GiĂo trẳnh hẳnh hồc Ôi số Ngổ BÊo ChƠu bÊn thĂng nôm 2003 Lới m Ưu Trong hẳnh hồc Ôi số, cĂc ối tữủng hẳnh hồc ữủc mổ tÊ bơng mởt ngổn ngỳ Ôi số thuƯn tuỵ Bản ngoi trỹc quan hẳnh hồc v Ôi số hẳnh thực cõ v ối lêp nhau, sỹ phĂt trin cừa hẳnh hồc Ôi số thá k 20  chựng minh iÃu ngữủc lÔi : mởt ngổn ngỳ Ôi số phũ hủp cõ khÊ nông diạn Ôt trỹc quan hẳnh hồc mởt cĂch rĐt chẵnh xĂc Vo cuối thá k 19 hẳnh hồc Ôi số  phĂt trin mÔnh Italia vợi nhỳnh tản tuối nhữ Castelnuovo hay Severi, gt hĂi ữủc nhiÃu kát quÊ àp và cĂc ối tữủng tữỡng ối cử th nhữ ữớng cong v mt Ôi số Do thiáu mởt nÃn tÊng Ôi số vỳng chưc, c¡c nh to¡n håc Italia cán dịng nhi·u cỉng cư giÊi tẵch v ổi mưc phÊi nhỳng ngở nhên hẳnh hồc dăn án nhỳng chựng minh khổng Ưy ừ PhÊi án Zariski v Weil, Ôi số giao hoĂn mợi tr thnh cổng cử chẵnh hẳnh hồc Ôi số Vo nhỳng nôm giỳa thêp k 20, hẳnh hồc Ôi số cõ thảm mởt lƯn lởt xĂc Nhụng ngữới i tiản phong giai oÔn ny l Serre v Grothendieck Grothendieck sỷ dửng lỵ thuyát phÔm trũ vo hẳnh hồc Ôi số mởt cĂch cõ hằ thống ị tững cừa coi a tÔp Ôi số nhữ mởt hm tỷ l mởt ỵ tững then chốt lỵ thyát lữủc ỗ Mởt cĂi hay cừa ngổn ngỳ hẳnh hồc Ôi số l, mc dũ phÔm trũ v hm tỷ l nhỳng khĂi niằm rĐt trứu tữủng, nõ cho php ta diạn Ôt mởt cĂch sĂng nhỳng trỹc quan hẳnh hồc cử th nhĐt v thêt sỹ giúp ta hiu thảm và nhỳng ối tữủng cử th vẵ dử nhữ ữớng cong, mt Những õ cụng ỗng thới l cĂi khõ cho ngữới hồc hẳnh hồc Ôi số v cho ngữỏi viát giĂo trẳnh hẳnh hồc Ôi số Xem cĂc giĂo trẳnh tiáng nữợc ngoi  cõ, nời tiáng nh¡t l c¡c cuèn cõa Hartshorne, Mumford, Shafarevich, ta th§y cĂc ny cõ nởi dung rĐt khĂc nhau, hƯu nhữ ẵt cõ phƯn giao Ngữới viát ny cụng phÊi lỹa chồn mởt tuyán ữớng riảng, dăn dưt bÔn ồc tham quan xự s diằu ký cừa hẳnh hồc Ôi số Theo quan im sữ phÔm riảng, tuyán ữớng ữủc chồn l cĂc Ôi lở chẵnh, cõ th khổng cõ gẳ thêt ngoÔn mửc, nõ giúp ta di xa hìn v câ thº tr¡nh cho ng÷íi tham quan cõ cÊm giĂc b lÔc ữớng Nởi dung quyn giĂo trẳnh ny tĐt nhiản khổng cõ gẳ mợi Náu cõ gẳ mợi thẳ nõ nơm cĂch trẳnh b y v thù tü sp x¸p c¡c kh¡i ni»m Trong tứng phƯn riảng r, chưc chưn l ngữới viát cõ vay mữủn tứ cĂc sĂch  cõ, chừ yáu tứ cừa Hartshorne v cừa Mumford Ngữới viát cụng khổng hà ngƯn ngÔi lữủc bợt i hon ton mởt số chùng minh qu¡ rc rèi ho°c ch¿ tr¼nh b y chùng minh mët tr÷ìng hđp °c bi»t nh÷ng °c thị CĂc chựng minh chi tiát v Ưy ừ thẳ bÔn ồc náu cƯn cõ th tham khÊo sĂch cừa