Khái niệm số phức
Số phức z có dạng đại số z = a + bi, trong đó a và b là các số thực Phần thực của số phức z được ký hiệu là Rez và phần ảo được ký hiệu là Imz.
Cho z = +a ib ,a b, , khi đóz = − a ib được gọi là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z
Một số tính chất
Với các số phức z z z 1 , 2 , , ta có:
) 2 Re 2 ; 2 Im 2 ( , , ) i z z z ii z z z iii z z z z iv z z a b z a ib a b v z z z z z z z z z vi z z vii z z z a z z i z ib z a ib a b
Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một số phức
Trong hệ tọa độ phức, một số phức z có thể được biểu diễn dưới dạng z = a + ib, với a và b là các số thực, tương ứng với tọa độ (a, b) Các số thực được thể hiện trên trục Ox, được gọi là trục thực, trong khi các số thuần ảo được thể hiện trên trục Oy, được gọi là trục ảo.
Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt tương ứng với một số phức z = + a ib
Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập hợp tất cả các số phức với tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng
Mỗi điểm có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với véc tơ có bán kính véc tơ r = a² + b² và góc cực Số phức z có thể được biểu diễn dưới dạng lượng giác là z = r(cos + i sin ), trong đó r là bán kính cực (modun) và là góc cực (argument) của số phức z.
Modun của số phức được xác định một cách duy nhất z = a 2 +b 2 0
Và argument của số phức được xác định với sai khác một bội của 2 ar 2 , ( ) 0
Ar ar (2 1) , ( ) 0 ctgb k k khi a gz a ctgb k k khi a a
là giá trị chính của hàm arctg
Cho các số phức z=r c( os+isin ) ;
Ta có các tính chất sau:
1) Nếu z 1 z 2 thì modul của chúng trùng nhau và argument của chúng 1 ; 2 sai khác nhau một số nguyên lần 2
2) Tính chất của modun và argument
Dạng mũ của số phức
Để đơn giản cách viết số phức ta đặt os isin i c = e dạng lượng giác được biến đổi thành dạng mũ z = re i đó là dạng số mũ của số phức z 0
Phép nâng số phức z = + = a ib r c ( os + isin ) lên lũy thữa bậc n của số phức n n in z = r e
Ứng dụng của các phép dời hình bằng ngôn ngữ số phức
Phép tịnh tiến theo vectơ v=( )v là phép biến hình biến điểm M z( ) thành điểm '( ')
M z sao cho MM'=v Do đó biểu thức của phép tịnh tiến là 'z = f(z)= +z v
Phép quay tâm M 0 ( )z 0 góc quay là phép biến hình biến M(z) thành điểm M'(z') mà M M 0 =M M 0 ' và (M M M M 0 ; 0 ') (mod 2) Từ đó biểu thức của phép quay tâm M 0 góc quay là z'−z 0 =e i (z−z 0 )
Như vậy, theo ý nghĩa hình học của phép toán cộng và nhân số phức, ta đã thấy biến đổi của mặt phẳng phức xác định bởi:
T v theo vectơ v có tọa vị , còn biến đổi xác định bởi
' z z =z ,|| 1= , là phép quay tâm O (gốc tọa độ) với góc quay có số đo =arg mà ta kí hiệu là
Vậy phép biến đổi f của mặt phẳng phức xác định bởi
' z z = z+ ,| | 1= , là tích của một phép quay tâm O với một phép tịnh tiến Rõ ràng:
- Khi =1, f là phép tịnh tiến
- Khi 1, f có một điểm bất động J mà ( )f J =J duy nhất có tọa vị là z 0 xác định bởi z 0 =z 0 + , tức là 0 z 1
− và khi đó công thức z'= z+có thể viết thành z'−z 0 =(z−z 0 ) , tức f là phép quay tâm J , góc quay có số đo
Do đó, công thức z z'=z+ ,| | 1= xác định mọi phép tịnh tiến và mọi phép quay trong mặt phẳng
Lưu ý rằng phép tịnh tiến và phép quay đều bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm, điều này có thể được suy ra trực tiếp từ công thức đã đề cập.
