Giao trinh hinh hoc dai so tinh toan da lat

M°c dò t½nh giao hai ideal khâ hìn t½nh t½ch cõa chóng, nh÷ng câ lñi iºm khi t½nh radican: t½ch hai ideal radican khæng ph£i mët ideal radican nh÷ng giao cõa hai ideal radican l  mët ide[r]

HœNH HÅC „I SÈ TNH TON 1

PhÔm Tián Sỡn

Mửc lửc

1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n

1.1 a thùc v  khæng gian affine

1.2 a tÔp affine

1.3 Tham số hõa cĂc a tÔp affine

1.4 ideal 12

1.5 a thùc mët bi¸n 16

1.6 PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy v k¸t thùc 19

1.6.1 a thùc bĐt khÊ quy 19

1.6.2 Kát thực 20

2 Tứ in Ôi số-Hẳnh hồc 25 2.1 nh lỵ Hilbert và cỡ s 25

2.2 nh lỵ khổng im cõa Hilbert 27

2.3 ideal radical v tữỡng ựng ideal-a tÔp 30

2.4.1 Têng c¡c ideal 35

2.4.2 T½ch c¡c ideal 35

2.4.3 Giao c¡c ideal 36

2.5 Bao âng Zariski v  th÷ìng cõa c¡c ideal 39

2.6 a tÔp bĐt khÊ quy v  c¡c ideal nguy¶n tè 43

2.7 PhƠn tẵch a tÔp thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy 48

2.8 PhƠn tẵch nguy¶n cõa c¡c ideal 53

3 a thực v hm hỳu t trản a tÔp 57 3.1 nh xÔ a thực 57

3.2 Th÷ìng cõa c¡c v nh a thùc 61

3.3 V nh tåa ë 67

3.4 Hm hỳu t trản a tÔp 74

4 Hẳnh hồc Ôi số xÔ Ênh 83 4.1 Khổng gian xÔ Ênh 83

4.2 Tứ in Ôi số-hẳnh hồc xÔ Ênh 91

4.3 Bao õng xÔ Ênh cừa mởt a tÔp affine 97

4.4 Hẳnh hồc cừa cĂc siảu mt bêc hai 101

4.5 nh lỵ Bzout 107

5.1 H m Hilbert v  chiÃu cừa a tÔp 113

5.1.1 ChiÃu cừa a tÔp affine 114

5.1.2 ChiÃu cừa a tÔp xÔ Ênh 115

5.2 CĂc tẵnh chĐt 120

5.3 ChiÃu v phử thuởc Ôi số 125

5.4 Khỉng gian ti¸p xóc 129

5.5 Nân ti¸p xóc 135

A Ph¦n phư lưc 143 A.1 Nhâm 143

A.2 V nh 144

A.3 Tr֒ng 145

A.4 ành thùc 146

Ch֓ng 1

C¡c kh¡i ni»m cì b£n

Chữỡng ny trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn ữủc sỷ dửng giĂo trẳnh ối tữủng quan tƠm chẵnh l cĂc a tÔp affine (bao gỗm cĂc ữớng cong v cĂc mt cong) CĂc a tÔp ny xĂc nh bi cĂc phữỡng trẳnh a thực tẳm hiu cĂc a tÔp affine ta cƯn nghiản cựu cĂc ideal v nh a thùck[x1, x2, , xn]

1.1 a thùc v  khæng gian affine

Cho k l mởt trữớng

nh nghắa 1.1.1 ỡn thùc theo c¡c bi¸n x1, x2, , xn l biu thực cõ dÔng

x1

1 x

α2

2 x

αn

n ,

trong â c¡c lôy thøa α1, α2, , αn l  c¡c sè nguyản khổng Ơm Số nguyản

1+2 +Ã Ã Ã+n

ỡn giÊn, ta thữớng viát

α := (α1, α2, , αn), |α| := α1 +α2+· · ·+αn,

xα := xα1

1 x

α2

2 x

αn

n

ành ngh¾a 1.1.2 a thùcf theo c¡c bi¸n x1, x2, , xn vỵi c¡c h» sè k l  mët tờ hủp tuyán tẵnh hỳu hÔn cĂc ỡn thực vợi c¡c h» sè k;tùc l 

f =X

α∈Λ

aαxα, aα ∈k,

trong âΛl  tªp hỳu hÔn cừa têpNn.Kỵ hiằu k[x

1, x2, , xn]l têp tĐt cÊ cĂc a thực theo c¡c bi¸n x1, x2, , xn vợi cĂc hằ số k

Chú ỵ 1.1.3 Khi số bián l1,2v 3ta s kỵ hiằu mởt cĂch ìn gi£n l  k[x], k[x, y]v  k[x, y, z] Ch¯ng hÔn,

f(x, y, z) = 2x3yz2+y3z3

3xyz

l  mët a thùc v nh Q[x, y, z]

ành ngh¾a 1.1.4 Gi£ sû f :=P

α∈Λaαx

α l  a thùc trongk[x

1, x2, , xn] (i) aα gåi l  h» sè cừa ỡn thựcx

(ii) Náu a 6= thẳ aαxα gåi l  mët tø cõa f

(iii) Bªc cừa f, kỵ hiằu degf, l số nguyản lợn nhĐt||sao cho aα 6= V½ dư 1.1.5 Gi£ sûf(x, y, z) := 2x3y2z+5xy3+7xyz+9z3 ∈

Q[x, y, z].Ta câdegf =

Chú ỵ 1.1.6 Hin nhiản tờng v tẵch cõa hai a thùc l  mët a thùc Ta nâi a thùc

g chia h¸t cho a thùc f náu tỗn tÔi a thực hk[x1, x2, , xn] cho g =f·h D¹ d ng chùng minh k[x1, x2, , xn] vỵi c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n hai a thùc l  mët v nh giao hoĂn Vẳ lỵ ny m ta thữớng nõik[x1, x2, , xn] l  v nh a thùc nh nghắa 1.1.7 Chok l mởt trữớng v n l số nguyản dữỡng Têp hủp

Khi n= ta gåi k1 l  ÷íng th¯ng affine; khin = ta gåi k2 l  m°t ph¯ng affine

Méi a thùc f :=P

αcαxα ∈k[x1, x2, , xn]x¡c ành mët h m sè

f: kn→k, (a1, a2, , an)7→

X

α

cαaα11a

α2

2 aαnn

M»nh · 1.1.8 Gi£ sû tr÷íngkcâ vỉ hÔn phƯn tỷ Khi õ f = trongk[x1, x2, , xn] n¸u v  ch¿ n¸u h m số f: knk ỗng nhĐt khổng.

Hằ quÊ 1.1.9 GiÊ sỷ trữớng k cõ vổ hÔn phƯn tỷ Khi â f =g k[x1, x2, , xn] n¸u v  ch¿ n¸u c¡c h m f, g: kn→k trũng

Cuối cũng, mởt tẵnh chĐt c biằt cừa cĂc a thực trản trữớng số phực C l:

nh lỵ 1.1.10 GiÊ sỷ f l a thực mởt bián khĂc hơng trản trữớng số phực C Khi

õ tỗn tÔi ẵt nhĐt aC cho f(a) =

nh nghắa 1.1.11 Trữớngk gồi l õng Ôi số náu mồi a thực khĂc hơng trongk[x]

cõ mởt nghiằm thuởck

Vẵ dử 1.1.12 Trữớng cĂc số thỹc R khổng õng Ôi số vẳ a thực x2 + khỉng câ

nghi»m R Tr÷íng cĂc số phựcC l õng Ôi số

Bi têp

1 Cho pl  sè nguy¶n tè Tr¶n Zx²t quan h» ≡

m≡n mod p

n¸u v  ch¿ n¸u m−n chia h¸t cho p

(a) Chùng minh quan hằl quan hằ tữỡng ữỡng Kỵ hiằuFp l têp tĐt cÊ cĂc lợp tữỡng ữỡng Chựng minh Fp gỗm óng p ph¦n tû

(b) Chùng minh Fp\ {0} l mởt nhõm ối vợi php nhƠn (c) Chựng minh ap−1 = 1 vỵi måi a∈

(e) T¼m a thùc kh¡c khỉng f ∈ Fp[x] cho f bơng khổng tÔi mồi im cừa

Fp

2 Chùng minh n¸u f ∈C[x1, x2, , xn] bơng khổng trản Zn thẳ f Gi£ sû f ∈C[x1, x2, , xn] v  M := degx1f °t

ZnM+1 :={(x1, x2, , xn)∈Zn | 1≤xi ≤M + 1} Chựng minh náu f bơng khổng trản Zn

M+1 thẳ f

1.2 a tÔp affine

nh nghắa 1.2.1 GiÊ sỷk l mởt trữớng vf1, f2, , fs∈k[x1, x2, , xn].Tªp hñp

V(f1, f2, , fs) := {(a1, a2, , an)∈kn | fi(a1, a2, , an) = 0, i= 1,2, , s} gồi l a tÔp affine xĂc ành bði f1, f2, , fs

Vẵ dử 1.2.2 (i) TrongR2 a tÔp affine V(x2+y21)l ữớng trỏn tƠm tÔi gốc tồa

ở bĂn kẵnh ỡn v

(ii) ỗ th cừa a thực f l mởt a tÔp affine

(iii) a tÔp affine V(yx2, zx3)l ữớng cong bêc ba

R3

(iv) Têp cĂc nghiằm cừa hằ cĂc phữỡng trẳnh tuyán tẵnh

a11x1+· · ·+a1nxn = b1,

a21x1+· · ·+a2nxn = b2,

= am1x1+· · ·+amnxn = bm l mởt a tÔp affine kn (gồi l a tÔp tuyán tẵnh)

Bờ Ã 1.2.3 GiÊ sỷ V, W kn l cĂc a tÔp affine Khi â V ∪W v  V ∩W l  c¡c a tÔp affine

Vẵ dử 1.2.4 Ta cõ

B i tªp

1 Trong R2,v³ c¡c a tÔp affine

(a) V(x2+ 4y2+ 2x16y+ 1).

(b) V(x2−y2).

(c) V(2x+y−1,3x−y+ 2)

(d) V(y2−x(x−1)(x−2))

2 Trong R2,v³ h¼nh £nh minh håa

V(x2+y2−4)∩V(xy−1) = V(x2+y2−4, xy1)

3 Trong R3,v cĂc a tÔp affine

(a) V(x2+y2+z2−1)

(b) V(x2+y2−1).

(c) V(x+ 2, y −1.5z)

(d) V(xz2−xy).

(e) V(x2+y2+z2−1, x2+y2+ (z−1)2−1).

4 B i tªp n y chùng minh måi tªp húu hÔn phƯn tỷ cừa kn l a tÔp affine. (a) Chựng minh têp gỗm mởt im (p1, p2, , pn)kn l mởt a tÔp affine (b) Chựng minh mồi têp hỳu hÔn phƯn tỷ cừa kn l a tÔp affine

5 Chựng minh têp

{(x, x)R2 | x6= 1}

khổng phÊi a tÔp affine R2

6 Chùng minh tªp

{(x, y)R2 | y6= 0}

khổng phÊi a tÔp affine R2

8 Chùng minh hñp, giao hỳu hÔn cĂc a tÔp affine l a tÔp affine

9 Cho v½ dư chùng tä hđp tịy ỵ cĂc a tÔp affine khổng phÊi a tÔp affine 10 Cho vẵ dử chựng tọ hiằu hai a tÔp affine khổng phÊi a tÔp affine

11 Cho V km v W kn l cĂc a tÔp affine Chựng minh tẵch Descartes V ìW

l mởt a tÔp affine

1.3 Tham số hõa cĂc a tÔp affine

Trữợc hát ta bưt Ưu vợi mởt vi vẵ dử Vẵ dử 1.3.1 TrongR3 xt hằ cĂc phữỡng tr¼nh

x+y+z = 1, + 2y−z =

Têp cĂc nghiằm cừa hằ trản l mởt ữớng th¯ng ÷đc cho bði

z = t,

x = −1−2t, z = + 2t,

vỵi tham sèt ∈R; ta gåi biºu di¹n n y l  ph²p tham số hõa cừa têp nghiằm ban Ưu

Vẵ dử 1.3.2 Ta biát rơng ữớng trongV(x2+y21)

R2 cõ tham sè hâa

x = 1−t

2

1 +t2,

y = 2t

1 +t2,

vỵi t R Chú ỵ rơng x = 11+tt22 vợi måi t n¶n iºm (−1,0) khỉng thc £nh cõa ph²p

tham sè n y

ành ngh¾a 1.3.3 Gi£ sû k l  mët tr÷íng Th÷ìng f /g cõa hai a thùc f, g ∈

vỵi c¡c h» sè k Hai h m húu t¿ f /g v p/q gồi l bơng náu qf = pg k[t1, t2, , tm] Tªp c¡c h m húu t¿ theo c¡c bi¸n t1, t2, , tm vợi cĂc hằ số k kỵ hi»u l k(t1, t2, , tm)

Nhªn x²t 1.3.4 k(t1, t2, , tm) vỵi c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n hai h m húu t¿ l mởt trữớng

Cho a tÔp affine V :=V(f1, f2, , fs)⊂kn Ta nâi h» c¡c phữỡng trẳnh

f1 =f2 =Ã Ã Ã=fs= l biu diạn ân cừa V

GiÊ sỷ r1, r2, , rn ∈ k(t1, t2, , tm) cho c¡c iºm (x1, x2, , xn) x¡c ành bði

x1 = r1(t1, t2, , tm),

x2 = r2(t1, t2, , tm), =

xn = rn(t1, t2, , tm),

thuëcV.Ta nâi r1, r2, , rn l  mët biºu di¹n tham sè hâa húu t¿ cõa a tÔpV Náu cĂc

r1, r2, , rn l  c¡c h m a thùc, ta ÷đc mët tham sè hâa a thùc cõa V V½ dư 1.3.5 a tÔp affine V(x2y2z2+z3) cõ tham số hõa a thực

x = t(u2−t2),

y = u,

z = u2−t2,

trong â c¡c tham sèu, t ∈k

Náu biát biu diạn tham số cừaV ta cõ thº sû dưng m¡y t½nh º v³ nâ M°t kh¡c,

náu biát cĂc phữỡng trẳnh xĂc nhV ta d ng kiºm tra iºm p∈kn câ thuëc V hay

khỉng

• (Tham sè hâa) Måi a tÔp affine cõ mởt tham số hõa hỳu t?

ã Cho trữợc mởt tham số hõa hỳu t biu diạn a tÔp affineV.Cõ th tẳm cĂc phữỡng

trẳnh xĂc nh V?

Vợi cƠu họi thự nhĐt: hƯu hát cĂc a tÔp affine Ãu khổng th tham số hõa hỳu t ữủc CĂc a tÔp nhữ vêy gồi l cĂc a tÔp khổng hỳu t Nõi chung, khõ cõ th biát mởt a tÔp affine l hỳu t hay khổng

Vợi cƠu họi thự hai: cho trữợc mởt biu diạn tham số, ta luổn luổn cõ th tẳm cĂc phữỡng trẳnh xĂc nh

Vẵ dử 1.3.6 X²t biºu di¹n tham sè

x = +t, y = +t2

Dạ thĐy cĂc phữỡng trẳnh tham số ny biu diạn a tÔp affineV(yx2+ 2x+ 2)

Vẵ dử 1.3.7 ữớng trỏn ỡn vx2+y2 = câ biºu di¹n tham sè

x = 1−t

2

1 +t2,

y = 2t

1 +t2

Vẵ dử 1.3.8 a tÔp affine V(yx2, z−x3) câ biºu di¹n tham sè

x = t,

y = t2, z = t3

1 Tham số hõa têp nghiằm cừa hằ cĂc phữỡng trẳnh sau

x+ 2y−2z+w = −1, x+y+z−w =

3 Cho tham sè hâa

x = t

1 +t,

y = 1−

t2

(a) Tẳm a tÔp affine tữỡng ựng tham sè hâa tr¶n

(b) Chùng minh tham sè hâa trản chựa mồi im cừa a tÔp ngoÔi trứ mởt iºm

(1,1)

4 X²t hyperbol x2−y2 =

(a) Chùng minh c¡c iºm

x = cosh(t), y = sinh(t)

thuëc hyperbol x2−y2 = 1. Ph¦n n o cõa hyperbol ÷đc phõ bði tham sè

n y?

(b) Chựng minh ữớng thng bĐt ký cưt hyperbol nhiÃu nhĐt tÔi im

(c) Tẳm mởt tham sè hâa húu t¿ cõa hyperbol

(d) Tham sè hõa phƯn (c) khổng ữủc xĂc nh tÔi úng hai gi¡ tràt Gi£i th½ch

mèi quan h» cõa sỹ kiằn ny vợi cĂc ữớng thng tiằm cên cừa hyperbol Chùng minh câ thº tham sè hâa húu t¿ m°t c¦u x2+y2+z2−1 = khỉng

gian ba chi·u bði

x = 2u

u2+v2+ 1,

y = 2v

u2+v2+ 1,

z = u

2+v2−1

u2+v2+ 1

6 T¼m mët tham sè hâa húu t¿ cõa m°t c¦u (n−1)chi·u x21 +x22+· · ·+x2n =

(a) Chựng minh ữớng thng bĐt ký cưt ữớng congC nhiÃu nhĐt tÔi im

(b) Chựng minh ữớng thngy=mx, m6= 0,cưt C\ {(0,0)}tÔi úng mởt im náu m2 6=c.

(c) Vỵi méi iºm (1, t) ∈ V(x−1) gåi L l  ÷íng th¯ng i qua hai iºm (1, t)

v (0,0) ữớng thng L cưt C tÔi mởt iºm (x, y) V³ h¼nh minh håa v  sû

dưng h¼nh håc chùng minh C câ tham sè hâa húu t¿: x = c−t2,

y = t(c−t2)

1.4 ideal

ành ngh¾a 1.4.1 ChoI ⊂k[x1, x2, , xn] I gåi l  ideal n¸u

(i) 0I

(ii) Náu f, g I thẳ f +g ∈I

(iii) N¸u f ∈I v g ∈k[x1, x2, , xn] thẳ f gI Vẵ dử 1.4.2 (i) Tªp

{xf+y2g | f, g∈k[x, y]} l  mët ideal v nh k[x, y]

(ii) Tªp hđp

{x1f1+x2f2+· · ·+xnfn | f1, f2, , fn∈k[x1, x2, , xn]} l  mët ideal v nh c¡c a thùc k[x1, x2, , xn]

Gi£ sû f1, f2, , fs ∈k[x1, x2, , xn] Kỵ hiằu

hf1, f2, , fsi:=

( s

X

i=1

figi | g1, g2, , gs ∈k[x1, x2, , xn]

)

Dạ thĐyhf1, f2, , fsil mởt ideal k[x1, x2, , xn].Ta gåihf1, f2, , fsil  ideal sinh bði f1, f2, , fs

ideal I ⊂k[x1, x2, , xn]gồi l hỳu hÔn sinh náu tỗn tÔi cĂc a thực f1, f2, , fs cho I =hf1, f2, , fsi; â ta nâi f1, f2, , fs l  mët cì sð cõa I

V½ dư 1.4.3 (i) ideal

{xf+y2g | f, g∈k[x, y]} sinh bði c¡c a thùc x v  y2

(ii) C¡c a thùc x1, x2, , xn tÔo thnh mởt cỡ s cừa ideal

{x1f1+x2f2+Ã · ·+xnfn | f1, f2, , fn∈k[x1, x2, , xn]}

Chú ỵ 1.4.4 Måi ideal trongk[x1, x2, , xn]l  húu hÔn sinh v cõ th cõ nhiÃu cỡ s khĂc

Bê · 1.4.5 Gi£ sû f1, f2, , fs v  g1, g2, , gt l  c¡c cì sð cõa cịng mët ideal I k[x1, x2, , xn] Khi â V(f1, f2, , fs) =V(g1, g2, , gt)

Cho V ⊂kn l  a tÔp affine Kỵ hiằu

I(V) := {f k[x1, x2, , xn]| f(a1, a2, , an) = vỵi måi(a1, a2, , an)∈V} Ta câ I(V) l  mët ideal

V½ dư 1.4.6 Gi£ sû V ={(0,0)} ⊂k2. Khi â

I(V) = hx, yi

V½ dư 1.4.7 Gi£ sỷ k l mởt trữớng cõ vổ hÔn phƯn tỷ Khi â I(kn) = {0}

V½ dư 1.4.8 Gi£ sû V =V(y−x2, z−x3)⊂

R3 Khi â

I(V) =hy−x2, z−x3i

º chùng minh chi·u ngữủc lÔi, nhên xt rơng

xyz = x(x2+ (yx2))(x3+ (z−x3))γ = xα(x2β +g1(y−x2))(x3γ+g2(z−x3))

= h1(y−x2) +h2(z−x3) +xα+2β+γ

= h1(y−x2) +h2(z−x3) +r,

trong â g1 ∈R[x, y], g2 ∈R[x, z], h1, h2 ∈R[x, y, z]v  r ∈R[x]

M°t kh¡c, måi a thùc f ∈R[x, y, z] Ãu l tờ hủp tuyán tẵnh (vợi hằ số trongR)

cừa cĂc ỡn thực, nản ta cõ th viát

f =h1(y−x2) +h2(z−x3) +r

trong â h1, h2 ∈R[x, y, z]v  r ∈R[x] Do â n¸u f ∈I(V) th¼

0 = f(t, t2, t3) = + +r(t)

vỵi måit∈R Do âr ≡0 Tùc l  f ∈ hy−x2, z−x3i.

Bê · 1.4.9 Gi£ sûf1, f2, , fs∈k[x1, x2, , xn] Khi â

hf1, f2, , fsi ⊂I(V(f1, f2, , fs))

V½ dư sau ch¿ bao h m thùc bê Ã trản cõ th thỹc sỹ

Vẵ dử 1.4.10 Ta câI(V(x2, y2)) =hx, yi.Hìn núax6∈ hx2, y2i.Vªy bao h m thùc sau

l  thüc sü

hx2, y2i ⊂I(V(x2, y2))

M»nh · 1.4.11 Gi£ sû V v  W l cĂc a tÔp affine kn. Khi õ (i) V ⊂W n¸u v  ch¿ n¸u I(V)⊃I(W)

Bi têp

1 Xt hằ cĂc phữỡng trẳnh

x2+y2−1 = 0, xy−1 =

(a) Dòng lỵ luên, khỷ y tứ hằ trản

(b) Chựng minh a thùc (a) thuëc ideal hx2+y2−1, xy−1i.

2 Cho ideal I ⊂ k[x1, x2, , xn] v  c¡c a thùc f1, f2, , fs ∈ k[x1, x2, , xn] Chùng minh hai i·u sau l  t÷ìng ÷ìng

(a) f1, f2, , fs ∈I (b) hf1, f2, , fsi ⊂I

3 Chùng minh c¡c ¯ng thùc sau (a) hx+y, x−yi=hx, yi

(b) hx+xy, y+xy, x2, y2i=hx, yi.

(c) h2x2+ 3y2−11, x2−y2−3i=hx2−4, y2 −1i

4 Chùng minh V(x+xy, y+xy, x2, y2) =V(x, y)

5 Chùng minh I(V(xn, ym)) = hx, yivợi mồi n, mnguyản dữỡng

6 Chựng minh I(V) l mởt ideal radican vợi mồi a tÔp V ⊂kn

7 Chùng minh ideal hx2, y2i khæng radican Suy ra hx2, y2i 6= I(V) vỵi måi a tÔp

V k2

8 GiÊ sỷ V :=V(y−x2, z−x3)⊂k3.

(a) Sû döng tham sè hâa cõa ÷íng cong V chùng täy2−xz ∈I(V).

(b) H¢y biºu diạn y2xz dÔng tờ hủp cừayx2 vzx3.

9 Chựng minh I(V(x−y)) =hx−yi

10 Gi£ sû V ⊂R3 l  ÷íng cong câ tham sè hâa (t, t3, t4), t∈

(a) Chùng minh V l  a tÔp affine

(b) XĂc nh I(V)

11 GiÊ sû V ⊂R3 l  ÷íng cong câ tham sè hâa (t2, t3, t4), t∈

R

(a) Chùng minh V l a tÔp affine

(b) XĂc nh I(V)

12 Cho tªp hđp S ⊂kn. °t

I(S) := {f ∈k[x1, x2, , xn] | f(a1, a2, , an) = vỵi måi(a1, a2, , an)∈S} (a) Chùng minh I(S) l  mët ideal

(b) X¡c ành I(S)n¸u S ={(a, a)∈R2 |a 6= 1}.

(c) X¡c ành I(Zn) náu Zn l têp cĂc im cừa Cn vợi cĂc tồa nguyản

1.5 a thực mởt bián

Gi£ sû f ∈k[x] l  a thùc mët bi¸n kh¡c a thùc khæng: f(x) =a0xm+a1xm−1+· · ·+am,

trong â ∈ k v  a0 = 0.6 ìn thùc a0xm gồi l số hÔng Ưu tiản cừa f v kỵ hi»u l 

LT(f) := a0xm

V½ dư 1.5.1 Gi£ sû f(x) = 3x3−5x2+ 7. Khi â LT(f) = 3x3.

Tứ nh nghắa suy náuf, g l c¡c a thùc kh¡c a thùc khỉng th¼degf ≤degg

n¸u v  ch¿ n¸u LT(g)chia h¸t cho LT(f)

M»nh · 1.5.2 Cho k l  tr÷íng v  g ∈ k[x] l  a thùc kh¡c khỉng Khi â vỵi måi f k[x] tỗn tÔi nhĐt cĂc a thực q, r ∈k[x] cho

f =qg+r,

H» qu£ 1.5.3 Cho k l  tr÷íng v  f ∈k[x] l  a thùc kh¡c khæng Khi â f câ nhi·u

nh§tdegf nghi»m k

H» qu£ 1.5.4 Chok l trữớng v ideal I k[x].Khi õ tỗn tÔi nhĐt (sai khĂc mởt

hơng số khĂc khổng) a thùc f ∈ k[x] cho I = hfi Nâi c¡ch kh¡c måi ideal k[x] l  ideal ch½nh

nh nghắa 1.5.5 ìợc chung lợn nhĐt cừa cĂc a thùc f1, f2, , fs ∈ k[x], kỵ hiằu

USCLN(f1, f2, , fs), l a thực h thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau:

(i) f1, f2, , fs chia h¸t choh

(ii) N¸u f1, f2, , fs chia hát cho a thực p thẳ h cơng chia h¸t chop M»nh · 1.5.6 Chof1, f2, , fsk[x] Khi õ

(i) Tỗn tÔi nhĐt (sai khĂc hơng số khĂc khổng) a thực USCLN(f1, f2, , fs) ∈

k[x]

(ii) a thùc USCLN(f1, f2, , fs) l  ph¦n tû sinh cõa ideal hf1, f2, , fsi (iii) Tỗn tÔi thuêt toĂn tẳm USCLN(f1, f2, , fs)

V½ dư 1.5.7 ìợc chung lợn nhĐt cừa cĂc a thực x3 −3x+ 2, x4−1 v  x6−1 l  a

thùc x−1 Suy

hx3−3x+ 2, x4−1, x6−1i=hx−1i

K¸t qu£ trản cho php giÊi bi toĂn thnh viản: Tỗn tÔi thuªt to¡n kiºm tra a thùc

fcâ thuëc idealI :=hf1, f2, , fsihay khỉng? Thªt vªy, °th= USCLN(f1, f2, , fs) Ta câ thº vi¸t f =qh+r, â degr <degh.Khi â f I náu v ch náu r =

Vẵ dư 1.5.8 a thùcx3+ 4x2+ 3x−7khỉng thc idealhx3−3x+ 2, x4−1, x61i=

hx1i vẳ

Bi têp

1 Chùng minh hx, yi khỉng l  ideal ch½nh v nh k[x, y]

2 Gi£ sûf, g ∈k[x]v  h:= GCD(f, g) Chựng minh tỗn tÔi cĂc a thựcA, B ∈k[x]

sao cho Af+Bg=h

3 Gi£ sû f, g ∈k[x] Chùng minhhf −qg, gi=hf, gi vỵi måi q∈k[x]

4 Gi£ sû f1, f2, , fs ∈ k[x] v  h := GCD(f2, , fs) Sû döng ¯ng thùc hhi = hf2, , fsi, h¢y chùng minh hf1, hi=hf1, f2, , fsi

5 Sû döng phƯn mÃm mĂy tẵnh, hÂy xĂc nh (a) GCD(x4+x2+ 1, x4−x2−2x−1, x3−1i.

(b) GCD(x3+ 2x2−x−2, x3−2x2−x+ 2, x3−x2−4x+ 4i.

6 óng hay sai: x2 −4∈ hx3+x2−4x−4, x3−x2−4x+ 4, x3−2x3−x−2i?

7 B i tªp n y kiºm tra n o a tÔp affine V C l khĂc trống

(a) Gi£ sû f ∈ C[x] l  a thùc kh¡c a thùc khỉng Chùng minhV(f) = ∅ n¸u v  ch¿ n¸u f l  a thùc h¬ng

(b) Gi£ sû f1, f2, , fs ∈C[x] Chùng minh V(f1, f2, , fs) = ∅n¸u v  ch¿ n¸u

GCD(f1, f2, , fs) = Gi£ sû

f :=c(x−a1)r1(x−a2)r2· · ·(x−al)rl ∈C[x]

v 

fred:=c(x−a1)(x−a2)· · ·(x−al) (a) Chùng minh V(f) = {a1, a2, , al}

(b) Chựng minh I(V(f)) =hfredi

9 Ôo hm hẳnh thực cõa a thùc

l  a thùc

f0 :=na0xn−1+ (n−1)a1xn−2+· · ·+an−1+

Chùng minh c¡c quy t­c sau

(af)0 = af0, c∈C, (f+g)0 = f0+g0,

(f g)0 = f0g+f g0

10 Bi têp ny tẳm ữợc chung lợn nhĐt cừa f v  f0 n¸u f ∈C[x]

(a) Gi£ sûf = (x−a)rh trongC[x], vỵih(a)6= 0.Chùng minhf0 = (x−a)r−1h1

vỵi a thực h1 C[x]khĂc khổng tÔi a

(b) GiÊ sỷf := (x−a1)r1(x−a2)r2· · ·(x−al)rl,vỵiai ỉi mët kh¡c Chùng minh

f0 = (x−a1)r1−1(x−a2)r2−1· · ·(x−al)rl−1H, â H ∈C[x] khĂc khổng tÔi

(c) Chựng minh GCD(f, f0) = (x−a1)r1−1(x−a2)r2−1· · ·(x−al)rl−1 (d) Chùng minh

fred=

f GCD(f, f0)

(e) Sû dưng ph¦n m·m m¡y tẵnh, hÂy xĂc nh a thực thu gồn cừa a thùc sau

x11−x10+ 2x8−4x7+ 3x5−3x4+x3+ 3x2−x−1

11 T¼m cì sð cõa ideal I(V(x5−2x4+ 2x2−x, x5−x4−2x3 + 2x2+x−1))

1.6 PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy v

kát thực

1.6.1 a thực bĐt khÊ quy

ành ngh¾a 1.6.1 Cho k l  mët tr÷íng a thùc f ∈ k[x1, x2, , xn] gồi l bĐt khÊ quy trản k náu f khĂc hơng số v khổng tỗn tÔi cĂc a thùc g, h ∈ k[x1, x2, , xn] cõ bêc dữỡng chof =gÃh

Vẵ dử 1.6.2 a thực x2+ bĐt khÊ quy trản Q,R khổng bĐt khÊ quy trản C

Mằnh · 1.6.3 Måi a thùc kh¡c h¬ngf ∈k[x1, x2, , xn] Ãu cõ th phƠn tẵch thnh tẵch hỳu hÔn cĂc a thực bĐt khÊ quy trản k

nh lỵ 1.6.4 GiÊ sỷ f k[x1, x2, , xn] l  a thùc b§t kh£ quy tr¶n k v  g, h ∈

k[x1, x2, , xn] Náu tẵch gÃh chia hát cho f thẳ hoc g chia hát chof hoc h chia h¸t cho f

H» qu£ 1.6.5 Gi£ sûf, g∈k[x1, x2, , xn]l  hai a thực vợidegx1(f)>0,degx1(g)> Khi õ f, g cõ ữợc chung hk[x1, x2, , xn] vợi degx1(h)>0náu v ch náu f, g cõ

ữợc chung k(x2, , xn)[x1]

nh lỵ 1.6.6 GiÊ sû f ∈ k[x1, x2, , xn] Khi õ tỗn tÔi cĂc a thực bĐt khÊ quy

f1, f2, , fr tr¶n k cho

f =f1·f2· · ·fr Hìn núa n¸u

f =g1·g2· · ·gs

vỵi gi l  c¡c a thực bĐt khÊ quy thẳ r=s v sau Ănh số lÔi ta cõ fi v gi sai khĂc mởt hơng số khĂc khổng

1.6.2 Kát thực

Bê · 1.6.7 Gi£ sû f, g∈k[x] l  c¡c a thực bêc tữỡng ựng l >0 v m >0 Khi õ f

v g cõ ữợc chung khĂc hơng náu v ch náu tỗn tÔi cĂc a thực A, B k[x] cho

(i) A, B khổng ỗng thíi b¬ng khỉng

(ii) degA≤m−1 v  degB ≤l−1

ành ngh¾a 1.6.8 Gi£ sû f, g l hai a thực cõ bêc dữỡng: f = a0xl+a1xl1+Ã · ·+al, a0 6= 0,

g = b0xm+b1xm−1+· · Ã+bm, b0 6=

Ma vuổng cĐp (l+m) :

Syl(f, g, x) :=

                   

a0 b0

a1 a0 b1 b0

a2 a1 b2 b1

a0 b0

a1 b1

al bm

al bm

al bm

                   

(câ m cët v  l cët bj) gồi l ma Sylvester cừa f, g tữỡng ựng vợi bián x GiĂ tr

Res(f, g, x) := det Syl(f, g, x)

gåi l  k¸t thùc cừa f v g tữỡng ựng bián x

Mằnh · 1.6.9 Gi£ sû f, g ∈k[x] l  c¡c a thực cõ bêc dữỡng Khi õ Res(f, g, x) l

mởt a thực vợi cĂc hằ số nguyản theo c¡c bi¸n l  c¡c h» sè cõa f v  g Hỡn nỳa, f, g

cõ ữợc chung khĂc hơng trongk[x] n¸u v  ch¿ n¸u Res(f, g, x) =

V½ dư 1.6.10 Gi£ sû

f := 2x2+ 3x+ 1, g := 7x2+x+

l  hai a thùc Q[x] Ta câ

Res(f, g, x) =

     

2 7 3 1

     

= 1536=

ành lỵ 1.6.11 GiÊ sỷ f, g k[x] l cĂc a thực cõ bêc dữỡng Khi õ tỗn tÔi cĂc a

thùc A, B ∈k[x] cho

Af +Bg = Res(f, g, x)

Hìn núa, c¡c h» sè cõa A v  B l  c¡c a thùc nguy¶n theo c¡c bi¸n l  c¡c h» sè cõa f

v  g

Bi têp

1 Dữợi Ơy l vẵ dư v· c¡c a thùc b§t kh£ quy

(a) Chùng minh måi a thùc f ∈k[x] bªc l  bĐt khÊ quy trảnk

(b) GiÊ sỷf k[x] cõ bêc bơng hoc Chựng minhf bĐt khÊ quy trản k náu

v ch náu f khổng cõ nghi»m tr¶n k

(c) Chùng minh a thùc x2 2 bĐt khÊ quy trản

Q khổng bĐt kh£ quy

tr¶n R

(d) Chùng minh a thực x4 + bĐt khÊ quy trản Q khổng bĐt khÊ quy

trản R

(e) Sỷ dửng phƯn (d) chựng minh (b) sai ối vợi cĂc a thực bêc

2 Chựng minh trữớngkl õng Ôi số náu v ch náu mồi a thực bĐt khÊ quy k[x] cõ bêc bơng1

3 GiÊ sû f :=P

iaixi1 v g :=

P

ibixi1,trong â ai, bi ∈k[x2, x3, , xn]

(a) Gi£ sûu∈k[x2, x3, , xn].Chùng minhfchia h¸t choutrongk[x1, x2, , xn] n¸u v  ch¿ n¸u k[x2, x3, , xn] c¡c a thùc chia h¸t chou

(b) GiÊ sỷ gÃh=P

icixi1 HÂy biu diạn ci qua v  bi Gi£ sû f ∈k[x1, x2, , xn]

(a) Chùng minh n¸uf b§t kh£ quy v  a thùc h1h2 hs chia hát cho f thẳ tỗn tÔi ch số i cho hi chia h¸t chof

(b) Chùng minh tỗn tÔi cĂc a thực bĐt khÊ quy f1, f2, , fr tr¶n k cho

Hìn núa n¸u

f =g1·g2· · Ãgs

vợi gi l cĂc a thực bĐt khÊ quy thẳr =s v sau Ănh số lÔi ta câ fi v 

gi sai kh¡c mët h¬ng sè kh¡c khæng Cho hai a thùc

f := x5 −3x4−2x3+ 3x2 + 7x+ 6, g := x4 +x2+

Tẵnh kát thực cừa f v g Hai a thực ny cõ ữợc chung Q[x]? GiÊi thẵch

6 Gi£ sû f :=fa1

1 ·f

a2

2 · · ·frar ∈ k[x], â fi ∈ k[x] b§t kh£ quy v  fi khỉng l  tẵch mởt hơng số vợi fj, i6=j Chựng minh náu k chựa trữớng cĂc số hỳu t Q thẳ

USCLN(f, f0) = fa1−1

1 ·f

a2−1

2 · · ·far

−1

r (Gi£ thi¸t k⊃Q º câ f0 6= 0)

7 Gi£ sỷ cĂc a thựcf, g C[x]cõ bêc dữỡng Chựng minhf v g câ nghi»m chung

trong C n¸u v  ch¿ n¸u Res(f, g, x) =

8 Gi£ sû f :=a0xl+a1xl−1+· · ·+al∈k[x]vỵi a0 6= v  l > Ta gåi

Disc(f) := (−1)

l(l−1)/2

a0

Res(f, f0, x)

l  bi»t thùc cõa f Chựng minh f cõ mởt ữợc (tực l tỗn tÔi a thực h k[x]

sao cho f chia h¸t choh2)n¸u v  ch¿ n¸u Disc(f) = 0.