Hartshorne é Ơy, tổi ch mong muốn bÔn ồc nđm ữủc cĂch tẵnh toĂn cử th mởt số trữỡng hđp cư thº v hiºu ÷đc nëi dung cõa ành lỵ thổng qua cĂc tẵnh toĂn õ " PhƯn I Ôi số # Mửc ẵch cừa chữỡng ny l im lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa Ôi số giao hoĂn v lỵ thuyát phÔm trũ TĂc giÊ khổng cõ tham vồng viát chữỡng ny thnh mởt t i li»u tham kh£o Mưc ½ch cõa nâ l iºm lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa Ôi số giao hoĂn v lỵ thuyát phÔm trũ m theo chừ quan cừa mẳnh, tĂc giÊ cho l khổng thiáu ữủc cho ngữới bưt Ưu hồc hẳnh hồc Ôi số NhiÃu chựng minh ch ữủc trẳnh by vưn tưt, hoôc thêm chẵ bọ qua Náu cÊm thĐy cƯn thiát, ngữới ồc cõ th tham khÊo sĂch kinh in và Ôi sè giao ho¡n cõa Matsumura hay l cuèn cõa Atyah v Macdonald Ta ỵ c biằt án phÔm trũ cĂc vnh giao hoĂn v cĂc hm tỷ tứ phÔm trũ ny vo phÔm trũ cĂc têp hủp KhĂi niằm a phữỡng hoĂ Ôi số giao hoĂn v khĂi niằm hm tỷ biu diạn ữủc cừa lỵ thuyát phÔm trũ ữủc nhĐn mÔnh & Chữỡng Sỡ lữủc và Ôi số giao hoĂn 1.1 Vnh giao hoĂn Trong têp hủp cĂc số nguyản Z ta cõ hai php to¡n cì b£n l ph²p cëng v ph²p nh¥n C¡c php toĂn ny thọa mÂn mởt số tẵnh chĐt nhữ tẵnh giao hoĂn, tẵnh kát hủp v tẵnh phƠn phối Ph²p cëng câ mët ph¦n tû ìn l 0, php nhƠn cõ mởt phƯn tỷ ỡn v l Vnh giao hoĂn l cĐu trúc Ôi số trứu tữủng, mổ phọng cĂc tẵnh chĐt cừa php cởng v php nhn số nguyản nh nghắa Vnh giao hoĂn l mởt têp hủp R vợi (+, 0, ì, 1) thoÊ mÂn - têp R, vợi php cởng + v ph¦n tû ∈ R l ph¦n tû ìn v ối vợi +, tÔo thnh mởt nhõm Abel -têp R vợi php nhƠn ì v phƯn tỷ R ỡn v vợi php , tÔo thnh mởt nûa nhâm Abel, tùc l nh÷ mët nhâm Abel ch¿ thiáu tiản à l mồi phƯn tỷ Ãu nghch Êo ữủc -php + v php nhƠn thoÊ mÂn tẵnh chĐt phƠn phối x ì (y + z) = x ì y + x ì z TĐt nhiản vẵ dử cỡ bÊn nhĐt cừa vnh giao hoĂn chẵnh l vnh cĂc số nguyản Z Têp hủp cĂc số hỳu t Q, cĂc số thỹc R, hay cĂc số phực cụng tÔo nản mởt vnh Têp cĂc a thực mởt bián vợi h» sè nguy¶n Z[x], h» sè húu t¿ Q[x], hay hằ số phực C[x] ró rng cụng tÔo nản mởt vnh Vẵ dử suy bián v tƯm thữớng l vẵ dư mët v nh vỵi = Khi â ta chùng minh ÷đc l v nh n y ch¿ câ óng mët phƯn tỷ CHìèNG Sè LìẹC V I Sẩ GIAO HON 10 nh nghắa ỗng cĐu vnh giỳa R v R l mởt Ănh xÔ : R R tữỡng thẵch vợi cĂc cĐu trúc (+, 0, ì, 1) cừa R v R Ta lữu ỵ tợi khng nh hin nhiản sau Ơy Mằnh à Vợi mồi vnh giao hoĂn R, tỗn tÔi nhĐt mởt ỗng cĐu vnh R : Z R Vợi mồi số nguyản dữỡng n, R bưt buởc phÊi gỷi n