứng minh: Theo cách dựng BC Ì AH, BC Ì SH => BO Ì SA; s thuộc đường trịn nên AS Ì SA, Từ AS Ì (SBC) => AS Ì SB AS Ì se se T n g t ự AB Ì (SC,C) => A B Ì se M ặ t k h c , theo t r ê n : Ì SA T se Ì (SAB) => se Ì SB Biện luận: Duyệt l i bốn bước dựng đầu tiên, t n g bước có nghiệm bước cuối dựng giao đường t h ẳ n g đường tròn vẽ từ điểm đường trịn ln có hai điểm Vậy dựng đưịc hai tứ diện 3j-A.BC S ABC thoa m ã n yêu cầu toán Tuy nhiên hai tứ diện đ ố i xứng qua m ặ t phang p nên toán có nghiệm hình §5 D ự n g h ì n h p h n g p h p đ i s ô D ự n g c ô n g thức b i ê u thi đ ộ dài đ o n t h ắ n g a Dựng đoạn thăng theo công thức cho trước: Giả sử ã, b, C , Ì đoạn t h ẳ n g cho a, b, C, Ì độ dài theo đơn vị chọn Bằng dụng cụ cho (chang hạn thước compa) dựng đoạn thẳng ỹ m độ dài y cho cơng thức: y = f(a, b, c, 1) Trong trường hịp t r ê n người ta nói vắn t ắ t dựng biểu thức: f(a, b, c, 1) Xét ví dụ sau: Ví du 1: Dựng đoạn thẳng V = a + (a độ dài đoạn ã ) Trong trường hịp đoạn thang dựng đưịc p h ụ thuộc vào đơn vị đo đ ã chọn 181 V í d ụ 2: D ự n g đ o n t h ẳ n g cho c ô n g t h ứ c y = a - b, (a > b); a , b cho t r c K ế t q u ả p h é p d ự n g k h ô n g p h ụ đ n vị đo b Tính chất đặc trứng hàm sơ xác định Đ i n h n g h ĩ a 1: H m y = f(a, b, c, lĩ n ế u k h i thay t ấ t c c so a, b, c, độ dài đoạn 1) gọi đắng thắng: cấp Ì c c sô ka, k b , ke, bậc ki n t h ì f(ka, kb, ke, k i ) = k f ( a , b, c, 1) Chẳng hạn: ĩ f = a + b f = Va _ ab g = a đ a n g cấp bậc + b đ ẳ n g cấp bậc +cd n , ,3 k h n í ĩ đăng cáp eh D ự n g c c b i ê u t h ứ c c b ả n đ ắ n g c ấ p b ậ c n h ấ t T r o n g lý t h u y ế t d ự n g h ì n h b ằ n g p h n g p h p đ i số n g i ta quy ước đ a n g t h ứ c sau đ â y l b ả n : X = a + b X = a - b Q X = a — n m _ r X = ab — c 182 = Vãb X X = X Va 2 + b = Va - b 2 , a > b D ự n g c c b i ể u t h ứ c k h c Sau k h i đ ã quy ước m ộ t số b i ể u t h ứ c b ả n t h ì v i ệ c d ự n g c c b i ể u t h ứ c k h c quy v ề việc t h ự c h i ệ n l ầ n l ợ t m ộ t s ố h ữ u h n c c p h é p d ự n g đ ã t Ì đ ế n Sau đ â y l c c k ế t q u ả d ự n g b ằ n g t h c v compa c c b i ê u thức k h c : a B ằ n g t h c v compa c h ú n g ta có t h ê d ự n g c c b i ê u t h ứ c đ i s ố đ ắ n g c ọ p bậc n h ọ t c c độ d i đ o n t h ắ n g , c h ú a cọc p h é p t o n n h â n v chia D a n g c h u n g n h ọ t c ủ a c c b i ể u thức : y = —————, b b b t r o n g a i; n bj c c độ d i c ủ a c c đ o n t h ắ n g đ ã cho Đ ể d ự n g c c b i ể u t h ứ c d n g t r ê n ta l ầ n l ợ t d ự n g : X, = a a L _ , X, = bi x Xi&3 b a _ n-2 n ——- y = — Ki b G ọ i a , b , c , / c c đ o n t h ẳ n g đ ã cho, P i(a, b, c, , 1) n+ v P (a, b, c, 1) l c c đ a t h ứ c đ ẳ n g cọp v i h ệ s ố h ữ u t ỉ a, n b, c, Ì với bậc t n g ứ n g b ằ n g n + v n B ằ n g thước compa có t h ể dựng đ o n t h ẳ n g cho c ô n g thức: P = y n+1 p (a,b,c, ,l) n T h ậ t vậy, đa thức P (a,b,c, ,I) n + ' t ổ n g c c b i ể u t h ứ c đ ẳ n g c ọ p d n g : p P„ = L A a ° b l \ t r o n g đ ó a + p + + X = n + , A h ữ u t ỉ + p„ = L A , a" ! b Pl X| , t r o n g a, + Ị3j+ + X = n, A , h ữ u tỉ Có t h ổ b i ê n đ ổ i quy v ề c c t r u n g hrip đ ã b i ế t n h sau: 183 d độ dài đoạn thẳng d Rõ r n g biêu thức dấu X đ ề u dựng theo a, biểu thức (5) c D ự n g đ o n t h ẳ n g cho công thức V = ^/R (a,b, ,l) , đ â y Ro b i ê u thức đ ắ n g cấp bậc h a i a, b, ] v i h ệ sổ h ữ u t ỉ Đ ể d ự n g b i ể u thức t r ê n ta b i ê n đ ổ i v ề d n g fo(a,b, l) y = J — V m m R (a,b, ,l) — Ro r n g — = X dựng theo c) Tư y = V x m m dựng theo btcb(6) D ự n g h ì n h bang p h n g p h p đ i s ô Đê dựng h ì n h H nhiều trường hợp t h u ậ n t i ệ n quy dạng đoạn thắng Đê dựng đoạn thắng phương p h p đ i sô thực chất t h i ế t lập phương t r ì n h liên hệ độ dài đoạn thẳng cần dựng độ dài đoạn thang cho, giải phương t r ì n h c h ú n g ta nhận công thức biểu thị độ dài đoạn thẳng cần dựng qua độ dài đoạn thắng biết, cuổi thực dựng công thức biêu thị độ dài đoạn thẳng Việc quy b i tốn dựng h ì n h dạng đoạn t h ẳ n g m độ dài cho công thức biểu thị qua độ dài đoạn thẳng cho dựng cơng thức gọi dựng hình băng phương pháp đại sơ 184 Ví d ụ : Dựng tam giác vuông, cho đường phân giác ỉ góc vng Giải: (xem hình 70) Rõ ràng hai đỉnh A, B dễ dàng dựng AB = c Để dựng c cần biết độ dài đường cao CH = h (khi c cách đường thắng AB khoảng cách h) Như vậy, toán dân đẫn biêu diễn h theo c Ì tìm cơng thức dựng h Ta có: SiABC = SABCD + + biết cạnh huyền c B r^^^H / / X / ỉ/ c c (Ị_Ị £5) A S,V\CD -ừch = —a Z.sin45° -ừ- — b /.sm4õ° ch -J2 = (a + b) I (1) 2 Theo định lý Pitago: a + b = c (2) Biến đối từ công thức (1), (2) nhận phương trình liên hệ để tính h là: 2ch - 21 h - c l = o 2 2 2 1(1 + V i +2c ) Từ h =— (3), toán dân đèn dưng h từ 2c công thức biểu thị độ dài đoạn thẳng (3) Giả sử CM trung tuyên vẽ từ c tam giác cần dựng „ , ,, c Khi đó, điêu kiện h < —, nghía là: I- Z C o l + \Ặ 2C < C O V I 2 i 2 1(1 + V i + c ) 2cÌ' — c < — 185 Từ bất đảng thức cuối, bình phương khử bậc hai, suy ỉ < — c Như vậy, c vừa thuộc đường trịn t â m M bán kính — •' đường thang song song cách AB khoảng cách h, dựng theo công thức (3) Do theo cách dựng, hai tam giác dựng đối xứng c qua AB, suy tốn có nghiệm k h i ỉ < — C h ú ý: Ti-ong thực tê nhiêu toán dựng h ì n h giải nhờ k ế t hợp nhiêu phương p h p k h c nhau, số u tơ hình cần dựng có thê sử dởng p h n g p h p này, số yêu t ố khác phải sử dởng phương p h p khác; chẳng hạn, ví dở trên, yếu tơ cần dựng độ dài đường cao h dựng phương p h p quỹ tích tướng giao K h ả n ă n g dựng h ì n h phương p h p đ i sô t h ê nhò định lý sau (chỉ p h t biểu không chứng minh): Đ i n h lý: cần đủ đê dựng đoạn thắng thước compa mà độ dài hàm sơ dương độ dài đoạn thăng cho biêu thức biêu thị hàm sơ tạo thành nhờ sơ hữu hạn phép tốn sở: cộng, trừ, nhân, chia khai b c hai Đê góp phần n ắ m vững sâu sắc lý thuyết dựng hình mong bạn đọc xét t h ê m t o n dựng hình dựng cơng cở: thước, compa thước hai biên 186 H n g d ẩ n h ọ c ch n g V ì C â u h ỏ i v b i t ậ p Dựng tam giác ABC biết vị trí điếm hai cạnh A B AC vị t r í đường thẳng chứa phân giác góc ẦCB Dựng tam giác biết cạnh, góc kề với cạnh hiểu hai cạnh cịn l i Cho tam giác ABC Dựng đường t h ẳ n g song song với AC cho AD + EC = DE, D E l ầ n lượt giao điểm đường t h ẳ n g cần dựng vơi hai cạnh A B BC tam giác Dựng tam giác biêt độ dài hai cạnh cho trước biết độ lớn góc đối diển với hai cạnh lớn gấp ba l ầ n độ lớn góc đ ố i diển với cạnh cịn l i Trong m ặ t phang cho ba điểm A, B, c Hãy dựng điểm D cho tứ giác ABCD vừa nội t i ế p đường tròn vừa ngoại t i ế p đường trịn Cho ba đường thắng đơi chéo a, b, c Hãy