Phép đối xứng qua đường thẳng llà phép biến hình biến mỗi điểm M z ( ) thành điểm
M z sao cho l là trung trực của MM’ Từ đó:
- Phép đối xứng qua trục thực: z ' = f z ( ) = z
- Phép đối xứng qua trục ảo: z ' = f z ( ) = − z
- Do 2 ( ) ( Ox l ; = Ox OM ; ) ( + Ox OM ; ' ) ( ở đây l = ( ) z 0 ) nên phép đối xứng qua đường thẳng l đi qua gốc O và điểm z o e i 2
Từ đó, nếu = T l v ( ) với v=( ) z 0s thì phép đối xứng trục qua có biểu thức
Phép vị tự tâm C z ( ) 0 , tỷ số kR * là phép biến hình biến điểm M z ( )thành điểm
M z mà CM'=kCM Do đó biểu thức của phép vị tự tâm C z ( ) 0 , tỷ số kR * là z'=k z ( −z 0 )+z 0
Bài tập 1 yêu cầu tìm tọa độ A’ và B’, là ảnh của hai điểm A(3; 5) và B(-1; 1) qua phép tịnh tiến theo vectơ v (-1; 2) trong mặt phẳng Oxy Đồng thời, cần xác định tọa độ C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v, trong khi đường thẳng d được cho bởi phương trình x – 2y + 3 = 0.
Giải a) Tọa độ v ( − 1;2 ) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: v= − +1 2i Điểm A(3;5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = +3 5i
Gọi A z ' ( ) ' là ảnh của z qua phép tịnh tiến z theo vectơ v
Biểu thức của phép tịnh tiến là 'z = f(z)= + = + − + = +z v 3 5i 1 2i 2 7i
Tọa độ v ( − 1; 2 ) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: v= − +1 2i Điểm B(-1;1) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z= − +1 i
Gọi B' ( ) z ' là ảnh của z qua phép tịnh tiến z theo vectơ v
Biểu thức của phép tịnh tiến là 'z = f(z)= + = − + − + = − +z v 1 i 1 2i 2 3i
Vậy B’(-2;3) b) Tọa độ v ( − 1;2 ) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: v= − +1 2i
A z là ảnh của C z ( ) qua phép tịnh tiến theo vectơ v Điểm A(3;5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z'= +3 5i
Biểu thức của phép tịnh tiến là z ' = f (z)= + = − = + − − + z v z z ' v 3 5 i ( 1 2 i )= +4 3 i Vậy C(4;3)
Bài tập 2: Tìm ảnh của A(2, 3) a Qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 b Qua phép quay tâm O, góc quay -60 0 c Qua phép quay tâm I (1;2), góc quay 90 0 d Qua phép quay tâm I(3; 5) , góc quay 60 0
Giải a Qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 Điểm A(2 , 3) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = +2 3i Điểm O( 0,0) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z 0 = 0
Gọi z’ là ảnh của z qua phép quay tâm O, góc quay 90 0
Biểu thức của phép quay tâm O góc quay là z ' − z 0 = e i ( z − z 0 )
Ảnh của điểm A(2, 3) qua phép quay tâm O với góc quay 90 độ là B'(-3, 2) Khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay -60 độ, điểm A(2, 3) trên mặt phẳng phức được biểu diễn là z = 2 + 3i, trong khi điểm O(0, 0) được biểu diễn là z₀ = 0.
