Ứng dụng của cấu trúc nhóm trong một số bài toán đại số và số học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ CƠNG TIẾN ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHĨM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC Luận văn thạc sĩ toán học NGHệ AN 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ CƠNG TIẾN ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHĨM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngi hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thành Quang NGHÖ AN - 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 1.1 Một số kiến thức sở Lý thuyết nhóm 1.2 Ứng dụng Lý thuyết nhóm số tốn tổ hợp 1.3 Ứng dụng Lý thuyết nhóm số 11 tốn tơ màu CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NHĨM TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM 15 2.1 Ứng dụng nhóm hữu hạn số 15 tốn giải phƣơng trình hàm 2.2 Ứng dụng Lý thuyết nhóm toán xây 18 dựng phép biến đổi phân tuyến tính 2.3 Cấu trúc đồng cấu nhóm phƣơng trình hàm 21 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 MỞ ĐẦU Trong khoảng kỷ, nhiề u nhà tốn học đ ã gặp khó khăn nghiên u toán Đ ại số trước Lý thuyết nhóm đời Bắt đầu Jose phLouis Lagrange sử dụng nhóm hốn vị để tìm nghiệ m đa thứ c (1771) Sau báo, nghiê n u phương trình đại số Le onhard E ule r, Carl Frie drich Gauss, Niels He nrik Abe l (1824) Evariste Galois (1830) , nhữ ng thuật ngữ lý th uyết nhóm đ ã xuất hiệ n Lý thuyết nhóm hình thành từ Hình học vào khoảng giữ a kỉ 19 từ Lý thuyết số Vào khoảng cuối kỉ 19, Lí thuyế t nhóm hình thành nhóm độc lập Đ ại số (nhữ ng người có cơng lĩnh vự c phải kể đến Fe rdinand Ge org Frobe nius, Le opo ld Krone cke r, E mile M athieu ) Nhiều khái niệ m đại số xây dựng lại từ khái niệ m nhóm đ ã có nhiề u kết đ óng g óp cho phát triển ngành quan trọng T ốn học Hiệ n Lí thuyế t nhóm l phần phát triển Đại số có nhiề u ứng dụng T ơpơ học, Lý thuyế t hàm, M ật mã học, Cơ học lượng tử nhiề u ngành khoa học khác Lí thuyết nhóm lĩnh vự c nghiê n u quan trọng Đ ại số hiệ n đ ại Lí thuyết có ứng dụng sâu sắc nhiề u hư ớng khác T ốn học, V ật lí Đ ặc biệt, số kỹ thuật Lí thuyế t nhóm sử dụng để mang lại nhữ ng kết đẹp đẽ sâu sắc T oán học Chẳng hạn, tính giải thứ c phư ng trình đ ại số đ a thứ c đ ã giải quyế t trọn vẹ n E Galois thông qua việ c sử dụng kiến thứ c Lí thuyết nhóm phối hợp cách tài tình với Lí thuyết trư ờng Việc sử dụng cấu trúc nhóm để giải tốn đ ã xuất hiệ n đề thi Olimpic T oán học quốc tế (IM O) Trong luận văn này, khai thác số ứng dụng Lí thuyết nhóm vào lĩnh vự c T ổ hợp, Đại số sơ cấp Số học Công cụ chủ yế u L í thuyết nhóm vận dụng đ ây Định lí Lagrange; Bổ đề Burnside quỹ đ ạo tác động nhóm lên tập, nhóm cyclic, nhóm hữu hạn, nhóm đối xứ ng, nhóm ma trận, p- nhóm Luận văn trình bày chương Chương gồm kiến thức chuẩn bị lý thuyết nhóm, bao gồm khái niệm tính chất nhóm, lớp ghép, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng tác động nhóm lên tập hợp, p-nhóm Vì tập minh họa có lời giải sơ cấp, nên luận văn khơng tập trung trình bày chi tiết lời giải mà chủ yếu phân tích xuất cấu trúc nhóm Trong tiết 1.1, luận văn chứng minh lại công thức số