lản phƯn tỷ 1+à à Ã+1, n lƯn, cừa R Cỏn náu n l nguyản Ơm, ta phÊi gỷi n lản R (n) Dạ thĐy Ănh xÔ nh nghắa nhữ trản l mởt ỗng cĐu vnh nh nghắa Mởt phƯn tỷ x R ữủc gồi l khÊ nghch náu tỗn tÔi y R cho xy = Ta kỵ hiằu Rì tƠp hủp cĂc phƯn tỷ khÊ nghch cừa vnh R Vnh R ữủc gồi l mởt náu nhữ Rì = R {0} Vẵ dử nhữ vnh Q cĂc số hỳu t, hay R, C Ãu l trữớng, Z thẳ khổng Têp hủp cĂc lợp ỗng modulo mởt số nguyản tố p l mởt trữớng m ngữới ta thữớng kỵ hiằu l Fp CĂc trữớng hỳu hÔn Fp vợi p nguyản tố, v Q ữủc gồi l trữớng nguyản thu, tữỡng tỹ nhu Z l vnh nguyản thu, mằnh · sau ¥y Ta câ thº chùng minh nâ cịng mët kiºu nh÷ m»nh · tr÷íng M»nh · Mởt trữớng k bĐt ký hoc l chựa Q, hoc l chựa mởt cĂc trữớng hỳu hÔn Fp Trong trữớng hủp Ưu, ta nõi k l trữớng cõ c sè 0, tr÷íng hđp sau, k câ °c sè p Hẳnh hồc Ôi số trản Q liản quan án viằc tẳm nghiằm hỳu t cừa phữỡng trẳnh Ôi số Hẳnh hồc Ôi số trản Fp thẳ giống nhữ viằc giÊi phữỡng trẳnh ỗng modulo p nh nghắa Mởt phƯn tỷ x R ữủc gồi l ữợc số cừa náu tỗn tÔi mởt phƯn tỷ y ∈ R kh¡c cho xy = Mët phƯn tỷ x R gồi l lu linh náu tỗn tÔi n N cho xn = Mởt vnh R ữủc gồi l miÃn nguyản náu R khổng chựa cĂc phƯn tỷ khĂc khổng m lÔi l ÷ỵc sè cõa khỉng V nh R ÷đc gåi l rót gồn náu R khổng chựa phƯn tỷ khĂc khổng m lÔi l lụy linh 164 CHìèNG 12 H TUYN TNH V ìẻC Trữợc hát ta kỵ hiằu PL = Proj(Sym(L )) l khổng gian xÔ Ênh ựng vợi khổng gian vectì L∗ Méi iºm cõa PL∗ tr¶n k l mởt ữỡng thng L hoc l mởt siảu mt khổng gian vectỡ ối ngău L Trản PL∗ ta câ bâ OL∗ (1) vỵi Γ(PL∗ , OL∗ (1)) = L Trản tẵch X ìk PL ta xt phƠn thợ ữớng thng cho bi tẵch tenxỡ ngoi L ⊠k OL∗ (1) = pr∗X L ⊗ prPL∗ OL∗ (1) Ta biát v nõ chữựa (X ì PL , L ⊠k OL∗ (1)) = Γ(X, L) ⊗k L∗ L ⊗k L∗ = Homk (L, L) nh÷ k -khỉng gian vectỡ Vẳ vêy ta cõ mởt phƠn tỷ chuân tc 1L ∈ Homk (L, L) ⊂ Γ(X × PL∗ , L k OL (1)) Ta kỵ hiằu VL l têp õng cĂc khổng im cừa lợp cưt ny, nhữ trản ta biát trản VL cõ mởt cĐu lữủc dỗ chuân tưc v l lữủc ỗ õng cừa X ì PL Ta cõ php chiáu VL PL vợi thợ cõ th xem nhữ lữủc ỗ cõa X Ta câ thº d¹ dang kiºm tra kh¯ng ành sau M»nh · 35 Vỵi måi l ∈ L kh¡c khæng, gåi p ∈ PL∗ (k) l siảu mt cừa L hÔch cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh l : L∗ → k Khi â Vl l thợ cừa cĐu xÔ VL PL trản im pl l ành ngh¾a 36 Cho L l mët k-khổng gian vectỡ hỳu hÔn chiÃu cừa (X, L) Hằ tuyán tẵnh trản X ựng vợi L l lữủc ỏ V X ì P L L xƠy dỹng nhữ trản Náu X l mởt a tÔp xÔ £nh, L = Γ(X, L) l mët k -khæng gian vectỡ hỳu hÔn chiÃu thẳ hằ tuyán tẵnh VL ựng vợi nõ gồi l hằ tuyán tẵnh Ưy ừ 12.2 NH Lị BERTINI 165 12.2 nh lỵ Bertini Trữớng hủp quan trồng nhĐt cừa hằ tuyán tẵnh l cĂc hằ tuyán tẵnh giu trản khổng gian xÔ Ênh nh lỵ 37 Cho X l mởt a tÔp xÔ Ênh trữỡn trản mởt trữớng õng Ôi số k Cho L l mởt phƠn thợ ữỡng thng rĐt giu trản X v cho mởt nhúng xÔ Ênh f : X → Pnk vỵi L = f ∗ O(1) Khi â tỗn tÔi mởt siảu phng H cừa Pnk cho H X l mởt lữủc ỗ trỡn v têp cĂc siảu phng nhữ vêy tÔo thnh mởt phƯn m trũ mêt cừa hằ tuyán tẵnh Ưy ừ cừa L Kát luƠn trản văn cỏn úng náu tƠ giÊ thiát X ch cõ ký d mởt têp hữụu hÔn cĂc im cổ lêp Náu X liản thổng v dim(X) 2, thẳ vợi mồi siảu phng H mởt têp m trũ mêt, H X l liản thổng 12.3 ìợc Weil v ữợc Cartier Cho X l mởt lữủc ỗ Mởt im x X gồi l cõ ở cao mởt náu nhữ tỗn tÔi mởt lƠn cªn aphin x ∈ Spec(A) X , v ð Spec(A), x tữỡng ựng vợi mởt i ảan nguyản tố ë cao mët Vỵi måi iºm x ∈ X câ ở cao mởt, vnh a phữỡng OX,x , thợ cừa bõ cĐu trúc tÔi im x l vnh a phữỡng cõ chiÃu Krull bơng mởt Lữủc ỏ X gồi l chẵnh qui ở cao mởt náu vợi mồi im x ð å cao mët, c¡c v nh OX,x ·u l vnh chẵnh qui v õ ta biát, chúng ưt l cĂc vnh nh giĂ rới rÔc nh nghắa 38 Cho X l mởt lữủc ỗ nguyản Noether chẵnh qui ở cao mởt Mởt ữợc Weil trản X l mởt tờng hẳnh thực cõ dÔng D= dx x x vợi x chÔy trản têp cĂc im ồ cao mởt cừa X v dx = vợi hƯu hát cĂc im x D gồi l ữợc thêt sỹ náu nhữ dx ≥ vỵi måi x ∈ X Cho X l mởt lữủc ỗ nguyản chẵnh qui ở cao mởt Ta biát vợi mồi im x X ë cao mët, v nh àa ph÷ìng OX,x l mët v nh nh giĂ rới rÔc Gồi K l trữớng cĂc hm hỳu t trản X Vợi mồi hm hỳu t f K , ta nh nghắa số nguyản ordx (f ) 166 CHìèNG 12 H TUYN TNH V ìẻC l nh giĂ cừa f , xt nhữ mởt phƯn tỷ cừa trữớng cĂc thữỡng cừa OX,x Vợi mồi f1, f2 ∈ K ×, ta câ ordx (f1 f2 ) = ordx (f1 ) + ordx (f2 ) M»nh · 39 Cho X l mởt lữủc ỗ nguyản Noether chẵnh qui ð å cao mët Vỵi måi h m húu t¿ khĂc khổng f K ì trản X , ta cõ ordx (f ) = vợi hƯu hát cĂc iºm x ð ë cao mët Theo gi£ thi¸t X Noether, ta câ thº phõ X b¬ng mët phõ húu hÔn cĂc têp m aphin Ui = Spec(Ai) vợi Ai l vnh Noether Vẳ thá ta cõ th giÊ sỷ X = Spec(A) l mởt lữủc ỗ aphin, phờ cừa mởt vnh Noether Viát f = f1 /f2 vợi f1 , f2 ∈ A, ta ch¿ c¦n chùng minh m»nh · cho f1 v f2 n¶n ta câ thº gi£ sû f ∈ A Cho f ∈ A, x²t tªp V1(f ) c¡c iºm x ∈ X ë cao mët cho ordx(f ) > º thuªn mt, ta kỵ hiằu px l i ảan nguyản tố ựng vợi mội