9 a thùc f := 6x4−23x3+ 32x2−19x+ 4∈

C[x] câ nghi»m bëi?

10 T½nh bi»t thùc cõa a thùc f :=ax2+bx+c. Nhªn x²t.

11 Kh£o s¡t hai a thùc

f := 2x2+ 3x+ 1, g := 7x2+x+

(b) T¼m c¡c a thùc A, B ∈k[x]sao cho Af +Bg=

(c) Trong lới giÊi cừa phƯn (b), khỷ cĂc mău số GiÊi thẵch mối liản hằ vợi kát thực

12 Chựng minh náu f, g Z[x] thẳ Res(f, g, x)Z

13 Kh£o s¡t hai a thùc

f := xy−1, g := x2+y2 −4

T¼m c¡c a thùc A, B cho Af +Bg=

14 B i têp ny tẳm hiu kát thực cừa hai a thực f v g tr÷íng hđp mët (ho°c

hai) a thực ny cõ bêc bơng khổng

(a) GiÊ sỷ l := deg(f)>0 v  g =b0 l  h¬ng sè Chùng minh Res(f, g, x) = bl0

(b) X¡c ành Res(f, g, x)náu f =a0 l hơng số v deg(g) = m >0

(c) N¸u f =a0 v  g =b0 l cĂc hm hơng thẳ nh nghắa

Res(f, g, x) :=

 



0 n¸u ho°c a0 = ho°c b0 = 0,

1 n¸u a0 6= v  b0 6=

15 Chùng minh

Res(f, g, x) = (−1)deg(f) deg(g)Res(g, f, x)

16 Cho f :=a0xl+a1xl−1+· · ·+al v  g :=b0xm+b1xm−1+· · ·+bm l  hai a thùc k[x] Gi£ sûl ≥m

(a) °tf˜:=f−(a0/b0)xl−mg.Khi âdeg( ˜f)≤l−1.Chùng tä n¸udeg( ˜f) =l−1 th¼

Res(f, g, x) = (−1)mb0Res( ˜f , g, x)

(b) Chùng minh

Res(f, g, x) = (−1)m(l−deg( ˜f))bl0−deg( ˜f)Res( ˜f , g, x)

(c) Theo thuêt toĂn chia cõ th viát f =qg+r k[x] vỵi deg(r) <deg(g)

Sû dưng (b) chùng minh

Ch֓ng 2

Tø iºn Ôi số-Hẳnh hồc

Chữỡng ny thiát lêp mối liản h» giúa c¡c ideal v nh a thùck[x1, x2, , xn] v cĂc a tÔp affine khổng giankn.

2.1 nh lỵ Hilbert và cỡ s

Trong gi¡o tr¼nh n y ta s³ gi£ sû c¡c v nh l  giao ho¡n v  câ ìn l 

M»nh · 2.1.1 Gi£ sû R l  mët v nh C¡c i·u sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) Måi ideal R l hỳu hÔn sinh; tực l vợi mồi idealI R tỗn tÔi f1, f2, , fsI cho I =hf1, f2, , fsi

(ii) Mồi dÂy tông cĂc ideal R:

I1 ⊂I2 ⊂ · · · ⊂Im ⊂ · · Ã l dứng; tực l tỗn tÔi số tỹ nhiản N ≥1 cho

IN =IN+1 =IN+2 =· · ·

ành ngh¾a 2.1.2 V nhR thọa mÂn mởt ba iÃu kiằn tữỡng ữỡng trản gåi l 

v nh Noether

M»nh · 2.1.3 (i) Gi£ sû R l  v nh Noether v  I l  ideal R Khi â v nh

th÷ìng R/I l  Noether

(ii) Gi£ sû R l  Noether v  l  mi·n nguyản, k(R) l trữớng thữỡng cừa R GiÊ sỷ 06S ⊂R v  °t

B :={a/b∈k(R) | a∈R, v  b= hoc b l tẵch cừa cĂc phƯn tỷ thuởc S}

Khi õ B l Noether

nh lỵ 2.1.4 (nh lỵ Hilbert và cỡ s) GiÊ sỷ R l  mët v nh giao ho¡n v  câ ìn

và l Náu R l noether thẳ R[x] cụng l Noether

H» qu£ 2.1.5 V nh c¡c a thùc k[x1, x2, , xn] l  Noether

ành ngh¾a 2.1.6 Gi£ sû I ⊂k[x1, x2, , xn] l ideal Ta s kỵ hiằu

V(I) := {(a1, a2, , an)∈kn | f(a1, a2, , an) = vỵi måif I}

Mc dũ idealI cõ vổ hÔn cĂc phƯn tỷ, nhữngV(I)ữủc xĂc nh bi têp hỳu hÔn

cĂc phữỡng trẳnh a thực

Mằnh à 2.1.7 V(I) l mởt a tÔp affine Hỡn nỳa náu I =hf1, f2, , fsi th¼

V(I) =V(f1, f2, , fs)

H» qu£ 2.1.8 N¸u hf1, f2, , fsi=hg1, g2, , gri ⊂k[x1, x2, , xn] Khi â

V(f1, f2, , fs) =V(g1, g2, , gr)

B i tªp

2 Gi£ sû câ d¢y gi£m cĂc a tÔp affine

V1 V2 V3 Ã Ã Ã

Chựng minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N cho VN =VN+1 =VN+2 =Ã Ã ·

3 Cho d¢y c¡c a thùc f1, f2, ∈k[x1, x2, , xn] Gi£ sû I :=hf1, f2, i l  ideal

sinh bði d¢y c¡c a thùc n y Chùng minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N cho I =hf1, f2, , fNi

4 Cho d¢y c¡c a thùc f1, f2, ∈ k[x1, x2, , xn] Gi£ sû V(f1, f2, ) l a tÔp

affine gỗm tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ cĂc phữỡng trẳnh f1 = f2 =· · · = Chùng

minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N cho V(f1, f2, ) =V(f1, f2, , fN) Chùng minh V(I(V)) =V

6 Gi£ sû I :=hx2−y, x2+y−4i ⊂C[x, y] v  V :=V(I)

(a) Chùng minh I =hx2−y, x2−2i.

(b) Suy V(I) = {(±√2,2)}

7 Chùng minh n¸u g, g1, g2 ∈ k[x1, x2, , xn] vỵi g = g1g2 th¼ V(f, g) = V(f, g1)∪

V(f, g2) vỵi måi f ∈k[x1, x2, , xn]

8 Chùng minh R3 câV(y−x2, xz−y2) = V(yx2, xzx4)

2.2 nh lỵ khổng im cừa Hilbert

nghiản cựu a tÔpV kn ta s nghi¶n cùu ideal:

I(V) :={f ∈k[x1, x2, , xn] |f(x) = vỵi måix∈V} Nâi c¡ch khĂc, tỗn tÔi tữỡng ựng

cĂc a tÔp affine cĂc ideal

Ngữủc lÔi, cho ideal I ⊂k[x1, x2, , xn] ta ành ngh¾a

V(I) := {(a1, a2, , an)∈kn | f(a1, a2, , an) = vợi mồif I}

Theo nh lỵ và cỡ s cừa Hilbert,V(I) l mởt a tÔp affine Do â ta câ t÷ìng ùng

c¡c ideal −→ c¡c a tÔp affine

I V(I)

Nhữ vêy, ta cõ tữỡng ựng giỳa cĂc a tÔp affine v cĂc ideal Mửc ẵch cừa chữỡng ny l tẳm hiu cĂc tẵnh chĐt cừa nhỳng tữỡng ựng ny

Nhên xt 2.2.1 Tữỡng ựng ữủc thiát lêp trản khổng l mët-mët Thªt vªy, ta câ hxi v  hx2i l  hai ideal kh¡c trong k[x] nh÷ng x¡c ành cịng mët a tÔp affine

V(x) = V(x2) = {0}. Mởt vĐn à khĂc nÊy sinh khi k khổng õng Ôi số Chng hÔn,

xt cĂc a thực 1,1 +x2 v  1 +x2 +x4 trong

R[x] C¡c a thùc n y sinh ba ideal

kh¡c

I1 =h1i=R[x], I2 =h1 +x2i, I3 =h1 +x2+x4i

Dạ thĐy

V(I1) =V(I2) = V(I3) =

nh lỵ 2.2.2 (nh lỵ khổng im yáu-NullStellenSatz) GiÊ sỷk l trữớng õng Ôi

số v I k[x1, x2, , xn] l  ideal thäa m¢n V(I) =∅ Khi â

I =k[x1, x2, , xn]

Hằ quÊ 2.2.3 (nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi sè) Gi£ sû I =hf1, f2, , fsi l  ideal thüc sü cõa v nh C[x1, x2, , xn] sinh bði c¡c a thùc f1, f2, , fs Khi â h» cĂc phữỡng trẳnh a thực

f1(x) =f2(x) =Ã Ã Ã=fs(x) = cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm Cn

nh lỵ 2.2.2 cụng cho ta lới giÊi cừa bi toĂn: Khi no hằ cĂc phữỡng trẳnh

câ nghi»m chung Cn? Thªt vªy, h» trản vổ nghiằm náu v ch náu

V(f1, f2, , fs) =∅

i·u n y t÷ìng ÷ìng ∈ hf1, f2, , fsi Vẳ vêy, giÊi bi toĂn tỗn tÔi nghiằm, ta c¦n x¡c ành n o1 thuëc mët ideal i·u n y câ thº kiºm tra mët c¡ch d¹ d ng sû

dửng cỡ s Grobner (xem [3])

nh lỵ 2.2.4 (nh lỵ khổng im cừa Hilbert) Cho k l trữớng õng Ôi số GiÊ

sỷ f, f1, f2, , fs ∈k[x1, x2, , xn] cho f ∈I(V(f1, f2, , fs)) Khi õ tỗn tÔi số nguyản m1 cho fm ∈ hf

1, f2, , fsi (v ngữủc lÔi)

Bi têp

1 Nhưc lÔi V(yx2, zx3) l ữớng cong xoưn bêc ba trong

R3

(a) Chùng minh V((y−x2)2+ (z−x3)2)cơng l  ÷íng cong xo­n bªc ba

(b) Chùng minh måi a tÔp affine V(I) Rn, I

R[x1, x2, , xn], ÷đc x¡c ành bði óng mởt phữỡng trẳnh (v vêy bi mởt ideal chẵnh)

2 Gi£ sû J :=hx2+y2−1, y−1i.T¼m f ∈I(V(J)) cho f 6J

3 Chựng minh trữớng õng Ôi số k cõ vổ hÔn phƯn tỷ

4 Bi têp ny chựng tọ náu k khổng õng Ôi số thẳ mồi a tÔp affine V kn ữủc

xĂc nh bi úng mởt phữỡng trẳnh

(a) GiÊ sỷf =a0xn+a1xn1+Ã Ã Ã+an1x+an.nh nghắa thuƯn nhĐt hõa cừa

f l  a thùc fh :=a0xn+a1xn−1y+· · ·+an−1xyn−1+anyn Chùng minh f cõ nghiằm k náu v ch náu tỗn tÔi(a, b)∈k2 cho (a, b)6= (0,0)v  fh(a, b) = 0.

(b) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số Chựng minh tỗn tÔi f k[x, y] cho a tÔp V(f)k2 gỗm úng mởt im (0,0)k2

(c) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số Chựng minh vợi mội số nguyản dữỡngs tỗn tÔi

a thực f k[x1, x2, , xs] cho a tÔp V(f) ks gỗm úng mởt im

(d) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số v W :=V(g1, g2, , gs)⊂kn Chùng minh tỗn tÔi f k[x1, x2, , xn] W =V(f)

5 Gi£ sû S l  tªp cừa k[x1, x2, , xs] gỗm cĂc a thực khĂc khổng trản kn Chựng minh náu I ⊂k[x1, x2, , xs]l  ideal cho I∩S =∅ th¼ V(I)6=∅ Gi£ sûA:= (aij)l  ma vuổng cĐpn vợi cĂc phƯn tỷ trongk.GiÊ sỷ x:=Ax

nh nghắa Ănh xÔ

A:k[x1, x2, , xs]→k[˜x1,x˜2, ,x˜s], f 7→f ,˜ â f(˜˜x) :=f(A˜x).

(a) Chùng minh αA l k-tuy¸n t½nh

(b) Chùng minh αA(f·g) = αA(f)·αA(g)

(c) Tẳm iÃu kiằn cừa ma A A l mët-mët v  l¶n

(d) Gi£ sû I ∈k[x1, x2, , xn] l  ideal Tªp hđp {αA(f) |f ∈I} l  mët ideal? (e) Gi£ sû I˜∈k[˜x1,x˜2, ,x˜s] l  ideal Tªp hđp {f ∈k[x1, x2, , xn] | αA(f)∈

˜

I} l  mët ideal?

7 Trong B i tªp 1, ta câ hai ideal trongR[x, y]x¡c ành còng mët a tÔp khĂc trống

Chựng tọ mởt hai ideal ny ữủc chựa ideal khĂc úng hay sai: tỗn tÔi hai ideal I, J R[x, y] choV(I) = V(J)6=v I 6J, J 6I? CƠu họi

tữỡng tỹ ối vợi vnh cĂc a thực mởt bián R[x]

2.3 ideal radical v tữỡng ựng ideal-a tÔp

Bờ Ã 2.3.1 Cho V l mởt a tÔp Náu fm ∈I(V) th¼ f ∈I(V)

Chùng minh Gi£ sûx∈V Náufm I(V)thẳ (f(x))m = 0.Suy raf(x) = 0.VẳxV tũy ỵ nản f I(V)

nh nghắa 2.3.2 ideal I gồi l radican náu fm I vợi bĐt ký số nguyản m thẳ f I

Hiºn nhi¶n

H» qu£ 2.3.3 I(V) l  ideal radican

Mt khĂc, theo nh lỵ khổng im cừa Hilbert, ideal I khổng trũng ideal gỗm

tĐt cÊ cĂc a thực triằt tiảu trản V(I) náu tỗn tÔi f 6∈ I v  sè nguy¶n m ≥ cho fm ∈I;nâi c¡ch kh¡c I khæng ph£i ideal radican i·u ny dăn án tỗn tÔi tữỡng ựng mởt-mởt giỳa cĂc a tÔp affine v cĂc ideal radican Ta cõ nh ngh¾a sau

ành ngh¾a 2.3.4 Cho ideal I ⊂k[x1, x2, , xn] Tªp hđp √

I :={f | tỗn tÔi số nguyảnm 1sao cho fm ∈I} gåi l  radican cõaI

V½ dư 2.3.5 Gi£ sû I :=hx2, y3i ⊂k[x, y]. Khi â√I :=hx, yi.

Tø ành ngh¾a ta câ

Bê · 2.3.6 Cho idealI ⊂k[x1, x2, , xn] Khi â c¡c kh¯ng ành sau óng:

(i) I ⊂√I

(ii) ideal I l  radican n¸u v  ch¿ n¸u I =√I

(iii) √I l  mët ideal Hìn núa, I l ideal radican

nh lỵ 2.3.7 (nh lỵ khổng im mÔnh) GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi sè v  I ⊂

k[x1, x2, , xn] l  ideal Khi â

I(V(I)) = √I

nh lỵ khổng im cho php ta thiát lêp mởt tứ in giỳa hẳnh hồc v Ôi số, cử th cõ cĂc tữỡng ựng

cĂc a tÔp affine I

−→ c¡c ideal v 

c¡c ideal V

nh lỵ 2.3.8 (Tữỡng ựng V) GiÊ sỷ k l trữớng tũy ỵ Khi õ tữỡng ựng V cõ cĂc

tẵnh chĐt sau

(i) V(0) =kn; V(k[x

1, x2, , xn]) = ∅

(ii) N¸u I1 ⊂I2 l  c¡c ideal th¼ V(I1)⊃V(I2)

(iii) V(I1∩I2) = V(I1)∪V(I1)

ành lỵ 2.3.9 (Tữỡng ựng I) Náu V1 V2 l cĂc a tÔp thẳ I(V1)I(V2) Hỡn nỳa,

vợi mồi a tÔpV ta cõ

V(I(V)) = V

v vêy tữỡng ựng I l mởt-mởt

c biằt

nh lỵ 2.3.10 (Tữỡng ựng ideal radican-a tÔp affine) GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi

số v ch xt cĂc ideal radican thẳ cĂc Ănh xÔ cĂc a tÔp affine I

cĂc ideal radican v

cĂc ideal radican V

cĂc a tÔp affine l  song ¡nh bao h m £o ng÷đc v  l  ng÷đc cõa

M»nh · 2.3.11 Cho k l  mët tr÷íng v  ideal I := hf1, f2, , fsi v nh a thùc k[x1, x2, , xn] Khi â f ∈

√

I náu v ch náu a thực hơng thuởc ideal I˜:=

hf1, f2, , fs,1−yfi ⊂k[x1, x2, , xn, y].Trong tr÷íng hđp n yI˜=k[x1, x2, , xn, y] M»nh · 2.3.12 Cho ideal ch½nh I := hfi v nh a thùc k[x1, x2, , xn] N¸u

f = fα1

1 f

α2

2 Ã Ã Ãfss l phƠn tẵch cừa f thnh tẵch c¡c a thùc b§t kh£ quy ỉi mët kh¡c th¼

√

I =phfi=hf1, f2, , fsi

Bði ành ngh¾a, c¡c a thùc thu gån cõa f sai kh¡c mët h¬ng số k

Vẵ dử 2.3.14 Náuf := (x+y2)3(xy)k[x, y]thẳ f

red = (x+y2)(xy)

nh nghắa 2.3.15 Gi£ sûf, g ∈k[x1, x2, , xn] a thựchk[x1, x2, , xn]gồi l ữợc chung lợn nhĐt cừaf v g náu cĂc iÃu sau thọa mÂn

(i) f v g chia hát choh

(ii) N¸u f v  g chia h¸t cho a thực p thẳ h cụng chia hát cho p

Kỵ hiằuUSCLN(f, g) := h l ữợc chung lợn nhĐt cõa f v  g

M»nh · 2.3.16 Chok l  tr÷íng chùa tr÷íng c¡c sè húu t¿ Q.Gi£ sû I :=hfil  ideal ch½nh v nh a thùck[x1, x2, , xn] Khi â I =hfredi, â

fred =

f USCLN(f,∂x∂f

1,

∂f ∂x2, ,

∂f ∂xn)

Chú ỵ 2.3.17 Mằnh à trản khổng úng náu k khỉng chùaQ

B i tªp

1 Gi£ sû m, n l cĂc số nguyản dữỡng Chựng minh rơng phxm, yni=hx, yi.

2 Gi£ sû f v g, f 6=g, l  hai a thùc kh¡c h¬ng trongk[x, y]v  I :=hf2, g3i óng

hay sai: √I =hf, gi?

3 Chùng minh hx2+ 1i ⊂

R[x] l  ideal radican nh÷ngV(I) = ∅

4 Gi£ sû ideal I ⊂k[x1, x2, , xn] (a) Chùng minh ideal√I l  radican

(b) Chùng minh idealI l  radican n¸u v  ch¿ n¸u I =√I

(c) Chùng minh p√

I =√I

5 Chùng minh c¡c t÷ìng ùng V v  I l  bao h m £o ng÷đc

(a) Trong trữớng hủp c biằtI =hf1, f2i,vợifimi ∈I,chùng minhfm1+m2−1 ∈

I vỵi måi f ∈√I

(b) Vợi ideal bĐt ký I, chựng minh tỗn tÔim0 cho fm0 ∈I vỵi måi f ∈

√

I

7 óng hay sai: (a) x+y∈p

hx3, y3, xy(x+y)i?

(b) x2+ 3xz ∈p

hx+z, x2y, xz2i?

Náu úng, tẳm lụy thứa nhọ nhĐt a thùc thuëc ideal

8 Gi£ sû fm v fm+1 l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc tữỡng ùng m v  m+ cho

USCLN(fm, fm+1) = 1.Chùng minh fm+fm+1 l  a thùc b§t kh£ quy

9 Gi£ sû f, g ∈ k[x1, x2, , xn] Chựng minh tỗn tÔi nhĐt (sai kh¡c mët h¬ng sè k)USCLN(f, g)

10 Gi£ sû f, g, h ∈ k[x1, x2, , xn] Chùng minh h = USCLN(f, g) n¸u v ch náu hhi J vợi mồi idealJ hf, gi

11 T¼m mët cì sð cõa ideal sau

p

hx5−2x4+ 2x2−x, x5−x4−2x3+ 2x2+x−1i.

12 Trong v nh Q[x, y] x²t a thùc

f :=x5+3x4y+3x3y2−2x4y2+x2y3−6x3y3−6x2y4+x3y4−2xy5+3x2y5+3xy6+y7

T½nh p

hfi

13 Gi£ sû J :=hxy,(x−y)xi Mæ t£ V(I) v  chùng minh √J =hxi

14 Chùng minh ideal I :=hxy, xz, yzi l  radican

2.4 Têng, t½ch v  giao cõa c¡c ideal

2.4.1 Têng c¡c ideal

ành ngh¾a 2.4.1 Cho hai idealI, J ⊂k[x1, x2, , xn] Tªp hđp

I+J :={f +g | f ∈I v  g ∈J} gåi l  têng cõa I v  J

M»nh · 2.4.2 Cho hai ideal I, J ⊂k[x1, x2, , xn] Khi â I+J l  ideal nhọ nhĐt chựa I v J Hỡn nỳa, náu I =hf1, f2, , fri v  J =hg1, g2, , gsi th¼

I +J =hf1, f2, , fr, g1, g2, , gsi

M»nh · tr¶n suy

H» qu£ 2.4.3 N¸u f1, f2, , fr ∈k[x1, x2, , xn] th¼

hf1, f2, , fri=hf1i+hf2i+· · ·+hfri V½ dư 2.4.4 Gi£ sû I := hx2 +yi v  J := hzi l  hai ideal trong

R[x, y, z] Khi â

I+J =hx2+y, zi.Do â a tÔpV(I+J)gỗm tĐt cÊ cĂc im (x, y, z)

R3 m tÔi õ

x2+y=z = 0. Suy ra V(I+J) = V(I)V(J).

nh lỵ sau cho ta mối liản hằ giỳa tờng cĂc ideal vợi giao cĂc a tÔp nh lỵ 2.4.5 GiÊ sỷ I, , l hồ cĂc ideal k[x1, x2, , xn] Khi â

V X

λ∈Λ

Iλ

!

= \

λ∈Λ

V(Iλ)

2.4.2 T½ch c¡c ideal

ành ngh¾a 2.4.6 Cho hai idealI, J ⊂k[x1, x2, , xn] Tªp hđp

Tứ nh nghắa dng suy t½ch cõa hai ideal l  mët ideal Hìn núa, ta câ M»nh · 2.4.7 Cho hai ideal I =hf1, f2, , fri v  J = hg1, g2, , gsi Khi â ideal

I·J sinh bi têp tĐt cÊ cĂc tẵch cừa cĂc phƯn tû sinh cõa I v  J : I·J =hfigj | 1ir, 1j si

nh lỵ 2.4.8 GiÊ sỷ I v  J l  c¡c ideal k[x1, x2, , xn] Khi â

V(I ·J) =V(I)∪V(J)

2.4.3 Giao c¡c ideal

ành ngh¾a 2.4.9 Cho hai idealI, J ⊂k[x1, x2, , xn] Tªp hñp

I∩J :={f |f ∈I v  f ∈J} gåi l  giao cõa I v  J

Ta câ

M»nh · 2.4.10 Gi£ sû I v  J l  c¡c ideal k[x1, x2, , xn] Khi â I∩J cơng l  mët ideal

Nhªn x²t 2.4.11 Ta ln ln câ IJ ⊂ I ∩J v¼ måi ph¦n tû cõa IJ l  têng cõa

c¡c a thực cõ dÔng f g vợi f I v g ∈ J Tuy nhi¶n câ thº IJ chùa thüc sỹ I J Chng hÔn, náu I = J = hx, yi th¼ IJ = hx2, xy, y2i l  tªp thüc sü cõa

I∩J =I =J =hx, yi (xIJ x6IJ)

Bờ Ã 2.4.12 (i) Náu I l  ideal v nh k[x1, x2, , xn] sinh bði c¡c a thùc

p1(x), , ps(x) th¼ f(t)I l  ideal k[x1, x2, , xn, t] sinh bði c¡c a thùc

f(t)p1(x), , f(t)ps(x)

(ii) Náu g(x, t)f(t)I v ck thẳ g(x, a)I

nh lỵ 2.4.13 GiÊ sỷ I v J l cĂc ideal k[x1, x2, , xn] Khi õ

nh lỵ 2.4.14 GiÊ sỷ I v  J l  c¡c ideal k[x1, x2, , xn] Khi â

V(I∩J) = V(I)∪V(J)

Do vêy, giao v tẵch cừa hai ideal xĂc nh mởt a tÔp Mc dũ tẵnh giao hai ideal khõ hỡn tẵnh tẵch cừa chúng, cõ lủi iºm t½nh radican: t½ch hai ideal radican khỉng ph£i mët ideal radican nh÷ng giao cõa hai ideal radican l  mët ideal radican Thªt vªy, ta câ

M»nh · 2.4.15 Gi£ sû I v  J l  c¡c ideal k[x1, x2, , xn] Khi â √

I∩J =√I∩√J

B i tªp

1 Chùng minh

h(x+y)4(x2+y)2(x−5y)i ∩ h(x+y)(x2+y)3(x+ 3y)i

=h(x+y)4(x2+y)3(x−5y)(x+ 3y)i

2 Cho c¡c ideal I1, I2, , Ir v J v nh k[x1, x2, , xn].Chùng minh c¡c i·u sau

(a) (I1+I2)J =I1J+I2J

(b) (I1·I2· · ·Ir)m =I1m1 ·I

m2

2 · · ·Irmr

3 Cho c¡c ideal I v  J v nh k[x1, x2, , xn] Chựng minh cĂc iÃu sau (a) Náu Ik J vợi k nguyản dữỡng thẳI J

(b) I+J =pI+J

4 Cho hai a thùc

f := x4+x3y+x3z2−x2y2+x2yz2−xy3−xy2z2−y3z3, g := x4+ 2x3z2−x2y2+x2z4−2xy2z2−y2z4

(b) Sỷ dửng phƯn mÃm mĂy tẵnh, xĂc nh USCLN(f, g)

(c) Gi£ sûp:=x2+xy+xz+yz v q :=x2−xy−xz+yz. Sû dưng ph¦n m·m

m¡y t½nh, x¡c ành hf, gi ∩ hp, qi

5 Chùng minh √IJ =√I∩J

6 Cho v½ dư chùng tä t½ch c¡c ideal radican khỉng l  radican Cho v½ dư chùng tä √IJ 6=√I√J

8 Hai idealIv Jtrongk[x1, x2, , xn]gåi l ối cỹc Ôi náuI+J =k[x1, x2, , xn] (a) GiÊ sỷk=C.Chựng minhI vJ ối cỹc Ôi náu v ch náuV(I)V(J) =

Cho vẵ dử chựng tä ¯ng thùc sai n¸u k6=C

(b) Chùng minh náuI v J ối cỹc Ôi thẳ IJ =IJ iÃu ngữủc lÔi úng hay

sai?

(c) Chựng minh náuI vJ ối cỹc Ôi thẳIr vJsối cỹc Ôi vợi mồir, snguyản

dữỡng

(d) Cho cĂc idealI1, I2, , Ir ⊂k[x1, x2, , xn].GiÊ sỷIi v Ji :=j6=iIj l ối cỹc Ôi Chùng minh

I1m∩I2m∩ · · · ∩Irm = (I1I2· · ·Ir)m = (I1∩I2∩ · · · ∩Ir)m vỵi måi m nguyản dữỡng

9 Cho cĂc ideal I, J ⊂ k[x1, x2, , xn] Gi£ sû I

J Chựng minh tỗn tÔi m

nguyản dữỡng cho Im J

10 GiÊ sỷ A := (aij) l ma kẵch thữợc mìn vợi cĂc phƯn tỷ k GiÊ sỷ

x:=Ay nh nghắa Ănh xÔ

A:k[x1, x2, , xm]→k[y1, y2, , yn], f 7→αA(f), â αA(f)(y) := f(Ay)

(b) Cho v½ dư chùng tä {αA(f)| f ∈I} ⊂k[y1, y2, , yn]khæng l  mët ideal, ð ¥y I l  ideal k[x1, x2, , xm]

(c) Chùng tä n¸uI0 l  ideal k[y1, y2, , yn] thẳ têp {f ∈k[x1, x2, , xm]| αA(f)∈I0} l  ideal k[x1, x2, , xm]

11 GiÊ sỷA vA nhữ bi têp trản tK := ker(αA).Gi£ sû I, J l  c¡c ideal k[x1, x2, , xm] Chùng minh r¬ng

(a) I ⊂J suy hαA(I)i ⊂ hαA(J)i (b) hαA(I+J)i=hαA(I)i+hαA(J)i

(c) hαA(IJ)i=hαA(I)ihαA(J)i

(d) hαA(I∩J)i ⊂ hαA(I)i ∩ hαA(J)i; ¯ng thùc x£y I ⊃K ho°c J ⊃K (e) hαA(

√

I)i ⊂p

hαA(I)i; ¯ng thùc x£y I ⊃K

12 Gi£ sû A v A nhữ bi têp trản t K := ker(αA) Gi£ sû I0, J0 l  c¡c ideal k[y1, y2, , yn] Chùng minh r¬ng

(a) I0 ⊂J0 suy α−A1(I0)⊂αA−1(J0)

(b) α−A1(I0 +J0) =αA−1(I0) +α−A1(J0)

(c) α−A1(I0J0)⊃(αA−1(I0))(α−A1(J0)); ¯ng thùc x£y n¸u v¸ ph£i chùa K

(d) α−A1(I0 ∩J0) =αA−1(I0)∩α−A1(J)

(e) α−A1(√I0) =qα−1

A (I0)

2.5 Bao âng Zariski v  th÷ìng cõa c¡c ideal

Gi£ sû S ⊂kn. Khi â d¹ d ng chùng minh

I(S) = {f ∈k[x1, x2, , xn]| f(a) = vỵi måia ∈S}

M»nh · 2.5.1 Gi£ sû S l  tªp kn Khi õ V(I(S)) l a tÔp affine nhọ

nhĐt chựa têp S

nh nghắa 2.5.2 Bao õng Zariski cừa têp S kn l a tÔp Ôi số affine nhọ nhĐt chựa têpS v kỵ hiằu l S

nh lỵ 2.5.3 Cho k l trữớng õng Ôi sè Gi£ sû V := V(f1, f2, , fs) ⊂ kn v 

πl: kn→kn−l l  ph²p chiáu lản nl tồa cuối Náu

Il :=hf1, f2, , fsi ∩k[xl+1, xl+2, , xn] th¼ V(Il) l  bao âng Zariski cõa l(V)

Ká tiáp ta tẳm hiu cĂch tẵnh ideal tữỡng ựng bao õng Zariski cừa hiằu hai a tÔp Trữợc hát ta cõ

Mằnh à 2.5.4 GiÊ sỷ V, W l hai a tÔp cho V W Khi â W =V ∪(W −V)

Chùng minh V¼ W l a tÔp chựa W V nản W V W Những theo giÊ thiát V W nản V ∪(W −V)⊂W

M°t kh¡c, tø V ⊂ W ta câ W = V ∪(W −V) Tø W −V ⊂ W −V ta câ bao

h m thùc W ⊂V ∪W −V M»nh · ÷đc chùng minh

ành ngh¾a 2.5.5 Cho hai idealI, J k[x1, x2, , xn].Tªp

I: J :={f ∈k[x1, x2, , xn] | f g ∈I vỵi måi g ∈J} gåi l  ideal th÷ìng cõa I bði J

V½ dư 2.5.6 Trongk[x, y, z]ta câ

hxz, yzi: hzi = {f ∈k[x, y, z] | f·z ∈ hxz, yzi}

= {f ∈k[x, y, z] | f·z =Axz+Byz}

= {f ∈k[x, y, z] | f =Ax+By}

M»nh · 2.5.7 Gi£ sûI, J l  hai ideal k[x1, x2, , xn].Khi âI:J l  mët ideal k[x1, x2, , xn] v  I: J chùa I

nh lỵ 2.5.8 Cho I v J l cĂc ideal k[x1, x2, , xn] Khi â

V(I:J)V(I)V(J)

Hỡn nỳa, náu k l õng Ôi sè v  I l  ideal radican th¼ V(I: J) =V(I)−V(J)

Chựng minh cừa nh lỵ trản cho ta hằ qu£ sau:

H» qu£ 2.5.9 Gi£ sû V v  W l cĂc a tÔp kn. Ta cõ

I(V) :I(W) = I(V −W)

M»nh · 2.5.10 Gi£ sû I, J, K l  c¡c ideal k[x1, x2, , xn] Khi â

(i) I:k[x1, x2, , xn] =I

(ii) IJ ⊂K n¸u v  ch¿ n¸u I ⊂K: J

(iii) J ⊂I n¸u v  ch¿ n¸u I:J =k[x1, x2, , xn]

Chùng minh B i tªp

M»nh · 2.5.11 Gi£ sû I, Ii, J, Ji, K, i = 1,2, , r, l  c¡c ideal v nh c¡c a thùc k[x1, x2, , xn] Khi â

r

\

i=1

Ii

!

