MỘT số yếu tố HỈNH học đại só TRONG đại số sơ cấp

21 LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC Mục lục .1 Hình học đại số môn đời từ kỷ 19 vào cuối kỷ 19 hình học đại số phát triển mạnh mẽ Italy với tên tuổi Castelnouvo, Lời nói đầu Zariski học trò ông Hình học đại số môn toán học dùng công CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm điều người ta dùng phương trình đa thức đế mô tả hình học quy vấn đề hình học việc Phần Các kiến thức hình học đại số nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức Qua trình giảng dạy học tập chuyên ngành Hình học đại số, thấy Hình học đại số Phần liên Tổnghệquan chương trình đại sơ cấp trongđược toán hiểu phổ thông 24 có mối với toán phổ thông Vớisốmong muốn sâu mối quan hệ HìnhSỐhọc đạiTỐsốHÌNH Đại số ĐẠI sơ cấp, sựĐẠI hướng dẫn PGS.TS CHƯƠNG II : MỌT YÉU HỌC SỐ TRONG SỐ sơ CẤP Nguyễn Huỳnh Phán , chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HỈNH HỌC ĐẠI SÓ TRONG ĐẠI SỐ sơ CẤP” để làm đề tài luận văn tốt nghiệp Luận văn chia làm hai chương: CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, trình bày định nghĩa tính chất vành giao hoán, tập đại số, iđêan, cấu xạ tôpô Zariski nội dung Đại số sơ cấp toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ Sơ CẤP Trong chương này, trình bày yếu tố hình học đại số đại số sơ cấp gồm nội dung như: Tập đại số đại số sơ cấp, cấu xạ, ánh xạ trình công tác học tập Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Vinh giảng dạy hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đê luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! CHƯƠNG I MỘT SÓ KIÉN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN CÁC KIÉN THỨC VÈ HÌNH HỌC ĐẠI SÓ Trong chương này, trình bày kiến thức hình học đại số : Tập đại số, idean, idean nguyên tố tập bất khả quy, cấu xạ tính chất chúng Nhiều tính chất chứng minh chi tiết mà tài liệu tham khảo chứng minh sơ lược không chứng minh 1.1 VÀNH ĐA THỨC 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hoán có đơn vị n số nguyên không âm Vành đa thức A[ Xi, x2, , xn] n biến Xi, x2, , xn A định nghĩa theo quy nạp sau: ] := A[ xb x2, , xn_i][xn] , , xn] vành đa thức biến xn vành A[ Xi,x2, ,xn_i] Ký hiệu: A[X] = A[ Xi, x2, , xn] Khi A[X] vành giao hoán có đơn vị với phép cộng phép nhân đa thức thông thường Các phần tử A[X] gọi đa thức, đa thức f e A[X] có dạng f = V c KVi vrzỉ „ e A.Các phần tử Cr gọi hệ số + rn > Si + s2 + + sn + rn = Si + s2 + + sn tọa độ khác không véctơ (ri - Si, r2 - s2 , , rn - sn ) dương 1.1.2 Mênh đề Nen A miền nguyên degfg = degf + degg với đa thức / g E A[X] Mọi đơn thức fg có dạng uv với u đơn thức f V đơn thức g Gọi Umax, vmax đơn thức bậc lớn f, g theo thứ tự nêu Vói u £ Umax V £ Vmax ta có uv < UmaxVmax, uv