Gọi z’ là ảnh của z qua phép quay tâm O, góc quay -60 0
Biểu thức của phép quay tâm O góc quay là z'−z 0 =e i (z−z 0 )
Vậy ảnh của A(2, 3) qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 là
c Qua phép quay tâm I (1;2), góc quay 90 0 Điểm A(2 , 3) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = +2 3i Điểm I( 1;2) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z 0 = + 1 2 i
Gọi z’ là ảnh của z qua phép quay tâm I, góc quay 90 0
Biểu thức của phép quay tâm I góc quay là z'−z 0 =e i (z−z 0 )
Ảnh của điểm A(2, 3) qua phép quay tâm I với góc quay 90 độ là C’(0, 3) Khi thực hiện phép quay tâm I(3, 5) với góc quay 60 độ, điểm A(2, 3) trên mặt phẳng phức được biểu diễn là z = 2 + 3i, trong khi điểm I(3, 5) được biểu diễn là z₀ = 3 + 5i.
Gọi z’ là ảnh của z qua phép quay tâm I, góc quay 60 0
Biểu thức của phép quay tâm I góc quay là z'−z 0 =e i (z−z 0 )
Vậy ảnh của A(2, 3) qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 là 5 2 3 8 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3;-5) và đường thẳng d có phương trình 3x+2y-12=0, ta cần tìm ảnh của điểm M qua các phép đối xứng Cụ thể, ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Ox sẽ là M'(3;5), còn qua phép đối xứng trục Oy sẽ là M''(-3;-5).
Giải a Điểm M(3;-5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z= −3 5i
Gọi M’(z’) là ảnh của M(z) qua phép đối xứng trục thực Ox
Biểu thức củaphép đối xứng qua trục thực: z ' = f z ( ) = = + z 3 5 i
Vậy M’(3;5) b Điểm M(3;-5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z= −3 5i
Gọi M’’(z’) là ảnh của M(z) qua phép đối xứng trục ảo Oy
Biểu thức củaphép đối xứng qua trục ảo: z ' = f z ( ) = − = − + z (3 5 ) i = − − 3 5 i
Bài tập 4: Trong mặt phẳng Oxy hai điểm A(4;5) và I(3;-2) Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3
Giải Điểm A(4;5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = +4 5i Điểm I(3;-2) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z 0 = −3 2i
Gọi A’(z’) là ảnh của z qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=3
Biểu thức của phép vị tự tâm I tỉ số k=3 z'=k z ( −z 0 )+z 0
Vậy ảnh của A(4;5) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3 là A’(6;19)
Bài tập 5: Xác định cụ thể tích của phép tịnh tiến
Có thể giả sử v0 ,2k thì ,2
T =Id =Id nên dễ xác định tích đang xét đó với mọi biến đổi f của mặt phẳng ta luôn có Id f o = f Id o = f
T v xác định bởi z z'= +z ( là tọa vị của v , 0
Q J xác định bởi z z'=z+ −(1 )z 0 trong đó z 0 là tọa vị của J , =arg ,
Khi đó tích Q J , o v T xác định bởi: z z'=(z+)+ −(1 ) z 0 =z+ + −(1 )z 0
Vậy ta được một phép quay cùng góc nhưng tâm quay J 1 có tọa vị z 1 xác định bởi
T Q v xác định bởi z z+ −(1 )z 0 + cũng là phép quay góc nhưng tâm quay J 2 có tọa vị z 2 xác định bởi
Với giả thiết 0, 1 thì J 1 J 2 tức là J , o o J , v v
Bài tập 6: Xác định cụ thể tích của hai phép quay khác tâm
Q J xác định bởi z' z− = 1 ` (z−z 1 ) (J 1 có tọa vị z 1 , 1 =arg 1 ,| 1 | 1= ),
Q J xác định bởi z' z− 2 = ` (z−z 2 ) (J 2 có tọa vị z 2 , 2 =arg 2 ,| 2 | 1= )
Vậy khi 1 2 =1 tức khi 1 + 2 =2k(k )(hai góc quay đối nhau) thì tích đó là một phép tịnh tiến có tọa vị (1− 2 )(z 2 −z 1 )
Còn khi 2 1 1 thì tích đang xét là phép quay với góc quay là có số đo 2 + 1 và tâm quay J 0 có tọa vị z 0 xác định bởi z 0 = 2 1 0 z + 2 (1− 1 ) z 1 + −(1 2 ) z 2 ,
− − , do đó góc định hướng giữa hai đường thẳng (J J , J J ) 1 2 1 0 có số đo 1 (k )
− − suy ra góc định hướng của các đường thẳng (J J , J J ) 2 1 2 0 có số đo 2 (k )