học cổ điển Lucas phương pháp sử dụng công cụ lớp ghép Bổ đề Burnside Lí thuyết nhóm Ngoài ra, chương điểm lại vài ứng dụng nhóm phép để giải số tốn tổ hợp tốn tơ màu Chư ơng nhữ ng ứng dụng Lý thuyết nhóm tốn giải phư ơng trình hàm Tiết 2.1 rõ ứ ng dụng nhóm hữu hạn the o chủ đề vừ a nê u Tiết 2.2 xây dự ng phé p biế n đổi phân tuyến tính cách sử dụng cơng cụ nhóm Tiết 2.3 gồm nhữ ng ví dụ minh họa việ c cấu trúc đồng cấu nhóm xuất đề lời giải phư ơng trình hàm đề thi Olimpic T oán quốc tế ( IMO) số nư ớc khác Rõ ràng là, biết sử dụng tính chất nhóm lời giải tốn trở nê n sinh động nhiề u Tác giả xin bày tỏ lòng biế t ơn sâu sắc tới PGS.TS N guyễ n Thành Quang, ngư ời thầy giáo đ ặt vấn đề nghiên u tận tình dẫn, để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn T hầy giáo, Cô giáo môn Đ ại số, Kho a T ốn học Phịng Đ tạo Sau đ ại học thuộc trư ờng Đ ại học Vinh đ ã động viê n cổ vũ, có góp ý quý báu tạo điều kiệ n thuận lợi cho tác gi ả hoàn thành nhiệm vụ học tập, nghiên u the o chư ơng trình đào tạo sau đ ại học Trư ờng Mặc dù đ ã có nhiề u cố gắng song nhiề u ngun nhân, luận văn chắn cịn có nhiề u thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý q thầy bạn đ ồng nghiệ p T ÁC GI Ả CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA CẤU CHÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP Cấu trúc nhóm xuất tự nhiên tốn sơ cấp Ví dụ đơn giản nhóm , , , với phép tốn cộng Ví dụ hiển nhiên nhóm hữu hạn (nói chung khơng aben) xuất Lý thuyết số, Lý thuyết tổ hợp Đại số Chúng điểm lại vài ứng dụng lý thuyết nhóm để giải số tốn tổ hợp Do tập minh họa có lời giải sơ cấp, không tập trung trình bày lời giải mà chủ yếu phân tích xuất cấu trúc nhóm 1.1 Một số kiến thức sở Lý thuyết nhóm 1.1.1 Định nghĩa Nếu nhóm G có hữ u hạn phần tử ta nói G nhóm hữu hạn Cấp G số phần tử nhóm ký hiệ u |G| Với g  G có số nguyên dư ơng n cho g n  Khi đó, số nguyên dương n nhỏ gọi cấp g ký hiệ u l ord(g) 1.1.2 p-nhóm Cho p số nguyên tố Một p - nhóm nhóm hữu hạn với phần tử có cấp lũy thừa p 1.1.3 Mệnh đề Nhóm aben G p-nhóm G có cấp lũy thừa p Chứng minh Thật vậy, giả sử nhóm G có cấp lũy thừa số nguyên tố p a  G Xét nhóm xyclic H sinh a Rõ ràng H  ord (a) Do đó, theo Định lý Lagrange, ord(a) ước cấp G, hay G p –nhóm Ngược lại, giả sử G p-nhóm aben H nhóm lớn G mà có cấp lũy thừa p Ta chứng minh H = G Giả sử có phần tử a  G - H Khi ord(a) = pn với n > Xét tập H '  ab; b  H  Dễ thấy H' hợp rời tập hợp H , aH , a H , , a p 1H H’ nhóm aben n Nói riêng, H' nhóm G với cấp H '  H p n  H Điều mâu thuẫn với cách chọn H nhóm lớn G Vậy G = H G có cấp lũy thừa p ▄ Xét nhóm đối xứng Sn tập X  1,2, , n Với   Sn, i X, ta  (i)  X Tương ứng rõ ràng thỏa mãn (  1o (1  )(i)  1 ( (i)) 2) Khi đó, ta nói có tác động nhóm Sn lên tập X Tổng quát hơn, ta có định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa Cho G nhóm hữu hạn X tập hữu hạn Một tác động G lên X ánh xạ G x X X (g,a)  g(a) thỏa mãn: Với g,h  G, a  X, (gh)(a) = g(h(a)) e(a)  a Với a  X, tập orb(a)  g (a)  X ; g  G gọi quỹ đạo a Phần tử a  X gọi cố định tác động nhóm G orb(a)  g (a)  X ; g  G  a Nhận xét Tập X phân hoạch thành hợp rời quỹ đạo Ví dụ Xét tác động nhóm đối xứng Sn lên tập X = 1, , n Với hai phần tử i, j = 1, , n, ln có phép thế, ký hiệu (i,j) gọi phép chuyển vị, tráo đổi vị trí i,j cố định vị trí khác Do đó, tác động có quỹ đạo tập X Với tập Y  X, tập Stab(Y )  g  G; g (Y )  Y  nhóm G gọi nhóm ổn định Y Ta có song ánh g.Stab(a); g  G  orb(a) cho gh g (a) Từ Định lý Lagrange cho ta 1.1.5 Mệnh đề Với a  X, quỹ đạo orb(a) có số phần tử Nói riêng, orb(a) ước |G| G Stab(a ) Cho p số nguyên tố G p-nhóm Xét tác động G lên tập hữu hạn X Theo Mệnh đề 1.1.5, quỹ đạo có nhiều phần tử có số phần tử lũy thừa p Những quỹ đạo lại ứng với điểm cố định X Ký hiệu XG tập điểm cố định, ta có mệnh đề sau 1.1.6 Mệnh đề X  X G (mod p) Một ứng dụng thú vị mệnh đề định lý số học sau 1.1.7 Đinh lý (Lucas) Cho số nguyên m, n  số nguyên tố p Ta có  m  k  mi        (mod p),  n  i 0  ni  mi, ni chữ số biểu diễn số p m, n, nghĩa m  mk p k  mk 1 p k 1  n  nk p k  nk 1 p k 1   m1 p  m0 ,  n1 p  n0 , với  mo , m1 , , mk  p;  no , n1 , , nk  p Chứng minh Xét tập M gồm m phần tử Chia M thành tập rời nhau: m i tập có pi phần tử, i = 0,1, , m Trên tập con, có tác động tự nhiên nhóm xyclic k /pi Do nhóm G   ( / pi )m tác động tự nhiên theo i i 0 thành phần lên tập M Ở ( / pi )m  / pi  i  / pi tích mi lần / pi m Gọi X tập tất tập M có n phần tử Như |X| =   n   Dễ thấy G tác động cảm sinh lên tập X Một tập N thuộc X bất biến tác động G hợp tập có p i phần tử cách chia Với p i , có ni tập N Do đó, số tập N  M có n phần tử bất biến tác động G  mi     i 0  ni  k Khẳng định Định lý Lucas suy từ Mệnh đề 1.1.6 ▄ Cơng cụ nhóm tỏ có hiệu việc chứng minh tính trù mật tập hợp số thực Ta bắt đầu công việc mệnh đề sau: 1.1.8 Mệnh đề Nếu A nhóm khơng tầm thường nhóm cộng số A nhóm xyclic trù mật thực Chứng minh Đặt   inf a  A; a  0 Số  tồn tại, A có số thực dương Ta xét ba trường hợp sau: ● Trường hợp   : Khi tồn dãy số thực dương an n  A giảm dần Xét khoảng  a, b   , khơng tính tổng qt giả sử < a < b Khi đó, ln có phần tử an dãy cho < an < b - a Đặt b N     Khi đó, ta có a < Nan < b Vì A nhóm nên Nan  A,  an  (a,b)  A   trù mật ● Trường hợp   0,   A : Tương tự trên, có dãy số thực dương an n  A giảm dần xuống  Vì   nên với số n đủ lớn < an+1 - an <  Điều mâu thuẫn với cách chọn  an+1 - an  A (A nhóm) Do trường hợp khơng xảy ● Trường hợp   0,   A : Mọi số thực a  A có biểu diễn dạng a = n  + b với n   b <  Do A nhóm nên b = a - n   A Từ cách chọn  suy b = Vậy A =  nhóm xyclic ▄ 1.1.9 Bài tốn Cho trước hình chữ nhật Theo phương cạnh, cắt hình chữ nhật thành hai ba hình chữ nhật giữ lại Chứng minh với  > cho trước, xuất phát từ hình chữ nhật ban đầu, có hữu hạn cách cắt cho hình chữ nhật cuối có tỷ lệ hai cạnh nằm khoảng (1 -  , +  ) Lời giải Gọi tỷ số độ dài hai cạnh hình chữ nhật ban đầu r Sau số hữu hạn lần cắt, tỷ số độ dài hai cạnh hình chữ nhật có dạng 2m3n r; m, n  Để chứng minh tỷ số gần tùy ý, ta chứng minh kết tổng quát tập 2 m n : m, n   trù mật tập hợp số thực không âm Điều tương đương vói tập m  n log 3; m, n  1.1.8  trù mật Khẳng định suy từ Mệnh đề 12 mảnh vải Hai cách tô màu đồng cách nhận từ cách phép hoán vị G Hỏi có tất cách tơ màu (sai khác hốn vị nhóm G)? Áp dụng bổ đề Burnside, ta phát biểu lại tốn tơ màu trên: Ký hiệu mảnh vải v 1, , v r , màu c1, , cn Xét tập hợp ánh xạ (hàm): X = {f : {v1, , vr}  {c1, , cn}} Mỗi cách tô màu tương ứng – với hàm f  X Nhóm G  Sr tác động lên tập {v1, , vr} nên có tác động tự nhiên lên tập X cho ( g, f )  G  X f g  X Theo Bổ đề Burnside, số quỹ đạo tác động là: NG  G  F ( )  G với F(  ) = {f  X : f(  (vi)) = f (vi), i = 1, , n} Gọi chu trình  V1, , Vt Khi f  F(  ) tương đương với f ánh xạ hạn chế lên chu trình Vi, i =1, ,t Như vậy, F ( )  nc ( ) với c( )  t số chu trình  ▄ 1.3.4 Định lý đếm Polya (dạng đơn giản) Ta ln có NG  G  n ( )  c G Đây dạng đơn giản Định lý đếm Polya Định lý đếm tổng quát cho ta thông tin cụ thể số cách tô màu với hạn chế phân bố, nhiên việc trình bày tương đối dài vượt khỏi phạm vi luận văn Bài tốn tơ màu sau giải cách sử dụng Định lý đếm Polya 1.3.5 Bài toán (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2010) Người ta dùng n màu để tô tất ô vuông bảng vng kích thước  , ô tô màu Hai cách tô màu coi cách tô màu nhận từ cách tô màu nhờ phép quay quanh tâm bảng ô vuông Hỏi có tất cách tơ màu khác nhau? Lời giải Gọi  phép quay quanh tâm hình vng góc  theo chiều kim đồng 13 hồ Khi G = ( ) nhóm xyclic cấp Số chu trình  3,  5,   = id Theo Định lý đếm Polya, số cách tô màu N= (n + n5 + n3) ▄ r  1.3.6 Số Stirling Ký hiệu số phép Sr có k chu trình   gọi số k  Stirling Số Stirling liên quan đến tốn tìm số cách xếp r bóng vào n sọt với hai cách xếp sai khác cách đánh số lại bóng Bài tốn bóng - sọt thuộc kiểu tốn tô màu Trong trường hợp này, ta không phân biệt bóng nên nhóm tác động Sr Theo Định lý đếm Polya, số cách xếp N= N r r  k  n r ! k 0  k  Mặt khác, cách xếp tương ứng vói chuỗi n + r - ký tự gồm r ký tự b  n  r  1  Ta suy r   (bóng) n - ký tự s (sọt) Số cách xếp N   r r  (n  r  1) (n  1)n     n k k 0  k  Đây định nghĩa khác số Stirling Phần cho ta thấy ứng dụng nhóm đối xứng, ta xét số tốn với cấu trúc nhóm khác 1.3.7 Bài tốn (Thi Vơ địch tốn Mỹ năm 2008 – USAMO 2008) Trong hội thảo toán, hai nhà toán học bạn ngưòi lạ Trong thời gian ăn trưa, ngưòi tham dự ăn hai phịng ăn Mỗi nhà tốn học ăn phòng chứa số chẵn người bạn Giả sử có cách xếp Chứng minh số cách chia nhà tốn học vào hai phịng lũy thừa Lời giải Định nghĩa lệnh tập hướng dẫn, nhà toán học đề nghị lại di chuyển Giả sử có cách chia tốt, nghĩa nhà 14 tốn học có số chẵn bạn phòng Xét tập tất lệnh cho xuất phát từ cách chia này, sau áp dụng lệnh ta cách chia tốt khác Các lệnh gọi lệnh tốt Gọi tập G Khi lệnh I mà nhà toán học nguyên chỗ thuộc tập G G nhóm aben Thật vậy, A, B  G hai lệnh bất kỳ, ta ký hiệu A.B lệnh nhận cách áp dụng lệnh B tiếp lệnh A Dễ thấy hai lệnh A.B B.A Ta chứng minh A.B lệnh tốt, nghĩa thuộc vào tập G Thật vậy, xét nhà toán học x hội thảo Nếu B(x) lại có chẵn bạn x hai phòng phải sang phòng khác Như vậy, xuất phát từ cách chia tốt khác, sau lệnh B số người đến phòng x chẵn lẻ Dẫn đến số bạn phịng x sau số chẵn Tương tự, B(x) sang phịng khác có chẵn bạn x hai phòng lại phòng Nếu xuất phát từ cách chia tốt khác, số bạn lại phòng x đến số bạn đến phịng chẵn lẻ Do x có chẵn bạn phịng sau lệnh B Tóm lại, A.B lệnh tốt A.B  G Như vậy, G nhóm aben Nếu A  G, ta có A.A= I Do đó, G 2-nhóm |G| lũy thừa ▄ 15 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NHĨM TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM 2.1 Ứng dụng nhóm hữu hạn số tốn giải phƣơng trình hàm Trong phần ta xét lớp phương trình hàm mà lời giải có sử dụng cơng cụ xuất cấu trúc nhóm hữu hạn 2.1.1 Bài tốn (Putnam 1971) Tìm tất hàm số f : f ( x)  f ( Lời giải Đặt D  x )   x, x  x 1 thỏa mãn \ 0,1 \ 0,1 Xét hàm g0 ; g1; g2 : D  D với g0 ( x)  x; g1 ( x)  Ta có  x 1 ; g ( x)  x 1 x g1 g2  g0 ; g1 g1  g2 ; g g  g1; g13  g 23  g0  id Do đó, G  g0 ; g1; g2  nhóm xyclic cấp sinh g1 g Phương trình hàm ban đầu viết lại f ( x)  f ( g2 ( x))  x  Ký hiệu fi  f gi , i  0,1, Thay x g1(x) g2(x) ta nhận hệ phương trình sau:  f  f1  x  1,   f1  f  g1 ( x)  1,  f  f  g ( x)  2  Hệ có nghiệm f (x) = f (x) = x3  x  ; x( x  1) x3  x  x  f1 (x) = ; x( x  1) x3  3x  x  f ( x)  x( x  1) Thay lại vào phương trình ban đầu, ta hàm cần tìm x3  x  f ( x)  x( x  1) ▄ 16 Nhận xét Cấu trúc nhóm thường xuất phương trình hàm? Để giải phương trình hàm cho, ta cần xác định nhóm G Thơng thường, G nhóm xyclic nhóm hữu hạn đơn giản Xét trường hợp G = (g) nhóm xyclic hay nói cách khác, ta có ánh xạ g: D  D sinh nhóm G thỏa mãn điều kiện gn = id , với số tự nhiên n 2.1.2 Bài tốn Cho miền D  tập hàm G = {g, ., gn-1 : D  D} Giả sử với phép hợp thành G nhóm Cho trước hàm 0 , , n1 ,  : D  Hãy giải phương trình hàm sau:  (x)f(g0(x)) + 1 (x) f (g1(x))+ +  n1 ( x) f ( gn1 ( x))   ( x), (1) với x  D f hàm cần tìm Để giải phương trình ta thay x g0(x), , gn-1(x) nhận hệ n phương trình tuyến tính với hệ số hàm  i (gj(x)), hệ số tự gồm hàm  (gi(x)) ẩn hàm fi(x) = f(gi(x)); i, j = 0, , n - Cách giải hệ tương tự đại số tuyến tính Chú ý rằng, điều kiện cần đủ để f0 , , f n nghiệm hệ phương trình suy phương trình (1) có nghiệm f0 g01  fi gi1 , i  0,1, , n 2.1.3 Chú ý Cách giải cho biết phương trình (1) có nghiệm hay vô số nghiệm Trường hợp hệ có vơ số nghiệm xảy ta thay biến vào phương trình hệ Ví dụ xét phương trình hàm: f(x) + f(- x) = x2 Thay x g(x) = - x không mang đến phương trình Nghiệm phương trình f(x) = x + F(x) với F(x) hàm lẻ 2.1.4 Mệnh đề Ánh xạ g : nghĩa gn = id Với a   n cho g(x) = x + {x + } xoắn bậc n, ta chia nửa đoạn sau: 17  a, a  1  [a, a  n 1 )  [a  , a  )   [a  , a  1) n n n n Khi đó, ánh xạ hạn chế k 1 k  k k 1  g : a  , a    a  , a   , k  1, , n  1, n n  n n   n 1 1    g : a  , a  1   a, a   n n    song ánh Chú ý rằng, ánh xạ g xây dựng từ ánh xạ quen thuộc nhóm thương nhóm cộng số thực nhóm cộng số nguyên: g0 : /  / , x x  n 2.1.5 Mệnh đề Ký hiệu 1     i  tan 1    , i  n  1, n  2, ,0, , n  , n D \ a n1 , , a0 , , an1 Khi đó, ánh xạ sau xoắn bậc n   g : D  D, g ( x)  tan  tan 1  x    n  Hơn nữa, ta chia D  D n1   D0   Dn1  Dn , D n1  (, a n1 ), Dn  (an1 , ), Di  (ai 1 , ), i  n  2, , n  1, ánh xạ sau g : Di  Di 1 , i  n  1, , n  1; g : Dn  D n1 , song ánh Sẽ thú vị ta xây dựng ví dụ tương tự tập rời rạc , 18 2.2 Ứng dụng Lý thuyết nhóm tốn xây dựng phép biến đổi phân tuyến tính Có lớp hàm quan trọng phép biến đổi phân tuyến tính Phần ta xây dựng phép biến đổi nhờ cơng cụ nhóm 2.2.1 Tác động nhóm GL(2, ) lên Xét nhóm tuyến tính tổng quát thực  a b   GL(2, )    ; a, b, c, d  , ad  bc    c d     cho tác động lên không gian xạ ảnh thực P1 ( )  GL(2, )        , a b ax  b    x  cx  d c d  Với ma trận   GL(2, ) , tác động cho ta ánh xạ   , gọi phép biến đổi phân tuyến tính g:      , x  ax  b cx  d Ví dụ Các hàm g1(x)= - x, g2(x) = 1/x phép biến đổi phân tuyến tính Bằng cách chia tử số mẫu số phân thức tuyến tính cho det  ta giả sử det(  ) = ±1, ký hiệu nhóm ma trận tương ứng G Chú ý rằng, tác động hai phần tử  ,    G trùng 2.2.2 Ma trận phép biến đổi phân tuyến tính xoắn Ta quan tâm đến phép biến đổi xoắn, nghĩa với g  G thỏa mãn g n ( x)  x, x    a b Những phép biến đổi tương ứng với ma trận A     G , thỏa c d  mãn An   I với n  Vì A thỏa mãn phương trình đa thức  n   nên A chéo hóa giá trị riêng A bậc 2n đơn vị, nghĩa  m A~    m  19 A với  nguyên thủy bậc 2n 1,  m1  m2 < 2n Ta có  m  m  det A  ad  bc  ,  m   m  tr ( A)  a  d  Điều kiện  m  m số thực suy m1  m2 0, n, 2n, 3n Chọn   cos  n  isin  n , ta xét riêng rẽ trường hợp sau: ● m1  m2  : Trường hợp ứng với A = I2 n = ● m1  m2  n : Khi  m   n  m    m 1 Do  m   m   m    m  2cos 1 Điều kiện  m   m  tương đương với sin m1 m  i2sin n n m1 = 0, hay m1 = 0, dẫn đến m2 = n n Ma trận chéo hoá A 0 1 A~    1  Nói riêng, trường hợp xảy n = ● m1  m2  2n : Tính tốn tương tự ta có:  m   m   m    m  2cos 1 m1  n Ma trận chéo hoá A  m A~     m  Điều tương đương với det A  a  d  2cos m1 Nói riêng, A  SL(2, ) n ● m1  m2  3n : Vì m2 < 2n nên m1 = 3n – m2 > n Ta có  m   3n  m    m Do 1 20 m1 m  i2sin n n  m   m   m    m  2cos Điều kiện  m   m  1 tương đương với sin m1 = Vì n < m1 < 2n nên n trường hợp không xảy Như trường hợp trên, phép biến đổi tuyến tính xoắn, có trường hợp n = ma trận A không nằm SL(2, ) , trường hợp cịn lại có A  SL(2, ) ▄ 2.2.3 Bậc phép biến đổi phân tuyến tính xoắn Tiếp theo, ta quan tâm đến bậc xoắn ánh xạ phân tuyến tính, nghĩa với n cho trước tìm ma trận A cho n số nguyên dương nhỏ thỏa mãn An   I Nếu n = An   I Nếu n = A đồng dạng với ma trận đường chéo Xét n > Theo phân tích trên, ma trận chéo hố A có dạng  m 0  m A~B=   ,  với m < m1 < 2n Bằng cách lập luận tương tự trên, khơng có ma trận thực C thoả mãn Cn ~ B2 Do đó, điều kiện An =  I2 tương đương với A2n =  I2 Từ suy ra, n số nhỏ để An =  I2 bậc xoắn ma trận A hai giá trị n, 2n, tương đương với (m1, n) = Dẫn đến, số ma trận đường chéo số ước nguyên dương n Một số trường hợp cụ thể: (a) n = 2: Ta có a + d = Các phép biến đổi tương ứng ab , a2 + bc = cx  a (b) n = 3: Khi m1 = 1, a + d =  Các phép biến đổi phân tuyến tính có dạng ax  b , a(1- a) – bc = 1, cx   a ax  b , a(-1- a) – bc = cx   a (c) n = 4: Ta có m1 = 1, Do a + d =  Ánh xạ g có dạng 21 ax  b , a ( - a) – bc = 1, cx   a ax  b , a (- - a) – bc = cx   a (d) n = 5: m1 nhận giá trị 1, ,3, Tương ứng, a + d nhận giá trị 1 (1  ); (1  ); 2 1 (1  5);  (1  5) 2 2.3 Cấu trúc đồng cấu nhóm phƣơng trình hàm Các tốn sau ví dụ minh họa việc cấu trúc đồng cấu nhóm xuất đề lời giải phương trình hàm đề thi IMO Những phương trình hàm khơng kiểu với phương trình hàm giới thiệu Rõ ràng là, ta biết sử dụng tính chất nhóm lời giải tốn trở nên minh bạch nhiều Ta xét toán sau 2.3.1 Bài tốn (IMO 2001 (Czech)) Tìm tất hàm số f : f ( xy)  f ( x)  f ( y)    x  y  f ( x) f ( y) (*) Lời giải Cho y  ta có f ( x)  f ( x)  f (1)    x  1 f ( x) f (1) Do hay f ( x) f ( x)  f ( x) f (1)  xf ( x) f (1)  f ( x) f (1) f ( x)  f ( x)  f (1) x   f (0)  Từ ta có +) Nếu f (1)  f ( x)  0; x  Thử lại thỏa mãn +) Nếu f (1)  C   S  {x  | f ( x)  0} Do suy f ( x)  xf (1), x  S ; f ( x)  0, x  S Ta kiểm tra rằng: Nếu x  S , y  S thương Vậy x  S y  thỏa mãn 22 Cx f ( x)   0 x  S, x  S, C số thực khác S đóng kín với phép chia hay S nhóm nhóm nhân  số thực khác Ngược lại, với C số thực khác tùy ý cố định S nhóm nhóm nhân  số thực khác 0, ta xét hàm số: Cx f ( x)   0 x  S, x  S Khi đó, với x, y  , ta xét tất khả xảy sau: - Nếu x, y  S f ( x)  Cx, f ( y)  Cy Do đó, phương trình (*) thỏa mãn - Nếu x, y  S f ( x)  0, f ( y)  Do đó, phương trình (*) thỏa mãn - Nếu x  S , y  S xy  S xy  S từ tính chất nhóm S ta suy y  S hay f ( x)  Cx, f ( y)  0, f ( xy)  Do đó, phương trình (*) thỏa mãn Vậy Cx f ( x)   0 x  S, x  S với C số thực khác S tập nhóm nhóm nhân  đóng kín với phép chia (S số thực khác 0) hàm số cần tìm  Chẳng hạn, hàm số sau (xác định S    2x f ( x)    0 x  0, x  * , C  ): hay f ( x)  x hàm số thỏa mãn phương trình (*) cho ▄ 2.3.2 Bài tốn Tìm tất hàm số f :  thỏa mãn f  f ( x  y)   f ( x) f ( y)  f ( x)  f ( y)  xy Lời giải Cho x = y ta thu được: f(f(0))=(f(x))2 − x2 Do (f(x))2 = x2 + f(f(0)) 23 Tiếp tục cho x = (f(0)) = f(f(0)), đặt f(0) = a f(a) = a2 Mà (f(a))2 = a2 + f(a) hay a4 = a2 + a2 suy a = a2 = Với a = tốn trở nên đơn giản f(x)= x hàm số cần tìm Với a2 = ta suy f(a) = Từ phương trình ban đầu cho y = 0, x = a ta f(f(a)) = 2a + − a = a + Ta suy f(2) = a + Thay x = ta có: (f(2))2 = + = Do a2 + 4a + = 6, hay 4a = 0, ta gặp vơ lí Vậy phương trình cho có nghiệm: f(x)= x ▄ 2.3.3 Bài toán (Vơ địch tốn, Cộng hịa Liên bang Nga, 2000) Tìm tất hàm số f :  thỏa mãn f ( x  y)  f ( y  z)  f ( z  x)  f ( x  y  3z) Lời giải Chọn x  a, y  0, z  ta có f (a)  f (0)  f (a) Từ f (0)  f (a) a a Tiếp tục chọn x  , y  , z   a ta có f (a)  f (0)  f (0) Từ f (a)  f (0) Do f (a)  f (0), a   hay f : hàm Ngược lại hàm f ( x)  c, c  ln thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm hàm thực ▄ 2.3.4 Bài tốn (IMO, 2002) Tìm tất hàm số f :  thỏa mãn  f ( x)  f ( y)   f (u)  f (v)   f ( xu  yv)  f ( xv  yu), x, y, u, v  Lời giải Chọn x  y  u  v  ta có f (0)2  f (0) Từ 24 f (0)  0; f (0)  Với f (0)  , chọn x  0, y  ta có f (u)  f (v)  Với f (0)  , chọn x  0, v  ta có f ( y) f (u)  f ( yu) Do f (1) f (1)  f (1) hay f (1)  f (1)  ● Nếu f (1)  f ( x)  f ( x1)  f ( x) f (0)  0, x  hay f  ● Nếu f (1)  ta chọn x  1, y  có  f (u)  f (v)   f (u  v)  f (u  v) Chọn u  0, v  ta có f (1)  từ suy f hàm chẵn Chọn x  y, u  v ta có f ( x) f (u)  f (2 xu) , f (2)  Từ suy f ( x)  x , x  f ( x)  x2 , x  Ta có f ( x )   f ( x)  , x  f  Chọn x  y, u  v ta thu f ( x2  y )  ( f ( x)  f ( y))2  f ( x)2 hay f hàm tăng Sử dụng tính liên tục hàm f ta suy f ( x)  x , x  ▄ 2.3.5 Bài tốn.Tìm tất hàm số f :  thỏa mãn f ( x3  y3 )  x2 f ( x)  y f ( y), x, y  Lời giải Đặt g(x) = f(x) – x ta có g(x3 + y3) = f(x3 + y3) – (x3 + y3)= ( x2f(x) + y2f(y)) - (x3 + y3) = x2(f(x) - x) + y2(f(y) - y) = x2g(x) + y2g(y) + Thay y = x ta có: g(2x3) = 2x2g(x) + Thay y = ta có: g(x3) = x2g(x) + 0g(0) = x2g(x) Từ g(2x3) = 2x2g(x) = 2g(x3) => g(2x) = 2g(x) => g(x) = ax, với c số thực Vậy f(x) = g(x) + x = (a + 1)x = cx, c số thực tùy ý, hàm số cần tìm ▄ 25 KẾT LUẬN Trong luận văn này, khai thác số ứ ng dụng Lí thuyết nhóm vào lĩnh vự c Tổ hợp, Đ ại số sơ cấp Số học Công cụ chủ yế u Lí thuyết nhóm vận dụng đ ây Đ ịnh lí Lagrange; Bổ đề Burnside quỹ đ ạo tác động nhóm lên tập; nhóm cyclic, nhóm hữu hạn, nhóm đối xứng, nhóm ma trận, p - nhóm Luận văn gồm nội dung sau Giới thiệ u nhữ ng kiế n thứ c sở lý thuyết nhóm, bao gồm khái niệ m tính chất nhóm, lớp ghé p, đồng cấu nhóm, nhóm đ ối xứng tác động c nhóm lên tập hợp, p -nhóm Điể m lại vài ứ ng dụng nhóm phép để giải số toán tổ hợp tốn tơ màu thơng qua phân tích xuất hiệ n cấu trúc nhóm lời giải toán Nê u ứ ng dụng đồng cấu nhóm tốn giải phương trình hàm Giới thiệ u giải số tốn phương trình hàm đề thi Olimpic Toán quốc tế ( IMO) số nước khác, nhằm minh họa ứ ng dụng cấu trúc đồng cấu nhóm Luận văn tiế p t ục tìm hiể u sâu nhữ ng ứ ng dụng Lý thuyết nhóm vào lĩnh vự c quan tâm Đ ặc biệt, hệ thống lại đề thi kỳ thi Olimpic T oán quốc tế (IMO) từ năm 1959 (tổ c Ru mani) đến năm 2012 (tổ c t ại Argentina) , mà lời giải chúng sử dụng cơng cụ nhóm có xuất hiệ n cấu trúc nhóm 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] TIẾNG VIỆT Birkhoff S MacLane (1974), Tổng quan Đại số đại, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội (Bản dịch tiếng Việt) [2] Lê Hải Châu, Lê Hải Khơi (1997), 199 tốn chọn lọc tổ hợp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Đồn Trung Cường (2011), Cấu trúc nhóm số tốn sơ cấp, [4] Thơng tin Tốn học, Hội Toán học Việt Nam, Tập 15, Số - Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Vũ Dương Thụy (2005), Tuyển tập 200 [5] thi vô địch toán, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] S Lang (1975), Đại số, Nhà xuất Đại học & Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội (Bản dịch tiếng Việt) [7] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [8] M Bessenyei (2010), Functional equations and finite groups of substitutions, Amer Math Monthly, 117 (10), pp 921 – 927 [9] Djukie, V Jankovie, M Matie, N Petrovie (2010), The IMO compendium – A collection of problems suggested for the International Mathematical Olimpiads 1954 - 2009, Problem Books in Mathematics, Springer ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ CƠNG TIẾN ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHĨM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học. .. khoa học PGS.TS Nguyễn Thành Quang NGHÖ AN - 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 1.1 Một số kiến thức sở Lý thuyết nhóm 1.2 Ứng dụng Lý thuyết nhóm. .. Lý thuyết nhóm số tốn tổ hợp 1.3 Ứng dụng Lý thuyết nhóm số 11 tốn tơ màu CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NHĨM TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM 15 2.1 Ứng dụng nhóm hữu hạn số 15 tốn giải