Giải tích 1 bài 8 tích phân bất định (tt)

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §2.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TT) Tích phân vài lớp hàm b) Hàm lượng giác R  sin x, cos x  dx ,  R(sinx, cosx) hàm hữu tỉ biến sint cost 2t 1 t x Đặt t  tan ,  < x <   sinx  , cosx  2 1 t 1 t 2  2t 1 t x  2arctan t  I  R  , dt  R ( t ) dt  2  t  t  t     PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Chú ý +) R(sinx, cosx) chẵn với sinx cosx (nghĩa R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx)) đặt t = tanx t = cotx +) R(sinx, cosx) lẻ với sinx (nghĩa R(-sinx, cosx) =- R(sinx, cosx) ) đặt t = cosx +) R(sinx, cosx) lẻ với cosx (nghĩa R(sinx, cosx) =- R(sinx, cosx) ) đặt t = sinx Ví dụ dx a) sin x cos xdx b) sin2 x cos4 x dx cos x dx c) d) 2sin x  cos x  cos4 x  sin4 x     PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  cos3 x  sin2 x  dx h)   sin2 x  dx g)   sin x  cos x 2 e) sin x sin x sin3 x dx f) dx  sin2 x  sin x cos x  cos2 x sin x  2cos x k)  dx 2sin x  3cos x i) sin x dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo l (K54) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn tan x   cos2 x cot x cos x (  ln  C )  cos2 x sin x ( ln  C )  sin2 x dx   sin2 x dx GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Hàm chẵn với sinx cosx, nên đặt t  cot x, x  (0; )  x  arc cot t  dx   I cot x   sin2 x dx   1 t 1 1 t dt    dt 1 t t  dt t 2 1 t d (t  2) +)     ln(t  2)  C 2 t 2 1 sin2 x   ln(  1)  C  ln  C 2 sin x  sin x dx m (K60) (  C) x 3 sin x  cos x   tan   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo n (K61)  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dx (  C) 5cos x  12 sin x  13 2(2 tan x  3) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) x 2t t  tan , x  (  ; )  x  2arctan t  sinx  , 2 1 t 2 1 t  t cosx   I dt 2 1 t 1 t 2t  12  13 2 1 t 1 t 2  dt  dt 2 5(1  t )  24t  13(1  t ) 8t  24t  18 1 d (2t  3) +)  dt     C 2 2(2t  3) 4t  12t  (2t  3)      PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 2(2 tan  3)  C (  ln cos(2 x )  C )  o (K64) tan(2 x )dx GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Hàm lẻ với sin(2x) nên dt t  cos(2 x )  dt  2 sin(2 x )dx  sin(2 x )dx   sin(2 x ) dt I dx     ln t cos(2 x ) t +)   ln cos(2 x )  C   c) Tích phân hàm số vơ tỉ    R x , Ax  Bx  C dx ,    ax  b R  x, n  dx cx  d   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn    Tích phân R x , Ax  Bx  C dx 1)  R  x, a x  dx , đặt x = asint x = acost đưa tích phân hàm lượng giác (4b) CM 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b a Định nghĩa Khi b < a có f  x  dx   f  x  dx  a  b b Khi a = b có f  x  dx   a II Tiêu chuẩn khả tích, tính chất 1) Tiêu chuẩn khả tích Định lí f(x) khả tích [a ; b]  lim  S  s   ,  0 n S  i 1 n M i  xi , s   mi  xi , Mi  max f  x  ,  xi i 1 mi  f  x   xi 39 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí f(x) liên tục [a ; b]  f(x) khả tích [a ; b] Định lí f(x) bị chặn [a ; b] có hữu hạn điểm gián đoạn [a ; b]  f(x) khả tích [a ; b] Định lí f(x) bị chặn đơn điệu [a ; b]  f(x) khả tích [a ; b] Ví dụ Tính a)  x dx b)  40 x dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  x c) e