Bài tập 7: Cho A z 1 ( ) ( ) ( ) 1 ,A z 2 2 ,A z 3 3 là ba đỉnh của một tam giác định hướng dương Các điều kiện sau là tương đương
A A A là tam giác đều và định hướng dương khi và chỉ khi A 3 là ảnh của A 2 qua phép quay tâm A 1 , góc quay
Do đó ( ) ( ) 1 2 Để chứng minh ( ) ( ) 2 4 , ta thấy ( ) ( ) 2 2' sau đây:
3 Bài tập làm thêm a) Lấy các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC làm đáy, dựng ra ngoài các tam giác đều với tâm tương ứng là A 0 ,B 0 ,C 0 Chứng minh rằng A B C 0 , 0 , 0 là các đỉnh của một tam giác đều b) Cho tam giác ABC Lấy các cạnh làm đáy, dựng ra ngoài ba n- giác đều
Tìm tất cả các giá trị của n sao cho tâm của ba đa giác đều đó là đỉnh của một tam giác đều
Ứng dụng số phức trong phương trình đường thẳng
1 Khái quát phương trình đường thẳng
1.1 Phương trình của đường thẳng
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phức có dạng:
Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy là:
Ax+By+ =C (*) trong đó A B C, , ,A 2 +B 2 0 Đặt z= +x iy, suy ra: ;
• Nếu = =B 0 ta có đường thẳng đứng
• Nếu ta có hệ số góc của đường thẳng như sau: m A i
1.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
+ + + + Khi đó (d 1 ),(d 2 ) sẽ: a) Song song với nhau nếu và chỉ nếu 1 2
= b) Vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu 1 2
+ = c) Cắt nhau nếu và chỉ nếu 1 2
= − là hệ số góc phức của đường (d):z +z+ = 0
1.3 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm P z 1 ( ), 1 P z 2 ( ) 2 là
Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểmP x y 1 ( , 1 1 ),P x y 2 ( , 2 2 ) trong hệ trục trực chuẩn Oxy là:
Hệ quả: a) Ba điểm M z 1 ( ), 1 M z 2 ( ), 2 M z 3 ( ) 3 thẳng hàng khi và chỉ khi
1 z z z z z z b) Hệ số góc của đường thẳng xác định bởi các điểm với tọa độ z z 1 , 2 là 2 1
+ + − − − − − − + − Theo định nghĩa của hệ số góc phức, ta được: 2 1
1.4 Phương trình của đường thẳng xác định bởi một điểm và một hướng xác định
Cho đường thẳng d: z + z+ = 0 và điểm P z( )
Phương trình của đường thẳng song song với d và qua P 0 là:
Trong hệ trục trực chuẩn Oxy, phương trình đường thẳng qua P 0 (x 0 ,y 0 ) và song song với d có phương trình là:
= = = vào phương trình trên, ta có:
Cho đường thẳng d: z + z+ = 0 và điểm P 0 (z 0 )
Phương trình của đường thẳng vuông góc với d và qua P 0 là:
Trong hệ trục trực chuẩn Oxy, phương trình đường thẳng qua P 0 (x 0 ,y 0 ) và vuông góc với d có phương trình là:
= = = vào phương trình trên, ta có: z z z z z−z − − z+z +
1.5 Chân đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường thẳng
Chân đường vuông góc H(z) hạ từ P 0 xuống d có tọa vị:
Ta có H là giao điểm của d và đường thẳng đi qua P vuông góc với d nên tọa vị z của nó là nghiệm của hệ:
− − 1.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm P 0 (z 0 ) đến đường d:z +z+ = 0, * là:
Nếu gọi H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống d, ta có:
= 1.7 So sánh kết quả về đường thẳng trong mặt phẳng thực và mặt phẳng phức
Trong mặt phẳng thực Trong mặt phẳng phức
Hệ số góc đường thẳng M1M2
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Bài tập 1:Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau:
Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1,4) và song song với (d’): x- 2y+12=0
Phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1,4) có VTPT n d = −(1, 2) có dạng:
Phương trình của đường thẳng song song với d và qua M là:
− + Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua 3
Phương trình đường thẳng (d) qua 3
Phương trình của đường thẳng vuông góc với d và qua M là:
− + − + Bài tập 4: Cho △ABC có A(1;-2) Đường cao kẻ từ B, C có phương trình lần lượt là
( ) : 3 d x − + = 5 y 11 0,( ) : d x + − = 3 y 7 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác Cách 1
Phương trình đường thẳng AB đi qua A(1;-2) và có VTPT n AB = − (3; 1) có dạng: ( ) : 3( 1) 1( 2) 0
Phương trình đường thẳng AC đi qua A(1;-2) và có VTPT n AC = (5;3) có dạng: ( ) : 5( 1) 3( 2) 0
Phương trình đường thẳng BC đi qua B(3;4) có VTPT n BC = − (1; 5) có dạng:
Phương trình của đường thẳng AB vuông góc với d 2 và qua A là:
− + − + − Phương trình của đường thẳng AC vuông góc với d 1 và qua A là:
Phương trình đường thẳng (BC) đi qua 2 điểm B và C có hệ số góc là:
= − − − − Bài tập 5: Cho hai hình vuống cùng chiều OABC,OA’B’C’ Chứng minh rằng
AA’,BB’,CC’ đồng quy
Trong mặt phẳng phức, ta chọn O làm gốc với:
Cộng (1) và (3) vế theo vế, ta có (2)
Vậy giao điểm của AA’, CC’ nằm trên BB’
3 Bài tập làm thêm a) Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của △ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là: M(z)=2+3i, N(z)=4-i, P(z)=-3+5i b) Cho 2 đường thẳng 1
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1): 2x - 3y + 5 = 0 và (d2): 3x + y - 2 = 0, trước tiên, xác định điểm M trên trục Ox sao cho M cách đều hai đường thẳng này Tiếp theo, với điểm A(3;1), cần xác định hai điểm B và C để tạo thành hình vuông OABC, trong đó điểm B nằm trong góc phần tư thứ nhất Cuối cùng, viết phương trình cho hai đường chéo của hình vuông và tìm phương trình đường thẳng (△) song song với (d): 3x - 4y + 1 = 0, có khoảng cách đến đường thẳng (d) bằng 1.
Ứng dụng số phức trong phương trình đường tròn
1 Khái quát phương trình đường tròn
1.1 Phương trình của đường tròn
Phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức có dạng:
Phương trình đường tròn trong hệ trục chuẩn Oxy là:
= = vào phương trình trên, ta có:
Bán kính đường tròn trên là :
2 2 z = + =m in −+ + − = − = Khi đó, phương trình đường tròn trên có dạng
1.2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cho ba điểm A 1 (z ), 1 A 2 (z ), 2 A 3 (z ) 3 theo thứ tự là ba đỉnh của một tam giác
Tọa vị z 0 của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A A A 1 2 3 là
Ta có phương trình đường thẳng qua P 0 (z ) 0 , vuống góc với A A 1 2 có dạng:
(z z ) z(z z ) z (z z ) z (z z ) z − + − = − + − Áp dụng công thức này, ta có phương trình các đường trung trực của các cạnh
Khử z từ hai phương trình trên, ta được:
Chú ý:Ta có thể viết lại công thức này như sau:
1.3 So sánh kết quả về đường tròn trong mặt phẳng thực và mặt phẳng phức
Trong mặt phẳng thực Trong mặt phẳng phức
Tâm đường tròn qua ba điểm
Bài tập 1: Viết các phương trình đường tròn sau bằng ngôn ngữ số phức:
+ − + + − − − Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính:
+ − − + − + − Bài tập 3: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-2;4), B(5;5),
Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x 2 + − y 2 2 ax − 2 by c + = 0
Mà A, B, C thuộc (C) nên ta có hệ phương trình:
3 Bài tập làm thêm a) Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính hoặc đường kính (sử dụng ngôn ngữ số phức): i) I(-1,0), R=4 ii) 1
I3 2− R b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (sử dụng ngôn ngữ số phức) với: i) A(2;0), B(0;-3), C(5;-3) ii) A(1;2), B(3;1), C(-3;-1) iii) A(-1;-7), B(-4;-3), C O
Ứng dụng số phức trong tích vô hướng của hai vec- tơ
Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ áp dụng khái niệm này cho các số phức, từ đó nhận thấy rằng việc sử dụng số phức có thể giúp đơn giản hóa quá trình giải quyết nhiều bài toán.