im x nhữ vêy, ta cõ x V1(f ) v ch¿ f ∈ px Gi£ sû tªp V1(f ) l têp vổ hÔn, ta s xƠy dỹng ữủc mởt dÂy tông khổng dứng cĂc i ảan cừa A v nhữ thá s mƠu thuăn vợi giÊ thiát A l vnh Noether XƠy dỹng nhữ sau : Vợi mội h m húu t¿ f ∈ K ×, ta câ mët ữợc Weil ordx (f ) x vợi x chÔy trản têp cĂc im ở cao mởt CĂc ữợc Weil nhên ữủc nhữ vêy gồi l cĂc ữợc chẵnh nh nghắa 40 Cho X l mởt lữủc ỗ nguyản ìợc Cartier cõa X l mët lỵp ct to n cưc cõa bâ K ì /Oì trản X : s (X, K ì /Oì ) Theo xƠy dỹng cừa bõ thữỡng K ×/, cho mët lỵp c¡t to n cưc s ∈ Γ(X, K ì /Oì ) l cho ã mởt phừ m aphin X = i∈I Ui cõa X , Ui = Spec(Ai ), Ui Uj = Spec(Aij ), ã vợi måi i ∈ I , mët ph¦n tû si ∈ K ì 12.3 ìẻC WEIL V ìẻC CARTIER 167 ì • vỵi måi c°p i, j ∈ I , si s1 j Aij vợi quan hằ tuỡnữg ữỡng l : sau l§y phõ nh§t º qui v· trữỡng ì hủp mởt phừ m (Ui , si ) ∼ (Ui , s′i ) v ch¿ s1 i si Ai Cho mởt ữợc Cartier s = (Ui , si ) nhữ trản Ta nõi nõ l ữợc Cartier thêt sỹ náu nhữ vỵi måi i ta câ s−1 i ∈ Ai Mằnh à 41 Cho X l mởt lữủc dỗ nguyản Cho mởt ữợc Cartier trản X l cho mởt phƠn thợ ữớng thng L v mởt phƯn tỷ l LK vỵi LK l thỵ têng qu¡t cõa L Cho mởt ữợc Cartier thêt sỹ cừa X l cho mởt cp (L, l) vợi L l mởt phƠn thợ ữớng th¯ng tr¶n X v l ∈ Γ(X, L) l mët lợp cưt ton cửc cừa L Náu cho mởt lợp cưt s (X, K ì /Oì ), ta xƠy dỹng mởt phƠn thợ ữớng thng L, phƠn thợ cừa phƠn thợ hơng K , nhữ sau Trản têp mð aphin Ui = Spec(Ai ), ta x²t Ai -mo un tü c§p mët si A i ⊂ K cõa K Tr¶n Ui ∩ Uj = Spec(Aij ), hai mỉ un n y b¬ng si Ai ⊗Ai Aij = sj Aj Aj Aij ì vẳ si s1 j Aij Vẳ vêy cĂc Ai -mo un tỹ ny dĂn lÔi vợi thnh mởt phƠn thợ ữớng thng L, bõ cừa bõ hơng K Thợ tờng quĂt cừa bõ ny l K cho nản cõ mởt phƯn tỷ l Ngữủc lÔi, giÊ sỷ ta cho mởt cp (L, l) bao gỗm mởt phƠn thợ ữỡng thng L trản X v mởt phƯn tỷ l cõa thỵ têng qu¡t LK Khi â, ta cõ th ỗng nhĐt hai khổng gian vectỡ chiÃu mởt K LK bơng cĂch gỷi phƯn tỷ cừa K lản phƯn tỷ l LK Vẳ L l phƠn thợ ữớng thng cho nản trản mội têp mð aphin Ui = Spec(Ai ), Ai l mi·n nguy¶n, Γ(Ui , L) l mët Ai mo un tü àa ph÷ìng, mo un cõa LK = K Chån phõ Ui õ màn, ta câ thº gi£ sû l Γ(Ui , L) l Ai -mo un tỹ cĐp mởt Vợi måi ch¿ sè i, ta chån mët cì sð si cừa (Ui , L) Vẳ hÔn chá vo Uij cho ta cịng mët Aij -mo un × tü cõa K , cho n¶n si s−1 j ∈ Aij Cuối thẳ hai sỹ lữỹa chồn khĂc cừa si v s′i cì sð cõa Γ(Ui , L) sai khĂc mởt phƯn tỷ khÊ nghch ì ì ì si s1 j Ai Vẳ vêy (L, l) x¡c ành mët lỵp