dx d) 1 x dx b e) a x dx, a   f)  a GIẢI a)   x dx 41 x dx, a  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Chia [0 ; 2] thành n phần ( xk  ), điểm chia n  x0 < x1 < x2 < < xn  2 +) Lấy k  k  [xk 1; xk ], k=1,2, ,n n +) Lập tổng n n n 2 2 2 n(n  1)  f   k   xk  k  ( ) k ( ) n n n n k 1 k 1 k 1    đặt   max  xi  lim   i 1, n  0 ( n  ) 42 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Do y=x liên tục [0;2], nên khả tích [0;2] Do  x dx  lim    0 ( n  ) GIẢI b)  x dx 43 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Chia [0 ; 1] thành n phần ( xk  ), điểm chia n  x0 < x1 < x2 < < xn  k +) Lấy k   [xk 1; xk ], k=1,2, ,n n +) Lập tổng n n   n 13 k   f   k   xk  k    ( ) n n n k 1 k 1 k 1    1 n(n  1)(2n  1) ( ) ,, đặt   max  xi  lim    0 n i 1, n ( n  ) 44 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Do y  x liên tục [0;1], nên khả tích [0;1] Do  x dx  lim    0 ( n  ) n k g (K52) lim k cos n  n 2n k 1  ( n k lim k sin n  n 2n k 1  45 ( 2  2  ) ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n n  ( ) n  ( )  2 n  n k h (K54) lim k 1 n  2 n  3n  k lim k 1 n i (K55) Chứng minh  ln n  k k 1  n Chứng minh  ln 2 n  k k 1  46 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n GIẢI 1)  ln n  k k 1  47 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Hàm y  liên tục [0;1], nên khả tích 1 x 1 [0;1] có dx  ln(1  x )  ln 1 x +) Từ đó, y     từ định nghĩa tích (1  x ) k phân (k  ) ta có n n n dx 1    ln k n 1 x n  k k 1 k 1  n     48 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n  n  k (K57) lim k 1 n ( n  3k n  2 n  n  3k lim ( k 1  (2n  1)!  l (K63) lim  n  n  n (n  1)!    n 1 k lim  2 n   n  k 1 4n  k   GIẢI 49  3  3 ) ) ( ) e     (  2) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n 1 n 1   k n k n +)    n  k 1 4n  k n  k 0 k n 4( ) n x +) Hàm f ( x )  liên tục [0;1] nên khả tích 4x đoạn này, 0 x dx  2 4x x2 ) dx   x   2 4x (1) d (4  0 50 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Từ định nghĩa tích phân xác định (1), ta có   n 1   n k n    lim   lim   lim   n  n   n   n   n k 1  ( k )2   n      n 1 k n 1 x   lim  dx   2 n   n k   x k 0  ( )   n      51 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  m (K64) lim  n   n  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n  k   k 1  ( )  GIẢI 52 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n n k  +)   k    n n n k 1   k 1   +) Hàm f ( x )  x liên tục [0;1] nên khả tích đoạn x này, nên có x dx   1  (1) +) Từ định nghĩa tích phân xác định (1), ta có  n 6 1 lim  k   x dx   n   n k 1     HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 53 ... sinx  , 2 1? ?? t 2 1? ?? t  t cosx   I dt 2 1? ?? t 1? ?? t 2t  12  13 2 1? ?? t 1? ?? t 2  dt  dt 2 5 (1  t )  24t  13 (1  t ) 8t  24t  18 1 d (2t  3) +)  dt     C 2 2(2t  3) 4t  12 t  (2t... [0 ;1] , nên khả tích 1? ?? x 1 [0 ;1] có dx  ln (1  x )  ln 1? ?? x +) Từ đó, y     từ định nghĩa tích (1  x ) k phân (k  ) ta có n n n dx 1    ln k n 1? ?? x n  k k ? ?1 k ? ?1  n     48 PGS...   [xk ? ?1; xk ], k =1, 2, ,n n +) Lập tổng n n   n 13 k   f   k   xk  k    ( ) n n n k ? ?1 k ? ?1 k ? ?1    1 n(n  1) (2n  1) ( ) ,, đặt   max  xi  lim    0 n i ? ?1, n ( n