dựng đường thẳng A cắt a, b, c t i điểm A, B, c cho Ẹ^- = k (k số dương cho trước) BC Các điểm M , N trung điểm cạnh AC SB tứ diển SABC, cạnh tứ diển Hãy tìm AS, CN tương ứng điểm p, Q cho PQ // M N Hãy tìm độ dài PQ Dựng đoạn t h ắ n g m độ dài c h ú n g cho công thức sau: a a) +b X = , b) a X = + b — ad + be 187 Cho ba điếm A, B, c Hãy dựng đường tròn qua hai điểm b i ế t t i ế p t u y ế n vẽ từ điểm t h ứ ba tới đường tròn có độ dài a, a độ dài đoạn thẳng cho trước A 10 Dựng tam giác ABC cho biết cạnh BC = a, góc A = a r b n k í n h vòng tròn nội tiếp 11 T r ả lời h o ặ c gợi ý c c c â u h ỏ i b i tập Ký h i ệ u M , N điểm hai cạnh A B AC, XV đường t h ả n g chứa p h â n giác ÁCH Lấy N , điểm đối xứng N qua đường thẳng XV Chứng tầ N] thc cạnh đáy BC Từ suy cách dựng Hướng dẫn: G i ả sử ABC tam giác cần dựng, b i ế t AC = b, BÁC = a, hiệu hai cạnh AB BC k Đặt t r ê n A B điểm M cho A M = k, quy dựng tam giác AMC G i ả sử tam giác ABC dựng có BC = a, AC = b, ABC = 3BAC Vẽ qua B đường t h ẳ n g cắt cạnh AC t i E cho ABE = BÁC T dẫn tới tam giác BCE biết độ dài ba cạnh ABCD tứ giác ngoại tiếp AB + CD = AD + BC DC - DA = BC - AB (không làm tống quát giả sử Be > AB) Dựng t r ê n DC điểm M cho CM = BC - AB = k Tính góc ÁMC t điều k i ệ n ABCD nội tiếp Từ suy cách dựng đ i ể m M (bằng p h n g p h p quỹ tích tương giao) Trước h ế t xét tốn phang: "Cho góc xOy M điểm nằm góc Dựng qua M cát ến M A B , A e Ox, B e Oy 188 MA cho ——r = k Cố gắng chuyến t o n k h ô n g gian vê MB t o n phảng nhờ phép chiếu song song r i sau diễn đ t sang ngơn ngữ h ì n h học phổ thông khác PQ giao tuyên hai mặt phang l ầ n lượt qua CN song song với đường thẳng BM qua SA song song với B M Ta có C h ý, biộu thức biộu thị độ dài đoạn thang k h ô n g đẳng cấp bậc cán chuyộn đắng cấp bậc cách đưa vào đoạn thắng đơn vị ẽ (độ dài e = 1) Chang han X = — => X = — - 2e G i ả sử đương tròn dựng qua A, B t i ế p t u y ế n vẽ từ c tới đường tròn a Giả sử giao CA, CB với đường tròn (khác A, B) A', B' Sử dụng phương tích điộm c đường trịn ta có CA' = —— Suy dựng đoạn CA' CA I U Những đ i ề u cần lưu ý k h i học c h n g n y K h i n g h i ê n cứu chương mong độc giả quan t â m số v ấ n đ ề lý thuyết dựng h ì n h : Các tiên độ chung, phép dựng bản, toán cờ Đặc biệt nội dung bản: dựng hình, nghiệm t o n dựng hình, vai trị bước p h â n tích tìm tịi cách dựng tốn dựng hình Trong chương t r ì n h tốn ỏ phơ thơng THCB c h ú trọng vai trị tốn dựng hình, l ẽ c h ú n g ta cần thường xuyên liên hệ bố sung vấn độ lý thuyết, đặc b i ệ t h ệ thống 189 t o n xép theo t r ì n h tự sư phạm r è n luyệi cho học sinh n ă n g lực giải t o n dựng h ì n h theo p h n g p h p k h c Mặc dầu chương biến h ì n h xem xét ứng tụng g i ả i tốn dựng hình cách sử dụng phép biên h i m cụ t h ê , n h n g k h i nghiên cứu chương n y b n đọc cần trở l i h ú t r ọ n g nghiên cứu sâu sắc t h è m đê bổ sung t h n h hệ thống cá: p h n g p h p giải tốn dựng h ì n h 190 T A I LIÊU T H A M K H A O [1] Argunơv B.I, Bale M.B Hình học sơ cấp N X B Giáo dục, Hà nội, 1977(dịch từ tiếng Nga) [2] Pơgơrelơv A.v Hình học sơ cấp NXB Khoa học, Maxca 1977 (tiếng Nga) [3] Phêtixôv A L Hình học tốn N X B Giáo dục, Maxca 1977 (tiếng Nga) [4] Bôltianxki V.G, Iaglôm I M Biến hình Vectơ NXB Giáo dục, Maxca 1964 (tiếng Nga)./ 191 DC.027273