UmaxVmax- Gọi c, d E A hệ số tương ứng Umax, Vmax- Vì c, d ^ nên cd ± Khi cdumaxvmax hạng tử fg Do đó: deguv < degllmaxVmax = degUmax + degVmax = degf + degg Vậy degfg = degf + degg 1.1.3 Mệnh đề NeuA miền nguyên A[X] miền nguyên phần tử khả nghịch củaA[X] phần tử khả nghịch A Chứng minh Giả sử f, g đa thức khác A[X] Khi degf degg >0 nên degfg > fg Vì A[X] miền nguyên Tiếp theo, fg = degfg = degf+degg = 0, suy degf = degg = 0; f, g phần tử khác A Vì f, g phần tử khả nghịch A 76 n K; a h-» f(a), gọi Mọi điểm a = (ai, a2, , an) tập đại số a nghiệm ánh xạ2/đa thức hệ phương trình: 1.1.6 Bố đề Giả sử K trường có vô hạn phần tử Neu f(a) = với - «! = Va GỈ? thìf= Chứng minh +) Neu n = f đa thức biến nên í’là đa thức bậc d > f có hữu hạn nghiệm điều mẫu thuẫn với f(a) = 0, Va G Kn +) Neu n > 1, giả sử f chứa biến Xn ta viết f dạng: Trong hạng ma trận hệ phương trình tuyến tính n - m n - m < p < n t = f0 + xnti + xn2t2 + .+ xnmtni 5/Tập tất số thực m1 tất số phức Đăc biệt degf = Z(f) gọi siêu phang Ta tính Z(f) số trường hợp cụ b) Ví du Trong vành đa thức K[x, y], cho f = X3 - y, Z(f) = { (a, a3) I a € ■ ) G V Từ suy Z(f) c: V Vậy ta có V = Z(f) 1.2.4 Tâp Zariski a) Đinh nghĩa: Cho s tập K[X], kí hiệu Z(S) = {a G Kn : f(a) = 0, Vf e S}; Vậy Z(5) = f\fesZ(f) Z(S) tập đại số tập đại số giao tập dạng Z(f), ta nói Z(S) tập đợi so tập đa thức s gọi tập Zariski tập s b) Nhận xét 1/ Khi n = đa thức bậc dương có hữu hạn nghiệm nên tập đại số K tập hữu hạn Ngược lại tập hữu hạn K tập )cZ(S) ĐặtS =ffg\fes h g es2 } có: Chứng minh Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a E Z(Si) u Z(S2) [asZ Z(S) Lấy phần tử tùy ý a E Z(S) Khi (fg)(a) = f(a)g(a) = với Vf E Si a € Z(sn K trường nên a € Z(S 2) Lg(a) = 0’ => a E Z(Si) KJ Z(S2) (2) Vậy Z(Si) u Z(S2) Z(S) nie/Z(S0=z(uie/50 Chứng minh Lấy phần tử tùy ý a E Hieí £(5*) đó: a E Z(Si) với Vi E I f(a) = với Vf E Si, Vi E I f(a) = với Vỉ E uieiSị Vậy nítl.z(5í)=z(uifiyí) e) Bổ đề Cho s Q K[X] T QK[YJ hai hệ đa thức tùy ỷ Nếu ta coi SUT 10 Chứng minh Giả sử a e Kn b G Km Khi (a, b) nghiệm s u T chi a nghiệm s b nghiệm T Điều chứng tỏ Z(S)xZ(T) = Z(SuT) 1.2.5 Nhận xét Từ kết ta tóm tắt lại sau: 1/ tập đại số tập đại số 3/ Họp hai tập đại số tập đại số 4/ Giao họ tập đại số tập đại số 5/ Tích hai tập đại số tập đại số 6/ Tương ứng Z: K[X] —» Kn, cho s f—>• Z(S) ánh xạ từ họ tất tập vành đa thức K[X] đến họ tất tập không gian afin Kn s 7/Nếu Sỉ a Z(Sỉ) c Z(S ); 8/1(0) =K n ; 11 Thật vậy, tập mở Kn phần bù tập đại số Z(S) Do Z(S) = nf s S ZỰ) nên u = Kn \ n f t S ZỰ) =U^s(Kn\ Z(Ọ) => =u fes D(0 (đpcm) 2/ Khi K =R, c (trường sổ thực, trường sổ phức), tập đợi sổ R", cn với tôpô thông thường R“, cn tập đóng Z(S) =n ánh xạ ngược ánh xạ đa thức f (liên tục) {0} tập đóng K 3/ Hai