ct s ∈ Γ(X, K /O ) PhƯn tỷ K cừa thợ tờng quĂt l mồt lợp cưt ton cửc náu nhữ vợi mồi i ta câ ∈ Γ(Ui , L) = si Ai CĂi ny hin nhiản tữỡng ữỡng vợi s1 i ∈ Ai $& CH×ÌNG 12 H TUYN TNH V ìẻC PhƯn VI ối ỗng iÃu $' Chữỡng 13 ối ỗng iÃu trản tổpổ Zariski 13.1 Hm tỷ dăn xu§t cõa h m tû Γ Cho X l mët khỉng gian tổpổ Xt phÔm trũ cĂc bõ nhõm abel trản X Ta biát phÔm trũ ny l mởt phÔn trũ abel Theo nh nghắa, mởt dÂy cĂc bõ → M ′ → M → M ′′ → l khỵp v ch¿ vỵi måi iºm x X , ta cõ dÂy khợp cĂc thợ Mx Mx Mx nh lỵ 42 PhÔm trũ cĂc bõ nhõm abel trản mởt khổng gian tổpổ cõ ừ vêt nởi tÔi Mằnh à 43 H m tû cho ùng vỵi méi bâ nhâm abel M trản khổng gian tổpổ X , nhõm cĂc lợp cưt to n cưc Γ(X, M ) l mët h m tû khỵp trĂi Nõ cõ cĂc hm tỷ dăn xuĐt l M Hi (X, M ) Ta  biát, mồi hm tỷ khợp trĂi i tứ mởt phÔm trũ abel võ ừ vêt nởi tÔi, Ãu cõ cĂc hm tỷ dăn xuĐt Ta ch cƯn chựng minh tẵnh khợp trĂi cừa hm tỷ Cho Ănh xÔ M M , mët lỵp ct s′ ∈ Γ(X, M ′ ) câ £nh s ∈ Γ(X, M ) b¬ng khỉng Vâi måi x ∈ X , £nh sx ∈ Mx b¬ng khổng nản giÊ thiát Mx Mx ỡn Ănh ko theo sx = Vợi mồi x tỗn tÔi mởt lƠn cên Ux cừa x cho hÔn chá cừa s vo Ux bơng khổng Theo tẵnh dĂn ữủc cừa bõ, s = 171 172 CHìèNG 13 ẩI ầNG IU TRN TặPặ ZARISKI Tữỡng tỹ nhữ vêy, cho → M ′ → M → M ′′ l d«y khỵp tr¡i, cho s ∈ Γ(X, M ) vỵi £nh s′′ ∈ Γ(X, M ′′ ) b¬ng khỉng Khi â vợi mồi x X , tỗn tÔi nhĐt s′x ∈ Mx′ câ £nh l sx ∈ Mx v¼ dÂy Mx Mx Mx l khợp Lợp cưt a phữỡng sx xĂc nh trản mồt lƠn cªn Ux cõa x Cho hai iºm x = x′ , trản giao Ux Ux hai lợp cưt sx v sx cõ mởt Ênh l hÔn chá cừa s cho nản nhữ ta  thĐy trản, chúng nhĐt thiát phÊi bơng Ta cõ th thỷ lêp luƠnh nhữ trản xem tÔi hm tỷ l khổng khợp phÊi, xem lêp luên cừa ta b tc ð ché n o L§y s′′ ∈ Γ(X, M ′′ ) Vỵi måi x ∈ X , Mx → Mx′′ l ton Ănh, nản tỗn tÔi sx Mx cõ £nh l s′′x ∈ Mx′′ C¡i mc thù nh§t l ta sx nhữ vêy tỗn tÔi, ta khổng biát chồn cĂi no Chồn tũy tiằn mởt phƯn tû sx , c¡c ph¥n tû kh¡c s³ ·u câ dÔng sx + sx vợi sx Mx LÔi lĐy mởt lƠn cên ừ nhọ Ux cừa x tren õ xĂc nh sx Những bƠy giớ cĂi cÊn tr cho viằc dĂn cĂc lợp cưt a phữỡng sx lÔi vợi l sai khĂc (sx , sx ) = sx |Ux ∩Ux′ − sx′ |Ux ∩Ux′ C¡i sai kh¡c n y câ £nh b¬ng khỉng Γ(Ux ∩ Ux , M ) nản phÊi l mởt lợp cưt cừa M trản Ux Ux Nhữ vªy vi»c lüa chån c¡c sx cho ta mët phõ mð X = i Ui v tr¶n méi giao Uij= Ui ∩ Uj ta câ mët lỵp ct ∂ij ∈ Γ(Uij , M ) v c¡c lỵp ct n y thäa mÂn phữỡng trẳnh ij + jk + ki = tr¶n Uijk Gåi Z (X, M ′ ) l têp cĂc lợp tữỡng ữỡng theo nghắa hin nhiản cĂc bở (Uij , ij ) Tỗn tÔi s Γ(X, M ) câ £nh l s′′ v ch¿ ta câ thº thay êi sx th nh sx + sx cho ữ b triằt tiảu Muốn vêy ta phÊi giÊ ữủc phữỡng trẳnh ối biản ij = s′i − s′j vỵi s′i ∈ Γ(Ui , M ′ ) Phữỡng trẳnh ny khổng phÊi lúc no cụng cõ nghiằm, v cĂi cÊn tr cho viằc phữỡng trẳnh ny cõ nghiằm chẵnh l mởt phƯn tỷ cừa nhõm Z (X, M ′ ) chia cho nhâm B (X, M ) c¡c bë (Uij , ∂ij ) cho phữỡng trẳnh ối biản giÊi ữủc 13.2 ẩI ÇNG IU CÕA B TÜA NHT QUN M»nh · 44 H (X, M ) l 173 Vỵi måi bâ nhõm abel M trản X , hm tỷ dăn xuĐt bªc mët H1 (X, M ) = Z (X, M )/B (X, M ) Ngữới ta  mổ tÊ ữủc cÊ hm tỷ dăn xuĐt bêc hai H2(X, M ) theo cĂch tữỡng tỹ nhữ vêy õ cƠu chuyằn tr nản phực tÔp hỡn nhiÃu, mổ tÊ ngữới ta cƯn án nhỳng khĂi niằm nhữ 2-phÔm trũ Ơy l khổng k án H3, H4 Trong ho n c£nh °c bi»t c¡c bâ tüa nh§t qu¡n trản lữủc ỗ, thẳ ngữỏi ta cõ cĂc cĂch tẵnh to¡n °c thị kh¡c, hi»u qu£ hìn Cho f : X Y l mởt Ănh xÔ liản tửc giỳa hai khæng gian tæpæ Khi â ta câ h m tû f tứ phÔm trũ cĂc bõ nhõm abel trản X vo phÔm trũ cĂc bõ nhõm abel trản Y Nõ cho ựng vợi mội bõ M trản X bõ tr¶n Y cho bði h m tû f∗ F (UY ) = F (UX ) vợi mồi têp m UY cừa Y v têp m UX l tÔo Ênh cừa UY X H m tû n y l mët bâ v¼ kim tra tẵnh dĂn ữủc cừa fF trản mởt phõ {UY,i} cõa mët tªp mð UY , ta qui và viằc kim tra tẵnh dĂn ữủc cừa F trản tÔo Ênh UX cừa UY v phừ m {UX,i} cho bi tÔo Ênh UX,i cừa UY,i Hm tỷ f l hamg tỷ trữỡng hủp riảng Y l mët iºm M»nh · 45 hi»u l Ri f∗ H m tû f∗ l h m tû khỵp tr¡i Nâ câ cĂc hm tỷ dăn xuĐt kỵ 13.2 ối ỗng iÃu cừa bõ tỹa nhĐt quĂn Cho X l mởt lữủc ỗ v M l mởt bõ O-mo un tỹa nhĐt quĂn trản X ta nh nghắa Hi (X, M ) nhữ phĐn trữợc ch coi X nhữ mồt khổng gian tổpổ v M nhữ mởt bõ nhõm abel trản X Tuy vêy, viằc tẵnh toĂn cử th cĂc nhõm ối ỗng iÃu Hi (X, M ) vợi M l bõ tỹa nhĐt quĂn thẳ cõ nhỳng c thũ riảng M»nh · 46 Cho X = Spec(A) l mët l÷đc dỗ aphin Khi õ vợi mồi bõ tỹa nhĐt quĂn M ữ trản Spec(A) ta cõ Hi (X, M ) = vợi mồi i %" CHìèNG 13 ẩI ầNG IU TRN TặPặ ZARISKI Mửc lửc I Ôi số Sỡ lữủc và Ôi số giao ho¡n 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 V nh giao ho¡n Mo un tr¶n mët v nh I ¶an, i ¶an nguy¶n tè v phê T½ch tenxì àa ph÷ìng ho¡ v vnh a phữỡng Mo un trản mởt vnh a phữỡng Vnh Noether v Ôi số dÔng hỳu hÔn PhÔm trũ, hm tỷ v cĐu xÔ giỳa cĂc hm tỷ PhÔm trũ ối nh lỵ Yoneda Vẵ dử hm tỷ biu diạn ÷đc Giợi hÔn quy nÔp v giợi