1 Tích vô hướng của hai vec-tơ bằng ngôn ngữ số phức
Cho a b , là hai số phức, ta có:
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm A( a ),B( b ) Khi đó
OA.OB = OA.OB.cos AOB
Nếu a có modul bằng r 1 và có argument bằng 1 , b có modul bằng r 2 và có argument bằng 2 thì:
OA.OB=r r cos − =r r cos cos +sin sin
Từ đó, ta có thể kết luận rằng a;b = a;b và a,b thuộc về tập số phức Tích vô hướng của hai số phức tương tự như tích vô hướng của hai vectơ Hơn nữa, ta cũng có a;cb = c.a,b và ca,b = c.a,b.
Với mọi số phức a b c z , , , ta có: a a a = a 2 c Tính phân phối đối với phép cộng: a b c ( + = ) a b + a c d ( a b ) = ( ) a b = a ( b ), e a b = 0 OA⊥OB, với A, B lần lượt là ảnh của a b , f ( ).( ) a z b z = z 2 ( ) a b
1.3 Ý nghĩa hình học của tích vô hướng của hai số phức
Tích vô hướng a b là phương tích của gốc tọa độ với đường tròn đường kính AB
Thật vây, gọi I là tâm đường tròn đường kính , ta có:
Phương tích của gốc tọa độ đối với đường tròn: OI 2 − r 2 = a b
Mệnh đề: Giả sử A a B b C c D d ( ), ( ), ( ), ( ) là bốn điểm phân biệt:
Các mệnh đề sau tương đương
1.4 Tọa vị của trực tâm của tam giác
Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc trong mặt phẳng phức:
Giả sử A a B b C c ( ), ( ), ( ), khi đó trực tâm H của tam giác ABC có tọa vị : h= + +a b c
Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm A có tọa độ (-2, 1) Điểm B là điểm đối xứng của A qua gốc tọa độ O Cần xác định tọa độ của điểm C với tung độ bằng 2 để tam giác ABC vuông tại C.
Cách 1: Phương pháp thông thường
Vì B đối xứng với A(-2,1) qua O nên ta có B(2,-1)
Tam giác ABC vuông tại C nên ta có: CA CB = 0 CA CB = 0
Cách 2: Mô tả các đại lượng bằng số phức
Gọi ba điểm A, B, C có tọa vị lần lượt là a b c , , Ta có a= − +2 i B đối xứng với A qua gốc tọa độ nên b= −2 i c= +x 2i
Tam giác ABC vuông tại C nên ta có: CA CB = 0
Bài tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5),
D(0; –2) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông
=> ABCD là hình bình hành
=> ABCD là hình chữ nhật
=> ABCD là hình vuông (vì hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau) (đpcm)
Gọi tọa vị của các đỉnh A, B, C, D lần lượt là a b c d , , ,
Ta sẽ chứng minh các ý sau:
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra tứ giác ABCD là hình vuông
Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD Điểm M là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường chéo AC sao cho PC =3 AP Chứng minh rằng MP⊥PB
Sử dụng hệ tọa độ vuông góc với điểm A làm gốc và vectơ AB là vectơ đơn vị theo hướng dương của trục hoành, ta có thể xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D tương ứng.