tập mở (với tôpô Zarỉski Kn) không rỗng Kn giao nhau; Chứng minh: Mỗi tập mở hợp tập mở sở D(f), nên ta cần chứng minh D(f)(1D(g) 3= ổvới D(f) D(g) không rỗng Thật vậy, D(t)DD(g) = Kn \ Z(t) UZ(g) = Kn \Z(fg) Nhưng D(f), D(g) khác rỗng nên Z(ĩ) Z(g) khác Kn, f g khác 0, fg * Nên Z(fg) * Kn =* D(í) n D(g) * 4/ Mọi tập mở Zariski không rỗng ỉà tập trù mật (đoi với tòpo larỉskỉ); 5/ Không gian ạfìn Kn với tôpỏ Zariski không gian Hausđorịỵ Ket luận 4/ 5/ suy từ 3/ Z(S) tập mở khác rỗng tập mơ khác rỗng khác giao với nó, lân cận diêm K n giao khác rỗng với Z(S), nghĩa Z(S) tập trù mật Kn 12 (S): = { hifi + h2f2 + + hrfr; hi, h2, , hr G S; fi, f2 fr € A } idean bé chứa s, gọi idean sinh s 1.3.3 Mệnh đề Cho I, J iđêan vành A, ta có: 1/1+J := {f+g\ fEỈ,Q€ Ị) iđêan nhỏ chứa J; 2/ ỈCJ := {fs Ị rà f€ /} iđêan; ì) +GỈ + 9z) - ựi + /2) +(#1 + 9-i) € Ỉ+Ju v=/ 1fz + f g + Ổ1/2 + #lổ2 - /i Ữ + 52)+ t fiO Ỉ+ ^a ) J nên f2 e /4, #2 04 => /2 + 02 =* /l c/z +Ổ2 ) € A ỔLƠ2 + ổz) E /+J => h(f+g) = hf + hg E /+J 23 Trong phần này, trình bày khái niên tính chất vành toạ độ 1.4.1 Định nghĩa Cho V d Kn, hàm F : V —> K gọi hàm đa thức tồn đa thức f cho F = f|V, nghĩa F(a) = f(a) với a E V • Chú ý Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa độ, đổi tọa độ, tính “đa thức” F bảo tồn •Ví dụ Vành tọa độ d - phang đắng cấu với vành đa thức d - biến 1.4.2 Định nghĩa Ký hiệu K[V] tập hợp tất hàm đa thức V Do tổng tích hàm đa thức lại hàm đa thức nên K[V] vành giao hoán, có đơn vị hàm f = Ta gọi K[V] vành tọa độ V •Ví dụ Khi V = {a} tập điểm hàm đa thức hàm Vì vậy, vành đa thức tập điểm trường K Một hàm đa thức cho nhiều đa thức khác Tuy nhiên, fịy = g y suy f - g GI, nên ta có khái niệm sau: 1.4.3 tìịnh nghĩa Cho I iđêan thực vành A f, g £ A Ta nói/ đồng dư với g I f - g £ I 24 J=jfe A; f+I eQ} Vì tương ứng: J —^ J/I cho tương ứng 1-1 iđêan chứa I với iđêan A/I, nên có thê quy việc nghiên cứu iđêan A chứa iđêan I việc nghiên cứu iđêan A/I = (M)/(J/I) (p: A A/I (p = 7t'°7z toàn cấu (vì n, 7ĩ’ toàn cấu) ker ọ = J nên A/J = (p(A) = (A/iyợ/1) PHẦN TỎNG QUAN VÈ CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ sơ CẤP TRONG TOÁN PHÔ THÔNG Trong phần nêu tổng quan số kiến thức sách giáo khoa môn toán lớp 2,3,4,5,6 sách giáo khoa môn đại số lớp đến lớp 12 nhà xuất Giáo dục ban hành từ năm 2007, bao gồm phần sau TẬP HỢP Mỗi tập đại số tập hợp không gian aíìn R n nên cách hiển nhiên nhiều yếu tố hình học đại số có mặt khái niệm tập hợp toán phổ thông 25 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trình bày sách giáo khoa toán 2,3,4,5,6,7 dạng kiến thức chuẩn bị học thức lớp 8, 9, 10, 11, 12 Trên sở chương trình Đại số sơ cấp toán phổ thông vừa nêu trên, khảo sát yếu tố tập đại số iđêan chúng, ánh xạ liên tục tôpô Zariski thể toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SÓ YÉU TÓ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SÓ sơ CẨP 2.1 Các tập đại số đại số sơ cấp 21.1 Mệnh đê Đường thăng có phương trình ax + by + c = với a, b, c e R ầ + b —ớ tập đại sổ đẳng cấu tôpô Zariski với trục +) Nếu a ^ 0, b = Z(i) = {A(-—,a ) |a e R} +)Nếu ab 3= Z(f) = {A(a, |a e R} bb Vậy đường thăng có phương trình ax + bv + c = với a, b, c e Rvà a + b2 =ÉỚ tập đại sổ +) Ta biết có phép biến đổi atìn =M (x y)v*(x\y')\ íx' = ciị y>c+a^2 y + b^ I y = a2Ịx+a‘2y+bĩ a \ \a\2 26 với det ^ biên đường thăng d thành trục Ox, trục Oy Phép biến đối afin là ánh xạ đa thức ánh xạ aíín ánh xạ đa thức nên phép biến đổi đẳng cấu tôpô Zariski, đường thẳng d đồng phôi Zariski vói trục Ox, trục Oy 2.1.2 Mệnh đề Đồ thị hàm sổ bậc hai y = ax2 + bx + c với a, b, c € R a =?= tập đại số R2 đồng phôi với tập w = Ị(m,m2) me R} Chứng minh.+) Đặt f(x, y) = ax2 + bx - y + c Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y) e R21 f(x, y) = ax2 + bx -y + c = 0} * Ta chứng minh (p song ánh (đon ánh, toàn ánh) «2 = >’2 X = y (Trái với giả thiết) =? (Ọ đơn ánh ' (p toàn ánh , tồn x(xi,x2): Xi - y1 - ị-; X2 - ay2 T 2a 27 Khi 9?(XI,X2) = (yi,y2) =* (p song ánh b_ x' (x, y) i-> (x\ y’) LĨ ẠacỊĩ* = ay 4(X Cuối ta nhận thấy cầ K gọi hàm tọa độ Chú ý rằng, Fj 29 2.2.1.3 Mệnh đề F : V —► w ánh xạ đa thức khỉ G°F E K[V] với G E K[W] Chứng minh Giả sử F ánh xạ đa thức vàG e K[W] Lấy đa thức m biến g cho G = g|v Khi (GoF)(a) = G(F(a)) = g(Fi(a), F2(a), , Fm(a)) = g(Fb F2, ., Fm)(a) với a fc V, suy GoF = g(Fi, F2, , Fm) , Fm E K[V] nên g(Fb F2, , Fm) G K[X] GoF E K[V] Đảo lại, giả sử GoF e K[V] với G E K[W] Khi Fi = pi °F E K[V] với = , , m nên F ánh xạ đa thức 2.2.1.4 Nhận xét Mỗi ánh xạ đa thức F : V —> w cảm sinh ánh xạ F* : K[W] -> K[V] cho F*(G): = GoF Rõ ràng F đồng cấu vành G, H G K[W] ta có F*(G + H) =(G + H)oF = G o F + H o F = F*(G) + F*(H) F*(G.H) = (G.H)oF = (GoF).(HoF) = F*(G) F*(H) 2.2.1.5 Ví dụ 30 Mối quan hệ F F* cho tirơng ứng - ánh xạ đa thức từ V vào w với đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau 2.2.1.8 Định lý Với đồng cẩu vành ọ: K[W] —> KỊT tồn ánh xạ đa thức F: V —> w cho F = (p Cho ánh xạ đa thức F : V —> K11 với Fi = (pipi) Với đa thức m biếng ta có : goF = g(Fi, F2, , Fm) = ợ>(g(pb p2, , Pm)) = (g,w)- Ta coi ánh xạ F : V —» w ánh xạ từ V lên F(V) F ánh xạ đa thức F(V) tập đại số Tuy nhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) F(V) coi F ánh xạ đa thức từ Viên F(V) 31 1/ Mọi phép biến đổi afin hay gọi phép biến đổi tọa độ Kn (K R C) đẳng cấu đa thức 2/ Cho F : V = Z((x-1)2 - y) —> K1 phép chiếu lên trục Ox, F đăng cấu đa thức F ” !