hÔn xÔ Ênh Tẵch theo thợ Sỡ lữủc và lỵ thuyát phÔm trũ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Sỡ lữủc và Ôi số ỗng iÃu 3.1 3.2 3.3 3.4 PhÔm trũ cĂc mo un trản mởt vnh PhÔm trũ abel D¢y khỵp v h m tû khỵp Phực, phực giÊi v hm tỷ dăn xuĐt 9 11 11 13 14 17 19 21 21 24 24 26 26 28 31 31 34 37 40 II Lữủc ỗ 45 Lữủc ỗ aphin 49 175 176 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 MệC LệC Têp Ôi số PhÔm trũ ối cừa phÔm trũ cĂc vnh Khæng gian tæpæ Spec(A) Bâ c§u tróc Thỵ cõa bâ v thợ cừa bõ cĐu trúc CĐu xÔ giỳa hai lữủc ỗ aphin inh nghắa lữủc ỗ bơng cĂch dĂn cĂc lữủc ỗ aphin Vẵ dử : xƠy dỹng ữớng thng xÔ Ênh D¡n tr÷ìng hüp têng qu¡t CĐu xÔ giỳa hai lữủc ỗ iºm : têng qu¡t ho¡ v °c bi»t ho¡ Nhóng mð v lữủc ỗ m Nhóng âng v lữủc ỗ õng Tẵch theo thợ cừa lữủc ỗ v thợ cừa cĐu xÔ CĐu xÔ ữớng cho Lữủc ỗ v cĐu xÔ 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 III Bâ mo un Bâ OX -mo un nh§t qu¡n v tüa nh§t qu¡n D¡n bâ tüa nh§t qu¡n Vẵ dử bõ nhĐt quĂn trản ữớng thng xÔ Ênh PhÔm trũ abel cĂc bõ (tüa) nh§t qu¡n nh xi nh ng÷đc Bâ tü àa ph÷ìng H m c§p cõa mët bâ nh§t qu¡n Mo un vi ph¥n 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 im vổ gƯn cĐp mët Mo un èi chu©n Mo un vi phƠn tữỡng ối Thợ cừa A/k cĂc k- im Hai dÂy khợp cỡ bÊn Ma trªn Jacobi 67 67 68 69 69 70 73 75 76 78 83 Bâ OX -mæ un 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 49 55 56 59 63 64 85 85 86 90 91 92 95 96 97 103 103 105 106 109 110 115 177 MƯC LƯC 7.7 Ph¦n mð trìn cừa mổt a tÔp Ôi số 116 IV Chi·u v chu©n hâa 119 Chi·u 121 8.1 CĐu xÔ hỳu hÔn v chiÃu Krull 121 8.2 Bêc siảu viằt v bê · chu©n hâa Noether 125 8.3 C§p tờng quĂt cừa bõ vi phƠn tữỡng ối 126 Chuân hõa 129 V Hẳnh hồc xÔ Ênh 133 9.1 V nh âng nguy¶n 129 10 Khổng gian xÔ Ênh 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 Têp cĂc siảu phng I ảan phƠn bêc cừa vnh a thực PhƠn thợ ữớng thng O(d) trản Pnk Bâ O-mo un tr¶n Pnk DÂy khợp Euler 11 C§u xÔ vo khổng gian xÔ Ênh 11.1 H m tû biºu diạn bi khổng gian xÔ Ênh 11.2 Proj cừa mởt vnh phƠn bêc v nờ 11.3 Ch tiảu nhúng xÔ Ênh 11.4 PhƠn thợ ữớng thng giu v r§t gi u 135 135 136 142 144 149 151 151 154 158 160 12 Hằ tuyán tẵnh v ữợc 163 VI ối ỗng iÃu 169 12.1 Hằ tuyán tẵnh 163 12.2 nh lỵ Bertini 165 12.3 ìợc Weil v ữợc Cartier 165 13 ối ỗng iÃu trản tổpổ Zariski 171 13.1 Hm tỷ dăn xuĐt cừa h m tû Γ 171 178 MệC LệC 13.2 ối ỗng iÃu cừa bõ tüa nh§t qu¡n 173