: J =

r

\

i=1

(Ii: J),

I:

r

\

i=1

Ji

!

=

r

\

i=1

(I: Ji),

(I: J) : K = I: J K

Trong tr÷íng hđp f l  mët a thùc v  I l  mët ideal, ta vi¸tI: f thay cho I: hfi

Chú ỵ rơng

I: hf1, f2, , fri= r

\

i=1

(I: fi)

nh lỵ 2.5.12 GiÊ sû I l  mët ideal v  g ∈ k[x1, x2, , xn] N¸u hh1, h2, , hpi l  mët cì sð cõa ideal I∩ hgi th¼ hh1/g, h2/g, , hp/gi l  mët cì sð cõa I: g

B i tªp

1 X¡c ành bao âng Zariski cõa c¡c tªp sau

(a) Hẳnh chiáu cừa hyperbol V(xy1)R2 lản trửc x.

(b) Biản cừa gõc phƯn tữ thự nhĐt R2

(c) H¼nh trán {(x, y)∈R2 | x2+y2 ≤4}.

2 Cho hai a thùc

f := (x+y)2(x−y)(x+z2), g := (x+z2)3(xy)(z+y)

Tẳm cĂc phƯn tỷ sinh cừa hfi: hgi

3 Cho c¡c ideal I, J Chùng minh náu I l radican thẳ ideal I: J l radican v  I:J =I:√J

4 Gi£ sû A := (aij) l ma kẵch thữợc mìn vợi cĂc phƯn tỷ k GiÊ sỷ

x:=Ay nh nghắa Ănh xÔ

A:k[x1, x2, , xm]k[y1, y2, , yn], f 7→αA(f), â αA(f)(y) := f(Ay)

(a) Chùng minh αA(I: J) ⊂ A(I) : A(J); dĐu bơng xÊy náu I K :=

ker(αA)

5 Cho ideal I ⊂ k[x1, x2, , xn] v  cè ành f ∈ k[x1, x2, , xn] BÊo hỏa cừa I tữỡng ựng vợi f l  tªp

I:f∞ ={g ∈k[x1, x2, , xn] | tỗn tÔim nguyản dữỡng cho fmg ∈I} (a) Chùng minh I: f∞ l  ideal

(b) Chùng minh

I: f ⊂I:f2 ⊂I: f3 ⊂ · Ã Ã

(c) Ta biát rơng tỗn tÔi số nguyản dữỡng N cho I: fN = I: fN+1 = · · ·

Chùng minh I: f∞ =I: fN

(d) Chùng minh I: f∞ =I: fm n¸u v  ch¿ n¸u I: fm =I: fm+1.

6 Cho ideal I := hf1, f2, , fsi ⊂ k[x1, x2, , xn] v  cè ành f ∈ k[x1, x2, , xn] Náu y l bián mợi, t

I :=hf1, f2, , fs,1−f yi ⊂k[x1, x2, , xn, y] (a) Chùng minh I: f∞ = ˜I: k[x1, x2, , xn]

(b) Suy c¡ch t½nh I: f∞

7 Chùng minh I: f∞ =k[x1, x2, , xn] n¸u v  ch¿ n¸u f ∈ √

I

2.6 a tÔp bĐt khÊ quy v cĂc ideal nguyản tố

nh nghắa 2.6.1 a tÔp affine V kn ữủc gồi l bĐt khÊ quy náu V = V

1 ∪V2,

trong â V1, V2 l hai a tÔp affine, thẳ hoc V =V1 hoc V =V2

Vẵ dử 2.6.2 a tÔp affine V(xz, yz)khổng bĐt khÊ quy ta cõ th viát V(xz, yz) = V(x, y)∪V(z)

ành ngh¾a 2.6.3 ideal I ⊂ k[x1, x2, , xn] gåi l nguyản tố náu f g I vợi f, g ∈

k[x1, x2, , xn] th¼ ho°c f ∈I ho°c g ∈I

M»nh · 2.6.4 Cho V l a tÔp affine kn. Khi õV bĐt khÊ quy náu v ch náu

Nhên xt 2.6.5 Mồi ideal nguyản tố l radican (tÔi sao?) Hỡn nỳa, sỷ dửng tữỡng ựng giỳa cĂc ideal radican v cĂc a tÔp affine ta cõ h» qu£ sau:

H» qu£ 2.6.6 Cho k l  trữớng õng Ôi số Khi õ tỗn tÔi mởt tữỡng ựng mởt-mởt

giỳa cĂc a tÔp bĐt khÊ quy kn vợi cĂc ideal nguyản tố vnh k[x1, , xn] V½ dư 2.6.7 Gi£ sû V l ữớng cong xoưn bêc ba Ta s chựng minh I(V) l  ideal

nguy¶n tè Gi£ sûf g I(V).Vẳ V cõ tham số hõa (t, t2, t3) nản f(t, t2, t3)g(t, t2, t3) = vỵi måit

Suy ho°c f(t, t2, t3) ho°c g(t, t2, t3)l  a thực khổng Vêy f hoc g bơng khổng trản V Do âf ho°c g thuëc I(V)

Têng qu¡t hìn ta câ

M»nh · 2.6.8 Gi£ sû k l trữớng cõ vổ hÔn phƯn tỷ v V l a tÔp affine xĂc nh

bi hằ cĂc phữỡng tr¼nh tham sè:

x1 = f1(t1, t2, , tm),

x1 = f1(t1, t2, , tm), =

xn = fn(t1, t2, , tm),

trong â f1, f2, , fn l  c¡c a thùc k[t1, t2, , tm] Khi â V bĐt khÊ quy

Chựng minh Xt Ănh xÔ a thùcF: km →kn x¡c ành bði

F(t1, t2, , tm) := (f1(t1, t2, , tm), f2(t1, t2, , tm), , fn(t1, t2, , tm)) Tø gi£ thi¸t ta câV l  bao âng Zariski cõa F(km). °c bi»t I(V) =I(F(km)).

Vỵi måig ∈k[x1, x2, , xn]ta câg◦F ∈k[t1, t2, , tm].Nhữngk cõ vổ hÔn phƯn tỷ nản

I(V) = I(F(km)) = {g ∈k[x1, x2, , xn] |g◦F = 0}

B¥y gií gi£ sûgh∈I(V) Th¼ (gh)◦F = (g◦F)(h◦F) = 0.H» qu£ l  ho°c g◦F = 0,

ho°c h◦F = Tùc l  ho°c g ∈ I(V) ho°c h ∈ I(V) Do â I(V) l ideal nguyản tố

Lỵ luên trản dng m rởng cho a tÔp xĂc ành bði c¡c tham sè hâa húu t¿ Ta câ

M»nh · 2.6.9 Gi£ sû k l  tr÷íng câ vổ hÔn phƯn tỷ v V l a tÔp affine x¡c ành

bði h» c¡c tham sè húu t¿:

x1 =

f1(t1, t2, , tm)

g1(t1, t2, , tm)

, x1 =

f2(t1, t2, , tm)

g2(t1, t2, , tm)

,

= xn =

fn(t1, t2, , tm)

gn(t1, t2, , tm)

,

trong â f1, f2, , fn, g1, g2, gn∈k[t1, t2, , tm] Khi â V bĐt khÊ quy

Vẵ dử 2.6.10 Ta cõV :={(a1, a2, , an)} ⊂kn l  a tÔp affine xĂc nh bi phữỡng trẳnh tham số

fi(x1, x2, , xn) =ai, i= 1,2, , n, v  â b§t kh£ quy Hỡn nỳa, thĐy

I(V) = hx1a1, x2a2, , xn−ani

l  ideal nguy¶n tè ideal ny cõ tẵnh chĐt c biằt: náuJ l ideal chùa thüc süI(V) th¼ J =k[x1, x2, , xn]

ành ngh¾a 2.6.11 idealI ⊂ k[x1, x2, , xn] gồi l cỹc Ôi náu I 6=k[x1, x2, , xn] v  måi ideal J chùaI th¼ ho°c J =I ho°cJ =k[x1, x2, , xn]

Ta cơng c¦n kh¡i ni»m sau

ành ngh¾a 2.6.12 ideal I ⊂ k[x1, x2, , xn] gåi l  thüc sü náu I khổng bơng

k[x1, x2, , xn]

M»nh · 2.6.13 Gi£ sû k l  mët tr÷íng v  (a1, a2, , an)∈kn Khi â ideal

Nhªn x²t 2.6.14 Ta biát rơng

V(x1a1, x2a2, , xn−an) ={(a1, a2, , an)}

N¶n måi iºm(a1, a2, , an)∈kn t÷ìng ùng mởt ideal cỹc Ôimacừa k[x1, x2, , xn] iÃu ngữủc lÔi khổng úng náu k khổng õng ¤i sè Thªt vªy, câ thº chùng minh

hx2+ 1i l ideal cỹc Ôi

R[x] Những V(x2+ 1) =∅ ∈R Tuy nhi¶n ta câ

M»nh · 2.6.15 GiÊ sỷk l mởt trữớng NáuI l ideal cỹc ¤i v nhk[x1, x2, , xn] th¼ I l ideal nguyản tố

nh lỵ 2.6.16 GiÊ sỷk l mởt trữớng õng Ôi số Khi õ mồi ideal cỹc Ôi cừa vnh k[x1, x2, , xn] cõ dÔng

hx1 a1, x2a2, , xn−ani vỵi (a1, a2, , an)∈kn n o â

Chùng minh Gi£ sû I ⊂ k[x1, x2, , xn] l  ideal cüc ¤i V¼ I 6= k[x1, x2, , xn] v nh lỵ 2.2.2 ta cõV(I)6=.Vêy tỗn tÔi (a1, a2, , an)∈V(I) H» qu£ l 

I(V(I))⊂I({(a1, a2, , an)})

Nh÷ng I(V(I)) =I nh lỵ 2.3.7 Chú ỵ I l ideal cỹc Ôi nản s l ideal nguyản

tố Nản câ ¯ng thùc I =√I.Tø â

I ⊂I({(a1, a2, , an)}) =hx1 −a1, x2−a2, , xnani=:ma Chú ỵma6=k[x1, x2, , xn] Suy I =ma doI l cỹc Ôi

nh lỵ trản suy

Mằnh à 2.6.17 GiÊ sỷk l mởt trữớng õng Ôi số Khi õ tỗn tÔi tữỡng ựng mởt-mởt

giỳa cĂc im kn v cĂc ideal cỹc Ôi vnh k[x

1, x2, , xn]

B i tªp

2 Chùng minh idealI l  nguy¶n tè náu v ch náu vợi mồi idealJ, K choJ K ⊂I

th¼ ho°c J ⊂I ho°c K ⊂I

3 Cho c¡c ideal I1, I2, , In v  P l  ideal nguy¶n tè chùa ∩ni=1Ii Chựng minh tỗn tÔi ch số i cho P Ii Hỡn nỳa, náu P = ni=1Ii thẳ tỗn tÔi ch số i cho

P =Ii

4 Cho a thùc f :=x2z−6y4+ 2xy3z. T¼m c¡c a thùcf

1, f2, f3 ∈k[x, y, z]sao cho

f =f1(x+ 3) +f2(y−1) +f3(z−2)

5 Cho k l  trữớng vổ hÔn

(a) Chựng minh mồi ữớng thng kn l  b§t kh£ quy

(b) Chùng minh mồi khổng gian tuyán tẵnh kn l bĐt kh£ quy. Chùng minh

I({a1, a2, , an}) =hx1−a1, x2−a2, , xn−ani Chùng minh c¡c i·u sau

(a) hx2+ 1il  ideal cỹc Ôi trong

R[x]

(b) NáuI R[x1, x2, , xn]l ideal cỹc Ôi thẳV(I) hoc bơng trống hoc gỗm úng mởt im Rn

(c) Cho vẵ dử ideal cỹc Ôi I R[x1, x2, , xn]sao cho V(I) = ∅ Cho k l trữớng vổ hÔn khổng nhĐt thiát õng Ôi số

(a) Chựng minh náu I k[x1, x2, , xn] l  ideal cüc Ôi thẳ V(I) hoc bơng trống hoc gỗm úng mởt im kn

(b) Chựng tọ tỗn tÔi ideal cỹc Ôi I k[x1, x2, , xn]sao cho V(I) =

(c) GiÊ sỷkkhổng õng Ôi số Chựng minh tỗn tÔi ideal cỹc Ôi cừak[x1, x2, , xn] khổng cõ dÔng

hx1a1, x2 −a2, , xn−ani

9 Cho a thùc b§t kh£ quy f ∈C[x1, x2, , xn] Chùng minhV(f)b§t kh£ quy 10 Cho ideal thüc sü I ⊂C[x1, x2, , xn] Chựng minh

I bơng giao cừa tĐt cÊ cĂc

2.7 PhƠn tẵch a tÔp thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ

quy

Ta bưt Ưu vợi tẵnh chĐt sau:

Mằnh à 2.7.1 GiÊ sỷ cõ dÂy giÊm cĂc a tÔp affine

V1 ⊃V2 ⊃V3 ⊃ · · ·

trong kn Khi õ tỗn tÔi số tỹ nhiản N cho VN =VN+1 =· · ·

Chùng minh Thªt vêy, tứ giÊ thiát ta cõ dÂy tông cĂc ideal

I(V1)⊂I(V2)⊂I(V3)⊂ · · ·

trong k[x1, x2, , xn] Do k[x1, x2, , xn] l vnh Noether, tỗn tÔi số tỹ nhiản N choI(VN) =I(VN+1) =· · · Nh÷ng V(I(V)) =V vợi mồi a tÔp affine Vêy

VN =VN+1 =VN+2 =Ã Ã Ã

Kát quÊ trản cho ta kát quÊ cỡ bÊn và cĐu trúc cừa cĂc a tÔp affine nh lỵ 2.7.2 GiÊ sỷ V kn l a tÔp affine Khi õ cõ phƠn tẵch

V =V1 ∪V2∪ .∪Vm, â Vi, i= 1, , m, l a tÔp affine bĐt khÊ quy Vẵ dử 2.7.3 Xt a tÔp affine

V :=V(xzy2, x3yz)

Vẳ cĂc a thựcxzy2 vx3yz bơng khỉng tr¶n trưcz n¶n V(x, y)⊂V º x¡c ành V −V(x, y),ta x²t ideal th÷ìng

Ta s thĐy rơng ideal hxzy2, x3yzi l radican Chú ỵ l  hxz−y2, x3−yzi: hx, yi= (I:x)∩(I: y),

trong âI :=hxz−y2, x3−yzi.º t½nh I: xta s³ t½nhI∩ hxi.Sû dưng thù tü tø iºn

lex vỵi z > y > x ta nhên ữủc

I hxi=hx2zxy2, x4xyz, x3yxz2, x5−xy3i

Ta câ thº bä qua x5−xy3 nâ l tờ hủp cừa cĂc phƯn tỷ thự nhĐt v thù hai

cì sð Do â

I: x = hx

2z−xy2

x ,

x4−xyz

x ,

x3y−xz2

x i

= hxz−y2, x3−yz, x2y−z2i

= I+hx2y−z2i

T÷ìng tü, º t½nhI: y ta t½nh

I∩ hyi=hxyz−y3, x3y−y2z, x2y2−yz2i

Ta câ

I: y = hxyz−y

3

y ,

x3y−y2z

y ,

x2y2−yz2

y i

= hxz−y2, x3−yz, x2y−z2i

= I +hx2y−z2i

= I:x

Vªy

I: hx, yi=hxz−y2, x3yz, x2yz2i

a tÔpW :=V(xzy2, x3yz, x2yz2)l ữớng cong b§t kh£ quy nâ câ thº tham

sè(t3, t4, t5) Vêy ta cõ phƠn tẵchV thnh hai thnh phƯn bĐt khÊ quy V =V(x, y)W

nh nghắa 2.7.4 Cho V kn l a tÔp affine PhƠn tẵch V thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy

nh lỵ 2.7.5 GiÊ sỷ V kn l a tÔp affine Khi õ tỗn tÔi phƠn tẵch tèi thiºu V =V1 ∪V2∪ .∪Vm,

trong âVi, i= 1, , m,l a tÔp affine bĐt khÊ quy v Vi 6Vj vợi mồi i6=j Hỡn nỳa phƠn tẵch trản l nhĐt (sai khĂc php ¡nh thù tü c¡cVi)

Sû dưng t÷ìng ùng mët-mët giỳa cĂc ideal radican v cĂc a tÔp Ôi số, ta cõ nh lỵ 2.7.6 GiÊ sỷkl trữớng õng Ôi sè v I l  ideal radican trongk[x1, x2, , xn] Khi õ I cõ phƠn tẵch tối thiu

I =P1 ∩P2 .∩Pr, â Pi l  ideal nguyản tố v Pi 6Pj vợi mồi i6=j

Ta cơng câ thº sû dưng c¡c ideal th÷ìng º mổ tÊ cĂc ideal nguyản tố xuĐt hiằn biu diạn tối thiu cừa ideal radican

nh lỵ 2.7.7 GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v I l  ideal radican thüc sü k[x1, x2, , xn] cho

I =P1 ∩P2 .Pr,

vợi Pi l cĂc ideal nguyản tố v Pi 6⊂Pj vỵi måi i6=j Khi â Pi l  ideal nguyản tố thỹc sỹ xuĐt hiằn têp {I: f | f ∈k[x1, x2, , xn]}

Vẵ dử 2.7.8 GiÊ sỷI :=hxzy2, x3yzi.Trữợc hát ta giÊ sûI l  ideal radican (thüc

sü, i·u n y óng nhữ ữủc ch dữợi Ơy) Ta hÂy viátI dÔng cĂc ideal nguyản tố

Ta biát rơng

V :=V(I) =V(x, y)∪W,

trong â

W :=V(xz−y2, x3−yz, x2y−z2)

Suy

I =hx, yi=hxz−y2, x3−yz, x2y−z2i

Hìn núa, tø ¯ng thùc

ta nhên ữủc

I =hx, yi (I: x)

biu diạn hx, yi nhữ mởt thữỡng cừa ideal I ta hÂy quan sĂt lĐy V trứ W Vẳ V =V(xzy2, x3yz)nản ta cõ th thĐy I: (x2yz2) =hx, yi. Vêy

I = (I: (x2yz2))(I: x)

Ká ti¸p ta ch¿ c¡c ideal I: (x2y−z2) v  I: xl  ideal nguy¶n tè Hiºn nhi¶n

I: (x2y−z2) = hx, yi

l  ideal nguy¶n tè M°t kh¡c, W =V(xzy2, x3yz, x2yz2) l a tÔp bĐt khÊ quy,

n¶n

I(W) =hxz−y2, x3−yz, x2y−z2i=I: x

l  ideal nguyản tố Vêy phƠn tẵch

I = (I: (x2yz2))(I: x)

l biu diạn cừa ideal I dÔng giao cừa cĂc ideal nguyản tố Vẳ giao cĂc ideal nguyản tè

l  ideal radican, ta suy raI l  radican

Chú ỵ 2.7.9 Lỵ luên ữủc sỷ dửng vẵ dử trản khổng Ăp dửng ữủc trữớng hủp tờng quĂt Lỵ l chựng minh cừa nh lỵ biu diạn cừa cĂc ideal radican phƯn ny ch chựng tọ tỗn tÔi mởt biu diạn tối thiu m khổng ch cĂch tẳm mởt biu diạn ideal radican thnh cĂc ideal nguyản tố Mởt số vĐn à nÊy sinh:

(i) Tỗn tÔi thuêt toĂn kim tra mởt ideal l nguyản tố?

(ii) Tỗn tÔi thuêt toĂn kim tra mởt a tÔp affine l bĐt khÊ quy?

(iii) Tỗn tÔi thuêt toĂn tẳm phƠn tẵch tối thiu cừa mởt a tÔp affine hay mởt ideal radican?

B i tªp

1 Chùng minh giao (tũy ỵ) cừa cĂc ideal nguyản tố l mởt ideal radican Cho ideal nguy¶n tè P ⊂k[x1, x2, , xn] Chùng minh

P:f =

 



P n¸u f 6∈P,

h1i n¸u f ∈P

3 Cho idealI :=hxz−y2, x3−yzi.

(a) Chùng minh I: (x2y−z2) =hx, yi

(b) Chùng minh I: (x2y−z2)l  ideal nguy¶n tè

(c) Chùng minh I =hx, yi ∩ hxz−y2, x3−yz, z2−x2yi

4 Cho idealJ :=hxz−y2, x3−yz, z2−x2yi.

(a) Chùng minh mồi im cừa W :=V(J)cõ dÔng (t3, t4, t5)vợi t ∈k n o â

(b) Chùng minh J =I(W)

(c) Chùng minh I =hx, yi ∩ hxz−y2, x3−yz, z2−x2yi

5 Cho idealI :=hxzy2, z3x5i.

(a) Viát V(I)dÔng hủp cừa cĂc a tÔp bĐt khÊ quy

(b) Viát I dÔng giao cừa cĂc ideal nguyản tố Suy I radican

6 Cho V, W l  c¡c a tÔp affine kn vợi V W. Chựng minh mồi thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa V chựa mởt thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa W

7 Cho a thùc f ∈ C[x1, x2, , xn] Gi£ sû f = f1a1f

a2

2 Ã Ã Ãfsas l phƠn tẵch cừa f thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy Chựng minh

V(f) = V(f1)V(f2) Ã Ã Ã V(fs) l phƠn tẵch cừa V(f) thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy v

2.8 PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa cĂc ideal

ành ngh¾a 2.8.1 idealI ⊂k[x1, x2, , xn] gồi l nguyản sỡ náu f gI suy ho°c

f ∈I ho°c gm ∈I vỵi m nguyản dữỡng no õ.

Vẵ dử 2.8.2 CĂc ideal nguy¶n tè l  nguy¶n idealhx, y2i l  nguy¶n sỡ

Bờ Ã 2.8.3 Náu I l ideal nguyản sỡ thẳ I l ideal nguyản tố v l ideal nguyản tố

nhọ nhĐt chựa I

Bờ Ã ny dăn án nh nghắa sau:

nh nghắa 2.8.4 Náu I l ideal nguyản sỡ vI =P thẳ ta nõi I l P-nguyản sỡ

nh lỵ 2.8.5 Mồi ideal I v nh k[x1, x2, , xn] cõ th viát dÔng giao hỳu hÔn cĂc ideal nguyản sỡ

nh nghắa 2.8.6 PhƠn tẵch nguyản sỡ cõa ideal I l  biºu di¹n I =∩r

i=1Qi

trong õQi l ideal nguyản sỡ PhƠn tẵch gồi l  tèi thiºu n¸u c¡c ideal √

Qi l  ph¥n bi»t v  Qi 6⊃ ∩rj6=iQj

Bê · 2.8.7 Náu I, J l cĂc ideal nguyản sỡ v I =J thẳ IJ l ideal nguyản sỡ

nh lỵ 2.8.8 (Lasker-Noether) Måi ideal I v nh k[x1, x2, , xn] cõ mởt phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiu

Chú ỵ 2.8.9 PhƠn tẵch thnh cĂc nguyản sỡ tối thiu l khổng nhĐt Chng hÔn ideal I :=hx2, xyi k[x, y] cõ hai phƠn tẵch nguy¶n tèi thiºu

hx2, xyi=hxi ∩ hx2, xy, y2i=hxi ∩ hx2, yi

Tuy c¡c ideal hx2, xy, y2i v  hx2, yi l  kh¡c nh÷ng chóng câ còng radican

Bê · 2.8.10 Gi£ sû I l  ideal nguy¶n sì, P :=√I, v  f ∈k[x1, x2, , xn] Khi õ náu f I thẳ I: f =h1i;

náu f 6I thẳ I: f l P-nguyản sỡ;

nh lỵ 2.8.11 (Lasker-Noether) GiÊ sỷ I =r

i=1Qi l phƠn tẵch nguy¶n tèi thiºu cõa ideal thüc sü I ⊂k[x1, x2, , xn] Khi â Pi :=

√

Qi l  c¡c ideal nguy¶n tè thüc sỹ xuĐt hiằn têp {I: f | f k[x1, x2, , xn]}

Nhªn x²t 2.8.12 c biằt, cĂc ideal Pi khổng phử thuởc phƠn tẵch nguy¶n cõa I Ta nâi Pi thc I

Trong phƯn trữợc ta  chựng minh nh lỵ phƠn r ối vợi cĂc ideal trản trữớng õng Ôi số Sỷ dửng cĂc nh lỵ cừa Lasker-Noether ta nhên ữủc kát quÊ sau trản trữớng tũy ỵ

Hằ quÊ 2.8.13 GiÊ sỷ I =r

i=1Qi l phƠn tẵch nguy¶n tèi thiºu cõa ideal radican thüc sü I ⊂k[x1, x2, , xn] Khi â Qi l  ideal nguy¶n tè v  l  ideal nguy¶n tè thüc sỹ xuĐt hiằn têp {I: f | f k[x1, x2, , xn]}

B i tªp

1 Cho idealI :=hx, y2i ⊂

C[x, y]

(a) Chùng minh hx, yi2

( I ( hx, yi Suy I khỉng l  lơy thøa cõa mët ideal

nguy¶n tè

(b) Chùng minh I l  nguy¶n

2 Cho idealI ⊂k[x1, x2, , xn]

(a) Chùng minh I b¬ng giao hỳu hÔn cĂc ideal bĐt khÊ quy

(b) GiÊ sû g ∈k[x1, x2, , xn] Chùng minhI: gk ⊂I: gk+1 vỵi måik ≥1 (c) Gi£ sû f, g∈I cho I:gN =I: gN+1.Chùng minh

(I +hgNi)(I+hfi) = I

3 Ta biát rơng mồi ideal bĐt khÊ quy l nguyản sỡ Bi têp ny chựng tọ iÃu ngữủc lÔi khổng úng GiÊ sỷ I :=hx2, xy, y2i ⊂k[x, y].

(a) Chùng minh I l  nguy¶n

4 Cho idealI :=hx2, xyi ⊂Q[x, y]

(a) Chùng minh

I =hxi ∩ hx2, xy, y2i=hxi ∩ hx2, yi l  c¡c ph¥n tẵch nguyản sỡ tối thiu cừa ideal I

(b) Chùng minh vỵi måi a∈Q ta câ

I =hxi hx2, yaxi

l phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiu cừa ideal I Suy I cõ vổ hÔn cĂch phƠn

tẵch nguyản sỡ tối thiu

5 Chùng minh ideal I l  thüc sü n¸u v  ch¿ n¸u radican√I l  thüc sü

6 Gi£ sû ideal I l  thüc sü Chùng minh måi ideal J ⊂I công l  ideal thüc sü

7 Gi£ sû P1, P2, , Pr l  c¡c ideal nguy¶n tè chùa ideal I (a) Chùng minh √I =∩r

i=1Pi (b) Chùng minh √I = ∩r

i=1Pi khổng nhĐt thiát l phƠn tẵch tối thiu cừa ideal

Ch֓ng 3

a thực v hm hỳu t trản a tÔp

Chữỡng ny khÊo sĂt cĂc Ănh xÔ giỳa cĂc a tÔp CĂc tẵnh chĐt Ôi số cừa a thực v hm hỳu t trản a tÔp cho ta nhỳng tẵnh chĐt hẳnh hồc cừa chẵnh a tÔp õ

3.1 nh xÔ a thực

nh nghắa 3.1.1 ChoV knv W km l cĂc a tÔp Ta nõi: V W l Ănh xÔ a thực (hay Ănh xÔ chẵnh quy) náu tỗn tÔi cĂc a thực f1, f2, , fn ∈k[x1, x2, , xn] cho

φ(a1, a2, , am) = (f1(a1, a2, , am), f1(a1, a2, , am), , fn(a1, a2, , am)) vỵi måi (a1, a2, , am) ∈ V Trong tr÷íng hđp n y (f1, f2, , fn) gåi l  biºu diạn cừa Ănh xÔ

Vẵ dử 3.1.2 Xt cĂc a tÔp

V := V(yx2, zx3)k3, W := V(y3−z2)⊂k2

X²t ph²p chi¸u

Ta câ

π1(V) ={(x2, x3) | x∈k} ⊂W

Suy 1: V W l Ănh xÔ a thực

Mằnh à 3.1.3 ChoV km l a tÔp affine Khi â

(i) f v  g biºu di¹n cịng mët hm a thực trản V náu v ch náu fg ∈I(V)

(ii) (f1, f2, , fn) v  (g1, g2, , gn) biºu di¹n mởt Ănh xÔ a thực : V kn náu v ch náu

figi I(V) vợi mồi i= 1,2 , n

nh nghắa 3.1.4 Kỵ hiằu k[V]l têp tĐt cÊ cĂc hm a thực : V →k

Gi£ sû φ, ψ∈k[V] ành ngh¾a

(+)(p) := (p) +(p), (Ã)(p) := (p)Ã(p)

Dạ thĐy, k[V] vợi cĂc php toĂn tờng v tẵch ny l mët v nh giao ho¡n Tuy nhi¶n, k[V] khỉng l  mi·n nguyản

Vẵ dử 3.1.5 GiÊ sỷ

V =V(x3+xy2xz, x2y+y3−yz)

Ta câ V khỉng b§t kh£ quy doV :=V(x2+y2−z)∪V(x, y)⊂k3. X²t c¡c a thùc

f :=x2+y2−z g := 2x2−3y4z ∈k[x, y, z]

v  gi£ sû φ, l cĂc phƯn tỷ tữỡng ựng cừa k[V] Chú ỵ rơng , khổng ỗng nhĐt

bơng khổng trản V : chng hÔn, tÔi (0,0,5)V (0,0,5) =f(0,0,5) =56=

Tữỡng tỹ, tÔi (1,1,2) V ta cõ (1,1,2) =g(1,1,2) =4 6= Tuy nhiản à bơng

khổng tÔi mồi im thuởc V Lỵ l

f ·g = (x2+y2−z)(2x2−3y4z)

= 2x(x3+xy2−xz)−3y3z(x2y+y3−yz)

∈ hx3+xy2−xz, x2y+y3−yzi

M»nh · 3.1.6 Gi£ sû V, W kn l cĂc a tÔp affine CĂc kh¯ng ành sau l  t÷ìng

֓ng

(i) V bĐt khÊ quy

(ii) I(V) l ideal nguyản tố

(iii) k[V] l mởt miÃn nguyản

Bi têp

1 Gi£ sû V := V(y−x2, z−x3) ⊂ R3 v  W := V(v−u−u2) ⊂

R2 Chùng minh

Ănh xÔ (x, y, z) := (xy, z+x2y2)xĂc nh mởt Ănh xÔ tứ V voW

2 GiÊ sỷV :=V(yx)R2v xt Ănh xÔ:

R2 R3,(x, y)7(x2y, y2, x3y2)

nh cừa V qua l mởt a tÔp affine trongR3.Tẳm hằ cĂc phữỡng trẳnh xĂc nh

Ênh (V)

3 Cho a tÔp affine V :=V(x2y2z2+z3)

R3

(a) Gi£ sû φ: V → R,(x, y, z) 7→ z, l Ănh xÔ a thực Vợi mội c R, chựng

minh 1(c)l a tÔp affine xĂc nh bi hằ cĂc phữỡng trẳnh

x2y2z2+z3 = 0, zc =

(b) Khỷ z giỳa hai phữỡng trẳnh trản xĂc nh phữỡng trẳnh cừa a tÔp V ∩ {z =c}

(c) Gi£ sû π:V →R,(x, y, z)7→x.Mỉ t£ c¡c m°t mùc π−1(c)trong c¡c tr÷íng

hđp c=1,0,1

(d) Tữỡng tỹ cƠu họi trản ối vợi Ănh xÔ : V R,(x, y, z)7y

(e) XƠy dỹng mởt Ănh xÔ a thực : RV v tẳm Ênh (R)

4 Cho a tÔp affine V := V(z2−(x2 +y2 −1)(4−x2−y2)) ⊂ R3 v  ph²p chi¸u

(a) T¼m (a, b)∈R2 sao cho π−1(a, b) cõ nhiÃu phƯn tỷ nhĐt.

(b) Tẳm cĂc têp RR2 sao cho (a, b)R thẳ 1(a, b) gỗm óng hai, mët,

khæng iºm

(c) Suy h¼nh håc cõa V

5 Chùng minh c¡c ¡nh xÔ 1(x, y, z) = (2x2 +y2, z2 y3 + 3xz) v  φ2(x, y, z) =

(2y +xz,3y2) biºu diạn mởt Ănh xÔ a thực tứ ữớng cong xo­n bªc ba

V :=V(y−x2, z−x3)⊂

R3 v oR2

6 Cho Ănh xÔ : R2

R5,(u, v)7(u, v, u2, uv, v2)

(a) a tÔp S :=(R2) gồi l mt Veronese Tẳm cĂc phữỡng trẳnh ân x¡c ành

S

(b) Chùng minh ph²p chi¸u π: S → R2,(x

1, x2, x3, x4, x5) (x1, x2) l Ănh xÔ

ngữủc cừa : R2 →S.Suy quan h» giúa S v 

R2

7 Bi têp ny c trững cĂc a tÔp affine V m  I(V) ={0}

(a) Gi£ sûk l  trữớng vổ hÔn vV knl a tÔp affine Chựng minhI(V) ={0} n¸u v  ch¿ n¸u V =kn

(b) Chùng tọ náuk hỳu hÔn thẳ khổng th xÊy I(V) = {0}

8 Cho a tÔp affine V :=V(xy, xz)⊂R3.

(a) Chùng minh c¡c h m a thùc f = y2+z3 v g = x2 x khổng ỗng nhĐt

bơng khổng trản V tẵch cừa chúng ỗng nhĐt bơng khổng trản V

(b) Tẳm V1 =V ∩V(f)v  V2 =V ∩V(g)

(c) Chùng minh V =V1∪V2

9 Cho V l a tÔp bĐt khÊ quy v cĂc hm f, g k[V] ữủc biu diạn bði c¡c a

thùc f, g Gi£ sû φ, khổng ỗng nhĐt bơng khổng k[V] tẵch cừa

chúng ỗng nhĐt bơng khổng trản V

(a) Chùng minh V = (V ∩V(f))∪(V ∩V(g))

(b) Chùng minh V ∩V(f) ho°c V ∩V(g) khỉng thº b¬ng V Suy mët m¥u

10 Bi têp ny chựng tọ khổng tỗn tÔi Ănh xÔ a thùc kh¡c h¬ng tø V = R v o W =V(y2x3+x)R2. Do õ cĂc a tÔp ny khổng ng cĐu.

(a) Gi£ sû φ: R → W l  ¡nh xÔ a thực biu diạn bi (t) = (a(t), b(t)) vợi a(t), b(t)R[t].TÔi cõ ng thực b(t)2 =a(t)(a(t)21)?

(b) Chùng tä a(t)v  a(t)2−1 nguy¶n tè cịng

R[t]

(c) Chựng tọ tỗn tÔi a thực c(t) R[t] nguyản tố vợi a(t) cho b2 =ac2

(d) Chùng minh c2 =a2−1. Suy c, av  vªy b l  c¡c a thùc hơng

3.2 Thữỡng cừa cĂc vnh a thực

ành ngh¾a 3.2.1 Gi£ sû I ⊂ k[x1, x2, , xn] l  ideal v  f, g ∈ k[x1, x2, , xn] Ta nâi f v g ỗng modulo I náu f g I;khi õ ta viát

f g mod I

Vẵ dö 3.2.2 Gi£ sû I := hx2 −y2, x+y3 + 1i ⊂ k[x, y] Khi â f := x4 −y4+x v g :=x+x5+x4y3+x4 ỗng modulo I vẳ

fg = x4−y4−x5−x4y3−x4

= (x2 +y2)(x2−y2)−x4(x+y3+ 1)∈I

Ta câ tẵnh chĐt sau

Mằnh à 3.2.3 GiÊ sỷ I ⊂k[x1, x2, , xn] l  ideal Khi õ quan hằ ỗng modulo

I l mởt quan hằ tữỡng ữỡng

Nhữ vêy cõ th nh nghắa lợp tữỡng ữỡng

[f] :={g k[x1, x2, , xn]| g ≡f mod I}

°c biằt, náuI =I(V) l ideal cừa a tÔp V thẳ g ≡f mod I(V) n¸u v  ch¿ n¸u f

M»nh · 3.2.4 Gi£ sû

Ψ : k[V]→k[x1, x2, , xn]/I(V), φ7→[f],

thiát lêp tữỡng ựng mởt hm a thực : V k vợi lợp tữỡng ữỡng [f] õ f l 

mët biºu di¹n cõaφ Khi â Ψ l  mởt-mởt

nh nghắa 3.2.5 Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng

k[x1, x2, , xn]/I :={[f] | f ∈k[x1, x2, , xn]} gåi l  th÷ìng cõa k[x1, x2, , xn] modulo idealI

V½ dư 3.2.6 Gi£ sû k =R, n = v  I :=hx2−1i Theo thuªt to¡n chia Euclid, måi

a thùcf ∈R[x] câ thº vi¸t

f =q(x2−2) +r

trong â r=ax+b vỵi a, b∈R.Suy

f ≡r mod I

Vªy

R[x]/I ={[ax+b] | a, b∈R}

Tr¶n k[x1, x2, , xn]/I x²t c¡c ph²p to¡n

[f] + [g] := [f+g], [f]·[g] := [f·g]

Ta câ

M»nh à 3.2.7 CĂc php toĂn nh nghắa trản l hủp lằ

Vẵ dử 3.2.8 Xt thữỡng R[x]/hx21i={[ax+b] |a, bR} D¹ d ng kiºm tra

[ax+b] + [cx+d] = [(a+c)x+ (b+d)], [ax+b]·[cx+d] = [(ad+bc)x+ (bd+ 2ac)]

nh lỵ 3.2.10 GiÊ sỷ

:k[x1, x2, , xn]/I(V)→k[V], [f]7→φ,

trong â φ: V k l hm a thực ữủc biu diạn bi f ∈k[x1, x2, , xn] Khi â

Φ([f] + [g]) := Φ([f]) + Φ([g]), Φ([f]·[g]) := Φ([f])·Φ([g])

H» qu£ 3.2.11 Ta câ ¯ng c§u v nh

k[x1, x2, , xn]/I(V)'k[V] V½ dư 3.2.12 Gi£ sû V :={(0,0)} Ta câ I(V) =hx, yi Do â

k[x, y]/I(V)'k[V]

Hìn núa, câ thº chùng minh

Φ : k[x, y]/I(V)→k, [f]7→f(0,0)

l  ¯ng cĐu vnh

Vẵ dử 3.2.13 GiÊ sỷI :=hx3+y2,3y4i k[x, y].Dạ thĐy V(I) = {(0,0)}.Tuy nhiản

k[x, y]/I khổng ng cĐu vợi k.Thêt vêy, xt [y]k[x, y]/I Ta cõ y6∈I Do vªy

v nhk[x, y]/I ta câ [y]6= 0.Những[y]4 = [y4] = 0 vẳy4 I.Do õ tỗn tÔi ph¦n tû kh¡c

khỉng trongk[x, y] câ lơy thøa bêc bốn bơng khổng iÃu ny khổng th xÊy

mởt trữớng Vêy k[x, y]/I khổng phÊi trữớng H» qu£ l  k[x, y]/I(V) ' k v  k[x, y]/I

khỉng ¯ng c§u

Gi£ sû I l  ideal v V :=V(I) Khi â câ thº x£y

k[x1, x2, , xn]/I(V)6'k[x1, x2, , xn]/I

Thªt vªy, gi£ sû ideal I khỉng l radican Khi õ tỗn tÔi f I f 6∈ I Do â

trong k[x1, x2, , xn]/I câ [f] 6= [0] nh÷ng [f]n = [0] vợi n nguyản dữỡng no õ Bi vêy v nhk[x1, x2, , xn]/I câ c¡c ph¦n tỷ lụy linh, õ khổng tỗn tÔi phƯn tû lôy linh v nh k[x1, x2, , xn]/I(V) ideal I(V) l  radican

M»nh · 3.2.14 Gi£ sûI l  ideal trongk[x1, x2, , xn].Khi õ tỗn tÔi tữỡng ùng mët-mët giúa c¡c ideal v nh th÷ìngk[x1, x2, , xn]/Ivỵi c¡c ideal trongk[x1, x2, , xn] chùa I

V½ dư 3.2.15 Gi£ sûI :=hx3−4x+ 3i ⊂R:=

R[x].Ta câ R l  mi·n ideal ch½nh Tùc

l  måi ideal R sinh bði mët a thùc Suy c¡c ideal chùa I l  c¡c ideal sinh bði

a thùc chia h¸t chox3 4x+ 3.Vêy thữỡng R/I cõ úng phƯn tỷ

C¡c ideal R/I c¡c ideal R/I chùaI

{[0]} I

{[x−1]} hx−1i {[x−3]} hx−3i

R/I R

Ta cơng câ thº x¡c ành R/I b¬ng cĂch xĂc nh phƯn chia a thực f cho x3−4x+ 3.

H» qu£ 3.2.16 Måi ideal v nh th÷ìng k[x1, x2, , xn]/I l  hỳu hÔn sinh

Bi têp

1 Bi têp ny xƠy dỹng mởt trữớng chựaQ

(a) Chựng minh vợi mồi f Q[x] tỗn tÔi a, bQ cho

f =ax+b mod I,

trong â I =hx2−2i ⊂Q[x]

(b) Chùng minh lỵp cõa x Q[x]/I thäa m¢n [x]2 = [2].

(c) Chùng minh F =Q[x]/I l trữớng

(d) Tẳm mởt trữớng cừa F ng cĐu vợiQ

(a) Chựng minh vợi mồi f Q[x] tỗn tÔi a, bQ cho

f =ax+b mod I,

trong â I =hx2+ 1i ⊂

R[x]

(b) Chùng minh lỵp cõa x Q[x]/I thäa m¢n [x]2 = [2].

(c) Sỷ dửng phƯn (a) xƠy dỹng cĂc php toĂn cởng v nhƠn trảnR[x]/I

(d) Tỗn tÔi mởt vnh khĂc ng cĐu vợiR[x]/I?

3 Chựng minh R[x]hx24x+ 3i khổng phÊi miÃn nguyản

4 Bi têp ny chựng tọ cõ th xƠy dỹng vnh thữỡng R/I I l  mët ideal cõa

v nh giao ho¡n R

(a) Gi£ sû I =hpi ⊂R =Zvỵi pl  sè nguy¶n tè X²t quan h» m≡n mod p ⇔ m−n chia hát cho p

Chựng minh Ơy l quan hằ tữỡng ữỡng Liằt kả tĐt cÊ cĂc lợp tữỡng ữỡng Kỵ hiằu têp cĂc lợp tữỡng ữỡng l Z/hpi

(b) X¥y düng c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n trản Z/hpi

(c) Chựng minh Zhpi vợi cĂc php toĂn nh nghắa trản l mởt vnh giao hoĂn

(d) Chựng minh trữớng hỳu hÔnFp ng cĐu vnh vợi Z/hpi

5 Gi£ sûR, S l  c¡c v nh vỵi phƯn tỷ ỡn v l1R,1S.Cho ỗng cĐu vnh: R S (a) Chùng minh φ(1R) = 1S

(b) Chùng minh náu r R cõ phƯn tỷ ngữủc r1 R ối vợi php nhƠn thẳ

(r1)l phƯn tỷ ngữủc cừa (r) ối vợi php nhƠn (trong S).

(c) Chựng minh náu R ng cĐu vnh vợi S v R l mởt trữớng thẳ S cụng l

mởt trữớng

6 Chựng minh Ănh xÔ : k[x, y] → k, f 7→ f(0,0), c£m sinh mët ¯ng c§u v nh k[x, y]/hx, yi 'k

(a) Chùng minh [x] l  ph¦n tû lơy linh trongR/I Tẳm số nguyản dữỡng n nhọ

nhĐt cho [x]n=

(b) Chùng minh måi ph¦n tû thuởcR/I cõ biu diạnb+a õ a, bk v kỵ hiằu cho [x]

(c) Cho trữợc b+a R/I ta cõ th nh nghắa Ănh xÔ R R/I bơng cĂch

tữỡng ựng mội x=b+a vợi phƯn tỷf(x)R Vẵ dử náu b+a = + v f(x) =x2 th¼ (2 +)2 = + 4+2 = 4+ Chùng minh

f(b+a) = f(b) +a·f0(b),

trong â f0 l Ôo hm hẳnh thực cừa a thực f

(d) GiÊ sỷ= [x]k[x]/hx3i.Thiát lêp cổng thực tữỡng tỹ ph¦n (c) chof(b+a)

8 Gi£ sû R l  v nh giao hoĂn Chựng minh têp tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ lôy linh cõa R l 

mët ideal R

9 (a) Gi£ sû I ⊂J l  c¡c ideal k[x1, x2, , xn] Chùng minh

J ={f ∈k[x1, x2, , xn] | [f]∈J/I}, â J/I :={[J] | j ∈J}

(b) Gi£ sû J˜l  ideal trong k[x1, x2, , xn]/I.Chùng minh ˜

J ={[f]∈k[x1, x2, , xn]/I | f ∈J}, â J :={j | [j]∈J˜}

10 Gi£ sû R, S l  cĂc vnh giao hoĂn v : RS l ỗng cĐu v nh

(a) Chùng minh n¸u J ⊂S l  ideal thẳ1(J) l ideal R

(b) Chựng minh náu l ng cĐu vnh thẳ tỗn tÔi mởt tữỡng ùng mët-mët v 

l¶n, b£o to n quan h» bao h m, giúa c¡c ideal R vỵi c¡c ideal trongS

11 Bi têp ny nghiản cựu cĂc ideal v nh th÷ìng (a) Cho ideal I = hx2 −xi ⊂ R =

R[x] X¡c ành c¡c ideal v nh thữỡng

R/I

12 Bi têp ny nghiản cựu cĂc ideal vnh thữỡng cừa R[x, y]

(a) Cho ideal I =hx2−xi ⊂R=R[x, y] X¡c ành c¡c ideal v nh th÷ìng R/I

(b) óng hay sai: R[x, y]/hx3, yi ng cĐu vnh vợiR[x, y]/hx2, y2i?

13 Cho ỗng cĐu vnh : k[x1, x2, , xn]→S

(a) Chùng minh kerφ := {r ∈ k[x1, x2, , xn] | φ(r) = ∈ S} l  ideal

k[x1, x2, , xn]

(b) Chùng minh tẵnh hủp lằ cừa Ănh xÔ

v: k[x1, x2, , xn]/kerφ →S, [r]7→φ(r) (c) Chùng minh v l ỗng cĐu vnh

(d) GiÊ sỷ l Ănh xÔ lản Chựng minh v l mởt-mởt v lản

14 Cho Ănh xÔ : k[x1, x2, , xn] → k[V], f 7→ φ(f), õ (f) ữủc biu diạn bi a thực f X¡c ành kerφ

3.3 V nh tåa ë

Ph¦n n y nghi¶n cùu v nh k[V] c¡c h m a thùc tr¶n a tÔp affine V kn Sỷ

dửng ng c§u

k[V]'k[x1, x2, , xn]/I(V)

ta s ỗng nhĐt k[V] vợi k[x1, x2, , xn]/I(V) Do â vỵi f ∈ k[x1, x2, , xn] kỵ hiằu

[f] cõ nghắa l hm a thực k[V] biu diạn bi f

°c bi»t, méi bi¸n xi x¡c ành mët h m [xi] : V →k,(p1, p2, , pn)7→pi Ta gåi

[xi]l  h m tåa ë thùi tr¶nV.Khi â ¯ng c§uk[V]'k[x1, x2, , xn]/I(V)ch¿ c¡c h m tåa ë sinh k[V]: måi h m a thực trản V l tờ hủp tuyán tẵnh (vợi cĂc h» sè

trongk) cõa c¡c t½ch cõa [xi] i·u ny dăn án nh nghắa sau

NhiÃu kát quÊ cừa phƯn trữợc cõ th phĂt biu lÔi theo thuêt ngỳ cừa vnh tồa Vẵ dử:

ã a tÔp affine V bĐt khÊ quy náu v ch náu k[V] l miÃn nguyản

ã GiÊ sỷ k =C Khi õ a tÔp V Cn cõ hỳu hÔn phƯn tỷ náu v ch náu

C[V] l

khổng gian vector hỳu hÔn chiÃu trản C

nh nghắa 3.3.2 Cho a tÔp affineV kn

(i) Vỵi méi ideal J :=hφ1, φ2, , si k[V], kỵ hiằu

VV(J) :={(a1, a2, , an)∈V | φ(a1, a2, , an) = vỵi måiφ∈J} v  gåi l  a tÔp cừa V

(ii) Vợi mội têp W V kỵ hiằu

IV(W) :={ k[V] | (a1, a2, , an) = vỵi måi(a1, a2, , an)∈W} V½ dư 3.3.3 Gi£ sỷ V :=V(zx2y2)R3. NáuJ :=h[x]i

R[V] thẳ

W =VV(J) ={(0, y, y2) | y∈R} ⊂V

l  a tÔp cừaV.Chú ỵ rơng kát quÊ ny cụng úng cho a tÔpV(zx2y2, x)R3.

Tữỡng tỹ, náu W ={(1,1,2)} ⊂V th¼

IV(W) = h[x−1],[y−1]i

Kh¯ng ành sau thiát lêp quan hằ giỳa cĂc a tÔp cừa a tÔp affine V v cĂc

ideal trongk[V]

Mằnh à 3.3.4 GiÊ sỷ V l a tÔp affine kn. Khi â

(i) Vỵi méi ideal J k[V], têp W :=VV(J)V l mởt a tÔp affine kn (ii) Vợi mội têp W V, IV(W) l  mët ideal cõa k[V]

(iv) Náu W l mởt a tÔp cừa V thẳ W =VV(IV(W))

Ta công câ c¡c ideal radican k[V] tữỡng ựng vợi cĂc ideal radican k[x1, x2, , xn] chùaI(V) Cö thº

M»nh · 3.3.5 Gi£ sû J l  ideal k[V] v  ˜

J :={f ∈[x1, x2, , xn] | [f]∈J} ⊂k[x1, x2, , xn] Khi â J l  radican n¸u v  ch¿ n¸u J˜l  radican

nh lỵ 3.3.6 GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v V l a tÔp affine kn. Khi â (i) N¸u J l  ideal k[V] th¼

IV(VV(J)) = √

J ={[f]∈k[V] | [f]m ∈J}

(ii) C¡c t÷ìng ùng

(

c¡c a tÔp affine

W V

) IV

−→ VV

←−

(

c¡c ideal radican

J ⊂k[V]

)

l  song ¡nh bao h m £o ng÷đc v  l  ng÷đc cõa

(iii) Hìn núa, qua t÷ìng ùng IV, c¡c im cừa V tữỡng ựng vợi cĂc ideal cỹc Ôi

k[V]

ành ngh¾a 3.3.7 Gi£ sû V km v W kn l cĂc a tÔp ¤i sè Ta nâi V v  W l  ¯ng c§u Ôi số náu tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ a thực α: V → W v  β: W → V cho α◦β = idW v  β◦α= idV

V½ dư 3.3.8 a tÔpW kn ng cĐu vợikm náu tỗn tÔi Ănh xÔ a thực mởt-mởt lản

: km W vợi Ănh xÔ ngữủc cụng l a thực Khi â ta câ mët tham sè hâa a thùc cõa W

V½ dư 3.3.9 TrongR3 kh£o s¡t hai m°t

Q1 := V(x2−xy−y2 +z2) = V(f1),

Ta hÂy nghiản cựu ữớng congC :=V(f1, f2) Nhên x²t r¬ng

C =V(f1, f1+cf2) c∈R, c6=

Vẳ vêy mtFc :=V(f1 +cf2)cụng chựa C.Ta hÂy chồn c cho mt Fc cõ dÔng ỡn giÊn Chng hÔn, lĐyc=1ta ữủc

F1 =V(f1f2) =V(zxy)

Ta cõ F1 ng cĐu vợiR2.Thêt vêy, xt cĂc Ănh xÔ a thực

α: R2 →Q, (x, y)7→(x, y, xy),

v 

π: Q→R2, (x, y, z)7→(x, y).

Ta câ α◦π = idQ v π◦α= idR2

Do â ÷íng cong C ⊂Q câ thº ÷a v· c¡c ÷íng cong mt phngR2 nhữ

sau nh cừaC qua php chiáu π x¡c ành bði

π(C) =V(x2y2 +x2−xy−y2)

V¼C v (C) ng cĐu, nản cĂc tẵnh chĐt cừa C ÷đc b£o to n qua ph²p chi¸u π °c

bi»t, méi iºm (a, b) ∈π(C) t÷ìng ùng óng mët iºm (a, b, ab)∈C M°t kh¡c, ÷íng

cong π(C) câ tham sè hâa

x := −t

2+t+ 1

t2+ 1

y := −t

2+t+ 1

t(t+ 2)

Tø â, sû döng ¡nh xÔ , dng suy tham số cừa ữớng congC

Vẵ dử trản dăn án cƠu họi: no hai a tÔp l ng cĐu? Phữỡng phĂp ¥y l  sû dưng c¡c ¯ng c§u

k[V]'k[x1, x2, , xn]/I(V) v  k[W]'k[x1, x2, , xn]/I(W)

Thêt vêy, ta thĐy rơng náu cõ Ănh xÔ a thực : V W thẳ vỵi måi h m a thùc φ: W →k ta câ hm a thực : V k Nhữ vêy ta ữủc Ănh xÔ tứ k[W] vo k[V]

M»nh · 3.3.10 Gi£ sû V v  W l  c¡c a tÔp

(i) GiÊ sỷ : V W l Ănh xÔ a thực Khi õ vợi mồi hm a thùc φ: W →k ta

câ φ◦α:V →k cụng l mởt hm a thực Hỡn nỳa, Ănh xÔ : k[W]k[V], 7,

l mởt ỗng cĐu vnh v l ỗng nhĐt trản cĂc hm hơng

(ii) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f: k[W] k[V] l mởt ỗng cĐu vnh v l ỗng nhĐt trản cĂc

Ănh xÔ hơng Khi õ tỗn tÔi nhĐt Ănh xÔ : V W cho f =

nh lỵ 3.3.11 Hai a tÔp affineV v W l ng cĐu náu v ch náu tỗn tÔi ng cĐu f: k[V]k[W] m l ỗng nhĐt trản cĂc Ănh xÔ hơng

Vẵ dử 3.3.12 Xt Ănh xÔ tuyán tẵnh LA: kn kn, x 7→ Ax, â A l  ma trªn vuổng cĐpn khÊ nghch vợi cĂc phƯn tỷ thuởc k.Khi õ Ănh xÔ

LA: k[x1, x2, , xn]→k[x1, x2, , xn]

l  ¯ng c§u v nh Suy LA l  ¯ng c§u v  bi vêy V ' LA(V) vợi mồi a tÔp

V ⊂kn.

V½ dư 3.3.13 Gi£ sû f k[x, y] v xt ỗ th cừaf : V :=V(zf(x, y))k3

Ta cõ V 'k2.Thêt vêy, php chiáu

:V k2, (x, y, z)7(x, y),

l Ănh xÔ ngữủc cừa php tham số hõa cừa ỗ th cừaf : α: k2 →V, (x, y)7→(x, y, f(x, y))

ng cĐu giỳa cĂc vnh tồa tữỡng ựng Ănh xÔxĂc nh bơng cĂch thayz =f(x, y)

V½ dư 3.3.14 Gi£ sû V :=V(y5−x2)⊂

R2 nh xÔ a thực f: V R,(x, y)7x l

mởt-mởt, V khổng ng cĐu vợi R Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi tỗn tÔi ng cĐu : RV Khi õ Ănh xÔ: R[V]R[u] l mởt ng cĐu vnh, â

α∗([x]) = c(u), α∗([y]) =d(u),

vỵi c(u), d(u) R[u] Vẳ y5 x2 biu diạn hm bơng khỉng tr¶n V n¶n α∗(y5−x2) =

(d(u))5−(c(u))2 = 0

R[u]

Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, bơng c¡ch s­p x¸p α cho α(0) = (0,0) ∈ V, câ

thº gi£ sû c(0) =d(0) = Ta câ thº vi¸t

c(u) = c1u+c2u2+· · · ,

d(u) = d1u+d2u2+· · · ,

trong õ ci, dj R Chú ỵ (d(u))5 khổng chựa lụy thứa cừa u bêc thĐp hỡn u5 Tứ hằ

thùc(d(u))5−(c(u))2 = suy (c(u))2 cơng khỉng chùa lụy thứa cừau bêc thĐp hỡn u5.Tuy nhiản

(c(u))2 =c21u2 + 2c1c2u3+ (c22+ 2c1c3)u4+· · ·

Vªy c1 = c2 = v  â lôy thøa nhä nh§t xu§t hi»n (c(u))2 l  u2 Tø â câ

d1 =

Suy u khæng thuëc Ênh cừa vẳ Ênh cừa gỗm cĂc a thực c(u) v d(u)

iÃu ny mƠu thuăn l mởt ng cĐu vnh tứ R[V] lản R[u]

Bi têp

1 GiÊ sỷ C l ữớng cong xo­n bªc ba k3.

(a) Chùng minh C l a tÔp cừa mt S =V(xzy2)

(b) T¼m ideal J ⊂k[S] cho C=VS(J) Gi£ sû V Cn l a tÔp affine khĂc trống

(a) Gi£ sû φ ∈C[V] Chùng minhVV(φ) =∅ n¸u v  ch¿ n¸u φ kh£ nghàch

(b) Khng nh trản cỏn úng khổng náu thay C bi R?

3 ChoV =V(y−xn, z−xm)vỵi n, ml  c¡c sè nguyản dữỡng Chựng minh V ng cĐu vợi k.(HÂy xƠy dỹng tữớng minh cĂc Ănh xÔ a thực:k V v β:V →k

sao cho α◦β = 1V v  β◦α= 1k)

4 Chùng minh måi m°t k3 x¡c nh bi phữỡng trẳnh xf(y, z) = 0 hoc

yg(x, z) = Ãu ng cĐu (nhữ mởt a tÔp) vợi k2.

5 Cho a tÔp affine V =V(xn−f(x1, x2, , xn−1))⊂kn Chùng minh V ng cĐu

(nhữ mởt a tÔp) vợi kn1

6 Chùng minh måi heperbol R2 câ c¡c ÷íng ti»m cªn ngang v  ùng v  i

qua c¡c im (0,0)v (1,1)ữủc xĂc nh bi phữỡng trẳnh dÔng xy+tx(t+ 1)y=

vỵi t∈R n o â

7 Gi£ sûα: V →W l  mët ¯ng c§u a thùc giúa cĂc a tÔp affineV vW GiÊ sỷ U = VV(I) vỵi ideal I n o â v nh k[V] Chùng minh (U) l a tÔp cừa W Tẳm idealJ k[W] cho α(U) =VW(J)

8 Gi£ sûf: k[V]→k[W]l  ¯ng cĐu vnh giỳa cĂc vnh tồa cho hÔn chá cừa f trản k l Ănh xÔ ỗng nhĐt GiÊ sỷ rơng V km vợi cĂc tồa x

1, x2, , xm Chùng minh náuF k[x1, x2, , xm]thẳ f([F]) =F(f([x1]), f([x2]), , f([xm]) Cho a tÔp affine V =V(z−x2−y2)⊂

R3

(a) Chùng minh a tÔp conW ={(1,1,2)} V chẵnh l a tÔpV([x1],[y1])

Tứ â suy h[x−1],[y−1]i ⊂IV(W) (b) Chùng minh h[x−1],[y−1]i=IV(W)

10 Cho a tÔp affine V =V(y23x2z+ 2)R3 v Ănh xÔ tuyán tẵnh L

A: R3 R3 nh nghắa bði ma trªn

A=



 

2 1 0 1



(a) Chùng minh LA l ng cĐu tuyán tẵnh (b) Tẳm phữỡng trẳnh xĂc nh Ênh LA(V)

11 Cho ữớng cong xoưn bêc ba V =V(y−x2, z−x3)⊂

R3

(a) T¼m ma biu diạn php quay ngữủc chiÃu kim ỗng hỗ quanh trửcz mởt

gõc /6

(b) Tẳm phữỡng trẳnh xĂc nh Ênh cừaV qua php quay trản

12 B i tªp n y chùng täV =V(y5−x2)⊂

R2 khỉng ng cĐu (giỳa cĂc a tÔp affine)

vợi R.Chựng minh ny sỷ dửng cĐu trúc Ôi số cừaR[V].Chúng ta s chựng minh R[V] khổng ng cĐu vnh vợi R[t]-vnh tồa cừa R

(a) GiÊi thẵch tÔi mội phƯn tỷ cừaR[V]ữủc biu diạn nhĐt bi a thực

cõ dÔng a(y) +b(y)x,trong õ a, b,R[y]

(b) Biu diạn tẵch(a+bx)(a0 +b0x) trongR[V] cõ dÔng nhữ phƯn (a)

(c) GiÊ sỷ tỗn tÔi ng cĐu vnh: R[t]R[V].Vẳ l lản, tỗn tÔi cĂc a thực f, g ∈ R[t] cho x =α(f(t)) v  y = (g(t)) Sỷ dửng phƠn tẵch nhĐt

cừa f, g v phƯn (b) suy mƠu thuăn

13 GiÊ sỷ V R3 l mt tiáp xúc cừa ữớng cong xo­n bªc baC =V(y−x2, z−x3).

(a) Chùng minh tham số hõa thổng thữớng trản V thiát lêp tữỡng ùng mët-mët

giúa c¡c iºm thc V vỵi c¡c iºm thuëc R2.

(b) Chùng minh c¡c iºm thuëcC l cĂc im ký d cừa a tÔp V

(c) Gi£ sûα: R2 →V l  tham sè hâa a thực cừaV.Chựng minh náu(a, b)C

thẳ ma Ôo hm cừa tÔi (a, b) cõ hÔng <2

(d) GiÊ sỷ: V R2 l Ănh xÔ ngữủc cừa. Sỷ dửng Ôo hm hm hủp, chựng

tọ (c) sai náu ta xt im (a, b) vợi (a, b)C

3.4 Hm hỳu t trản a tÔp

Kỵ hi»u

k(x1, x2, , xn) :=

f(x1, x2, , xn)

g(x1, x2, , xn)

| f, g∈k[x1, x2, , xn], g6=

l  tr÷íng c¡c h m húu t¿

Gi£ sû R l  mi·n nguy¶n Khi â câ th nh nghắa trữớng thữỡng hay trữớng cĂc

phƠn thựcQF(R)cừaR nhữ sau: cĂc phƯn tỷ cừaQF(R)cõ dÔngr/strong õr, sR

v  s6= Tr¶nQF(R) x²t c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n:

r/s+t/u= (ru+ts)/(su) v  r/s·t/u=rt/(su)

Hai ph¥n thực r/s v t/u biu diạn mởt phƯn tỷ QF(R) náu rs0 = r0s Dạ

dng chựng minhQF(R)l mởt trữớng Hỡn nỳa,QF(R)chựa têp {r/1|r R} '

R

Náu V l a tÔp bĐt khÊ quy thẳ k[V] l miÃn nguyản Do õ cõ trữớng thữỡng QF(k[V]).Bi vêy cõ nh nghắa:

nh nghắa 3.4.1 GiÊ sỷ V kn l a tÔp bĐt khÊ quy Ta gồi QF(k[V]) l trữớng hm trản V v kỵ hi»u l  k(V)

Bði ành ngh¾a ta câ

k(V) = {φ/ψ |φ, ψ ∈k[V], ψ 6= 0}

= {[f]/[g] | f, g ∈k[x1, x2, , xn], g 6I(V)}

Chú ỵ rơng phƯn tỷ /k(V) xĂc nh mởt hm ch trản phƯn bũ cừa VV(ψ) V½ dư 3.4.2 Gi£ sû V =kn.Khi â k[V] =k[x1, x2, , xn] v  â

k[V] =k(x1, x2, , xn)

Vẵ dử 3.4.3 Xt a tÔp affine V = V(y5 −x2) ⊂ R2. Ta câ V b§t kh£ quy Do õ

R[V] l miÃn nguyản Bơng cĂch biu diạn cĂc phƯn tỷ cừa R[V] qua phƯn modulo

G={y5−x2} ta ÷đc

R[V] ={a(y) +xb(y) |a, b∈R[y]}

TrảnR[V] cõ php nhƠn

Ká tiáp ta mổ tÊ trữớng hm R(V) Náuc+xdR[V] thẳ ta cõ thº vi¸t

a+xb c+xd =

a+xb c+xd ·

c−xd c−xd = (ac−y

5d) +x(bc−ac)

c2−y5d2

= ac−y

5d

c2−y5d2 +x

bc−ac c2−y5d2

â l  mët ph¦n tû cõa R(y) +xR(y)

Mt khĂc, thĐy rơng mội phƯn tỷ cừa R(y) +xR(y) cơng x¡c ành mët ph¦n

tû cõaR(V) Vêy cõ th ỗng nhĐt

R(V)R(y) +xR(y)

Ká tiáp xt cĂc Ănh xÔ

: V R, (x, y)7→x/y2, β: R→V, u7→(u5, u2)

Ta câ α x¡c nh tÔi mồi im thuởc V \ {(0,0)}, β l  tham sè hâa a thùc

cõa V Xt cĂc Ănh xÔ cÊm sinh

: R(u)R(V), f(u)7f(x/y2),

β∗: R(V)→R(u), a(y) +xb(y)7→a(u2) +u5b(u2)

Ta chùng minh v l cĂc ng cĐu vnh Thêt vêy, câ thº ch¿ α∗ v  β∗ b£o

to n c¡c ph²p to¡n têng v  t½ch º chùng minhα∗ v  khÊ nghch, ta nhên xt rơng (f) = f(x/y2) vỵi måi f(u) ∈ R(u) Suy β∗(α∗(f)) =f(u5/(u2)2) = f(u) Do õ l Ănh xÔ ỗng nhĐt trảnR(u)

Tữỡng tỹ, trữớng R(V)ta cõx2 =y5 nảnx2/y4 =y vx5/y10 =xy10/y10 =

x.Vêy l Ănh xÔ ỗng nhĐt trảnR(V)

Tõm lÔi, v l cĂc ng cĐu vnh giỳa cĂc trữớng hm R(V) vR[u]

V½ dư 3.4.5 Trong khỉng gianR3 x²t m°t hyperboloid mët tíQ:=V(x2+y2−z2+ 1)

v  m°t ph¯ngW :=V(x+ 1).LĐyp= (1,0,0)Q.Vợi mội qV, q6=p,kỵ hiằu Lq l ữớng thng nốip vợi q v nh nghắa Ănh xÔ

: V \ {p} · · · →R3, q 7→φ(q)

nhữ sau: náu ữớng thngLq cưt mt phng W thẳ t(q) :=LqW;ngữủc lÔi (q) khổng xĂc nh

tẳm phữỡng trẳnh xĂc nhxtq:= (x0, y0, z0)Q.Khi õLq cho bi phữỡng trẳnh

x = +t(x01),

y = ty0,

z = tz0

Tø ành ngh¾a φ(q) = Lq∩W ta câ +t(x0−1) N¶n t= x−0−21 H» qu£ l 

φ(q) =

−1, −2y0 x0−1

, −2z0 x0−1

Vêy xĂc nh tÔi mồi im trảnQngoÔi trứ cĂc im thc hai ÷íng th¯ng sau Q∩V(x−1) ={(1, t, t) | t∈R} ∪ {(1, t,−t) |t ∈R}

Ta s³ gåiφ: Q\VQ(x1)W l Ănh xÔ hỳu t trản Q

i theo hữợng khĂc, náu (1, a, b) W thẳ ÷íng th¯ng L qua p = (1,0,0) v  (−1, a, b)câ tham sè hâa

x = 1−2t,

y = ta,

z = tb

Bði vªy

L∩Q=

(1,0,0),

a2−b2−4 a2−b2+ 4,

4a a2−b2+ 4,

4b a2−b2+ 4

°tH :=VW(a2−b2+ 4) Ta câ ¡nh xÔ hỳu t

cho bi cổng thùc

ψ(−1, a, b) :=

a2−b2 −4

a2−b2+ 4,

4a a2−b2+ 4,

4b a2−b2+ 4

Theo c¡ch x¥y dỹng ta cõ l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản W \H W v l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản Q\VQ(x1) Hỡn nỳa dng chựng tọ v

l cĂc Ănh xÔ ỗng nhĐt trản cĂc trữớng hm (Chú ỵ rơng hai a tÔp Q v W

khổng ng cĐu.)

nh nghắa 3.4.6 Gi£ sû V ⊂km v  W ⊂kn l  c¡c a tÔp affine nh xÔ : V W, (x1, x2, , xm)7→

f1(x1, x2, , xm)

g1(x1, x2, , xm)

, ,fn(x1, x2, , xm) gn(x1, x2, , xm

,

vỵi fi, gi ∈k(x1, x2, , xm),gåi l  húu t¿ náu nõ thọa mÂn

(i) xĂc nh tÔi ẵt nhĐt mởt im thuởc V

(ii) Náu xĂc nh tÔi im (a1, a2, , am)∈V th¼ φ(a1, a2, , am)∈W

Chú ỵ 3.4.7 nh xÔ hỳu t tứV vo W cõ th khổng xĂc nh tÔi mồi im thuởc V Bi vêy kỵ hiằu sau thữớng ữủc sỷ dửng

φ: V − − →W

Do i·u ki»n (i), têp cĂc im tÔi õ Ănh xÔkhổng xĂc nh úng bơngVV(g1, g2, , gn) nh nghắa 3.4.8 GiÊ sỷ cĂc Ănh xÔ hỳu t , : V − − →W cho bði

φ:=

f1

g1

, ,fn gn

v  ψ :=

h1

k1

, ,hn kn

Ta nâi φ=ψ n¸u

fiki−higi ∈I(V), i= 1,2, , n

Ta cõ tiảu chuân hẳnh hồc sau

Mằnh à 3.4.9 GiÊ sỷ cĂc Ănh xÔ hỳu t , : V − − →W Khi â φ =ψ n¸u v  ch¿

náu tỗn tÔi a tÔp thỹc sỹV0 V cho φ, ψ x¡c ành tr¶n V \V0 v  φ(p) = ψ(p)

ành ngh¾a 3.4.10 Cho cĂc Ănh xÔ hỳu t : V → W v  ψ: − − → Z Ta nâi

Ănh xÔ hủp ữủc xĂc nh náu tỗn tÔi p V cho ữủc xĂc nh tÔi p v

ữủc xĂc nh tÔi(p)

Mằnh · 3.4.11 Gi£ sû φ: V − − →W v  : W Z l cĂc Ănh xÔ hỳu t

cho Ănh xÔ hủp ữủc xĂc nh Khi õ tỗn tÔi a tÔp thỹc sỹ V0 ⊂V cho

(i) φ x¡c ành tr¶n V \V0 v  ψ x¡c ành tr¶n φ(V \V0)

(ii) : V Z l Ănh xÔ hỳu t ữủc xĂc nh trản V \V0

Vẵ dử sau chùng tä ψ◦φ câ thº khỉng ÷đc x¡c ành

Vẵ dử 3.4.12 Xt cĂc Ănh xÔ hỳu t

φ: R− − →R3, t 7→(t,1/t, t2)

v 

ψ: R3− − →R, (x, y, z)7→ x+yz

xyz

Dạ thĐy khổng ữủc xĂc nh

nh nghắa 3.4.13 (i) Hai a tÔp bĐt khÊ quy V ⊂ km v  W ⊂ kn gåi l  t÷ìng ữỡng song hỳu t náu tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ húu t¿ φ: V − − →W v ψ: W− − V

sao cho cĂc Ănh xÔ v ÷ñc x¡c ành v  φ◦ψ = idW, ψ◦φ = idV (ii) a tÔpV gồi l hỳu t náu tỗn tÔi số nguyản dữỡngn cho V tữỡng ữỡng song

hỳu t vợi kn.

nh lỵ 3.4.14 Hai a tÔp bĐt khÊ quy V v W tữỡng ữỡng song hỳu t náu v ch

náu tỗn tÔi mởt ng cĐu

:k(V)k(W)

sao cho hÔn chá cừa trản k k(V) l Ănh xÔ ỗng nhĐt

Bi têp

(a) Chựng minh tẵnh hđp l» cõa ph²p to¡n cëng tr¶n QF(R) Tùc l  náu r/s = r0/s0 v t/u=t0/u0 thẳ

(ru+ts)/su= (r0u0+t0s0)/s0u0

(b) Chùng minh t½nh hđp l» cõa ph²p to¡n nhƠn trảnQF(R)

(c) Chựng minh QF(R)l mởt trữớng

2 Cho a tÔp affine V =V(y5x2)R2.

(a) Chựng minh y5−x2 b§t kh£ quy trong

R[x, y]

(b) Chùng minh I(V) =hy5−x2i

(c) Chùng minh R[V]l  miÃn nguyản

3 Chựng minh a tÔp affineV(y2x3)l a tÔp hỳu t (Tực tữỡng ữỡng song hỳu

t vợi k)

4 Xt ữớng cong Vc =V(y2cx2+x3), c k Chựng minhVc l a tÔp hỳu t v tẳm cĂc a tÔp Vc0 Vc v W k cho Ănh xÔ hỳu t ữủc thiát lêp trản xĂc nh tữỡng ựng mởt-mởt giỳa Vc \Vc0 v k\W

5 Sû dưng ph²p chi¸u nêi, chùng minh V(x2+y2+z21)R3 tữỡng ữỡng song

hỳu t vợi mt phng V(z)

6 Tỗn tÔi Ănh xÔ hỳu t khĂc hơng tứ R lản V = V(y2 x3+x)? V tữỡng ÷ìng

song húu t¿ vỵi R?

7 Gi£ sỷ V l a tÔp bĐt khÊ quy v f k(V) Náu viát f = / vợi , k[V]

thẳ f xĂc nh trản V \VV().Ta s thĐy rơngf xĂc nh trản têp lợn hỡn thổng qua v½ dư V =V(xz−yw)⊂C4.

(a) Chùng minh xz−yw b§t kh£ quy C[x, y, z, w]

(b) Chùng minh hxz−ywil  ideal nguy¶n tè (c) Suy V b§t kh£ quy v  I(V) = hxz−ywi

(d) Gi£ sû f = [x]/[y]∈C(V) Khi âf x¡c ành tr¶n V \VV([y]) Chùng minh

VV([y]) l  hñp cõa hai m°t ph¯ng

(e) Chùng minhf = [w]/[z].Suy raf xĂc nh tÔi mồi im ngoÔi trứ mt phng

{(x,0,0, w) | x, wC}

Chú ỵ rơng ta câ hai biºu di¹n kh¡c cõa h m húu t f iÃu ny giÊi thẵch

tÔi nản x²t c¡c h m húu t¿!

8 Cho c¡c ¡nh xÔ hỳu t: R R3 v :

R3 − →R, â

φ(t) = (t,1/t, t2) v  ψ(x, y, z) = x+yz x−yz

Chùng minh hñp ψ◦φ khỉng ÷đc x¡c ành

9 Gi£ sû V v W l cĂc a tÔp bĐt khÊ quy v Φ : k(V) →k(W) l  ¯ng c§u giúa

c¡c trữớng hm cho hÔn chá cừa trản k l Ănh xÔ ỗng nhĐt Chựng minh

tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ hỳu t khÊ nghch : V − →W v  ψ: W − − →V

10 GiÊ sỷ : V W l Ănh xÔ hỳu t xĂc nh trảnV \V0.GiÊ sỷW0 l a tÔp

con cõa W Chùng minh

V00 =V0∪ {p∈V \V0 | (p)W0}

l a tÔp cừa V

11 Gi£ sû V t÷ìng ÷ìng song húu t¿ vợiW thổng qua cĂc Ănh xÔ hỳu t khÊ nghch φ: V − − → W v  ψ: W − V Bi têp ny chựng tọ tỗn tÔi cĂc a tÔp V1 V v W1 W cho φ v  ψ c£m sinh c¡c song Ănh giỳa cĂc a tÔp

V \V1 v W \W1

(a) Gi£ sû V0 ⊂V v  W0 W l cĂc a tÔp thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau xĂc nh trản V \V0,

x¡c ành tr¶n φ(V \V0), ψ◦φ x¡c ành tr¶n V \V0

v 

°t

V = {p∈V \V0 | φ(p)∈W \W0},

W = {q∈W \W0 | ψ(q)∈V \V0}

Chùng minhφ:V → W v ψ: W → V l  c¡c song ¡nh v  l  ng÷đc cừa (b) Chựng minh tỗn tÔi cĂc a tÔp thüc sü V1 v  W1 cõa V v  W cho

V = V \V1,

Chữỡng 4

Hẳnh hồc Ôi số xÔ Ênh

Chữỡng ny xt khổng gian xÔ ÊnhPn(k): õ l khỉng gian affinekn vỵi c¡c iºm

ð vỉ cịng Chúng ta s nghiản cựu cĂc a tÔp xÔ Ênh trongPn(k).Mối liản hằ giỳa cĂc

a tÔp xÔ Ênh v cĂc ideal thuƯn nhĐt cụng ữủc thiát lêp

4.1 Khổng gian xÔ Ênh

Trản kn+1\ {0}nh nghắa quan h»

(x00, x01, , x0n)∼(x0, x1, , xn)

náu tỗn tÔik, λ6= 0, cho (x00, x01, , x0n) = λ(x0, x1, , xn) D¹ thĐy l quan hằ tữỡng ữỡng

nh nghắa 4.1.1 Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng trản kn+1\ {0} gồi l khổng gian xÔ Ênh trản trữớng k v kỵ hiằu l  Pn(k). Méi bë (x

0, x1, , xn) ∈ kn+1 \ {0} x¡c ành mët iºmp∈Pn(k)v  ta nâi(x

0, x1, , xn)l cĂc tồa thuƯn nhĐt cừa p.Ta cụng s vi¸t

p= (x0, x1, , xn)º kỵ hiằu cĂc tồa thuƯn nhĐt cừa pPn(k)

Ta cõ th coi Pn(k) l têp tĐt cÊ cĂc ÷íng th¯ng i qua gèc tåa ë kn+1

Mằnh à 4.1.2 Kỵ hiằu

U0 ={(x0, x1, , xn)∈Pn(k) | x0 6= 0}

Khi õ Ănh xÔ

: knPn(k), (a

1, a2, , an)7→(1, a1, a2, , an), l  mët-mët v  câ £nh l têp U0 Pn(k)

Tứ nh nghắa ta cõ Pn(k) =U0∪H, â

H ={p∈Pn(k)| p= (0, x

1, , xn)}

Náu ỗng nhĐt U0 vợi khổng gian affine kn ta cõ th xem H l siảu phng tÔi vổ hÔn

Dạ thĐy cĂc im thuởcH tữỡng ựng mởt mởt vợi cĂc im thuởc Pn1(k) Do vêy cõ

th ỗng nhĐt H vỵi Pn−1(k) Suy

Pn(k) = kn∪Pn−1(k)

ị nghắa hẳnh hồc cừa ỗng nhĐt H Pn1(k) : iºm p ∈

Pn−1(k) x¡c ành mët

ữớng thngL kn i qua gốc Hằ quÊ phƠn tẵch

Pn(k) =knPn1(k) ta coi p

biu diạn hữợng tiằm cên cừa tĐt cÊ cĂc ữớng thng kn song song vợi L. iÃu ny cõ nghắa l xemp l mởt im tÔi vổ

Vẵ dử 4.1.3 Ta cõP0(k)gỗm úng mởt im, kỵ hiằu .Do vêy

P1(k) =k1∪P0(k) =k1∪ {∞}

C¡c iºm thuëc P1(k) tữỡng ựng vợi cĂc ữớng thng k2 i qua gèc tåa ë C¡c

÷íng th¯ng n y °c tr÷ng bði h» sè gâc cõa chóng (÷íng th¯ng ùng câ h» sè gâc b¬ng ∞)

H» qu£ 4.1.4 °t

Ui ={(x0, x1, , xn)∈Pn(k) | xi 6= 0}, i= 0,1, , n

(ii) PhƯn bũ Pn(k)\Ui ỗng nhĐt vỵi Pn−1(k) (iii) Pn(k) = ∪ni=0Ui

Chùng minh B i têp

nh nghắa 4.1.5 GiÊ sỷ f1, f2, , fr ∈ k[x0, x1, , xn] l cĂc a thực thuƯn nhĐt Têp hủp

V(f1, f2, , fr) ={(a0, a1, , an)∈Pn(k) | fi(a0, a1, , an), i= 1,2, , r} gồi l a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bif1, f2, , fr

V½ dư 4.1.6 C¡c a thực thuƯn nhĐt bêc mởt

`(x0, x1, , xn) =c0x0+c1x1+· · ·cnxn

x¡c ành mởt a tÔp xÔ Ênh V(`) Pn(k) v gồi l siảu phng Chng hÔn siảu phng tÔi vổ hÔn H = V(x0) Khi n = ta gåi V(`) l  ÷íng th¯ng; n = ta gåi V(`) l 

mt phng CĂc a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bi cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc mởt gồi l cĂc a tÔp tuyán tẵnh trongPn(k)

Vẵ dử 4.1.7 CĂc a tÔp xÔ Ênh V(f) xĂc nh bi mởt a thực thuƯn nhĐt f gồi l

siảu mt

M»nh · 4.1.8 Gi£ sûV(f1, f2, , fr)l a tÔp xÔ Ênh Khi õ cõ th ỗng nhĐt W =

V U0 vợi a tÔp affineV(g1, g2, , gr),trong âgi(y1, y2, , yn) = fi(1, y1, y2, , yn) vỵi i= 1,2, , r

Vẵ dử 4.1.9 Xt a tÔp xÔ Ênh

V =V(x21−x2x0, x31−x3x20)⊂P 3(

R)

Giao V U0 l a tÔp affine

V(x21x2, x13x3)R3

Giao V U1 l a tÔp affine

Gi£ sû f ∈k[x1, x2, , xn] l  a thùc bªc d.Ta gåi

fh =xd0·f

x1

x0

,x2 x0

, ,xn x0

l  thu¦n nhĐt hõa cừa f Tứ nh nghắa ta cõ fh l a thực thuƯn nhĐt bêc d. Vẵ dử 4.1.10 Gi£ sû

f =x2 −x31 +x21 ∈k[x1, x2, x3]

Khi â

fh =x2x20−x 1+x

2

1x0 ∈k[x0, x1, x2, x3]

Tø ành ngh¾a ta câ

M»nh · 4.1.11 fh ∈k[x0, x1, , xn] l a thực thuƯn nhĐt bêc d

Nhªn x²t 4.1.12 Gi£ sûW =V(f1, f2, , fr)kn l a tÔp affine Bơng cĂch thuƯn nhĐt hõa cĂc a thực fi ta nhên ữủc a tÔp xÔ Ênh V = V(f1h, f2h, , frh) ⊂ Pn(k) Hìn núa,V ∩U0 =W Do õW l phƯn affine cừa a tÔp xÔ Ênh V

V½ dư 4.1.13 Trong v½ dư n y ta s³ sỷ dửng (x, y, z) l tồa thuƯn nhĐt cõa c¡c

iºm P2(k) Vỵi c¡ch ¡nh sè n y ta câ U2 = {z = 1} ' k2 Xt a tÔp affine

W =V(f)U2 õf =yx3+xk[x, y].Ta biát rơngW l phƯn affine V U2

cừa a tÔp xÔ Ênh

V =V(fh) =V(yz2x3+xz2)

Ta cõ V gỗm W vợi cĂc iảm tÔi vổ hÔn V V(z) PhƯn affine W l ỗ th

cừa ữớng cong (bêc ba) khổng ký d CĂc im tÔi vổ hÔn thóa mÂn hằ cĂc phữỡng trẳnh

yz2−x2+xz2 = 0,

z =

Suy V ∩V(z) ={p= (0,1,0)} ⊂P2(k).Vªy V =W ∪ {p}.

B¥y gií x²t V ∩U1, â U1 ={y= 2}.Ta cõ

Dạ thĐy im pV tữỡng ựng vợi im(0,0)cừa W0 Chú ỵ rơng (0,0)l im ký d

cừa W0

Nhữ vêy tứ mởt ối tữủng ỡn giÊn (khổng ký d) W qua quĂ trẳnh thuƯn nhĐt

hõa, ta cõ mởt ối tữủng phực tÔp hỡn (cõ ký d) V

Vẵ dử 4.1.14 Xt ữớng cong xoưn bêc ba W =V(x2 x21, x3x31) R3 Ta câ

W =V ∩U0 â V =V(x2x0−x21, x3x20−x31) ⊂P3(R) Ph¦n bị cõa W V

lV H õ H =V(x0)l mt phng tÔi vổ hÔn Do õ

V H=V(x2x0x21, x3x20x

1, x0) = W ∪V(x0, x1)

V¼ W l  ÷íng cong R3 n¶n mët c¡ch trüc quan W ch cõ mởt số hỳn cĂc

im tÔi vổ hÔn Bi vêy V l quĂ lợn v ta cƯn tẳm mởt a tÔp xÔ Ênh nhọ hỡn chựa W

Ta biát rơngW cõ tham số hõa(t, t2, t3).Suy rax1x3x22 I(W).Ơy l a thực

thuƯn nhĐt Vẳ vêy

V0 =V(x2x0−x21, x3x20−x

1, x1x3−x22)⊂V

l  a tÔp xÔ Ênh Chú ỵ rơng V0 U0 = W Hỡn nỳa V0 H gỗm úng mởt im

p= (0,0,0,1) Do õV0 =W {p} l a tÔp xÔ Ênh (nhọ hỡn a tÔpV) chựaW.KhĂc

nhau giỳa V v V0 chộV chựa mởt thnh phƯn phử tÔi vổ hÔn Trong cĂc phƯn tiáp

theo ta s chựng tọV0 l a tÔp xÔ Ênh nhọ nhĐt chựa W

Bi têp

1 Bi têp ny xƠy dỹng khổng gianPn(k) thổng qua hẳnh hồc Kỵ hiằu L l têp tĐt

cÊ cĂc ữớng thng kn+1 i qua gèc tåa ë

(a) Chùng minh vỵi mội ữớng thng L L tỗn tÔi vector v kn+1, v 6= 0,

cho L={tv | t∈k}

(b) Chùng minh hai vectorv v v0 còng x¡c ành mët ÷íng th¯ngL∈ Ln¸u v  ch¿ n¸u v ∼v0

2 Bi têp ny thiát lêp mối quan hằ giỳa cĂc ữớng thng trongRn v cĂc im tÔi

vổ hÔn Pn(R) Mội ữớng thngL trongRn cõ tham sè hâa a+bttrong â

b l  vector ch¿ phữỡng cừa ữớng thng L Ta s viát tham số hõa ny dÔng tồa

ở:

(a1+b1t, a2+b2t, , an+bnt) (a) Sû dưng tåa ë thu¦n nh§t

(1, a1+b1t, a2+b2t, , an+bnt), cõ th xem Lnơm trongPn(

R). tẳm hiu iÃu gi x£y khit → ±∞,chia

cho t ta ֖c

1 t,

a1

t +b1, a2

t +b2, , an

t +bn

Khi t giợi hÔn trản tián án nhỳng im no siảu phng H =

Pn1(R)?

(b) ữớng th¯ngLcâ nhi·u tham sè hâa Chùng minh chóng x¡c ành cịng mët

iºm thc Pn−1(R) Suy méi ÷íng thngLtrong Rn xĂc nh mởt

im tÔi vổ hÔn thuởc H =Pn1(

R)

(c) Chựng minh hai ÷íng th¯ng song song Rn câ cịng mët im tÔi vổ

hÔn

3 Bi têp ny nghiản cựu cĂc têp Ui Pn(k)

(a) TrongP4(k) x¡c ành c¡c tªp U2, U2∩U3 v  U1 ∩U3 U4

(b) HÂy ỗng nhĐt P4(k)\U2,P4(k)\(U2U3)v P4(k)\(U1U3U4)vợi bÊn

sao cừa mởt khổng gian xÔ Ênh (c) TrongP4(k) xĂc ành∩4i=0Ui

(d) Têng qu¡t, x¡c ành c¡c tªp Ui1 ∩Ui2 ∩ · · · ∩Uir ⊂P

n(k), trong â

1≤i1 < i2 <· · ·< ir ≤n Gi£ sû f ∈k[x0, x1, , xn]

(a) Vi¸t f =P

ifi õ fi l a thực thuƯn nhĐt bêc i Chựng minh

f(λa0, λa1, , λan) =

X

i

fi(λa0, λa1, , λan)

= X

i

(b) Suy f(λa0, λa1, , λan) = vỵi måi λ ∈ k, λ 6= 0, n¸u v  ch¿ n¸u

fi(a0, a1, , an) = vỵi måi i

5 TrongP2(R)cõ cĂc tồa thuƯn nhĐt(x, y, z).GiÊ sỷV =V(x2+y2z2)P2(R)

Tẳm cĂc phữỡng trẳnh cừaV U0 v V U2 PhĂc thÊo cĂc ữớng cong ny Nhên

xt

6 GiÊ sỷV =V(x0x2x3x4, x20x3x1x22)P4(R).Tẳm cĂc phữỡng trẳnh cừaV U0

v  V ∩U3

7 Gi£ sûV =V(f1, f2, , fr)l a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bi cĂc a thực thuƯn nhĐt

fi k[x0, x1, , xn] Chùng minh câ th ỗng nhĐt têp W =V Ui vợi a tÔp affine V(g1, g2, , gr),trong õ

gj(x1, x2, , xi−1, xi+1, , xn) =fj(x1, x2, , xi−1,1, xi+1, , xn)

8 Gi£ sû f ∈k[x1, x2, , xn]v  F ∈k[x0, x1, , xn]l  a thùc thu¦n nh§t cho

F(1, x1, x2, , xn) = f(x1, x2, , xn) Chựng minh tỗn tÔi số nguyản e cho F =xe

0fh

9 Xt a tÔp affine W0 = V(z2−x2 +xz2) ⊂ k2. Chùng minh (0,0) l  iºm ký dà

cõa W0

10 Vỵi mội a tÔp affine W hÂy tẳm a tÔp xÔ £nh V cho W = V ∩U0 Suy

V \W =V H, vợi H l siảu phng tÔi vổ hÔn

(a) W =V(y2 x3axb)

R2 vỵi a, b∈ R iºm thc V ∩H l  iºm ký

d cừa V?

(b) W =V(x1x3x22, x21x2)R3.Tỗn tÔi thnh phƯn phử tÔi vổ hÔn?

(c) W =V(x2

3x21x22)R3

11 Xt ữớng cong xoưn bêc ba W =V(x2−x21, x3−x31)⊂R3

(a) Sû döng tham sè hâa (t, t2, t3) cõa W R3 Chùng minh t → ±∞ iºm (1, t, t2, t3) P3(R) ti¸n ¸n (0,0,0,1) Do â W câ mët iºm tÔi

(b) Xt a tÔp xÔ £nh

V0 =V(x2x0 −x21, x3x20 −x31, x1x3 −x22)⊂P3(R)

Chùng minh V0∩U0 =W v  V0 ∩H ={(0,0,0,1)}

(c) Gi£ sûV =V(x2x0−x21, x3x20−x31).Chùng minh V =V

0∪V(x

0, x1).Suy

V l  hñp cõa hai a tÔp xÔ Ênh

12 a thực thuƯn nhĐtf k[x1, x2, , xn]xĂc nh a tÔp affineC=Va(f)kn+1 Ta gồi C l nõn affine trản a tÔp xÔ £nh V =V(f)⊂Pn(k).

(a) Chùng minh n¸uC chùa iºmP 6= (0,0, ,0)thẳC chựa ữớng thng kn+1 i qua P v  gèc tåa ë

(b) Kh£o s¡t iºm p ∈ Pn(k) vỵi c¡c tåa ë thuƯn nhĐt P. Chựng minh p V náu v ch náu ữớng thng i qua gốc xĂc nh bi P n¬m C

(c) Suy raC l  hđp cừa tĐt cÊ cĂc ữớng thng i qua gốc kn+1 tữỡng ựng

vợi cĂc im V

13 Gi£ sû f ∈ k[x0, x1, , xn] l a thực thuƯn nhĐt bêc d Chựng minh cæng thùc

Euler n

X

i=0

xi

∂f ∂xi

=d·f

14 B i têp ny khÊo sĂt cĂc siảu phng Pn(k)

(a) Chựng minh hai a thực thuƯn nhĐt bêc 1:

a0x0 +a1x1 +· · ·+anxn =

b0x0+b1x1+· · ·+bnxn =

x¡c ành cịng mët si¶u phng trongPn(k)náu v ch náu tỗn tÔik, 6= 0,

sao cho bi =λai vỵi måii= 0,1, , n (b) Xt Ănh xÔ

: {siảu phng Pn(k)} →(kn+1\ {0})/∼

(c) Mæ tÊ têp cừa Pn(k) tữỡng ựng siảu phng chựa iºm p= (1,0, ,0)

15 Gi£ sỷ k l trữớng õng Ôi số Chựng minh mồi a thực thuƯn nhĐtf k[x0, x1]

cõ biu diạn

f(x0, x1) =

d

Y

i=1

(aix0+bix1),

trong â d= deg(f) v  ai, bi ∈k 16 Kh£o s¡t tham sè hâa

x = +t

2

1−t2,

y = 2t

1−t2

cõa ÷íng cong heperbol x2 −y2 = R2 Trong khổng gian xÔ Ênh P2(R)

tham số hõa ny cõ dÔng

x = +t

2

1−t2 = +t

,

y = 2t

1−t2 = 2t,

z = = 1−t2

Vỵi (a, b)∈P1(

R), a6= 0, ta câ thº vi¸t(1, t) = (1, b/a).Thayt =b/a v o tham sè

hâa tr¶n v  khû mău số Chựng minh iÃu ny xĂc nh Ănh xÔ P1(R)P2(R)

4.2 Tứ in Ôi số-hẳnh hồc xÔ Ênh

Mửc ẵch cừa phƯn ny l nghiản cựu tứ in Ôi số-hẳnh hồc cĂc a tÔp xÔ Ênh

ành ngh¾a 4.2.1 ideal I ⊂ k[x0, x1, , xn] gồi l thuƯn nhĐt náu mồi f I cõ cĂc thnh phƯn thuƯn nhĐtfi cừa f thuởcI

Nhên xt 4.2.2 HƯu hát cĂc ideal khổng cõ tẵnh chĐt thuƯn nhĐt: chng hÔn I =

hxy2i k[x, y] l ideal khổng thuƯn nhĐt v¼ a thùc f := x−y2 ∈ I câ hai thnh

phƯn thuƯn nhĐt l f1 :=x v f2 :=y2 khổng thuởc I Tuy nhiản ta cõ c trững hỳu

nh lỵ 4.2.3 GiÊ sỷ I l  ideal k[x0, x1, , xn] C¡c i·u sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) I l ideal thuƯn nhĐt k[x0, x1, , xn]

(ii) I =hf1, f2, , fri vợi fi l cĂc a thực thuƯn nhĐt

(iii) Cì sð Gr'obner thu gån cõa I (t÷ìng ựng thự tỹ ỡn thực bĐt ký) gỗm cĂc a thực

thuƯn nhĐt

nh lỵ trản ch rơng vợi mồi ideal thuƯn nhĐt I k[x0, x1, , xn] ta câ thº ành ngh¾a

V(I) :={p∈kn | f(p) = vỵi måi f ∈I}

Ta câ

M»nh · 4.2.4 Gi£ sû I ⊂k[x0, x1, , xn] l  ideal thuƯn nhĐt v I =hf1, f2, , fri

trong â fi l  c¡c a thùc thu¦n nh§t Khi â

V(I) =V(f1, f2, , fr) Do vêy V(I) l a tÔp xÔ Ênh

Chựng minh Chựng minh l bi têp dng

Mằnh à 4.2.5 ChoV Pn(k) l a tÔp xÔ £nh v 

I(V) ={f ∈k[x0, x1, , xn] | f(a0, a1, , an) = vỵi måi (a0, a1, , an)V} Náuk l vổ hÔn thẳ I(V) l ideal thuƯn nh§t k[x0, x1, , xn]

Vêy ta cõ cĂc thnh phƯn cừa mởt tứ in giỳa cĂc a tÔp Ôi số xÔ Ênh

Pn(k)v cĂc ideal thuƯn nhĐt k[x0, x1, , xn].Ta cõ nh lỵ 4.2.6 GiÊ sỷ k l trữớng tũy ỵ vổ hÔn Khi õ Ănh xÔ

cĂc a tÔp xÔ Ênh I

cĂc ideal thuƯn nhĐt v

cĂc ideal thuƯn nhĐt V

l  bao h m £o ng÷đc, tùc l náu I1 I2 l cĂc ideal thuƯn nhĐt thẳ V(I1) V(I2) v

tữỡng tỹ, náu V1 V2 l cĂc a tÔp xÔ Ênh thẳ I(V1)I(V2) Hỡn nỳa, vợi mồi a tÔp

xÔ Ênh V ta cõ

V(I(V)) = V

v  vªy I ln ln l  mët-mët

Chùng minh Chùng minh t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hđp affine M»nh · 4.2.7 Chok l  mởt trữớng

(i) GiÊ sỷ cõ dÂy giÊm cĂc a tÔp xÔ Ênh Pn(k) :

V1 V2 V3 Ã Ã Ã

Khi õ tỗn tÔi số tỹ nhiản N cho VN =VN+1 =Ã Ã Ã

(ii) Mồi a tÔp xÔ ÊnhV Pn(k) cõ phƠn tẵch nhĐt thnh hủp hỳu hÔn cĂc a tÔp xÔ Ênh bĐt khÊ quy

V =V1V2 .∪Vm, â Vi 6⊂Vj vỵi i6=j

Chùng minh Thêt vêy, tứ giÊ thiát ta cõ dÂy tông c¡c ideal

I(V1)⊂I(V2)⊂I(V3)⊂ · · ·

trongk[x0, x1, , xn].Do tẵnh Noether, tỗn tÔi số tü nhi¶nN choI(VN) =I(VN+1) =

· · · Những V(I(V)) = V vợi mồi a tÔp xÔ Ênh Vªy VN =VN+1 =· · ·

Kh¯ng ành (ii) l hằ quÊ trỹc tiáp cừa (i)

Tữỡng tü nh÷ tr÷íng hđp affine, ta cơng câ c¡c nh nghắa cừa cĂc php toĂn nhữ tờng, tẵch v giao cừa cĂc ideal thuƯn nhĐt v cĂc tẵnh chĐt tữỡng ựng trản cĂc a tÔp xÔ Ênh

Nhưc lÔi rơng radican cừa ideal I k[x0, x1, , xn]l  tªp hđp √

M»nh · 4.2.8 Gi£ sû I l  ideal thu¦n nh§t k[x0, x1, , xn] Khi â √

I cơng

l  mët ideal thu¦n nhĐt

BƠy giớ giÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số Nhưc lÔi hai nh lỵ khổng im yáu v

mÔnh: giÊ sỷI l ideal k[x1, x2, , xn].Ta câ

(i) (Khæng iºm y¸u) Va(I) =∅ kn n¸u v  ch¿ n¸u I =k[x1, x2, , xn] (ii) (Khæng iºm mÔnh) I =Ia(Va(I))trong k[x1, x2, , xn]

é ƠyIa v Va kỵ hiằu cĂc ideal v a tÔp khung cÊnh affine CƠu họi tỹ nhiản l  c¡c k¸t qu£ n y câ thº mð rëng cho cĂc a tÔp xÔ Ênh v cĂc ideal thuƯn nhĐt

iÃu Ăng ngÔc nhiản l khổng Vẵ dử sau ch nh lỵ khổng im yáu sai ối vợi cĂc ideal thuƯn nhĐt

Vẵ dử 4.2.9 Xt ideal I := hx0, x1, , xni ⊂ C[x0, x1, , xn] Khi â V(I) =

V(x0, x1, , xn) Nh÷ng (0 : : · · ·: 0)6∈Pn(C) Vªy V(I) = ∅

Tuy nhi¶n,I :=hx0, x1, , xnich l mởt cĂc ngoÔi lằ cĂc ideal mV(I) = Thêt vêy, ta cõ

nh lỵ 4.2.10 GiÊ sỷ k l mởt trữớng õng Ôi số v I l ideal thuƯn nhĐt k[x0, x1, , xn] C¡c kh¯ng ành sau la t÷ìng ÷ìng:

(i) V(I)⊂Pn(k) l  tªp trèng

(ii) Gi£ sû G l  cì sð Grobner thu gån cõa ideal I Khi õ vợi mội in tỗn tÔi g G v  sè nguy¶nmi ≥0 cho LT(g) =xmi i

(iii) Vợi mội 0in tỗn tÔi số nguyản mi cho xmi i I (iv) Tỗn tÔi số nguyản r≥1 cho hx0, x1, , xnir I

nh lỵ 4.2.11 (nh lỵ khổng im xÔ Ênh mÔnh) GiÊ sỷk l trữớng õng ¤i sè v  I ⊂ k[x0, x1, , xn] l ideal thuƯn nhĐt Náu V = V(I) l têp trống khổng gian xÔ Ênh Pn(k) thẳ

I(V(I)) = I

nh lỵ khổng im cho php ta thiát lêp mởt tứ in giỳa cĂc a tÔp Ôi số xÔ Ênh v cĂc ideal thuƯn nhĐt Mởt ideal thuƯn nhĐt radican trongk[x0, x1, , xn]l ideal thuƯn nhĐt thọa mÂn I = I T÷ìng tü tr÷íng hđp affine ta câ t÷ìng ùng mët-mët

giỳa cĂc a tÔp xÔ Ênh affine v cĂc ideal thuƯn nhĐt náu ta loÔi trứ cĂc trữớng hủp √

I =hx0, x1, , xni v I =h1i

nh lỵ 4.2.12 (Tữỡng ựng ideal thuƯn nhĐt-a tÔp xÔ Ênh) GiÊ sỷ k l trữớng tũy

ỵ Xt khung cÊnh ideal thuƯn nhĐt radican v a tÔp xÔ Ênh Khi õ tỗn tÔi cĂc song Ănh giỳa cĂc cĂc a tÔp xÔ Ênh khĂc trống v cĂc ideal thuƯn nhĐt radican thỹc sỹ chùa hx0, x1, , xni

Chúng ta cụng mởt tữỡng ựng giỳa cĂc a tÔp xÔ bĐt khÊ quy v cĂc ideal nguyản tố thuƯn nhĐt Chi tiát dnh cho bÔn ồc

Bi têp

1 Bi têp ny tẳm hiu no ideal chẵnh l ideal thuƯn nhĐt (a) Chựng minh I =hx2yx3il ideal thuƯn nhĐt k[x, y]

(b) Chựng minh hfi ⊂ k[x1, x2, , xn] l  ideal thuƯn nhĐt náu v ch náu f l a thực thuƯn nhĐt

2 Bi têp ny tẳm hiu mởt số tẵnh chĐt cừa cĂc thnh phƯn thuƯn nhĐt cõa a thùc

f

(a) Gi£ sûf =P

ifi v  g =

P

igi l  khai triºn cõaf v  g th nh c¡c th nh ph¦n thu¦n nhĐt Chựng minh f =g náu v ch náu fi =gi vỵi måi i

(b) Gi£ sû f =P

ifi v g =

P

jgj l  khai trin cừaf vg thnh cĂc thnh phƯn thuƯn nhĐt Chựng minh thnh phƯn thuƯn nhĐt hk cừa h=fÃg úng bơng

P

3 Gi£ sû I1, I2, , Is l  c¡c ideal thu¦n nh§t v nh k[x0, x1, , xn] (a) Chựng minh I1+I2+Ã Ã Ã+Is l ideal thuƯn nhĐt

(b) Chùng minh giao I1∩I2∩ · · · ∩Is l ideal thuƯn nhĐt (c) Chựng minh tẵch I1ÃI2Ã Ã ÃIs l ideal thuƯn nhĐt

4 GiÊ sỷ I1, I2, , Is l  c¡c ideal thu¦n nh§t v nh k[x0, x1, , xn] t Vi =

V(Ii) l a tÔp xÔ Ênh t÷ìng ùng Pn(k)

(a) Chùng minh V(I1+I2+· · ·+Is) = ∩si=1V(Ii)

(b) Chùng minh V(I1∩I2∩ · · · ∩Is) = V(I1 ·I2· · ·Is) =∪si=1V(Ii)

5 Gi£ sû f1, f2, , fs l  cĂc a thực thuƯn nhĐt cõ bêc d1 < d2 ≤ · · · ≤ ds v 

I =hf1, f2, , fsi ⊂k[x0, x1, , xn]

(a) Chùng minh n¸u g ∈ I l a thực thuƯn nhĐt bêc d1 thẳ g sai kh¡c f mët

h¬ng sè

(b) Chùng minh giao I1∩I2∩ · · · ∩Is l  ideal thu¦n nhĐt (c) Chựng minh náu g I thẳ g hfi | deg(fi)deg(g)i I

6 Bi têp ny tẳm hiu mởt số tẵnh chĐt cừa idealI0 =hx0, x1, , xni ⊂k[x0, x1, , xn] (a) Chựng minh náu J l ideal thuƯn nhĐt thüc sü v nh k[x0, x1, , xn]

th¼ J ⊂I0

(b) Chùng minh I0r = hxr0

0 x

r1

1 · · ·xrnn | r0+r1+· · ·+rn =ri Suy n¸u f l a thực thuƯn nhĐt bêcr thẳ f I0r

(c) °tV =V(I0)⊂Pn(k)v CV =Va(I0)⊂kn+1.Chùng minhIa(CV)6=I(V) Cho ideal thu¦n nh§tI ⊂k[x0, x1, , xn],trong âk l  õng Ôi số Chựng minh

V(I) = Pn(k)tữỡng ữỡng vợi mởt hai iÃu sau

(a) Tỗn tÔi r1 cho mồi a thực thuƯn nhĐt bêc ≥r ·u thuëc ideal I

(b) Radican cõa I ho°c b¬ng hx0, x1, , xni ho°c b¬ng k[x0, x1, , xn]

(a) Chựng minh ideal thuƯn nhĐt I k[x0, x1, , xn] l  nguy¶n tè náu v ch náu tẵch cừa hai a thực thuƯn nhĐtF, GthọaF ÃGI thẳ hocF I hoc GI

(b) Cho ideal thuƯn nhĐt I k[x0, x1, , xn] Chựng minh náu I l nguyản tố thẳ a tÔp xÔ ÊnhV(I) l bĐt khÊ quy iÃu ngữủc lÔi cụng úng náu idealI

l radican

(c) GiÊ sỷ k l õng Ôi số Chựng minh cĂc Ănh xÔV v I cÊm sinh cĂc tữỡng

ựng mởt-mởt giỳa cĂc ideal thuƯn nhĐt nguyản tố I ⊂ k[x0, x1, , xn] vỵi

I (hx0, x1, , xniv  c¡c a tÔp xÔ Ênh bĐt khÊ quy khĂc trống trongPn(k)

9 Chựng minh náu I l ideal nguyản tố thuƯn nhĐt k[x0, x1, , xn] thẳ I l  radican k[x0, x1, , xn]

4.3 Bao õng xÔ Ênh cừa mởt a tÔp affine

Xt cĂc tồa thuƯn nhĐt x0, x1, , xn khổng gian xÔ £nh Pn(k) °t

U0 ={x0 6= 0} ⊂Pn(k)

ành ngh¾a 4.3.1 Gi£ sû I l  ideal k[x1, x2, , xn] Tªp hđp

Ih :={fh | f I}

gồi l thuƯn nhĐt hõa cừa I.Trong õ fh l thuƯn nhĐt hõa cừa f.

M»nh · 4.3.2 Cho ideal I ⊂ k[x1, x2, , xn] Khi â Ih l  ideal thuƯn nhĐt

k[x0, x1, , xn]

Chú ỵ 4.3.3 GiÊ sỷ I = hf1, f2, , fri ⊂ k[x1, x2, , xn] D¹ d ng chùng minh hfh

1, f2h, , frhi l  ideal thu¦n nhĐt chựa Ih Tuy nhiản vẵ dử sau ch ideal Ih câ thº lỵn hìn thüc sühf1h, f2h, , frhi

V½ dư 4.3.4 Gi£ sûI :=hf1, f2i=hx2−x21, x3−x31i Khi â J :=hf1h, f2hi=hx0x2−

x21, x20x3−x31i ⊂R[x0, x1, x2, x3] Ta chùng täIh 6=J Thªt vªy, x²t a thùc

Ta cõf3h =x0x3x1x2 l a thực thuƯn nhĐt bêc thuởc ideal Ih.Những cĂc phƯn tỷ

sinh cừa ideal J cụng l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc v 3, nản náu cõ quan hằ f3h =A1f1h+A2f2h

thẳ b¬ng c¡ch sû dưng c¡c khai triºn cõaA1 v A2 th nh cĂc thnh phƯn thuƯn nhĐt ta

ữủcfh

3 =cf1h vợi cR no õ m l mƠu thuăn Do õ f3h 6J Vêy J 6=Ih

PhƯn cỏn lÔi ta s thÊo luên ỵ nghắa hẳnh hồc cừa thuƯn nhĐt hõa cừa mởt ideal Trữợc hát xt thuƯn nhĐt hâa ideal Ia(W) cõa t§t c£ c¡c a thùc tri»t tiảu trản a tÔp affineW iÃu ny dăn án nh nghắa sau:

nh nghắa 4.3.5 Cho a tÔp affine W kn. Bao õng xÔ Ênh cừa W l a tÔp xÔ Ênh W :=V(Ia(W)h) Pn(k), õ Ia(W)h l thuƯn nhĐt hõa cừa ideal Ia(W)

k[x1, x2, , xn]

Tø ành ngh¾a ta cõ

Mằnh à 4.3.6 Cho a tÔp affine W kn v W Pn(k) l bao õng xÔ Ênh cừa W. Khi â

(i) W ∩U0 =W ∩kn=W

(ii) W l a tÔp xÔ Ênh nhọ nhĐt Pn(k) chựa W. (iii) Náu W bĐt khÊ quy thẳ W cụng bĐt khÊ quy

(iv) Mồi thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa W Ãu khổng nơm siảu phng tÔi vổ hÔn V(x0)Pn(k)

Vẵ dử 4.3.7 GiÊ sû

W :=V(x2−x21, x3−x31)

Ta câ

Ia(W) = hx2−x21, x3−x31i,

Ia(W)h = hx0x2−x21, x1x2−x0x3, x1x3−x22i

Khõ khôn chẵnh xĂc nh bao õng xÔ Ênh cừa W l cƯn biát Ia(W).Khi k l trữớng õng Ôi số ta cõ th tẵnh trỹc tiáp bao õng xÔ Ênh cừaW náu biát ideal xĂc

nh nõ Cử th l

nh lỵ 4.3.8 Cho k l trữớng õng Ôi số v ideal I ⊂ k[x1, x2, , xn] Khi â

V(Ih)Pn(k) l bao õng xÔ Ênh cừa V

a(I)kn

Vẵ dử sau chựng tọ nh lỵ trản sai náu k khổng õng Ôi số

Vẵ dử 4.3.9 X²t idealI =hx21+x42i ⊂R[x1, x2].Ta câW =Va(I) ={(0,0)} ∈R2.Chó ỵ {(1,0,0)} P2(

R) l a tÔp xÔ Ênh nhọ nhĐt chựa W NảnW ={(1,0,0)} P2(R)

Mt kh¡c Ih =hx2

0x21 +x42i Suy

V(Ih) ={(1,0,0),(0,1,0)} P2(

R)

Vêy V(Ih) lợn hỡn thỹc sỹ bao õng xÔ Ênh cừa W =V(I).

Bi têp

1 Chùng minh vỵi måi f, g ∈k[x1, x2, , xn] ta câ

(f g)h = fhgh, (fm)h = (fh)m

2 Chùng minh I ⊂ k[x1, x2, , xn] l  ideal nguyản tố náu v ch náu Ih l ideal nguyản tè k[x0, x1, , xn]

3 Chựng minh I(W) =Ia(W)h vợi mồi a tÔp affine W ⊂kn

4 Gi£ sû W =V1∪V2∪ Vm l phƠn tẵch cừa a tÔp xÔ Ênh W thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy cho Vi 6⊂Vj, i6=j Chùng minhV1 6⊂V2∪ Vm

5 Gi£ sû Cn⊂kn l  ÷íng cong húu t¿ ÷đc tham sè hâa bði

φ: k →kn, t 7→(t, t2, , tn)

(b) ThuƯn nhĐt hõa cĂc phữỡng trẳnh (a) v xt cĂc a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bi cĂc a thực thuƯn nhĐt ny úng hay sai: cĂc a thực ny xĂc nh bao õng xÔ Ênh cừa ữớng cong affine Cn? Tỗn tÔi cĂc thnh phƯn phử tÔi vổ hÔn?

(c) Tẳm têp cĂc phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt xĂc nh bao õng xÔ Ênh cừa cĂc ữớng cong húu t¿ Cn Pn(k) vỵi n = 4,5

(d) Chựng minh bao õng xÔ Ênh Cn l a tÔp xĂc nh bi têp cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc hai nhên ữủc bơng cĂch lĐy tĐt cÊ cĂc khÊ nông cừa nh thực cĐp 2ì2 cừa ma trªn

x0 x1 xn−1

x1 x2 xn

!

6 Nhưc lÔi rơng a tÔp VeroneseS k5 l Ênh cõa tham sè hâa a thùc φ: k2 →k5,

trong â

φ(x1, x2) = (x1, x2, x21, x1x2, x22)

Bao õng xÔ Ênh S cừa S l mởt a tÔp xÔ Ênh gồi l mt Veronese

(a) Tẳm têp cĂc phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt xĂc nh S ⊂P5(k).

(b) Chùng minh tham sè hâa cõa S cõ th thĂc trin thnh Ănh xÔ : P2(k)

P5(k)sao cho Ênh cừa P2(k) qua Ănh xÔ ny trũng vợi S

7 So sĂnh và mt têp hđp c¡c khỉng gian Pn+m(k) v  Pn(k)×Pm(k)

8 B i têp ny chựng tọ cõ th ỗng nhĐt Pn(k)ìPm(k) vợi mởt a tÔp Pn+m+nm(k).GiÊ sỷ p= (x0, x1, , xn)v  q= (y0, y1, , ym)l cĂc tồa thuƯn nhĐt tữỡng ựng cừa pPn(k) v q

Pm(k).nh nghắa Ănh xÔ Segre

: Pn(k)ìPm(k)Pn+m+nm(k)

Ănh xÔ im (p, q) thnh im cõ tồa thuƯn nhĐt

(x0y0, x0y1, , x0ym, x1y0, , x1ym, , xny0, , xnym) nh cừa Ănh xÔ ny l a tÔp xÔ Ênh gồi l a tÔp Segre

(b) Chựng minh Ănh xÔ l mởt-mởt v Ănh xÔ phƯn affine knìkm thnh a

tÔp affine kn+m+nm Pn+m+nm(k) m l ng cĐu vợi kn+m.

(c) GiÊ sỷn =m = 1.Viát tữớng minh Ănh xÔ v tẳm cĂc phữỡng trẳnh thuƯn

nhĐt cừa Ênh cừa Ănh xÔ

(d) GiÊ sỷ n = 2, m = Tẳm cĂc phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt cừa a tÔp Segre

trong P5(k)

(e) Tẳm giao cừa a tÔp Segre v mt Veronese P5(k)

4.4 Hẳnh hồc cừa cĂc siảu mt bêc hai

PhƯn ny nghiản cựu cĂc siảu mt bêc hai khổng gian xÔ Ênh

Pn(k) ỡn giÊn kỵ hiằu, ta s viát Pn thay cho Pn(k) CĂc tồa thuƯn nhĐt Pnữủc kỵ hiằu l x0, x1, , xn.Ta cơng gi£ thi¸t k l  tr÷íng câ °c sè kh¡c (tùc l ,

2 = + 16= k)

Kỵ hiằuGL(n+1, k)l têp tĐt cÊ cĂc ma khÊ nghch kẵch thữợc(n+1)ì(n+1)

Mội phƯn tỷ A := (aij)0i,jn GL(n + 1, k) tữỡng ựng mởt ng cĐu tuyán tẵnh

A: kn+1 kn+1.ng cĐu ny cÊm sinh Ănh xÔ A:

PnPn, gồi l php bián ời tuyán

tẵnh xÔ Ênh, ữủc thiát lêp nhữ sau: Vỵi méip= (b0, b1, , bn)∈Pn ta cho t÷ìng ùng

A(p) = (a00b0+· · ·+a0nbn, , an0b0+· · ·+annbn)∈Pn

D¹ kiºm traA: Pn

Pn l Ănh xÔ mởt-mởt lản v Ănh xÔ ngữủc cừa nõ tữỡng ựng ma

trên A−1 ∈GL(n+ 1, k).

M»nh · 4.4.1 N¸u A∈ GL(n+ 1, k) v V Pn l mởt a tÔp thẳ A(V)

Pn cụng

l mởt a tÔp Ta nõi rơng V v A(V) l tữỡng ữỡng xÔ £nh

Ta câ thº xem A = (aij) l  ph²p bi¸n êi x0, x1, , xn th nh c¡c tåa ë mỵi

X0, X1, , Xn â

Xi :=ai0x0+ai1x1+· · ·+ainxn

Vẳ AGL(n+ 1, k), bián ời ny cho ta cĂc tồa thuƯn nhĐt trản Pn Suy cõ th

Ká tiáp ta s phƠn loÔi cĂc a tÔp thổng qua php bián ời xÔ Ênh GiÊ sỷ siảu phng H Pn cho bi phữỡng tr¼nh

a0x0+a1x1+· · ·+anxn â a0, a1, , an khổng ỗng thới bơng khổng

Mằnh à 4.4.2 Mồi siảu phng Pn l tữỡng ữỡng xÔ Ênh

Nhên xt 4.4.3 Ta biát rơng cõ th ỗng nhĐt V(x0) vợi khổng gian Pn1 Mằnh Ã

trản chựng tọ mồi siảu phng trongPn ỗng nhĐt vợi Pn1

Ká tiáp ta s phƠn loÔi cĂc quadratic thổng qua php bián ời xÔ Ênh

nh nghắa 4.4.4 GiÊ sỷf l a thực thuƯn nhĐt bêc ton th hai a tÔpV(f)P2

gồi l siảu mt bêc hai hay quadratic

Vẵ dử 4.4.5 ữớng cong conicC trongR2 cõ phữỡng trẳnh

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f =

Bao õng xÔ Ênh cừa C l ữớng cong P2(R) cõ phữỡng trẳnh ax2+bxy+cy2+dxz +eyz+f z2 =

nh lỵ 4.4.6 (DÔng chuân cừa quadratic) GiÊ sỷf :=Pn

i,j=0aijxixj ∈k[x0, x1, , xn]

l a thực thuƯn nhĐt bêc ton th Gi£ sû k l  tr÷íng câ °c tr÷ng kh¡c Khi õ V(f) tữỡng ữỡng xÔ Ênh vợi quadratic xĂc nh bi phữỡng trẳnh

c0x20+c1x12+Ã Ã Ã+cnx2n, õ c0, c1, , cn khổng ỗng thới bơng khổng

Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt cõ th giÊ thiát ci 6= vợi i = 1,2, , p v  ci = vỵi

Vẵ dử 4.4.7 TrongP2(R) cĂc a tÔp sau

V(x2+y2z2), V(x2z2), V(x2)

cõ hÔng tữỡng ựng b¬ng 3,2,1

Gi£ sû f :=Pn

i,j=0aijxixj ∈ k[x0, x1, , xn] l  a thùc thuƯn nhĐt bêc ton th

2 Khổng mĐt tẵnh têng qu¡t câ thº gi£ sû aij =aji.Hìn núa, câ thº vi¸t

f(x) = xtQx

trong â Q m ma ối xựng cĐp (n + 1)ì(n+ 1) v  xt l  chuyºn cõa x := (x0, x1, , xn)

M»nh · 4.4.8 Gi£ sỷf(x) = xtQx vợi Q m ma ối xựng cĐp (n+ 1)ì(n+ 1). (i) GiÊ sỷ AGL(n+ 1, k) v  B :=A−1. Khi â

A(V(f)) =V(g),

trong õ g(x) :=xtBtQBx.

(ii) HÔng cừa siảu mt bêc V(f) bơng hÔng cừa ma Q

c biằt

M»nh · 4.4.9 Gi£ sû k l  tr÷íng âng Ôi số cõ c trững khĂc Khi õ siảu mt

bêc hai cõ hÔng p+ tữỡng ữỡng xÔ Ênh vợi siảu mt xĂc nh bi phữỡng trẳnh x20+x21+· · ·+x2p =

°c bi»t, hai si¶u mt tữỡng ữỡng xÔ Ênh náu v ch náu chúng cõ hÔng

Chú ỵ 4.4.10 HÔng khổng l bĐt bián cừa cĂc siảu mt bêc Thêt vêy, P2(R)

cĂc a tÔp V(x2 +y2 +z2) = v V(x2 +y2z2) 6= cõ hÔng bơng chúng

khổng tữỡng ữỡng xÔ Ênh

nh nghắa 4.4.11 Siảu mt bêc Pn gồi l khổng suy bián náu nõ cõ hÔng

Siảu mt bêc hai khổng ký d cõ phữỡng trẳnh f =xtQx õQl ma cõ

hÔng n+ Vªy

H» qu£ 4.4.12 Gi£ sû k l trữớng õng Ôi số Khi õ tĐt cÊ cĂc siảu mt bêc hai

khổng ký d l tữỡng ữỡng xÔ Ênh Vẵ dử 4.4.13 Xt Ănh xÔ

F:P1 →P3, (u, v)7→(u2, uv, v2),

trong â(u, v) l tồa thuƯn nhĐt P1. Ta cõ F

P1 →V(x0x2−x21) l  song ¡nh

Suy conic V(x0x2x21)tữỡng ữỡng xÔ Ênh vợi P1

Vẵ dử 4.4.14 Xt Ănh xÔ Segre

: P1ìP1

P3, (x0, x1, y0, y1)7→(x0y0, x0y1, x1y0, x1y1)

Ta câ σ l  mët-mët v  £nh cõa nâ l  quadratic khæng ký dà V(z0z3−z1z2)

B i tªp

1 Chùng minh GL(n+ 1, k) vợi php toĂn nhƠn hai ma l  mët nhâm Méi ma

trªn A ∈ GL(n+ 1, k) tữỡng ựng php bián ời tuyán tẵnh xÔ £nh A: Pn →

Pn

Tr¶n GL(n+ 1, k) x²t quan h»

A0 ∼A n¸u v  ch¿ náu tỗn tÔi 6= cho A0 =A

(a) Chựng minh `' l quan hằ tữỡng ữỡng Kỵ hiằu PGL(n+ 1, k) l têp tĐt

cÊ cĂc lợp tữỡng ữỡng

(b) Chựng minh náu A A0 v B B0 thẳ AB A0B0 Do õ tẵch cĂc ma

cÊm sinh php toĂn nhƠn trản cĂc lợp tữỡng ữỡng Hằ quÊ PGL(n+ 1, k)

vợi php toĂn nhƠn ny l mởt nhõm Ta gồi PGL(n+ 1, k) l nhõm tuyán

tẵnh xÔ Ênh

2 Chùng minh quan h» t÷ìng ữỡng xÔ Ênh l quan hằ tữỡng ữỡng trản têp cĂc a tÔp xÔ Ênh Pn

3 Chựng minh V(xi) tữỡng ữỡng xÔ Ênh vợiV(x0)

4 (a) Gi£ sû f =Pn

i,j=0aijxixj â a016= v aii= vỵi måi i Chùng minh

ph²p êi bián

X0 =x0, X1 =x1x0, Xi =xi vợi i2 bi¸n f th nhPn

i,j=0cijXiXj â c00=a01

(b) Gi£ sû f =Pn

i,j=0aijxixj â a006= 0.Chùng minh ph²p êi bi¸n

X0 =x0+

1 a00

n

X

i=1

ai0

2 xi, Xi =xi vợi i1

bián f thnha00X02+

Pn

i,j=1dijXiXj

5 Gi£ sû f =Pn

i,j=0aijxixj v Q= (aij) l ma kẵch thữợc (n+ 1)ì(n+ 1)

(a) Chựng minh rơng f(x) =xtQx.

(b) Gi£ sû k câ °c tr÷ng v  f = x0x1 Chựng minh khổng tỗn tÔi ma

vuổng Q ối xựng cĐp vợi cĂc phƯn tỷ trongk cho f(x) = xtQx

6 Gi£ sû k =C.Viát cĂc a thực sau dÔng tờng cĂc bẳnh ph÷ìng:

(a) x0x1+x0x2+x22

(b) x20+ 4x1x3+ 2x2x3+x24

(c) x0x1+x2x3−x4x5

7 Gi£ sû f = Pn

i,j=0aijxixj l  a thùc kh¡c khỉng vỵi c¡c h» sè R Chựng minh tỗn tÔi cĂc số nguyản r ≥ −1 v  s ≥ vỵi 0≤ r+s ≤ n cho f câ thº

bi¸n êi v· dÔng

x20 +Ã Ã Ã+x2rx2r+1 Ã Ã Ã x2r+r

Câ thº chùng minh c¡c sè nguy¶n r v  s ữủc xĂc nh nhĐt

8 GiÊ sỷ f =Pn

(a) Chùng minh f cõ ký d náu v ch náu tỗn tÔi im a = (a0, a1, , an) ∈P cho

∂f ∂x0

(a) = ∂f ∂x1

(a) = · · ·= ∂f ∂xn

(a) =

(b) Chựng minh náu aP thọa mÂn phữỡng trẳnh trản thẳa V(f)

9 GiÊ sỷ V(f)Pn l siảu mt bêc hai cõ hÔng bơng p+ 1 vợi p < n. Chựng minh tỗn tÔi a tÔp bªc hai V(g) ⊂ Pp khỉng ký dà cho V(f)' V(g)ì

Pnp HD:

Cõ th giÊ thiát f cõ dÔng

f =c0x20+c1x21+Ã Ã Ã+cpx2p õ c0, c1, , cp kh¡c khæng

10 Cho Ănh xÔ F: P1

P2,(u, v)7(u2, uv, v2)

(a) Chùng minh £nh cõa F chùa a tÔpV(x0x2x21)

(b) Chựng minh F: P1 V(x

0x2x21) l song Ănh

11 Xt Ănh xÔ Segre σ:P1×

P1 →P3

(a) Chùng minh £nh cừa chựa a tÔp V(z0z3z1z2)

(b) Chựng minh σ l  mët-mët

12 Cho hai iºm ph¥n bi»t p, q ∈Pn. Câ thº xem p v  q l cĂc vector ởc lêp tuyán tẵnh kn+1

(a) Chựng minh tẵnh hủp lằ cừa Ănh xÔ F: P1 →

Pn,(u, v)7→up−vq Hìn núa

F l  mët-mët

(b) Gi£ sû ` =a0x0 +a1x1+· · ·+anxn l a thực thuƯn nhĐt bêc mởt Chựng minh ` bơng khổng trản Ênh cừa F náu v ch náu p, q ∈V(`)

(c) Gi£ sû Ω l  ma cĐp2ì(n+ 1) cõ cĂc hng l p v q Chú ỵ rơng cõ

hÔng bơng nh nghắa Ănh xÔ tuyán tinh : kn+1 k2, x 7 x. Chựng

minhker cừa Ănh xÔ ny câ chi·u b¬ngn−1.Gåi v1, v2, , vn−1 l  cì sð cõa

ker v  `i l  a thực tuyán tẵnh vợi cĂc hằ số l cĂc thnh phƯn cừa vector vi Chựng minh Ênh cừaF nơm trongV(`1, `2, , `n−1).HD: Nghi¶n cùu khỉng

13 Bi têp ny tẳm hiu cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng thng Pn

(a) Chựng minh vợi mộip, q Pn tỗn tÔi nhĐt mởt ÷íng th¯ng i qua pv 

q

(b) Gi£ sûLl  ÷íng th¯ng trongPnv  U

i ={xi 6= 0} 'kn.Chựng minhLUi l ữớng thng kn theo nghắa thổng thữớng.

(c) Chựng minh tĐt cÊ cĂc ữớng thng Pn l tữỡng ữỡng xÔ Ênh

14 GiÊ sỷ : P1ìP1

P3 l Ănh xÔ Segre

(a) Chựng minh L0a=({a} ìP1) l mởt ữớng thng trong

P3

(b) Chùng minh måi iºm cõa V(z0z3 −z1z2) thc v o óng mët ÷íng th¯ng

L0a

4.5 nh lỵ Bzout

PhƯn ny s kỵ hi»u P2 :=P2(C)

M»nh · 4.5.1 Gi£ sû f C[x, y, z] l a thực thuƯn nhĐt khĂc khổng Khi õ cĂc

ữợc bĐt khÊ quy cừaf cụng l cĂc a thực thuƯn nhĐt Náu phƠn tẵch f thnh cĂc thnh

phƯn bĐt khÊ quy

f =fa1

1 · · ·fsas â fi khổng chia hát cho fj vợi i6=j thẳ

V(f) = V(f1)V(f2) .V(fs)

l phƠn tẵch tối thiu cừa V(f) thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy P2 Hìn núa I(V(f)) =phfi=hf1, f2,· · ·fsi

Gi£ sỷ f l a thực thuƯn nhĐt v C := V(f) M»nh · tr¶n suy I(C) =

Bê · 4.5.2 Gi£ sû f, g ∈ C[x, y, z] l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc ton th m v n tữỡng ựng Náu f(0,0,1) v g(0,0,1) khĂc khổng thẳ kát thực Res(f, g, z) l a thực

thuƯn nhĐt theo bián x v y vợi bêc ton th mn

Bờ Ã sau ch cĂc a thực thuƯn nhĐt theo hai bián cõ c§u tróc r§t ìn gi£n Bê · 4.5.3 Gi£ sûh C[x, y] l a thực thuƯn nhĐt Khi õ cõ thº vi¸t

h=c(s1x−r1y)m1(s2x−r2y)m2· · ·(slx−rly)ml,

trong â c∈ C, c 6= 0, v  (r1, s1),(r2, s2), ,(rl, sl) l  c¡c iºm ph¥n bi»t cõa P1 Hìn núa

V(h) = {(r1, s1),(r2, s2), ,(rl, sl)} P1

ng dửng Ưu tiản cừa cĂc bờ Ã trản l

nh lỵ 4.5.4 GiÊ sỷ C, D l cĂc ữớng cong xÔ Ênh P2 khổng cõ chung mởt

thnh phƯn bĐt khÊ quy Náu cĂc bêc cừa cĂc phữỡng trẳnh thu gồn cõa C v  D t÷ìng

ùng l  m v  n thẳ giao CD l hỳu hÔn v cõ nhiÃu nh§t mn iºm

Gi£ sû C, D l  c¡c ÷íng cong P2 khỉng câ chung mët th nh ph¦n bĐt khÊ

quy v cõ cĂc phữỡng trẳnh thu gån t÷ìng ùng l  f = v  g = Vợi mội p, q

CD, p6=q, kỵ hiằuLpq l ữớng thng xÔ Ênh nối pvợi q.Bơng cĂch bi¸n êi tåa ë, câ thº gi£ sû

(0,0,1)6∈C∪D∪p,q∈C∩D,p6=qLpq

Hỡn nỳa náu p= (u, v, w) CD thẳ kát thực Res(f, g, z) triằt tiảu tÔi (u, v) Do õ vxuy l mởt ữợc cừa a thực thuƯn nh§t Res(f, g, z) ∈ C[x, y] °t Ip(C, D) l lụy thứa cừa vxuy phƠn tẵch cừaRes(f, g, z)

ành ngh¾a 4.5.5 SèIp(C, D) gåi l  giao cừa hai ữớng congC, D tÔi p Bờ Ã 4.5.6 Giao ữủc xĂc nh nhữ trản ữủc nh nghắa tốt

Vẵ dử 4.5.7 GiÊ sỷ C := V(f) v  D:= V(g) l  hai ÷íng cong khỉng gian xÔ

Ênh P2, õ

g := 2x3−4x2y+ 3xy2+y3−2y2z

Ta câ

Res(f, g, z) = 2y(xy)3(2x+y)

Suy CD gỗm iºm

p= (0,0,1), q= (1,1,1), r= (4/7,−8/7,1)

°c biằt, C v D khổng cõ thnh phƯn chung Vẳ (0,0,1) C nản kát thực ữủc xĂc

nh trản khổng cho giĂ tr úng cừa giao Vẳ vêy ta cƯn thay ời tồa XuĐt phĂt tứ im

(0,1,0)6CDp,qCD,p6=qLpq

ta tẳm ma A GL(3,C) cho A(0,1,0) = (0,0,1) Chng hÔn A(x, y, z) = (z, x, y) Suy A(p) = (1,0,0), A(q) = (1,1,1)v A(r) = (1,4/7,8/7)

Chú ỵ rơng

(u, v, w)∈A(C) ⇔ A−1(u, v, w)∈C ⇔ f(A−1(u, v, w)) =

Suy phữỡng trẳnh xĂc nh ữớng congA(C) cõ dÔng f(y, z, x) =

Tữỡng tỹ, phữỡng trẳnh xĂc nh ữớng congA(D) cõ dÔng g(y, z, x) =

Ta cõ

Res(f(y, z, x), g(y, z, x), z) = 8y5(x−y)3(4x−7y)

Vªy

Ip(C, D) = 5, Iq(C, D) = 3, Ir(C, D) =

nh lỵ 4.5.8 (nh lỵ B²zout) Gi£ sû C, D l  c¡c ÷íng cong khổng gian xÔ

Ênh P2 khổng cõ thnh phƯn chung cõ bêc cừa cĂc phữỡng trẳnh thu gồn cừa C v  D

t÷ìng ùng l  m v  n Khi â

X

p∈C∩D

Bi têp

1 Bi têp ny liản quan án parabol y =x2 v  ellipse x2+ 4(y−λ)2 = 4 trong

R2

(a) Chùng minh n¸u λ < −1 thẳ hai ữớng cong ny khổng giao V hẳnh

minh håa c¡c tr÷íng hđp λ <−1v  λ=−1

(b) Tẳm số thỹc dữỡng nhọ nhĐt cho hai ữớng cong cõ giao bơng trống

khi > V hẳnh minh hồa cĂc trữớng hñp λ > λ0 v  λ=λ0

(c) Khi −1< < mổ tÊ tĐt cÊ cĂc khÊ nông giao cừa hai ữớng cong v v

hẳnh minh håa

(d) Trong c¡c h¼nh cõa (a), (b) v  (c) x¡c ành tr÷íng hđp bëi giao >1

(e) Khổng sỷ dửng nh lỵ Bzout, giÊi thẵch tÔi trản C số cĂc giao im

(ám vợi bởi) tông lản thỹc

2 Xt paraboly=x2 v ÷íng th¯ng L⊂k2.Gi£ sû Lkhỉng l  ÷íng th¯ng ùng.

(a) Gi£ sû k = R Chùng minh sè c¡c iºm giao ch¿ câ thº l  0,1 ho°c Hìn

núa câ óng mët giao iºm L ti¸p xóc vỵi parabol y=x2.

(b) Gi£ sû k =C Khổng sỷ dửng nh lỵ Bzout, chựng minh số cĂc giao im

(ám vợi bởi) úng bơng

3 Gi£ sû

g = gm+· · ·+g0,

h = hn+Ã Ã Ã+h0,

l phƠn tẵch cừa g v h thnh cĂc thnh phƯn thuƯn nhĐt GiÊ sỷ f = gh l a

thực thuƯn nhĐt Chùng minh f =gmhn

4 Gi£ sû f, g C[x, y, z] l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc m v  n t÷ìng ùng f = a0zm+· · ·+am,

g = b0zn+· · ·+bn,

trong â ∈ C[x, y] v  bi ∈ C[x, y] l  c¡c a thực thuƯn nhĐt bêc i GiÊ sỷ

(a) Chùng minh R(tx, ty)l  ành thùc cõa ma m cĂc phƯn tỷ bơng 0hoc

bơng tiai(x, y)ho°c b¬ng tibi(x, y) (b) Chùng minh R(tx, ty) =tmnR(x, y)

5 (a) Gi£ sû f ∈ C[x1, x2, , xn] l  a thùc kh¡c khổng Chựng minh cĂc a tÔp

V(f)v Cn\V(f) khĂc trèng.

(b) Gi£ sûC, D l  c¡c ÷íng cong xÔ Ênh trongP2(

C)khổng cõ chung mởt thnh

phƯn bĐt khÊ quy GiÊ sỷ pi, i= 1,2, , nm+ 1,l  c¡c iºm ph¥n bi»t thuëc

C∩D, âm v n l  bªc cõa C v D Kỵ hiằuLij,1i < j nm+ 1, l ữớng thng i qua pi v pj Chựng minh tỗn tÔi qCDi<j Lij (c) Cho q ∈P2(

C) T¼m A∈GL(3,C) cho A(q) = (0,0,1)

(d) Chựng minh ữớng thng xÔ £nh i qua c¡c iºm (0,0,1) v  (u, v, w) cưt

ữớng thng z= tÔi im (u, v,0)

6 Gi£ sû C :=V(f) v  D := V(g) l hai ữớng cong khổng gian xÔ Ênh P2,

trong â

f := x3+y3−2xyz,

g := 2x3 −4x2y+ 3xy2+y3−2y2z

(a) Chùng minh câ óng ba giao iºm cõa ÷íng congCv Dl p= (0,0,1), q = (1,1,1) v  r= (4/7,−8/7,1)

(b) Chùng minh f v  g l  thu gån

(c) Chùng minh r¬ng (0,1,0)6∈C∪D∪Lpq∪Lpr∪Lqr

7 Trong cĂc bi têp dữợi Ơy, hÂy xĂc nh cĂc iºm giao v  c¡c bëi giao (a) C =V(yz−x2)v  D=V(x2+ 4(y−z)2−4z2).

(b) C =V(x2y3−2xy2z2+yz4+z5)v  D=V(x2y2−xz3−z4).

8 (a) Gi£ sû f ∈ C[x] l  a thùc kh¡c khæng Chùng minh C\V(f) liản thổng

ữớng

(b) M rởng cƠu (a) cho a thực nhiÃu bián

9 GiÊ sỷ C l ữớng cong bĐt khÊ quy bêc ba P2(C).Sỷ dửng nh lỵ Bzout

chựng minh ữớng thng L cưt C nhiÃu nhĐt tÔi hai iºm i·u g¼ x£y C

khỉng bĐt khÊ quy? Kát qua nhữ thá no C = V(f) vỵi f ∈ C[x, y, z] l  a

thực thuƯn nhĐt bĐt khÊ quy bêc n

10 Gi£ sû C, D l  c¡c ÷íng cong P2(

C)

(a) Chùng minh C∩D6=∅

(b) Gi£ sû C khỉng ký dà Chùng minh C b§t kh£ quy

11 (a) Trong P2(C), chùng minh mët ữớng thngL cưt mởt ữớng cong bêc n tÔi

n im (k cÊ bởi)

(b) Náu ữớng cong C cõ bêc n cưt hủp cừa m ữớng thng Câ bao nhi¶u giao

iºm câ thº câ?

(c) Khi hai ÷íng cong C v  D c­t nhau, sỷ dửng lỵ luên hẳnh hồc chựng tọ số

cĂc giao im khổng thay ời nhiạu cĂc ữớng cong C ho°c D

(d) Suy n¸u m ÷íng th¯ng ph¦n (b) trịng (gåi l  ÷íng thng

bởi m) thẳ số cĂc giao im (ám vợi bởi) văn khổng ời

(e) Suy nh lỵ Bzout úng trữớng hủp tờng quĂt bơng cĂch di chuyºn

Ch֓ng 5

Chi·u cừa a tÔp

Mửc ẵch cừa chữỡng ny l nh nghắa chiÃu cừa mởt a tÔp affine

5.1 Hm Hilbert v chiÃu cừa a tÔp

GiÊ sỷ V l  khæng gian vector v  W l  khæng gian cừa V TrảnV nh nghắa

quan hằ `':

v v0 náu vv0 W

Dạ dng chựng minh l quan hằ tữỡng ữỡng Kỵ hiằu [v] l lợp tữỡng ữỡng cừa v V v V /W l têp hủp cĂc lợp tữỡng ữỡng; tực l

V /W ={[v] | v ∈V}

Tr¶nV /W x²t c¡c ph²p to¡n cëng[v] + [v0] = [v+v0]v  ph²p nh¥n vổ hữợnga[v] = [av]

vợi a k v v, v0 V Dạ kim tra tẵnh úng ưn cừa c¡c ph²p to¡n n y Vªy V /W l 

mët khỉng gian vector tr¶n k.Ta câ

Bê · 5.1.1 Gi£ sû W l  khæng gian vector cõa mët khổng gian vector hỳu hÔn

5.1.1 ChiÃu cừa a tÔp affine

Ta biát rơng vnh a thùck[x1, x2, , xn]l  khæng gian vector trảnk.Vợi mội số nguyảns kỵ hiằu

k[x1, x2, , xn]≤s ={f ∈k[x1, x2, , xn] | deg(f)≤s} Bê · 5.1.2 k[x1, x2, , xn]≤s l  khæng gian vector câ chi·u n+ss

Chùng minh B i tªp

Gi£ sû I ⊂k[x1, x2, , xn] l ideal Vợi mội số nguyản s kỵ hi»u

I≤s =I ∩k[x1, x2, , xn]≤s Hiºn nhi¶n I≤s l  khỉng gian vector cõa k[x1, x2, , xn]≤s ành ngh¾a 5.1.3 Gi£ sû I ⊂k[x1, x2, , xn] l  ideal Ta gåi

aHF

I(s) = dimk[x1, x2, , xn]≤s/I≤s

= dimk[x1, x2, , xn]≤s−dimI≤s l  h m Hilbert affine cõaI

M»nh · 5.1.4 Cho ideal I ⊂k[x1, x2, , xn] Khi â vỵi måi s õ lợn, hm Hilbert affine cừa I cõ dÔng

a

HFI(s) = d

X

i=0

bi

s d−i

,

trong â bi l  c¡c sè nguy¶n v  b0 >0

nh nghắa 5.1.5 a thực bơngaHF

I(s)vợi sừ lỵn gåi l  a thùc Hilbert affine cõa

I v kỵ hiằu laHP I(s)

Vẵ dử 5.1.6 GiÊ sû I =hx3y2+ 3x2y2 +y3+ 1i ⊂k[x, y]. Câ thº chùng minh

aHF

I(s) = 5s−5 khis ≥5 Suy a thùc Hilbert affine cõa I l 

aHP

M»nh · 5.1.7 Cho idealI ⊂k[x1, x2, , xn].Khi â a thùc Hilbert affine cõa I v  a thùc Hilbert affine cõa I cõ bêc

nh nghắa 5.1.8 ChiÃu cừa a tÔp affineV kn,kỵ hiằu dimV,l bêc cừa a thực

Hilbert affine cõa idealI(V)⊂k[x1, x2, , xn] V½ dư 5.1.9 Gi£ sû V =V(y−x2, z−x3)⊂

R3 l ữớng cong xoưn bêc ba Ta biát

r¬ng I =I(V) = hy−x2, z−x3i ⊂R[x, y, z] Hìn núa câ thº chùng minh dimV =

V½ dử 5.1.10 GiÊ sỷk l trữớng vổ hÔn vI =hx1

1 x

α2

2 xαnnil  ideal ìn thùc

k[x1, x2, , xn] Ta câ I(V(I)) = √

I Suy

dimV(I) = degaHPI(V(I)) = degaHP√I = deg aHP

I

Vêy dimV(I) bơng số chiÃu lợn nh§t cõa khỉng gian tåa ë chùa V(I)

Vẵ dử 5.1.11 Mởt trữớng hủp thú v l chiÃu cừa a tÔp trống Chú ỵ rơng 1I(V)

náu v  ch¿ n¸u k[x1, x2, , xn]≤s=I(V)≤s vỵi måi s Do â

V =∅ ⇔ aHPI(V) =

Vẳ ta khổng nh nghắa bêc cừa a thực khổng nản ta cụng khổng nh nghắa chiÃu cừa a tÔp trống

Chú ỵ 5.1.12 Nõi chung dimV 6= degaHP

I â I l  ideal tũy ỵ xĂc nh V Chng hÔn, náu I = hx2 +y2i ⊂

R[x, y] Khi â aHPI câ bêc bơng Mt khĂc V =

V(I) ={(0,0)} R2 cõ chiÃu bơng 0.

Tuy nhiản, k l trữớng õng Ôi số, ta cõ kát quÊ sau:

nh lỵ 5.1.13 GiÊ sỷ k l trữớng õng ¤i sè v  V = V(I) ⊂ kn l  a tÔp affine, õ ideal I k[x1, x2, , xn] Khi â

dimV = degaHPI

5.1.2 ChiÃu cừa a tÔp xÔ Ênh

Vợi mội số nguyản s kỵ hiằu

Bờ · 5.1.14 k[x0, x1, , xn]s l  khæng gian vector câ chi·u n+ss

Gi£ sû I ⊂k[x0, x1, , xn] l ideal thuƯn nhĐt Kỵ hiằu

Is =I ∩k[x0, x1, , xn]s

Ta câ Is l khổng gian vector hỳu hÔn chiÃu cừa khổng giank[x0, x1, , xn]s Ta gåi

HFI(s) = dimk[x0, x1, , xn]s/Is l  hm Hilbert (xÔ Ênh) cừa ideal I

Mằnh à 5.1.15 Cho ideal thuƯn nhĐt I k[x0, x1, , xn] Khi â vỵi måi s õ lỵn, hm Hilbert cừaI cõ dÔng

HFI(s) = d

X

i=0

bi

s d−i

,

trong â bi l  c¡c số nguyản v b0 >0

nh nghắa 5.1.16 a thực bơngHFI(s)vợi s lợn gồi l a thực Hilbert cừaI v kỵ hiằu l HPI(s)

nh nghắa 5.1.17 Số nguyản degHPI(V) gồi l chiÃu cừa a tÔp xÔ Ênh V Pn(k)

v kỵ hiằu ldimV

nh lỵ 5.1.18 GiÊ sỷk l trữớng õng Ôi số v V =V(I)Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh, õ I ⊂k[x0, x1, , xn] l  ideal thu¦n nhĐt Náu V khĂc trống thẳ

dimV = degHPI

GiÊ sỷ I l ideal thuƯn nhĐt k[x0, x1, , xn]vV =V(I)Pn(k)l a tÔp xÔ £nh Ta gåi CV =Va(I)⊂kn+1 l  nân affine cõaV Ta cõ

nh lỵ 5.1.19 (i) GiÊ sỷ I k[x0, x1, , xn] l ideal thuƯn nhĐt Khi õ

HFI(s) =aHFI(s)aHFI(s1)

vợi mồi s1 Tỗn tÔi cổng thực tữỡng tỹ cho cĂc a thực Hilbert affine v xÔ Ênh

Ngữủc lÔi, náu V Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh v C

V kn+1 l  nân affine cõa nâ th¼

(ii) Gi£ sû I ⊂k[x1, x2, , xn] l ideal thuƯn nhĐt v kỵ hiằuIh k[x0, x1, , xn] l thuƯn nhĐt hõa cừa nâ t÷ìng ùng x0 Khi â

aHF

I(s)−aHFIh(s)

vợi mồi s0

Bi têp

1 Bi têp ny chựng minh náu W l khổng gian cõa khỉng gian vector V th¼ V /W cơng l  khæng gian vector

(a) Chùng minh quan h» `∼' trản V nh nghắa bi v v0 náu vv0 W

l mởt quan hằ tữỡng ữỡng Kỵ hiằu [v] l lợp tữỡng ữỡng cừa v V v V /W l têp hủp cĂc lợp tữỡng ữỡng; tực l

V /W ={[v]| v ∈V}

(b) Tr¶nV /W x²t c¡c ph²p to¡n cëng[v] + [v0] = [v+v0]v  ph²p nhƠn vổ hữợng a[v] = [av] vợi a k v v, v0 ∈V Chùng minh t½nh óng ­n cõa c¡c ph²p

to¡n n y

(c) Chùng minh V /W l  mët khỉng gian vector tr¶n k

2 Gi£ sỷ V l khổng gian vector hỳu hÔn chiÃu vợi cì sð {v1, v2, , vn+m v  W l  khỉng gian cõaV vỵi cì sð{v1, v2, , vm.Chùng minh{[vm+1],[vm+2], ,[vn+m]} l  cì sð cõa khỉng gian V /W

3 Cho ideal I ⊂ k[x1, x2, , xn], I 6= Chùng minh I l  khæng gian vector vổ hÔn chiÃu trản k.HD: LĐy f I, f 6= 0,v  x²t xαf

4 T¼m c¡c a thùc Hilbert affine cõa c¡c ideal sau: (a) I =hx3y, xy2i ⊂k[x, y].

(c) I =hx3yz5, xy3z2i ⊂k[x, y, z]

(d) I =hx3−yz2, y4−x2yzi ⊂k[x, y, z].

5 Tẳm ch số chẵnh quy (tực l số nguyản nhọ nhĐt s0 cho aHFI(s) = aHPI(s) vợi mồi ss0) ối vợi mội ideal bi têp trản

6 Chựng minh náu I1 I2 l cĂc ideal trongk[x1, x2, , xn] th¼

degaHPI2 ≤deg

a

HPI1

7 Chùng minh a tÔp V ={p} kn cõ chiÃu bơng khổng.

8 GiÊ sỷ k l trữớng vổ hÔn Cho ideal ìn thùcI ⊂k[x1, x2, , xn] (a) Chùng minh r¬ng I(V(xi1, xi2, , xir)) =hxi1, xi2, , xiri

(b) Chùng minh giao cõa c¡c ideal ìn thùc l  mët ideal ìn thùc (c) Chùng minh I(V(I))l  ideal ìn thùc

(d) Chựng minh I(V(I)) =I Ta biát rơng I(V(I)) I Vẳ I(V(I))l ideal

ỡn thực, nản cƯn chựng minh náu x I(V(I)) thẳ tỗn tÔi r > cho xrα ∈I

(e) Gi£ sûI =hxi ⊂F2[x, y].Chùng minhI(V(I)) =hx, y2−yi.ideal n y khỉng

l  ìn thùc v  lỵn hìn ideal √I

9 Cho idealI =hx2+y2i ⊂R[x, y]

(a) Chùng minh degaHPI = (b) Chùng minh dimV =

10 Gi£ sû k l trữớng õng õng Ôi số Tẵnh chiÃu cừa cĂc a tÔp affineV(I),trong

õ

(a) I =hxz, xy1i ⊂k[x, y, z]

(b) I =hzw−y2, xy−z3i ⊂k[x, y, z, w].

11 Kh£o s¡t v nh a thùc k[x0, x1, , xn]

(a) Cho v½ dư chùng tä tªp c¡c a thùc bªcskhỉng âng èi vỵi ph²p to¡n cëng

(b) Chùng minh têp cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc s vợi a thực khổng l

khổng gian vector trản k.Chùng minh chi·u cõa khỉng gian n y b¬ng n+ss

12 GiÊ sỷ I l ideal thuƯn nhĐt Chựng minh c¡c a thùc Hilbert HPI v  HP√I câ cịng bªc

13 Bi têp ny tẳm hiu no a thùc Hilbert l  a thùc khæng

(a) Gi£ sûI k[x0, x1, , xn]l ideal thuƯn nhĐt Chùng minhhx0, x1, , xnir ⊂

I, r ≥0, n¸u v  ch¿ n¸u a thùc Hilbert cõa ideal I l  a thùc khæng

(b) Gi£ sỷ V Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh Chựng minh V = ∅ n¸u v  ch¿ n¸u a thùc Hilbert cõa V l  a thùc khæng

14 Gi£ sỷ kl trữớng õng õng Ôi số Tẵnh chiÃu cừa cĂc a tÔp xÔ ÊnhV(I),trong

õ

(a) I =hx2−y2, x3−x2y+y3i ⊂k[x, y, z]

(b) I =hy2−xz, x2y−z2w, x3−yzwi ⊂k[x, y, z, w].

15 (a) Cho ideal ìn thùc I Chùng minh

HFI(s) =aHFI(s)−aHFI(s−1)

vỵi måi s≥1

(b) Gi£ sûI ⊂k[x1, x2, , xn]l ideal thuƯn nhĐt v kỵ hiằuIh k[x0, x1, , xn] l thuƯn nhĐt hõa cõa nâ t÷ìng ùng x0 Chùng minh

aHF

I(s)aHFIh(s)

vợi mồi s0

16 Cho a tÔp xÔ Ênh V Pn(k) v kỵ hiằuC

V kn+1 l  nân affine cõa nâ Chùng minh ¯ng thùc sau v nh k[x0, x1, , xn] :

5.2 CĂc tẵnh chĐt

PhƯn ny trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chi·u

M»nh · 5.2.1 Gi£ sû V1, V2 l  cĂc a tÔp xÔ Ênh hoc affine trản trữớng k Náu

V1 V2 thẳ dimV1 dimV2

Chựng minh Bi têp

Mằnh à 5.2.2 GiÊ sỷk l trữớng õng Ôi số, f k[x0, x1, , xn] l a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng v V(f)Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bi f. Khi õ

dimV(f) =n1

Do õ khik õng Ôi sè, si¶u m°tV(f)trong Pn(k)ln câ chi·u n−1. i·u n y cơng úng cho cĂc siảu mt affine Tuy nhiản, vẵ dử sau chùng tä c¡c k¸t qu£ n y khỉng óng n¸u k khỉng âng sè

V½ dư 5.2.3 Gi£ sû f =x2+y2 ∈R[x, y].Ta câ V(f) ={(0,0)} ⊂R2 câ chiÃu 0.

Chú ỵ rơng náu I l ideal v f l  a thùc th¼ V(I+hfi) = V(I)∩V(f)

ành lỵ 5.2.4 GiÊ sỷkl trữớng õng Ôi số vI l ideal thuƯn nhĐt trongk[x0, x1, , xn] Náuf l a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng thẳ

dimV(I)≥dimV(I+hfi)≥dimV(I)−1

°c bi»t ta câ

H» qu£ 5.2.5 GiÊ sỷkl trữớng õng Ôi số vI l ideal thuƯn nhĐt trongk[x0, x1, , xn] Náuf l a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng cho lợp cừaf v nh th÷ìngk[x0, x1, , xn]/I khỉng l ữợc cừa khổng Khi õ

dimV(I+hfi) = dimV(I)1

Chú ỵ 5.2.6 nh lỵ 5.2.4 cõ th khổng úng ối vợi cĂc a tÔp affine Thêt vêy, xt ideal I =hxz, yzi ⊂ C[x, y, z] Ta câ V(I) =V(z)∪V(x, y)⊂ C3. °c bi»t dimV = 2.

Kát quÊ sau m rởng nh lỵ 5.2.4 cho nhi·u a thùc

M»nh · 5.2.7 Gi£ sỷkl trữớng õng Ôi số vIl ideal thuƯn nhĐt trongk[x0, x1, , xn] N¸uf1, f2, , fr l cĂc a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng k[x0, x1, , xn] thẳ

dimV(I +hf1, f2, , fri)≥dimV(I)−r

Chựng minh Chựng minh suy trỹc tiáp tứ nh lỵ 5.2.4 v quy nÔp Mằnh à 5.2.8 Chok l trữớng õng Ôi số

1 GiÊ sỷ V Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh cõ chiÃu >0. Khi õ

V V(f)6=

vợi mồi a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng f Do õ mởt a tÔp xÔ Ênh cõ chiÃu dữỡng

cưt mồi siảu mt Pn(k)

2 GiÊ sỷ W kn l a tÔp affine cõ chiÃu >0 Náu W l bao õng xÔ Ênh cừa W

trong Pn(k) th¼ W 6=W Suy mët a tÔp affine cõ chiÃu dữỡng luổn luổn cõ cĂc

im tÔi vổ hÔn

Ká tiáp ta nghiản cựu hủp cừa hai a tÔp

Mằnh à 5.2.9 GiÊ sỷ V v W l cĂc a tÔp affine kn hoc cĂc a tÔp xÔ Ênh

trong Pn(k) Khi â

dim(V ∪W) = max(dimV,dimW)

M»nh · tr¶n suy

H» qu£ 5.2.10 Gi£ sû V = V1 V2 .Vr l phƠn tẵch cừa a tÔp V thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy Khi â

dim(V) = max

i=1,2, ,rdimVi

Mằnh à 5.2.11 Cho k l trữớng õng Ôi số v V Pn(k) l a tÔp bĐt khÊ quy. N¸u f ∈k[x0, x1, , xn] l a thực thuƯn nhĐt khổng bơng khổng trản V th¼

dim(V ∩V(f)) = dimV −1

Bi têp

1 GiÊ sỷkl trữớng õng Ôi sè v f ∈k[x1, x2, , xn]l  a thực khĂc hơng Chựng minh siảu mt affine V(f)kn cõ chi·u n−1.

2 Trong R4 h¢y cho c¡c a tÔp affine xĂc nh bi úng mởt phữỡng trẳnh cõ c¡c

chi·u t÷ìng ùng l  1,2,3, v 

3 Xt Ănh xÔ

: k[x0, x1, , xn]s/Is →k[x0, x1, , xn]s/(I+hfi) x¡c ành bði π([g]) = [g]vỵi måi g ∈k[x0, x1, , xn]s

(a) Chùng minh t½nh hủp lằ cừa Ănh xÔ Tực chựng minh Ênh cừa lợp [g] qua

Ănh xÔ khổng phử thuởc vo biu diạn ữủc chồn

(b) Chựng minh l Ănh xÔ tuyán tẵnh trản cĂc khổng gian vector

(c) Chựng minh l Ănh xÔ lản

4 GiÊ sỷ f l a thực thuƯn nhĐt bêc r v I l ideal thuƯn nhĐt Chựng minh tẵnh

hủp lằ cừa Ănh xÔ

f:k[x1, x2, , xn]s−r/Is−r→k[x1, x2, , xn]s/Is â αf([h]) = [f ·h]

5 Cho f ∈k[x0, x1, , xn] l  a thực thuƯn nhĐt bêc r >0

(a) Tẳm cổng thùc x¡c ành a thùc Hilbert chohfi.Cæng thùc n y ch¿ phö thuëc

v o n, r v  s °c bi»t mồi a thực thuƯn nhĐtn bián bêc r cõ a thùc

Hilbert

(b) Têng qu¡t: gi£ sû V = V(I) v lợp cừa f khổng l ữợc cõa khæng k[x0, x1, , xn]/I Chùng minh a thùc Hilbert cõa I +hfi ch¿ phö thuëc v o V v  r

6 Gi£ sû I =hxz, yzi Chùng minhV(I+hz−1i) = {(0,0,1)}

(a) Gi£ sû 1≤r≤n Chùng minh x0, x1, , xr lR-dÂy (b) Chựng minh náu k õng ¤i sè v  f1, f2, , fr lR-dÂy thẳ

dimV(f1, f2, , fr) =n−r

8 °t R =k[x0, x1, , xn] ideal thuƯn nhĐt I gồi l giao Ưy náu nõ ữủc sinh bi mởt R-dÂy a tÔp xÔ Ênh V gồi l giao Ưy náuI(V)l ideal giao ¦y õ

(a) Chùng minh måi khỉng gian tuyán tẵnh bĐt khÊ quy cừa Pn(k) l giao

Ưy

(b) Chựng minh cĂc siảu mt xÔ Ênh v affine l giao Ưy

(c) Chựng minh bao õng xÔ Ênh cừa hủp cĂc mt ph¯ng (x, y) v  (z, w) k4 khæng l  giao ¦y õ.

(d) Gi£ sû V =V(y−x2, z−x3)l  ữớng cong xoưn bêc ba trong k3.Bao õng

xÔ £nh cõa V l  giao ¦y õ?

9 Cho ideal I ⊂k[x1, x2, , xn] B i tªp n y chùng minh a thùc Hilbert affine l  a thực hơng náu v ch náu vnh thữỡng k[x1, x2, , xn]/I l  khæng gian vector húu hÔn chiÃu trản k.Hỡn nỳa, náu iÃu ny xÊy thẳ hơng số chẵnh l chiÃu cừa

khổng gian vector k[x1, x2, , xn]/I (a) Chùng minh tẵnh úng cừa Ănh xÔ

s: k[x1, x2, , xn]<s/I<s→k[x1, x2, , xn]/I, [f]7→[f] Chùng tä αs l  mët-mët

(b) Gi£ sû khæng gian vector k[x1, x2, , xn]/I hỳu hÔn chiÃu Chựng minh s l ng cĐu vỵi måi s õ lỵn Suy a thùc Hilbert affine l  h¬ng (b¬ng

chi·u cõa khỉng gian k[x1, x2, , xn]/I.)

(c) Gi£ sû a thùc Hilbert affine l  h¬ng Chùng minh £nh cõa αt chùa £nh cõa

αs n¸u s ≤ t Chựng minh náu s, t lợn thẳ cĂc Ênh n y trịng Suy αs l  ¯ng c§u èi vợi s lợn v kát luên khổng gian k[x1, x2, , xn]/I l hỳu hÔn chiÃu

bi têp trữợc ta cõ a thùc Hilbert affine cõa ideal I(V)l  a thùc h¬ng Gi£ sû V ={p1, p2, , pm}, vỵi m= #V

(a) Chùng minh t½nh hđp l» cõa Ănh xÔ

: k[x1, x2, , xn]/I(V)→km

trong â φ([f]) = (f(p1), f(p2), , f(pm)) Chùng tä φ l  mët-mët (b) Cè ànhi v  °t Wi ={pj | j 6=i}.Chùng minh I(Wi) +I({pi}) =

(c) Chựng minh tỗn tÔi fi ∈ I(Wi) v  gi ∈ I({pi}) cho fi +gi = Chùng minh φ([fi]) l  vector km câ tåa ë thù i b¬ng v  c¡c tåa ë cỏn lÔi bơng

(d) Chựng minh l ¯ng c§u v  suy dimk[x1, x2, , xn]/I(V) =m = #V 11 Cho ideal thuƯn nhĐt I ⊂k[x0, x1, , xn].B i tªp n y tẳm hiu ỵ nghắa hẳnh hồc

cừa hằ số b0 a thùc Hilbert

HPI(s) = d

X

i=0

bi

s d−1

Ta s³ gåi b0 l  bªc cõa idealI

(a) Chùng minh bªc cõa ideal hfi bơng bêc cừa a thực f

(b) Chựng minh náu k õng Ôi số thẳ bêc cừa siảu mt V(f) bơng bêc cừa a

thực thu gồn fred cõa a thùcf

(c) Chùng minh n¸uIl  giao ¦y õ sinh bði c¡c ph¦n tû cõaR-d¢yf1, f2, , fr thẳ bêc cừa I bơng tẵch

degf1Ãdegf2Ã Ã Ãdegfr

(d) Tẵnh bêc cừa bao õng xÔ Ênh cừa ữớng cong xoưn bêc ba

12 Chùng minh a thùc Hilbert HPI+hfi khỉng thº b¬ng khæng dimV >0

13 Gi£ sû V = V(x) k2 Chựng minh V V(x1) = TÔi i·u n y khæng

14 Gi£ sû W =V(x2+y2−1)⊂R2. Chùng minh W =W trong

P2(R) TÔi iÃu

ny khổng mƠu thuăn vợi Mằnh · 5.2.8(ii)?

15 Cho c¡c ideal I, J ⊂k[x1, x2, , xn] Chùng minh c¡c bao h m thùc sau

IJ ⊂I∩J ⊂√IJ

16 GiÊ sỷ k õng Ôi số v V Pn(k)bĐt khÊ quy.

(a) Chựng minh náu dimV > thẳ tỗn tÔi a tÔp bĐt khÊ quy W V cho dimW = dimV −1

(b) °t m= dimV Chựng minh tỗn tÔi dÂy cĂc a tÔp bĐt kh£ quy V0 ⊂V1 ⊂ · · · ⊂Vm =V

sao cho Vi 6=Vi+1 vỵi 0≤i≤m−1

(c) Chùng minh khổng tỗn tÔi dÂy nhữ trản cõ di lợn hỡnm+ 1.Suy mối

liản hằ giỳa chiÃu cừa a tÔp bĐt khÊ quy V vợi dÂy cĂc a tÔp bĐt khÊ

quy chựa V

5.3 ChiÃu v phử thuởc Ôi số

Cho V l a tÔp affine Nhưc lÔi rơng vnh tồa k[V] gỗm tĐt cÊ cĂc hm a

thực trản V

nh nghắa 5.3.1 Ta nõi cĂc phƯn tỷ1, 2, , rk[V]l ởc lêp Ôi số trảnk náu khổng tỗn tÔi a thực khĂc khổng p phư thc v or bi¸n chop(φ1, φ2, , φr) = trongk[V]

Nhªn x²t 5.3.2 Náu cĂc phƯn tỷ 1, 2, , r k[V] ởc lêp Ôi số trản k thẳ φi kh¡c khỉng v  ỉi mët kh¡c Hìn núa, måi tªp cõa tªp {φ1, φ2, , r} cụng ởc lêp Ôi số trảnk

Vẵ dư 5.3.3 Gi£ sû V = kn N¸u k l  trữớng vổ hÔn thẳ I(V) = {0} v vêy

V½ dư 5.3.4 Gi£ sû V =V(y−x2, z−x3) ⊂R3. Khi â I(V) = hy−x2, z−x3i. Ta

cõ [x] R[V] ởc lêp Ôi số trản R Thªt vªy, gi£ sû p l  a thùc mët bián vợi cĂc

hằ số R cho p([x]) = R[V] Tø ành ngh¾a ta câ [p(x)] = [0] Suy

p(x)I(V).Những R[x] hyx2, zx3i={0}.Vêy pl  a thùc khæng M°t kh¡c, tø

¯ng thùc [y]−[x]2 = [0]

R[V] d¹ d ng suy c¡c ph¦n tû [x] v  [y] R[V]

khỉng ởc lêp Ôi số trản R

nh lỵ 5.3.5 Cho a tÔp affine V kn. Khi õ dimV bơng số lợn nhĐt cĂc phƯn tỷ k[V] ởc lêp ¤i sè tr¶n k

H» qu£ 5.3.6 Gi£ sûV v V0 l cĂc a tÔp bĐt khÊ quy kn. NáuV tữỡng ữỡng song hỳu t vợi V0 thẳ dimV = dimV0

Hằ quÊ 5.3.7 Cho a tÔp affine V kn. Khi õ dimV bơng số nguyản lợn nhĐt r tỗn tÔi r bián xi1, xi2, , xir cho I(V)∩k[xi1, xi2, , xir] ={0}

Chùng minh B i tªp

Trong phƯn cỏn lÔi ta s giÊ sỷ V bĐt kh£ quy Khi â I(V) nguy¶n tè v  k[V] l 

miÃn nguyản Vẳ vêy cõ th thiát lêp trữớng cĂc hm hỳu t k(V) trản V

nh lỵ 5.3.8 Cho a tÔp bĐt khÊ quy V kn. Khi õ dimV bơng số lợn nhĐt cĂc phƯn tỷ k(V) ởc lêp Ôi số trản k

Trong lỵ thuyát trữớng, cõ khĂi niằm bêc siảu viằt nh nghắa nhữ sau

nh nghắa 5.3.9 GiÊ sỷK l trữớng chựa k.Ta nõi d l bêc siảu viằt cừa K trản k

náu d l số nguyản lợn nhĐt cĂc phƯn tỷ cừaK ởc lêp Ôi số trản k

Vẵ dử 5.3.10 GiÊ sỷ k l trữớng vổ hÔn v V =kn. Khi õ k(V) =k(x

1, x2, , xn) Do kn câ chiÃu bơngn ta suy bêc siảu viằt cừa k(x

1, x2, , xn) tr¶n k bơng n

Tứ nh nghắa suy

B i tªp

1 Gi£ sû φ1, φ2, , r k[V] l ởc lêp Ôi sè tr¶n k (a) Chùng minh φi kh¡c khỉng v  æi mët kh¡c

(b) Chùng minh måi tªp kh¡c trèng cõa tªp{φ1, φ2, , r} Ãu ởc lêp số trản k

(c) Gi£ sû y1, , yr l  c¡c bián v xt Ănh xÔ : k[y1, , yr] → k[V] x¡c ành bði α(p) =p(φ1, φ2, , r) Chựng minh ỗng cĐu vnh l mởt-mởt Cho k l trữớng õng Ôi sè v  ideal I ⊂k[x1, x2, , xn] Khi õ dimV bơng số

nguyản lợn nhĐt r tỗn tÔi r bián xi1, xi2, , xir cho

I(V)∩k[xi1, xi2, , xir] ={0}

3 Cho ideal I = hxy1i k[x, y] XĂc nh hẳnh chiáu cừa V(I) l¶n c¡c trưc tåa

ë

4 Cho k l trữớng õng Ôi số v ideal I =hxy, xzi ⊂k[x, y, z]

(a) Chùng minh I∩k[x] = nh÷ng I∩k[x, y]v  I ∩k[x, z] kh¡c0

(b) Chùng minh I∩k[y, z] = nh÷ng I∩k[x, y, z]6=

(c) Kát luên chiÃu cừa V

5 Cho k l trữớng õng Ôi số v ideal I =hzx2, zy −xyi ⊂k[x, y, z].

(a) Chùng minh I∩k[x] = 0.ideal I∩k[x, y] ho°c I∩k[y, z] b¬ng 0?

(b) Chùng minh I∩k[x, y] = nh÷ng I∩k[x, y, z]6=

(c) Kát luên chiÃu cừa V

6 GiÊ sỷ : V W l Ănh xÔ a thực giỳa cĂc a tÔp affine Ta nõi l trởi náu

a tÔp nhọ nhĐt cừa W chùa φ(V) ch½nh l  W Nâi c¡ch kh¡c, φ l  trởi náu

Ênh cừa nõ trũ mêt W

(a) Chùng minh φ l  trëi n¸u v  ch¿ náu ỗng cĐu vnh : k[W] k[V] l

mởt-mởt

7 Bi têp ny tẳm hiºu mèi quan h» giúa tham sè hâa v  chi·u GiÊ sỷ k l trữớng

vổ hÔn

(a) Gi£ sû F: km →V l  tham sè hâa a thực cừa a tÔp V. Do õm l số cĂc tham số v V l a tÔp nhọ nhĐt chựa F(km). Chùng minhm ≥dimV. (b) Cho v½ dư tham sè hâa a thùcF: km →V vỵi m >dimV.

(c) Gi£ sû F: km\W →V l  tham sè hâa húu t cừa V. Ta biát rơng V l bĐt khÊ quy Chựng minh cõ th nh nghắa Ănh xÔ F: k(V)k(t1, t2, , tm) v Ănh xÔ n y l  mët-mët

(d) Chùng minh n¸uF: km\W →V l  tham sè hâa húu t¿ cõaV th¼ m≥dimV. Bi têp ny nh nghắa trữớng cĂc hm hỳu t trản a tÔp bĐt khÊ quyV Pn(k). Náu f k[x0, x1, , xn] th¼ f khỉng xĂc nh mởt hm trản V Thêt vêy giÊ sỷ

pV cõ tồa thuƯn nhĐt(a0, a1, , an).Khi â(λa0, λa1, , λan) cụng l tồa thuƯn nhĐt cừa p v

f(λa0, λa1, , λan) =λdf(a0, a1, , an), â d= deg(f)

(a) GiÊi thẵch tÔi phữỡng trẳnh trản khổng th nh nghắaf(p)nhữ mởt hm

ỡn tr trản V

(b) Gi£ sûg ∈k[x0, x1, , xn] câ bêc bơngdv g 6I(V).Chựng minh tẵnh hủp lằ cừa hm =f /g trản têp khĂc trống V \V V(g)V

(c) Hai h m φ=f /g v  φ=f0/g0 gåi l  t÷ìng ữỡng trản V náu tỗn tÔi a tÔp

con thỹc sỹW cừa V cho=0 trản V \W;kỵ hiằu0.Chựng minh

quan hằ l quan hằ tữỡng ữỡng Lợp tữỡng ữỡng trản V gồi l hm hỳu

t trản V Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng kỵ hiằu lk(V)

(d) Chùng minh câ thº ành ngh¾a c¡c ph²p toĂn cởng v nhƠn trản cĂc lợp tữỡng ữỡng Suy k(V)l  mët tr÷íng Ta gåi k(V)l  tr÷íng c¡c h m hỳu t trản

a tÔp xÔ Ênh V

(e) N¸u °t Ui = {xi = 1} ⊂ Pn(k) thẳ ta cõ mởt a tÔp affine bĐt khÊ quy

V Ui Ui 'kn.Chựng minh náu V Ui 6=thẳ k(V)ng cĐu vợi trữớng

9 Cho a tÔp bĐt khÊ quy V Pn(k) v k(V) l trữớng cĂc hm hỳu t trản V. (a) Chựng minh dimV bơng bêc siảu viằt cừa k(V)trản k

(b) Hai a tÔp xÔ Ênh bĐt khÊ quy V v V0 gồi l tữỡng ữỡng song hỳu t

náu V Ui tữỡng ữỡng song hỳu t vợi V0 Uj vỵi måi i, j Chùng minh

V v  V0 tữỡng ữỡng song hỳu t náu v ch náu tỗn tÔi ng cĐu trữớng :k(V)k(V0)sao cho hÔn chá cừa lản k l Ănh xÔ ỗng nhĐt

(c) Chựng minh hai a tÔp xÔ Ênh tữỡng ữỡng song hỳu t¿ câ cịng chi·u

5.4 Khỉng gian ti¸p xóc

ành ngh¾a 5.4.1 Gi£ sû V ⊂kn l  a tÔp affine v p= (p

1, p2, , pn)∈V (i) Gi£ sû f ∈k[x1, x2, , xn] a thùc

dp(f) :=

∂f ∂x1

(p)(x1−p1) +

∂f ∂x2

(p)(x2−p2) +· · ·+

∂f ∂xn

(p)(xn−pn)

gåi l phƯn tuyán tẵnh cừa f tÔi p Chú ỵ rơngdeg(dp(f))1 (ii) a tÔp affine

Tp(V) :=V(dp(f)| f I(V)) gồi l khổng gian tiáp xúc cừa V tÔi p

Náu k = R thẳ cĂc Ôo riảng xf

i nhữ php tẵnh vi phƠn ối vợi trữớng k

tũy ỵ, Ôo hm riảng hẳnh thực:

∂f ∂xi

X

α1 αn

cα1 αnx

α1

1 x

αi

i x αn

n

!

= X

α1 αn

cα1 αnαix

α1

1 x

αi−1

i x αn

n

Ta cõ tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa khổng gian ti¸p xóc M»nh · 5.4.2 Gi£ sû p∈V ⊂kn.

(ii) Khỉng gian ti¸p xóc Tp(V) l tnh tián cừa khổng gian tuyán tẵnh cừa kn M»nh · 5.4.3 Gi£ sû L l  ÷íng th¯ng i qua p∈V câ tham sè hâa F(t) =p+tv

Khi õLTp(V)náu v ch náu0l mởt nghiằm bởi2cừa fF(t)vợi mồif I(V) Chựng minh Bi têp

Vẵ dử 5.4.4 GiÊ sû V = V(f) ⊂ Cn l  si¶u m°t x¡c ành bði f = 0, trong â

f ∈k[x1, x2, , xn] l  a thùc kh¡c h¬ng Khi â

I(V) =I(V(f)) =phfi=hfredi,

trong â fred = f1f2 fr l  t½ch cõa c¡c thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa f Ta giÊ sỷ

f =fred Khi â

V =V(f) = V(f1f2 fr) = V(f1)∪V(f2)· · · ∪V(fr)

l  phƠn tẵch cừa V(f) thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy °c bi»t, méi th nh ph¦n

cõa V câ chi·u n−1

V¼ I(V) = hfi, ta câ Tp(V) l a tÔp xĂc nh bi

f x1

(p)(x1−p1) +

∂f ∂x2

(p)(x2−p2) +· · ·+

∂f ∂xn

(p)(xn−pn) =

Suy

dimTp(V) =

 



n−1 náu tỗn tÔi ch số i cho xf

i(p)6= 0,

n n¸u ∂x∂f

i(p) = vỵi måi i= 1,2, , n

Vẵ dử 5.4.5 KhÊo sĂt ữớng cong C = V(x+y+z, x2 −y2z2 +z3) ⊂

C3 Ta câ

hf1, f2i = hx +y+z, x2 −y2z2 +z3i l  ideal nguy¶n tố Suy C bĐt khÊ quy Vẳ

ideal nguyản tố l radican, nh lỵ khổng im cừa Hilbert suy raI(C) =hf1, f2i.Náu

p= (a, b, c)C thẳ Tp(C)xĂc nh bi hằ cĂc phữỡng trẳnh tuyán tẵnh sau

dp(f1) = 1·(x−a) + 1·(y−b) + 1·(z−c) = 0,

dp(f2) = 2a·(x−a) + (−2bc2)·(y−b) + (−2b2c+ 3c2)·(z−c) =

°t

Jp(f1, f2) =

1 1

2a −2bc2 −2b2c+ 3c2

!

Ta câ Tp(C) l  tành ti¸n cõa kerJp(f1, f2) Vªy

dimTp(C) = 3−rankJp(f1, f2)

Hìn núa cõ th chựng minh Tp(C) cõ chiÃu1 tÔi mồi im cừaC ngoÔi trứ gốc tồa TÔi gốc tồa ở, Tp(C)l  m°t ph¯ng x+y+z =

V½ dư 5.4.6 KhÊo sĂt a tÔp affineV =V(xz, yz)R3. Dạ dng chựng tä

dimTp(V) =

        

2 n¸u p thuëc m°t ph¯ng (x, y)v  p6= (0,0,0), n¸u p thc trưc z v  p6= (0,0,0),

3 n¸u p= (0,0,0),

nh nghắa 5.4.7 ChoV l a tÔp affine v pV Số chiÃu lợn nhĐt cừa a tÔp

b§t kh£ quy cõa V chùap gåi l  chi·u cừa V tÔi p v kỵ hiằu l dimpV Tứ ành ngh¾a ta câ

H» qu£ 5.4.8 Ta câ

dimV = max

p∈V dimpV

V½ dư 5.4.9 GiÊ sỷV =V(f)Cnl siảu mt Ta biát rơng mồi thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa V cõ chiÃu bơng n1 Suy dimpV =n1 vợi mồipV

nh nghắa 5.4.10 Cho a tÔp affine V v p V im p gồi l im chẵnh quy cừa V náu dimTp(V) = dimpV Náu pkhổng l im chẵnh quy ta nõi nâ l  iºm ký dà V½ dư 5.4.11 Gi£ sûV =V(f)Cn l siảu mt Ta cõ dim

pV =n1vợi mồipV Vêy p l im ký d cừa V náu v ch náu tĐt cÊ cĂc Ôo hm riảng cừa f tÔi p bơng

khổng Suy têp cĂc im ký d cừaV l a tÔp = V(f, ∂f

∂x1

(p), , ∂f xn

(p))

Vẵ dử 5.4.12 KhÊo sĂt ữớng cong C = V(x+y+z, x2 −y2z2+z3) ⊂

C3 Ta biát

rơng C bĐt khÊ quy Suy dimpC = vợi mồi pC Vêy pC l im ký dà cõa C n¸u dimTp(C)6= Do â gèc tåa ë l  iºm ký dà nh§t cõa C

nh lỵ 5.4.13 GiÊ sỷ V kn l a tÔp affine v

={pV | p l  iºm ký dà cõa V}

Ta gåi Σ l  tªp ký dà cõa V Khi â

(i) l a tÔp affine chựa V

(ii) Náu p thẳ dimTp(V)>dimpV

(iii) khổng chựa thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa V

(iv) Náu Vi, Vj l hai thnh phƯn bĐt khÊ quy phƠn biằt cõa V th¼ Vi∩Vj ⊂Σ Gi£ sû f1, f2, , fr ∈k[x1, x2, , xn] Kỵ hiằu

J(f1, f2, , fr) =

      ∂f1 ∂x1 ∂f1

∂x2

∂f1

∂xn,

∂f2

∂x1

∂f2

∂x2

∂f2

∂xn,

· · · ∂fr

∂x1

∂fr

∂x2

∂fr ∂xn   

nh lỵ 5.4.14 GiÊ sỷ V = V(f1, f2, , fr) ⊂ Cn l a tÔp affine v ma

J(f1, f2, , fr) tÔi p V cõ hÔng bơng r Khi õ p l im chẵnh quy cõa V v  p thc óng mët th nh ph¦n bĐt khÊ quy cừa V chiÃu nr

Bi têp

1 (a) Chùng minh ∂

∂xi l  k-tuy¸n t½nh

(b) Chùng minh ∂ ∂xi

∂ ∂xj

= ∂x∂

j

∂ ∂xi

vỵi måii, j

(c) Gi£ sû f1, f2, , fr ∈k[x1, x2, , xn] T½nh ∂x∂i(f1α1f

α2

2 frαr) (d) Ph¡t biu v chựng minh cổng thực Ôo hm hm hủp

2 Chùng minh dp(hf) =h(p)·dp(f) +dp(h)·f(p) Gi£ sû p= (p1, p2, , pn)∈kn v  f ∈k[x1, x2, , xn]

(b) GiÊ sỷ biu diạnf dÔng a thực cừa xipi mồi số hÔng cừa a thực ny cõ bêc Chựng minh xf

i(p) = vợi mồi i

(c) Chựng minh náu viátf dÔng a thực cừaxipi thẳ số hÔng hơng lf(p)v phƯn tuyán tẵnh l  dp(f)

4 Gi£ sû f =x2 −y2z2+z3 ∈C[x, y, z] v  V =V(f)⊂C3.

(a) Chùng minh f b§t kh£ quy C[x, y, z]

(b) Chùng minh V chùa tröcy

(c) Gi£ sûp∈V Chùng minh cĂc Ôo hm riảng cừaf bơng khổng tÔi pnáu v

ch¿ n¸u p thc trưc y

5 Gi£ sỷ A l ma cĐp mìn, vợi n m Náu r m ta nõi B l ma

cừa A cĐp rìr náu B nhên ữủc tứ A bơng cĂch Ưu tiản lĐyr cởt cừa A v  sau

â chån r h ng c¡c cët ny

(a) Cho vẵ dử ma A cĐp 3ì4 v liằt kả tĐt cÊ cĂc ma cừaA cĐp 3ì3v cĐp 2ì2

(b) Chựng minh rankA = r náu v ch náu tĐt cÊ cĂc ma cừa A cĐp tìt, r tm, cõ nh thùc b¬ng khỉng

(c) Gi£ sûp∈V Chùng minh c¡c Ôo hm riảng cừaf bơng khổng tÔi pnáu v

ch¿ n¸u p thc trưc y

6 Kh£o s¡t ÷íng cong C = V(x+y +z, x2 − y2z2 +z3) ⊂

C3 X²t ideal I =

hx+y+z, x2−y2z2+z3i ⊂

C[x, y, z]

(a) Chùng minh I l ideal nguyản tố HD: ời bián X = x +y +z, Y = y

v  Z = z Chùng tä I = hX, F(Y, Z)i â F ∈ C[Y, Z] Chùng minh

C[X, Y, Z]/I 'C[Y, Z]/hFi v  F b§t kh£ quy

(b) Suy C l a tÔp bĐt khÊ quy v I(C) =I

(c) Tẵnh dimC

(d) XĂc nh tĐt cÊ c¡c iºm (a, b, c)∈C cho ma trªn Jp(f1, f2) =

1 1

2a −2bc2 2b2c+ 3c2

!

7 Cho f =x2 ∈k[x, y] Trong k2 chùng minh Tp(V(f))6=V(dp(f))vỵi måi p∈V Gi£ sû V =V(xy, xz)⊂k3 v  gi£ sû k l trữớng vổ hÔn.

(a) Tẵnh ideal I(V)

(b) T½nh dimTp(V)

9 Gi£ sûf ∈k[x1, x2, , xn]sao cho ∂x∂f

i = vợi mồii.Chựng minh náuk l trữớng

cõ c trững 0(khi õ k chựa mởt trữớng ng cĐu vợi Q) thẳ f l a thực hơng

10 GiÊ sỷV =V1V2 .Vr l phƠn tẵch cừa a tÔpV thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy

(a) GiÊ sỷ iºm p ∈ V thc v o óng mët th nh ph¦n b§t kh£ quy Vi cõa V Chùng minh dimTp(V) = dimTp(Vi)

(b) Vợi giÊ thiát cƠu (a), chựng minh p khỉng ký dà cõaV n¸u v  ch¿ n¸u

nâ khỉng ph£i iºm k¼ dà cõa Vi

(c) Kỵ hiằu l têp cĂc im ký d cõa V v  Σi l  tªp c¡c iºm ký dà cõa Vi Chùng minh

Σ =[

i6=j

(Vi∩Vj)∪

[

i

Σi

(d) Chùng minh náu mội i l mởt têp thỹc sỹ cừa Vi thẳ khổng chựa cĂc thnh phƯn bĐt kh£ quy cõa V

11 Gi£ sûk l  tr÷íng õng Ôi số Tẳm tĐt cÊ cĂc im ký d cõa c¡c ÷íng cong sau

trong k2.

(a) y2 =x3−3.

(b) y2 =x3−6x2+ 9x

(c) x2y2+x2+y2+ 2xy(x+y+ 1) =

(d) x2 =x4+y4

(e) xy=x6+y6.

(f) x2y+xy2 =x4+y4.

12 GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số Tẳm tĐt c£ c¡c iºm ký dà cõa c¡c m°t cong sau

trong k3

(a) xy2 =z2.

(b) x2+y2 =z2

(c) x2y+x3+y3 = 0.

(d) x3−xyz+y3 = 0.

13 Chùng minh V(y−x2+z2,4x−y2+w3)⊂

C4 l  mët m°t kh¡c trèng

14 Gi£ sûV ⊂kn l  mët siảu mt bêc2v pV l im chẵnh quy cừa V.Chựng minh a tÔp V Tp(V) cõ mởt im ký d tÔi p

15 GiÊ sỷ V Cn l a tÔp bĐt khÊ quy v p V l im chẵnh quy cõa V. Gi£ sû

dimV =d

(a) Chựng minh tỗn tÔi cĂc a thực f1, f2, , fn−d ∈ I(V) cho Tp(V) =

V(dp(f1), dp(f2), , dp(fn−d))

(b) Gi£ sûf1, f2, , fn−d∈I(V)nh÷ (a) Chùng minh ma trªnJp(f1, f2, , fn−d) cõ hÔng bơngnd.Suy raV l mởt thnh phƯn bĐt khÊ quy cõaV(f1, f2, , fn−d) 16 Gi£ sỷ V Cn l a tÔp bĐt khÊ quy chiÃud v  gi£ sû I(V) =hf

1, f2, , fsi (a) Chùng minh p∈V l  iºm ch½nh quy cõa V n¸u v  ch¿ n¸u

rankJp(f1, f2, , fs) = n−d (b) Chùng minh têp cĂc im chẵnh quy cừa V khĂc trống

(c) Kỵ hiằuD l têp tĐt cÊ cĂc nh thực cĐp(nd)ì(nd)cừa ma Jp(f1, f2, , fs).Chùng minh tªp c¡c iºm ký dà cõa V l 

Σ = V ∩V(g |g ∈D)

5.5 Nân tiáp xúc

PhƯn ny nghiản cựu nõn tiáp xúc cừa a tÔp affine V tÔi im p V Ta bi¸t

khỉng gian ti¸p xóc Tp(V) Trong tr÷íng hđp p l  iºm ký dà cõa V ta c¦n kh¡i ni»m kh¡c

Gi£ sû p= (p1, p2, , pn)∈kn N¸u α= (α1, 2, , n)Zn0, kỵ hiằu

(xp) = (x1−p1)α1(x2−p2)α2· · ·(xn−pn)αn v  |α|=α1+α2 +· · ·+αn Gi£ sû f ∈k[x1, x2, , xn].Ta câ thº vi¸t

f =fp,0+fp,1 +· · ·+fp,d, âd= deg(f)v fp,i =P||=ia(xp)

.Chú ỵ rơng f

p,0 =f(p) v  fp,1 =dp(f) Ta câ ành ngh¾a sau:

nh nghắa 5.5.1 GiÊ sỷ V kn l a tÔp affine v  p= (p1, p2, , pn)∈V

(i) N¸u f ∈k[x1, x2, , xn], ta ành ngh¾a

fp,min =ford(f,p),p, â

ord(f, p) = min{j | fj,p60}

(ii) a tÔp

Cp(V) = V(fp,min | f ∈I(V))

gåi l  nân ti¸p xóc cõa V

M»nh · 5.5.2 Gi£ sû p∈V ⊂kn Khi â Cp(V) l  tành ti¸n cõa nõn affine cừa a tÔp xÔ Ênh Pn1(k)

Vẵ dư 5.5.3 X²t ÷íng cong V = V(y2 −x2(x+ 1)) ⊂

R2 Gi£ sû p = (0,0) Ta câ

ord(f, p) = v  fp,min =x2−y2 Suy Cp(V) =V(xy)V(x+y) Vẵ dử 5.5.4 Xt ữớng congV =V(y2x3)

R2.Gi£ sûp= (0,0).Ta câord(f, p) =

v  fp,min =y2 Suy Cp(V) = V(y)

V½ dư 5.5.5 Xt siảu mt affine V = V(f) kn Dạ d ng chùng minh Cp(V) =

K¸ tiáp ta s nghiản cựu nõn tiáp xúc xĐp x a tÔp V gƯn im p V Ta biát

rơng Cp(V) l tnh tián cừa mởt nõn affine Bi vêy Cp(V) ữủc hẳnh thnh bi cĂc ữớng thng quap.Vẳ vêy nghiản cựu nõn tiáp xúc ta s nghiản cựu cĂc ữớng thng

quap v thuởc Cp(V)

Gi£ sû k = Cn. Trong tr÷íng hđp n y ta cõ th nh nghắa sỹ hởi tử cừa dÂy

qk C án qC

Ta s nghiản cựu cĂc ữớng thng thổng qua tham số hõa Bi vêy, gi£ sû ÷íng th¯ngL câ tham sè hâa p+tv â v ∈Cn l  vector (kh¡c khỉng) song song vỵi L v tC

nh nghắa 5.5.6 Ta nõi ữớng th¯ng L ⊂ Cn i qua p ∈

Cn l giợi hÔn cừa cĂc

ữớng thngLk, k = 1,2, , i qua pnáu cho trữợc tham số hõa p+tv cừa L tỗn tÔi tham số hâap+tvk cõa Lk cho limk→∞vk=v Cn

K¸t quÊ sau chựng tọ cõ th xĐp x nõn tiáp xóc Cp(V) bði c¡c ÷íng th¯ng i quap

ành lỵ 5.5.7 Cho a tÔp affine V Cn. Khi õ ÷íng th¯ng L i qua p∈ V thc nân ti¸p xúc Cp(V) náu v ch náu tỗn tÔi dÂy {qk}k1 ⊂V \ {p} hëi tư ¸n p cho

náu Lk l ữớng thng i qua p v qk thẳ Lk hởi tử án L nh lỵ 5.5.8 Cho a tÔp affine V kn v pV Khi õ

dimpV = dimCp(V)

Kát quÊ trản chựng tọ cõ thº x¡c ành dimpV thỉng qua nân ti¸p xóc Tø ành ngh¾a ta câ

H» qu£ 5.5.9 Gi£ sû p∈V ⊂kn. Khi â

Cp(V)⊂Tp(V)

°c bi»t

Suy

H» qu£ 5.5.10 Gi£ sỷk l trữớng õng Ôi số vpl im thuởc a tÔp affine V kn. CĂc khng nh sau l tữỡng ÷ìng

(i) p l  iºm ch½nh quy cõa V

(ii) dimCp(V) = dimTp(V) (iii) Cp(V) = Tp(V)

Bi têp

1 GiÊ sỷ k l trữớng c trững Vợi mội p kn v f k[x

1, x2, , xn] ta câ thº vi¸t f =P

αcα(x−p)

α, trong â c

k Kỵ hiằu

x =

∂α1 ∂α1x

1

∂α2 ∂α2x

2

· · · ∂ αn

∂αnx

n

trong õ i

ixi cõ nghắa vi phƠn i lƯn tữỡng ựng vợi bián xi t

! =α1!·α2!· · ·αn! (a) Chùng minh r¬ng

∂α(x−p)β ∂αx (p) =

 



α! n¸u =, náu ngữủc lÔi

(b) GiÊ sỷ f =P

αcα(x−p)

α.Chùng minh

cα =

1 α!

∂αf ∂αx(p) Suy

f =X

α

1 α!

∂αf

∂αx(p)(x−p) α.

(c) Viát cổng thực (b) ối vợi a thực hai bián bêc baf k[x, y]

(e) Bơng vẵ dử cử th, chựng minh trản trữớng hỳu hÔn khổng th biạu diạn f

theo cĂc Ôo hm riảng cừa nõ Cho siảu mt V ⊂kn.

(a) Gi£ sû I(V) = hfi Chùng minhCp(V) =V(fp,min)

(b) GiÊ sỷ k õng Ôi số v V =V(f) Chùng minhCp(V) = V(fp,min)

3 B i tªp n y chùng minh I =hxy, xz+z(y2−z2)i ⊂k[x, y, z]l  ideal radican náu k cõ c trững0

(a) Chựng minh

hx, z(y2−z2)i=hx, zi ∩ hx, y−zi ∩ hx, y+zi

Hỡn nỳa, ba ideal vá phÊi l cĂc ideal nguy¶n tè (b) Chùng minh

hx, xz−z3i=hy, zi hy, xz2i

Hỡn nỳa, hai ideal vá ph£i l  c¡c ideal nguy¶n tè (c) Chùng minh

I =hx, z(y2−z2)i ∩ hy, xz−z3i

(d) Suy I l  giao cõa c¡c ideal nguy¶n tè Chùng minh I l ideal radican Sỷ

dửng phƠn tẵch cừa I hÂy mổ tÊ a tÔpV =V(I)k3.

(e) XĂc nh I(V) náu k l trữớng õng Ôi số

4 Tẵnh chiÃu cừa nõn tiáp xúc v cừa khổng gian tiáp xúc tÔi gốc tồa cừa a tÔp

V(I)n¸u

(a) I =hxz, xyi

(b) I =hx−y2, x−z3i.

5 Gi£ sû si¶u m°t S⊂R3 x¡c nh bi phữỡng trẳnh

x3z(3/4)x2y2(3/2)xyz + (1/4)z2 =

(a) Chựng minh têp ký d cừa S chẵnh l ữớng cong xoưn bêc ba V = V(y

(b) Tẵnh nõn tiáp xúc v khổng gian tiáp xúc tÔi gốc tồa cừa siảu mt S

6 (a) Gi£ sû Cn câ hai d¢y vector vk v  tkvk, tk ∈C, cho vk → v 6= v 

tkvk→0 Chùng minhtk →0

(b) Gi£ sûv = (z1, z2, , zm)v vk= (zk1, zk2, , zkn).Chùng minhvk→v suy zki →zi vỵi måii= 1,2, , n

7 Cho a tÔp affine chựa gốc tåa ë V ⊂kn v  °t

V ={(v, t)∈kn×k | tv∈V, t 6= 0} ⊂kn+1

(a) Chùng minh (knì {}) V =V

ì {} vợi mồi λ∈ k, â Vλ ={v ∈

kn | vV}

(b) Chựng minh V l a tÔp affine (c) Chùng minh Vλ, λ6= 0, ¯ng c§u V

(d) Gi£ sû k =C ho°c R v  gi£ sû 6= gƯn gốc tồa GiÊi thẵch V l hẳnh Ênh thu gồn cừa V vợi hằ số co 1/λ

(e) Chùng minh V0 =C0(V)

8 Cho iºmp∈V ⊂kn. Chùng minh C

p(V)⊂Tp(V)

9 GiÊ sỷ k l trữớng vổ hÔn vV kn l khæng gian vector cõa khæng gian kn

Chùng minh V bĐt khÊ quy

10 Cho a tÔp xÔ Ênh W Pn1(

C)v kỵ hiằu CW Cn l  nân affine cõa nâ

(a) Chùng minh khæng gian tiáp xúc cừa CW chẵnh lCW

(b) Chựng minh gốc tồa l im chẵnh quy cừaCW náu v ch náuW l khổng gian tuyán tẵnh xÔ £nh cõa khæng gian Pn−1(C)

11 Gi£ sû k l trữớng tũy ỵ v t Pn1 =Pn1(k) Kỵ hiằu y1, y2, , yn l  c¡c tåa thuƯn nhĐt Pn1 v x1, x2, , xn l  c¡c tåa ë kn °t

Γ ={((y1, y2, , yn),(x1, x2, , xn))∈Pn−1×kn | xiyj−xjyi = 0} (a) Chựng minh (p, q) náu v ch náu tỗn tÔi t∈k cho q=tp

(c) Chùng minh (Pn1ì {0}) =Pn1ì {0}

(d) Xt php chiáu π: Γ →kn,(p, q)7→q. Chùng minh π−1(q), q 6= 0, gỗm úng

mởt im õ 1(0) l bÊn cừaPn1.Suy cõ th xeml a

tÔp nhên ữủc tứ kn bơng cĂch thay gốc tồa bi khổng gian xÔ Ênh Pn1

(e) Chựng minh c¡c iºm (v, tv) ∈ Pn−1×kn thuëc Γ v  õ tÔo thnh mởt ữớng cong L .XĂc nh cĂc im giao cừa L vợi Pn1ì {0}.

(f) Suy cĂc ữớng thng phƠn biằt i qua gốc tồa kn tữỡng ựng vợi cĂc im thuởc 1(0). Ta gồi : kn l php nờ cừa kn tÔi gốc tồa ở. 12 Cho a tÔp affine V kn i qua gèc tåa ë v  gi£ sû gèc khổng l mởt thnh

phƯn bĐt khÊ quy cừa V Ta s nh nghắa php nờ cừa V tÔi gèc tåa ë Gi£

sû Γ ⊂ Pn−1 ×kn nhữ bi têp trữợc Gồi V l a tÔp nhọ nhĐt

Pn1 ìkn chựa (Pn1 ì(V \ {0}))∩Γ X²t ph²p chi¸u π: Γ → kn,(p, q) 7→ q

Chùng minh π( ˜V)⊂V Ta gåi φ: V V l php nờ cừaV tÔi gốc tồa

13 Cho a tÔp affine V kn i qua gèc tåa ë v  gi£ sû gèc khæng l  mởt thnh

phƯn bĐt khÊ quy cừa V Ta biát rơng nõn tiáp xúc C0(V) l nõn affine CW trản a tÔp xÔ Ênh W Pn1.Ta nõi W l nõn tiáp xúc xÔ Ênh cừa V tÔi p.

(a) Chựng tọ giÊ thiát {0} khổng l thnh phƯn b§t kh£ quy cõa V suy k l 

trữớng vổ hÔn v V l bao õng Zariski cừa V \ {0}

(b) Gi£ sû g ∈ k[y1, y2, , yn, x1, x2, , xn] Chùng minh g ∈ I( ˜V) n¸u v ch náu g(tq, q) = vợi mồi qV \ {0} v  måi t∈k\ {0}

(c) Chùng minhg I( V)náu v ch náug(tq, q) = 0vợi mồiq V v mồit k

(d) TÔi I( V) sinh bi cĂc a thực thuƯn nhĐt theo bián (y1, y2, , yn)? (e) Gi£ sû g = P

αgα(y1, y2, , yn)x

α ∈ I( ˜V). Ta câ g

α l  cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc t

f(x1, x2, , xn) =

X

α

gα(x1, x2, , xn)xα

Chùng minh f ∈I(V)

(f) Chùng minh W × {0} ⊂V˜ ∩(Pn−1× {0})

14 Cho k l trữớng õng Ôi số v a tÔp affine V =V(f1, f2, , fr)⊂kn chùa gèc tồa

(a) Tẳm cĂc phữỡng trẳnh xĂc nh php nờ V

(b) Tẳm php nờ tÔi gèc tåa ë cõa V(y2 −x2 −x3).

Phư lưc A

Ph¦n phư lưc

Ph¦n ny cung cĐp mởt vi phĂt biu, nh nghắa v cĂc tẵnh chĐt Ôi số thữớng ữủc sỷ dửng giĂo trẳnh

A.1 Nhõm

nh nghắa A.1.1 Nhâm l  mët tªpGv  mët ph²p to¡n hai ngỉi ∗ trảnG thoÊ cĂc

iÃu kiằn sau:

(i) Kát hủp: (ab)c=a(bc)

(ii) Tỗn tÔi e G cho ae =ea =a PhƯn tỷe ữủc gồi l phƯn tỷ ìn cõa

nhâm G

(iii) Vỵi måi aG tỗn tÔib Gsao cho ab =ba=e

Vẵ dử A.1.2 (i) Tr¶n Z x²t c¡c ph²p to¡n cëng + v nhƠn ì thổng thữớng Khi

õ(Z,+) l nhõm (Z,ì) khổng l nhõm

(iii) Vợi mội nN ta kỵ hiằu

Sn ={ :{1, , n} → {1, , n} l  song ¡nh} Khi â(Sn,◦) vỵi ph²p to¡n hủp hai Ănh xÔ l mởt nhõm v #Sn=n!

nh nghắa A.1.3 GiÊ sỷ (G,) l mởt nhõm Têp H cõa G ÷đc gåi l  nhâm

con cừa Gnáu

(i) PhƯn tỷ ỡn v e cừa nhâm G thc H

(ii) Vỵi måi a, b∈H thẳ abH

(iii) Vợi mồi aH thẳ a1 H.

A.2 V nh

ành ngh¾a A.2.1 V nh giao ho¡n l mởt têp R vợi hai php toĂn hai ngổi ì v + trản R thoÊ mÂn cĂc iÃu ki»n sau:

(i) Giao ho¡n: Vỵi måi a, b∈R thẳ a+b=b+a v aìb =bìa

(ii) Kát hủp: Vợi mồi a, b, cRthẳ (a+b) +c=a+ (b+c), v(aìb)ìc=aì(bìc)

(iii) PhƠn phối: Vợi mồi a, b, cR thẳ aì(b+c) =aìb+aìc

(iv) Tỗn tÔi hai phƯn tỷ 0,1R cho a+ = aì1 =a vợi mồi ak

(v) Kh£ nghàch èi vỵi ph²p to¡n +: vỵi måi a∈k tỗn tÔi bk cho a+b=

Vẵ dử A.2.2 Têp cĂc số nguyản Z vợi cĂc php toĂn nhƠn v cởng thổng thữớng l

mởt vnh

Tr÷íng hđp °c bi»t cõa c¡c v nh giao ho¡n l  c¡c mi·n nguy¶n

(i) Giao ho¡n: Vợi mồi a, bD thẳ a+b =b+a v aìb=bìa

(ii) Kát hủp: Vợi mồi a, b, cDthẳ(a+b) +c=a+ (b+c),v(aìb)ìc=aì(bìc)

(iii) PhƠn phối: Vợi mồi a, b, cD thẳ aì(b+c) =aìb+aìc

(iv) Tỗn tÔi cĂc phƯn tỷ 0,1D vợi 06= cho a+ =aì1 = a vỵi måia ∈D

(v) Kh£ nghàch èi vỵi ph²p toĂn +: vợi mồi aD tỗn tÔib D cho a+b =

(vi) Náu ab= thẳ hoc a= ho°c b =

V½ dư A.2.4 Gi£ sû k l  mët tr÷íng Khi â v nh a thùc k[x1, x2, , xn] l  mi·n nguyản

nh nghắa A.2.5 GiÊ sỷ(R,+,ì)l mởt vnh giao hoĂn Têp conI cừa R ữủc gồi

l ideal náu (i) 0I

(ii) a, bI thẳ a+b I

(iii) Vợi mồi aI v mồi bR thẳ aìb ∈I

ideal I cõa v nh (R,+,×) gåi l  ideal cỹc Ôi náu I 6=R v náu ideal J 6=R thẳ J I

nh nghắa A.2.6 (R,+,ì) gồi l vnh a phữỡng náu vnh (R,+,ì) cõ nhĐt

mởt ideal cỹc Ôi

A.3 Trữớng

nh nghắa A.3.1 Trữớng l mởt têpk v hai php toĂn hai ngổi ì v + trản k

thoÊ mÂn cĂc i·u ki»n sau:

(ii) K¸t hđp: Vợi mồia, b, ck thẳ (a+b) +c=a+ (b+c),v(aìb)ìc=aì(bìc)

(iii) PhƠn phối: Vợi mồi a, b, ck thẳ aì(b+c) = aìb+aìc

(iv) Tỗn tÔi 0,1k cho a+ =aì1 = a vợi mồiak

(v) KhÊ nghch ối vợi php toĂn +: vợi mồi ak tỗn tÔi bk cho a+b=

(vi) Kh£ nghàch èi vỵi php toĂn ì: vợi mồi a k, a N, a 6= 0, tỗn tÔi c k

cho aìc=

CĂc trữớng thữớng ữủc sỷ dửng: (i) Q,R,C,F2

(ii) k(x1, x2, , xn)l  trữớng cĂc hm hỳu t theo cĂc bián x1, x2, , xn vỵi c¡c h» sè trữớng k

Nhên xt A.3.2 Trữớng l mởt vnh giao ho¡n

A.4 ành thùc

ành ngh¾a A.4.1 Vợi mội Sn kỵ hiằu P l ma cõ ÷đc b¬ng c¡ch ho¡n theo σ c¡c cët cõa ma ỡn v Inìn GiĂ tr

sgn() := det(P) gồi l kỵ số cừa

Tứ nh nghắa d¹ d ng suy sgn =±1.Hìn núa

M»nh · A.4.2 GiÊ sỷ A= (aij) l ma vuổng cĐp n×n Khi â

det(A) = X

σ∈Sn

sgn(σ)a1σ(1)· · ·anσ(n)

M»nh · A.4.3 GiÊ sỷ A = (aij) l ma vuổng cĐp nìn khÊ nghch Khi õ hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Ax=b câ nh§t nghi»m x= (x1, , xn) â

xi =

det(Mi)

det(A) ,

T i li»u tham kh£o

[1] Brieskorn E., Knorrer, H., Plane algebraic curves, Birkhauser, Boston, 1986 [2] Cox D., Little J., O'Shea D., Using algebraic geometry, Graduate Texts in

Mathe-matics, 185 Springer, New York, 2005

[3] Cox D., Little J., O'Shea D., Ideals, varieties, and algorithms, Undergraduate Texts in Mathematics Springer, New York, 2007

[4] Fulton W., Algebraic curves An introduction to algebraic geometry, Advanced Book Classics Redwood City, CA etc.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc 1989 [5] Griffiths P., Harris J., Principles of algebraic geometry, John Wiley & Sons, Inc.,

New York, 1994

[6] Hartshorne R., Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, No 52 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977

[7] Lang S., Algebra, Graduate Texts in Mathematics, No 211 Springer-Verlag, New York, 2002

[8] Reid M., Undergraduate algebraic geometry, London Mathematical Society, Cam-bridge University Press, 1988

[9] Shafarevich I., Basic Algebraic Geometry, Vol & 2, Springer-Verlag, 1994 [10] Walker R J., Algebraic curves, Princeton University, 1950