(a) = (a, (a-1 )2) F_1 ánh xạ đa thức Vì parabol y = (xl)2 đồng phôi với đường thẳng (với tir cách hai không gian tôpô Zariski) Tương tự ta có đường thẳng (d) : ax +by +c =0 Parabol (P) V = ax2+bx+c đồng phôi với 2.2.1.12 Chú ý Có ánh xạ đa thức tồn ánh xạ ngược ánh xạ ngược ánh xạ đa thức 2.2.1.13 Ví dụ Ánh xạ đa thức F : K1 —> w = Z(x2 - y3) cho F(a) = (a3, a2) có ánh xạ ngược F_1 : w = Z(x2 - y3) —> K1 cho F_1(a3, a2 ) = a Nhưng F_1 ánh xạ đa thức Bởi trái lại tồn đa thức g ■ F cho ta tương ứng 1-1 đẳng cấu đa thức từ V đến w với đẳng cấu vành K[W] vào K[V] qua định lý sau 2.2.1.14 tìịnhỉý Ánh xạ đa thức F: V —>■ thức F đắng cấu vành w ỉà đăng cấu đa 32 1/ Cho F phép chiếu từ V = Z(x2 - y) lên trục Ox Do F = x|v nên F (g) = g(x|v) với g E K[x] Ta biết K[V] = K[x] x|v —»x Do coi F ánh xạ đồng K[x] nên F đẳng cấu đa thức 2/ Đường cong V = Z(x3 - y2) [...]... kiến thức chuẩn bị và được học chính thức ở lớp 8, 9, 10, 11, 12 Trên cơ sở chương trình Đại số sơ cấp trong toán phổ thông vừa nêu trên, dưới đây chúng tôi sẽ khảo sát các yếu tố về tập đại số và iđêan của chúng, ánh xạ liên tục trên tôpô Zariski được thể hiện trong toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SÓ YÉU TÓ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SÓ sơ CẨP 2.1 Các tập đại số trong đại số sơ cấp 21.1 Mệnh đê Đường thăng... liệu SURATTEAU (1996), Des Mathhématiciens de tham khảo nêu vắn tắt hoặc không chứng minh A à 2 Trình bày sơ lược các nội dung chính của đại số sơ cấp trong toán phô thông 3 Nêu và chứng minh một số tập đại số trong toán học phổ thông và iđêan của nó Qua đó chúng tôi có thêm một cách mới (hình học đại số) đế nhìn Tác giả luận văn ... 2,3,4,5,6 và sách giáo khoa môn đại số lớp 7 đến lớp 12 do nhà xuất bản Giáo dục ban hành từ năm 2007, nó bao gồm 4 phần chính sau 1 TẬP HỢP Mỗi một tập đại số là một tập hợp trong không gian aíìn R n nên một cách hiển nhiên nhiều yếu tố hình học đại số có mặt trong khái niệm tập hợp của toán phổ thông 25 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình được trình bày trong sách giáo khoa toán 2,3,4,5,6,7... Z(IV) Nghĩa là tập đại số V được xác định hoàn toàn bởi idean ly Vì vậy, I v còn gọi là iđêan được xác định bởi tập đại số V 2/ Các ánh xạ 1 và z trong sơ đồ 9{K[Xị)^ p(K n ) Iv «-V=Z(Iv) thu hẹp trên họ j£(Kn) tất cả các tập đại số trong Kn là hai ánh xạ ngược nhau Nói cách khác, trong sơ đồ sau, z 3 Iml iZ(Kn) I là các song ánh ngược nhau Do đó có thể chuyển việc nghiên cứu các tập đại số sang nghiên... iđêan chứa I với các iđêan trong A/I, nên có thê quy việc nghiên cứu các iđêan trong A chứa iđêan I về việc nghiên cứu các iđêan trong A/I = (M)/(J/I) (p: A A/I (p = 7t'°7z là toàn cấu (vì n, 7ĩ’ là các toàn cấu) và ker ọ = J nên A/J = (p(A) = (A/iyợ/1) PHẦN 2 TỎNG QUAN VÈ CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ sơ CẤP TRONG TOÁN PHÔ THÔNG Trong phần này chúng tôi nêu tổng quan một số kiến thức trong sách giáo khoa môn... quả Neu Vlà tập đại sổ thì V = Z(ly) Chứng minh Do V là tập đại số nên V = V Theo bô đề 3.1.13 thì V = Z(Iy) Từ đó suy ra V = Z(Iy) (đpcm) 1.3.17 Bổ đề Cho V và w ỉà hai tập điểm tùy ỷ trong Kn Khi đó VxW=V xw Chứng minh Ta có: T - Z(Iy), w = Z(I1y) nên V , w là các tập đại số Vì thế V xW là tập đại số, suy ra V X w = Z(Ivxw) 20 Kết luận: V X w=v X w 1.3.18 Nhận xét 1/ Nếu V là tập đại số thì V = V và... quy a) Định nghĩa Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được 22 1/ Tập 1 điểm là tập đại số bất khả quy vì nó chỉ có 1 tập đại số nhỏ hơn là tập rỗng là tập bất quy vì nếu nó là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao của 2 tập mở là phần bù tương ứng phải là tập rỗng, nhưng điều này là không thể vì 2 tập mở thực sự Zariski luôn giao nhau Ta sẽ thấy khái niệm đại số tương ứng của tập... đại sổ trong R, vì nó không phải là nghiệm của đa thức 2.1.6 Nhận xét Một tập họp số là tập đại số khi nó là tập rỗng hoặc tập R, hoặc là một tập hữu hạn 28 Chứng minh Tập w = ( A(x,y) e R| f(x, y) = sinx - y }không là nghiệm của bất kỳ đa thức nào cả vì y= sinx = X- — +— - + - — + 0(x2n+1) 3 5; rương tự với hàm số y=cosx và y = tanx, y=cotx 2.1.8 Mệnh để tì ồ thị các hàm y= ỉnx không là tập đại. .. iđêan I v dạng { Iv I V £ Kn là tập đại số } lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với tôpô Zariski trong Kn Do đó cần nghiên cứu kỹ các iđêan dạng ly 3/ Trong sơ đồ trên, Im I gồm những idean căn Nhưng có những ìdean căn của K[X] không thuộc Im I.De thấy điều này, ta lấy KỊX] có idean I A K[X] vô nghiệm Khi đó Vĩ cũng vô nghiệm Neu Vĩ = ly là idean của tập đại số V nào đó thì phải có V = Z(IV) = ệ... của = Z(f) tập =đại {(a ,số trong đại sổ sơ cấp 2.3.1 a - - ) e R[x,y],ae R} nên nếu Mệnh đề Đường thắng có phương trình ax + hy + c = 0 với a, b, c E R và a2 + b2 y= 0 Khi đó iđêan của táp đai số V— Z(f) = {(ơ - — a - —b)be R 2 , b b ) = v ( a ) = 0 = ^ v ( a ) = 0 , vek[x] với V a thuôc tâp O L e R Ị l à l y = (ax + b y + c) = {(ax + b y + c ) f \ f ... xét Từ kết ta tóm tắt lại sau: 1/ tập đại số tập đại số 3/ Họp hai tập đại số tập đại số 4/ Giao họ tập đại số tập đại số 5/ Tích hai tập đại số tập đại số 6/ Tương ứng Z: K[X] —» Kn, cho s f—>•... thông CHƯƠNG II MỘT SÓ YÉU TÓ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SÓ sơ CẨP 2.1 Các tập đại số đại số sơ cấp 21.1 Mệnh đê Đường thăng có phương trình ax + by + c = với a, b, c e R ầ + b —ớ tập đại sổ đẳng... tắt không chứng minh A Trình bày sơ lược nội dung đại số sơ cấp toán phô thông Nêu chứng minh số tập đại số toán học phổ thông iđêan Qua có thêm cách (hình học đại số) đế nhìn Tác giả luận văn