Cho tam giác ABC với điểm C nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB Dựng hình vuông ABDE trong nửa mặt phẳng này Tương tự, trong nửa mặt phẳng bờ BC có điểm A, ta dựng hình vuông BCFG Cần chứng minh rằng GA vuông góc với CD.
Trong hệ tọa độ vuông góc với gốc tại điểm B, vectơ BC được xác định theo chiều dương của trục hoành Tọa độ của các đỉnh A, B, C lần lượt là a, b, c, từ đó có thể tính được g = ic d và = -ia.
là góc giữa GA và CD Ta có: arg : argi2 ia c ia c a ic ia c
Bài tập 5 (Đề vô địch Anh 1983) yêu cầu chứng minh rằng trong tam giác cân ABC với đỉnh A, I là tâm đường tròn ngoại tiếp, D là trung điểm của AB và J là trọng tâm của tam giác ACD, thì IJ vuông góc với CD.
Chọn đường tròn tâm I làm đường tròn đơn vị Giả sử A a , B b ,C c ( ) ( ) ( ) Vì A, B,
C cùng thuộc đường tròn nên ta có aa bb cc = = = 1 và D là trung điểm của AB nên tọa vị của
DC = − c + = − − Mặt khác, J là trọng tâm của tam giác ACD nên
IJ = + + ( I là gốc tọa độ) Để chứng minh IJ ⊥CD ta cần chứng minh IJ CD = 0 Thật vậy ta có
IJ CD ac aa ab cc ca cb bc ba bb ca cc cb aa ca ab ab bc bb ab ca ab ac
= 1 + − − c a c a b a b a cc ca ac aa bb ba ab aa ca ac ba ab
Suy ra IJ CD = 0 , vậy IJ ⊥CD
Bài tập 6: Cho ABCD là một tứ giác lồi Chứng minh rằng:
AB + CD = AD + BC AC ⊥ BD
Sử dụng tính chất của tích vô hướng của các số phức:
Bài tập 7: Cho E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC CD, DA của một tứ giác lồi Chứng minh rằng: AB CD ⊥ BC 2 + AD 2 = 2( EG 2 + FH 2 )
3 Bài tập làm thêm a) Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của đoạn tẳng
AB và E là trọng tâm của tam giác ACD Để chứng minh rằng CD vuông góc với OE khi và chỉ khi AB bằng AC, ta cần phân tích cấu trúc hình học của tam giác này Bên cạnh đó, A1, A2, , An là các đỉnh của một đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn có tâm O và bán kính R.
R Chứng minh mọi điểm M trong mặt phẳng ta luôn có:
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc với nhau
Trong trường hợp tổng quát, nếu không nói gì thêm ta thường dùng chữ in thường a, b, c, d, để chỉ tọa vị của các điểm A, B, C, D
1 Để chứng minh hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau và vuông góc nhau, ta chứng minh:
2 Để chứng minh AB⊥CD, ta chứng minh:
Cách 2 Dùng tích vô hướng, ta chứng minh:
Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm CD, P là điểm trên đường chéo
AC sao cho PC = 3AP Chứng minh BPM = 90 o
Trong mặt phẳng phức, chọn hệ trục như hình vẽ với:
Trong bài tập 2, trên các cạnh AB và AD của tam giác ABD, chúng ta vẽ các hình vuông ABEF và ADGH bên ngoài với tâm lần lượt là O và Q Gọi M là trung điểm của đoạn BD Cần chứng minh rằng tam giác OMQ là tam giác vuông cân.
Ta giả sử ABD đi theo chiều dương Để chứng minh tam giác OMQ vuông cân tại
Bài tập 3: Trên các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC, lấy các điểm D, E sao cho:
Gọi P= BDCE Chứng minh APC = 90 o
Để tìm P, ta tìm phương trình BD, CE
Ta có: BD: (b−d z) − −(b d z) +bd −bd =0
Giải hệ (1) và (2) ta có:
