Đang tải... (xem toàn văn)
Thuộc công thức lượng giác : Công thức cộng góc ,nhân đôi ,nhân ba ,hạ bậc Thuộc các công thức góc có liên quan đặc biệt : Đối,bù ,phụ hơn kém nhau. 1góc bẹt[r]
(1)TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM
Bài Tính tích phân sau :
2
a x x dx
2
2
1
3
x
b x e dx
x
2
1 x
c dx
x
2
2
x
d dx
x
2
1 2
4 x
e dx
x
2
1
1
e
f x x dx
x x
2
1
1
g x x x dx
2
2
1
h x x x x dx
4
3
1
i x x x dx
2
3
2 x x
k dx
x
2
1
2
e
x x
l dx
x
8
3
1
1
3
m x dx
x
GIẢI
2
2
1
2
1 19
1
1
3 3
a x x dx x x x
2
2
2 3
1
3 1 1
3ln 3ln 3ln
3 3 3 3
x x e e
b x e dx x x e e e
x
2
2
2
1
1
1 1 1
ln ln ln
2
x
c dx dx x
x x x x
2
2
2
2 1
1
2
1 1 1
ln ln ln ln
2 2 2 2
d x x
d dx x
x x
2
1
6
2 2
2
2 2
4 8 16 16 1
16ln
7
x x x
e dx dx x x dx x x x
x x x
3
2
2
1
1 1 1
ln
3 3
e e
e
f x x dx x x x e
x x x e
2
2
3 2
1 1
2
1
5
g x x x dx x dx x x
2
2
2 2 3
1 1
1 71
3 60
h x x x x dx x x x dx x x x
4
4 1
3 4
1 1
2 16
4
3
i x x x dx x x x dx x x x
2
2 2
3
1 11
2 2
x x ln ln
k dx dx x
x x x x
2
1
1
2
5ln 7
e e e
x x
l dx dx x x x e e
x x x
(2)8 2
3
3
1
1 1
4 125
3
3
m x dx x x dx x x
x
Bài Tính tích phân sau
2
1
a x dx
5
2
2
dx b
x x
2
2
1
c x x x x dx
2
2
xdx d
x
2
3
0
x
e dx
x
4
f x x dx
GIẢI
2 1 3
2
2
1
1
2
1 1 3 2
3
a x dxx d x x
5
5 3 3
2
2
2
1
2 2 7 3
4
2
dx
b x x dx x x
x x
2
2
2 2 3 3
1 1
1 7
3 20
c x x x x dx x x x dx x x x
1 1
2
2 0
0
1
1
xdx
d d x x
x
2 2 22
3 3 3
3 0
0
1
1
2
1
x
e dx x d x x
x
4 34
2 2
0
0
1
9 9
3
f x x dxx d x x
Bài Tính tích phân sau
0
sin
a x dx
2
3
2sin 3cos
b x x x dx
6
0
sin os2x
c x c dx
4
t anx
cos
d dx
x
3
4
3tan
e xdx
4
6
cot
f x dx
2
0
1 sinx
dx g
2
0
1 osx
1+cosx
c
h dx
2
2
0
sin cos
i x xdx
3
6
t anx-cotx
k dx
2
2
sin
sin
x
l dx
x
4
os
m c xdx
GIẢI
0
1
sin os 3
6
a x dx c x
(3)
2
2 2
2 3
1 3 2sin 3cos 2cos 3sin
2 18
b x x x dx x x x
6 6
0
1
sin os2x os3x+ sin
3
c x c dx c x
4
2
2
0
t anx 2
t anx t anx t anx
cos 3
d dx d
x
3
2
2
4
4
1
3tan 3 t anx-x 3
os
e xdx dx
c x
4 4
2 4
2
6
6 6
1
2cot 5 3 cot
sin sin
f x dx dx dx x x
x x
2
2
2
0
0
1
= tan
x sinx x 1 t an
1 t an 2
2
dx x
g d
2
2 2 2
2 0
0 0
2sin
1 osx 2
tan
1+cosx 2cos os 2
2
x
c x
h dx dx dx x
x x
c
2 2 2
2 2
0
0 0
1 1 os4x 1 1
sin cos sin sin
4 8
c
i x xdx xdx dx x x
3 3
3
6 6
sin 2 os2x
t anx-cotx ln sin sin sin
d x
c
k dx dx x
x x
2 2
2
2 2
sin
osx+sinx osx-sinx
4
ln osx+sinx ln
osx+sinx osx+sinx sin
4
x
d c c
l dx dx c
c c
x
3 4
4
0
0
1 1 1
os 4cos os4x 2sin sin
8 8 4 32
m c xdx x c dx x x x
Bài Tính tích phân sau :
1 1
0
0
1
ln ln
2
x x
x x
x x
x x x x
d e e
e e e
a dx e e
e e e e e
(4)
2
2 2
2
1 1
1
ln
ln ln ln ln
ln ln ln
x
d x x
x x
b dx dx x x
x x x x x x x
1 1 1
0
0 0
2
2
2
x x
x
x x
x x
e e
e
c dx dx e dx e x e
e e
ln ln
ln
0
1
ln ln ln
1
x x
x
x x
d e e
d dx e
e e
2
2 2
1
1
1
ln ln
x
x e x x
e e dx e dx e x e e
x x
1
1
0 0
2 2
x x
x x
e e e e
f dx dx
2
osx osx osx 2
0
0
c sinxdx=- c osx c
g e e d c e e
4 4
2
1
2
x
x x
e
h dx d e e e e
x
12 32
1
1 ln 2
ln ln 1 ln 2
3
e e
e
x
i dx x d x x
x
1
1
ln 1
ln ln ln
2
e e
e
x
k dx xd x x
x
2
1 1
0
1
2
x x
l xe dx e e
1 1
1
0 0
1
1
ln 1 ln ln ln
1 1
x x x
x
x x x
e e e
m dx dx dx x e e
e e e e
II TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1 Dạng 1 ( Đặt ẩn phụ ) Bài Tính tích phân sau
1
1
19 19 20 21
0
0
1 1 1
1
20 21 20 21 420
a x x dx x x dx x x
1
3
x
b dx
x
Đặt :
1 2
2
3
2
1
0
1
1 1
1
2 2 16
1
t x xdx
t x dt xdx dt
t t t
x
1
2
0
1
x x xdx
c dx
x x
Đặt :
2
2
2
2
1
1
1 ;
1 1 1 2ln
2 ln
2 2
x t dt xdx x t
t dt
t dt t t t
t t
(5)1
0
2
xdx d
x
Đặt :
2
1
2 1;
2
t
t x dt dx x x t x t
x
Do :
1
3
0
1 1 1 1
2 3
2
t xdx
d dt t t
x
1
2
e x x dx
Đặt : t 1 x2 x2 1 t2 xdxtdt x; 0 t1;x 1 t0
Do :
1
1
2 2
0
0
1
3
e x x dx t dt t dt t
1
3
0
f x x dx
Đặt : t 1 x2 x2 1 t2 xdxtdt x; 0 t1;x 1 t0
Vậy :
1
1 1
3 2 2
0
0
1 1
1 1
2 4
x x dx x x xdx t tdt t t dt t t
2 3
2 2
5
4
dx xdx
g
x x x x
Đặt :
2 4 2 4; ; 5 3; 2 3 4
t x x t xdx tdt x t x t
Vậy :
4
2 4
2
2
3
3
5
1 1 1 ln ln ln ln 1 2 10
4
xdx tdt t
dt
t t t
t t
x x
3
2
2
1
x x
h dx
x
Đặt : t 1x2 x2 t2 1; xdx tdt x 0 t1;x 3 t2
Vậy :
2 2
3 3 2
3
2
0 1
2 1
2 1 15
ln ln
4
1
x x xdx t t
x x
dx dt t dt t t
t t
x x
ln ln
ln
0
1
ln ln ln
1
x x
x
x x
d e
e
i dx e
e e
ln
ln ln 1
2
3
0 0
1 2
1 x
x x x
x
e dx
k e d e e
e
1
2 ln
2 e
x
l dx
x
Đặt :
2
2 ln ln ; dx; 2,
t x t x tdt x t x e t
x
Vậy :
3
3
1
2 ln 3 2
2 3
e
x
dx t tdt t
x
1
1 3ln
ln
e
x
m xdx
x
Đặt :
2
1 3ln 3ln ; dx; 1;
t x t x tdt x t x e t
x
Vậy :
2
2 2
4
1
1 1
1 3ln 2 1 116
ln ln 3ln
3 9 135
e e
x dx t
xdx x x t tdt t t dt t t
x x
(6)2
2
0
sin
os 4sin
x
n dx
c x x
Đặt :
2 2 2
os 4sin os 4sin ; 3sin ;
0;
2
t c x x t c x x tdt xdx x
x x t
Vậy :
2
2
2
2
0
0
sin 2 2
3 3
os 4sin
x
dx tdt dt t
t
c x x
3
2
osxsin
1 sin
c x
o dx
x
Đặt :
2
1 sin sin ;sin 1; 1; 2
t x dt xdx x t x t x t
Vậy :
2
2
3
2
2
0 1
1
osxsin sin sin 1 1 ln
1 ln
1 sin sin 2 2
t dt
c x x xdx
dx dt t t
x x t t
6
2
0
sin
2sin os
xdx p
x c x
Đặt :
2
2sin os sin ; 1;
6
t x c x dt xdx x t x t
Vậy :
5
6
4
2
0
sin
ln ln
2sin os
xdx dt
t
x c x t
2.Dạng 2.
Bài Tính tích phân sau phương pháp dổi biến số dạng 2
1
2
dx a
x
Đặt :
2
1
sin ostdt;x=0 t=0;x= ; 1 sin ost
x t dx c t x t c
.( Do
1
6
2
6
0 0
ostdt 0;
6 1 cost
dx c
t dt t
x
.
1
2
x
b dx
x
Đặt :
2
2sin 2cos ; 0; ; 2cos
x t dx tdt x t x t x t
3
1 6 6
2
2
0
0 0
2sin 2cos
8 sin sin os ost os cos 3
2cos 3
4
t tdt
x
dx t tdt c t d c c t t
t x
2
2
1
c x x dx
.
Đặt :
2
2sin 2cos ; ; ; 2cos
6
(7) Vậy :
2 2 2
2 2
1
6
6 6
1
4 4sin 2cos 2cos 4sin 2 os4t sin
2
x x dx t t tdt tdt c dt t t
3
3
dx d
x
Đặt :
2
2
1
3 tan ; 0; ; 3 tan
os
x t dx dt x t x t x t
c t
3 3
2 2
0 0 0
3 3
3 os tan 3
dx dt
dt t
x c t t
1
2
2
0
1
1 2
dx
e dx I J
x x
x x
Tính :
1
0
dx I
x
Đặt :
2
2
4
4
2
0
1
tan ; 0, ;1 tan
os
4 os tan
x t dx dt x t x t x t
c t
dt
J dt dt t
c t t
Tính :
1
0
dx J
x
Đặt : tan os2 0; 3
dt
x t dx x t x t
c t
Vậy :
1 3
2 2
0 0 0
3 3
3 os tan 3
dx dt
I dt t
x c t t
Do : I-J=
3
1
4
0
f
1
xdx
x x
.
Đặt :
1
2
4 2
0
1
2 ; 0; 1
1 2
xdx dt
x t dt xdx x t x t I
x x t t
Tính :
1
2
0
1 2
I dt
t
Đặt :
1 3
tan
2 2 os
t u dt du
c u
2
2
1 3
1 tan ; ;
2
t u t u t u
(8)
3 3
2
6
6
3 3
3 3
2 os tan
I du du u
c u u
0
2
dx g
x x
.
Ta có :
2
2
2 1 tan ; 0;
os
dt
x x x x t dx x t x t
c t
Vậy :
0 4
2 2 2 2
1 0
1
ost
2 os tan 1 tan os 2
dx dt dt
dt
t t
c
x x c t t c
4
0
0
tan tan
1 2 8
2 tan 2ln 2ln 2ln tan
2
tan tan tan tan
2 2
t t
d
t t t
2
3
1 x
h dx
x
Đặt :
2
1
1 ost 2 ost
;
sin sin sint
2
4
x t
c c
x dx dt x
t t
x t
t 2; sin , ost>0t c
Vậy :
2 2 2
3
3
1
3
4
1 ost ost os2t 1
sin
sint 1 sin 2
sin
x c c c
dx dt dt t t
x t
t
1
3
1
dx i
x
Đặt :
23
2
0
1
tan ;
os os
4
x t
dt
x t dx x
c t x t c t
1 4
4
2
3
0 0
3
1
ost sin
os
1
os
dx dt
c dt t
c t
x
c t
2
2
1
dx k
x x
Đặt :
2
2
1 ost ost
; ;
2
sin sin sint
3
x t
c c
x dx dt x
t t x t
(9) Vậy :
2
3 3
3
2
6
6
1 ost
1 ost sin 3 6 6 .
sin sint
dx c
dt dt t
c t
x x
t
2 2
2
1
x
l dx
x
.
Đặt :
2
x=0 t=0
sin ostdt 2 ; ost x=
2
x t dx c x c
t
Vậy :
2
2
2 4 4
2
0
0 0
sin os2t 1 ostdt= sin
ost 2
1
x t c
dx c dt t t
c x
2
2
0
1
m x x x dx x x dx
Đặt :
2
0
1 sin 2
1 sin ; ost
ostdt
2
2
x t
x t
x t x x c
dx c
x t
2 2 2
2 2 3
0
-2
2
1 os2t 1
1 1 sin ost.costdt= os ost sin os
2 2 3
c
x x dx t c c td c t t c t
III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài Tính tích phân sau
4
0
sin
a x xdx
2
2
sin osxdx
b x x c
2
osxdx
c x c
2
4
0
os x
d xc dx
3
4
tan
e x xdx
1
0
x
f x e dx
ln
0
x
g xe dx
1
ln e
h x xdx
3 2
ln
i x x dx
2
xsin
k e xdx
2 osx
c sin
l e xdx
1
ln e
m xdx
3
1
ln e
o x xdx
1
ln
e
e
x
p dx
x
1
x
q x e x dx
(10)4
0
sin
a x xdx
Đặt :
4
4
0
1 1
sin os2x os2xdx= sin
2 4
sin os2x 0
2
u x du dx
x xdx xc c x
dv xdx v c
2 2
2
0 0
1
sin osxdx cos sin osxdx=I+ sin
3
0
b x x c x xdx xc x I
Ta có :
2 2
0 0
cos s inx sin sinxdx= osx
2
0
I x xdx xd x x c
Thay vào (1) :
2
2
1 sin osxdx
2 3
x x c
2
osxdx
c x c
2 2 2
2 2
0 0 0
2
osxdx sinx sinx sin osx cos osxdx
0
x c x d x x xdx xd c x x c
2
2 sinx 2
2
4
0
os x
d xc dx
Đặt :
2
1
2 0;
4 2
t x dt dx tdt dx x t x t
x
Vậy :
2
2
4 2
2 2
0 0
os x ostdt= sin sin sin sin (1) 2
0
xc dx t c t d t t t t tdt J J
Tính :
2 2
0 0
4 sin ost cos ostdt sin
0
J t tdt td c t t c t
Vậy thay vào (1) ta có :
2
2
0
os x
xc dx
(11)3
4
tan
e x xdx
Đặt :
3
2
4
3
tan t anx-x t anx-x (1)
tan t anx-x
4
u x du dx
x xdx x dx J
dv xdx v
Tính
3 3
2
4 4
osx
3
t anx-x t anxdx- tan
osx
4
d c
dx xdx x x x
c
2 2
1
3 ln osx ln
4 4 24
4
c
Vậy thay vào (1) :
2
2
4
3
tan ln
4 24
x xdx
1 1
2 2 2
0 0
1
1 1
2 2
0
2 2
x x x x x
f x e dx x d e x e e dx e e
2
1
1
2 4
e e
e e
ln ln ln
0 0
ln ln
2ln 2ln 2 2ln
0
x x x x x
g xe dxxd e xe e dx e
2 2 2
1 1
1 1 1
ln ln ln
1
2 2
e e e e e
e
h x xdx xd x x x x dx e x
x
2
xsin
k e xdx
Đặt :
3
2
3x
0
3
1
os5x.e os5x= (1)
1 5 5 5
sin os5x 0
5
x x
x
u e du e
I c e c J
dv xdx v c
Đặt :
3
2 3
3 2
0
' '
1
sin sin (2)
1 5 5 5
' os5 ' sin 0
x x
x x
u e du e
J e x e xdx e I
dv c xdx v x
Từ (1) (2) ta có hệ :
3
2
1
1
10
5
I J
e I
I J e
(12)2
osx osx
0
c sin 2 c sinx.cosxdx
l e xdx e
Đặt :
2
osx cosx osx
osx osx
0
osx sinx
2 osx 2 sinxe 2 2
sinx 0 0
c c
c c
u c du dx
I e c dx e e
dv e dx v e
3
ln e
m xdx
Đặt :
2
3
1
3ln ln
ln ln (1)
e
x e
u x du dx
I x x xdx e J
x
dv dx v x
Đặt :
2
2
1
2ln ' ln '
ln ln (2)
' '
e
x e
u x du dx
J x x xdx e K
x
dv dx v x
Đặt :
'' ln ''
ln
1
'' ''
e
dx
e e
u x u
K x x dx e x
x
dv dx v x
Thay kết vào (1) ta có : I e 3e 2.1 6 2e
3
1
ln e
o x xdx
Đặt :
2
4
4
3
2ln ln
1 1
ln ln (1)
1
1 4
4
e
x
u x du dx e
e
x I x x x xdx J
dv x dx v x
Đặt :
4 4
4 4
3
' ln '
1 1 1
ln
1
1 4 4 4 16 16
' '
4
e
dx
u x du e e
e e e
x J x x x dx x e
dv x dx v x
Thay kết vào (1) ta có :
4 1 3 1 1
4 16 32
e e e
I
2
ln
e
e
x
p dx
x
Đặt :
2
ln
1 1
ln 1
1
e
dx e e
u x du
x I x dx e
dx x x e x e
dv v e e
x x
0 0
2 3
1 1
x x (1)
q x e x dx xe dx x x dx I K
(13) Đặt :
0
2 2
2 2
2
1
0
1 1 1 1
1
1
1
2 2 4
2
x x x
x x
u x u dx
e
I xe e dx e
e e e
dv e dx v e
Đặt :
3
3
2
1
1 ; 0;
3
x t
x t t x x t x t
dx t dt
Vậy :
1
3
0
1
1 1
1 3 3
0
7 28
I t t t dt t t dt t t
IV TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài Tính tích phân sau
2
0
a x dx
2
b x x dx
2
c x x dx
3
d x dx
5
2
2
e x x dx
3
0
2x
f dx
4
g x x dx
3
3
0
4
h x x dx
1
1
i x dx
GIẢI Bài 1.
2
0
a x dx
Do : x0; 2 x 0, x 2 x
Vậy :
2
2
2
2 2
0
I x dx x x
2
b x x dx
Do : f x( )x3 x x x 21 0 x0,x1;x1
f x( ) 0 x 1;2 ; ( ) 0 f x x 0;1
Vậy :
2
1
3 4
0
1
1 1
0
2 4 2
I x x dx x x dx x x x
2
c x x dx
Vì : f x( )x22x 0 x1,x 3 f x( ) 0 x 1; ; ( ) 0 f x x 0;1
1 2
2
0 1
( ) ( ) 2
I f x dx f x dx x x dx x x dx
2 1 2
3 3
0
3 3 3
x x x x x x
(14)3
d x dx
- Vì : f x( )x21 0 x1;x 1 f x( ) 0 x 3; 1 1;3 ; ( ) 0 f x x 1;1
- Vậy :
1
2 2 3
3 1
1
1 1
1 1
3 1
3 3
I x dx x dx x dx x x x x x x
20 16 40 3 3
I
5
2
2
e x x dx
- Lập bảng xét dấu : f x( ) 4 x 2;2 ; ( ) 2 f x x x 2;5
-Vậy :
5
2
2 2
2
( ) 4 16 32 44 2
f x dx dx xdx x x
3
0
2x
f dx
- Nhận xét : 2x 0 x2. f x( ) 0 x 2;3 ; ( ) 0 f x x 0; 2 - Vậy :
2
0
2
1
4 2 4 2 4
0
ln ln ln ln ln
x x x x
I dx dx x x
4
2
1
g x x dxx dx
- Ta có : x 0 x 3; ; x 0 x 1;3
-Vậy :
3
2
1
3
1 1
3 3
1
2 2
I x dx x sx x x x x
3
3
0
4
h x x xdxx xdx
-Vì : f x( ) 0 x 2;3 ; ( ), 0 f x x 0;2
-
2
0
2
I x xdx x xdx
2
2
4
2 0; 2
2 ; ( )
2 3
t t tdt t t dt
x t x t
t x t x dx tdt f x dx
t t dt
x t
- Vậy :
2
2 4 2 5
0
3
2 2 18 16
4 2 2
5 2 5
I t t dt t t dt t t t t
1
1
4 (1)
i x dx xdx xdx J K
(15)- Tính :
0
1
4 ;
J xdx
Đặt : t 4x t2 4 x,dx2 ;tdt x 1 t 3,x 0 t2
- Vậy :
2
2
3
0
.2 2 3
J t tdt t dt t
.
- Tính :
1
0
4
K xdx
Đặt : t 4 x t2 4 x 2tdtdx x 1 t 3;x 0 t2
Vậy :
3
2
2
2 16
.2
3 3
K t tdtt dt t
Do :
16 16 3 3
3
I J K
Bài Tính tích phân sau
2
0
os2x
a c dx
0
sin
b xdx
2
2
sinx
c dx
sinx
d dx
2
0
os2x
e c dx
0
os2x
f c dx
3
2
6
tan cot
g x x dx
3
3
2
osx cosx-cos
h c xdx
0
sinx
i dx
GIẢI
Bài
2 2
2
0 0
os2x 2sin sinx
a c dx xdx dx
-Do : x0; sinx>0. sinx =sinx ;x ;2 sinx<0 sinx =-sinx
Vậy :
2
0
2
2 sinxdx+ sinxdx osx osx 1 1
I c c
2
0 0
sin osx-sinx osx-sinx os x+
b xdx c dx c dx c dx
Do : cos x x x cos x x k x
4
0
4
2 os x+ os x+ sin sin x+ 2
4 4 0
4
I c c dx x
(16)2
2
sinx
c dx
- Do : sinx<0 x - ;0 ;sinx>02 x 0;2
- Vậy :
0
0
0
sinxdx+ sinxdx=cosx osx 0
- 0
2
I c
sinx
d dx
Vì :
2
x x
1 sinx= cos -sin sinx os
2 2
x
c
Mặt khác :
x
os ;
2 4 2
x x
c k k x k
Vậy :
2
2
x x
2 os os 2 sin 2 sin
2 4 4
2
x x
I c dx c dx
2
0
os2x
e c dx
Vì : 1cos2x=2cos2x 1cos2x osx ;c
Do :
3
2
2
0 3
2
2
2
2 osxdx+ osxdx+ osxdx= sinx sinx sinx
0 2
2
I c c c
2
0
2
os2x osxdx- osxdx sinx sinx 2 2
f c dx c c
3
2
6
tan cot
g x x dx
- Vì :
2
2 2
2
4cos os2x
tan cot tan cot 2 ; ; ;2
sin sin2x 3
x c
x x x x x x
x
3
6
2cos 2cos ln sin 2 ln sin 2 ln3 ln 2ln 2
sin sin
6
x x
I dx dx x x
x x
(17)3
3
2
osx cosx-cos
h c xdx
Vì : cosx c os3x c osx 1-cos 2xcosxsin2x cosx c os3x s inx cosx
0
0
sinxcosx cosx sinxcosx cosx
I dx dx J K
* Tính J: Đặt :
2
osx osx 2tdt=-sinxdx x=- 0; 1;
2
t c t c
t x t x t
Do :
1
2
0
1 2 2
0 5
J t t tdt t dt t
* Tính K Giống ,ta có :
0
5 5
1
1
2
2
0
5
K t dt t dt t I J K
V TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỶ
* Trước làm tập , tổng hợp cho HS phương pháp phân tích hướng dẫn Bài Tính tích phân sau
3
dx
a
x x
1
5
dx b
x x
3
2
2
x dx c
x x
1
3
1
x
d dx
x
3
9
x dx e
x
4
1
dx f
x x
4
2
1
dx g
x x
1
4 11
5
x dx
h
x x
1
0
1
1
x x
i dx
x
0
2
2 9
3
x x x
k dx
x x
3
3
3 3
3
x x
l dx
x x
1
3
3
x
m dx
x
GIẢI
3
dx
a
x x
Phân tích :
2
3 2
1
( )
1
1
A B x Cx A
A Bx C f x
x x x x x x x x
Đồng hệ số hai tử số ta có :
2
0
1
0 ( )
1
1
A B A
x
C B f x
x x
A C
(18)
3
2
1
1 ln ln
( ) ln ln
1 2
x
f x dx dx x x
x x
1
5
dx b
x x
Phân tích :
2
1 1
( )
5 3
f x
x x x x x x
Vậy :
1
0
1 1
( ) ln ln 2ln ln
3
f x dx dx x x
x x
3
2
2
x dx c
x x
.
Phân tích :
3
2
2 2
5 2
( ) 2
2 2 1
x x x
f x x x
x x x x x x x
Vậy :
3
2
0
5 2 ( )
2 1
x
I f x dx x dx
x x x
2
2
1 3
2 ln 10 ln
2x x x x
1
3
1
x
d dx
x
.
Phân tích :
2
3 3
4 ( )
1
1 2 2
Cx B C x A B C
x A B C
f x
x
x x x x
Đồng hệ số hai tử số :
3 2
1
1 1
2 ( )
2 2 2
0 0
A C
B C B f x
x x
A B C C
Vậy :
1
3 2
0
1
1 1 1
( )
0 2(1 2 2
I f x dx dx
x
x x x
3
9
x dx e
x
.
Phân tích :
2
9 9
1 1 1
( )
1 1 1
x x
x x
f x
x x x x x x
Vậy :
3
9 8
2
3
1 1
( )
2
1 1
I f x dx dx
x x x x x x
(19)
4
1
dx f
x x
.
Phân tích :
2
2 2
1 Ax+B ( )
1 x 1
A C x A B x B
C f x
x x x x x
Đồng hệ số hai tử số :
2
0
1 1 1 ( )
1
1
A C A
x
A B B f x
x x x x x
B C
Vậy :
4
2
1
4
1 1
( ) ln ln ln 3ln
1
I f x dx dx x x
x x x x
4
2
4
1 1
ln ln ln ln
2
1
dx x
g dx
x x x x x
1
4 11
5
x dx
h
x x
.
Phân tích :
2 2
2
4 11
( )
5 6
x
x x
f x
x x x x x x x x
Vậy :
1
2
0
1
2 1
( ) 2ln ln ln
0
5 3
x x
I f x dx dx x x
x x x x x
1
0
1
1
x x
i dx
x
.
Phân tích :
3
2 2
1 1
( ) 1
1 1
x x x
f x x x x x x x
x x x x
Vậy :
1
2
0
1
1 1 11
( ) 2 ln ln
0
1
I f x dx x x dx x x x x
x
0
2
2 9
3
x x x
k dx
x x
.
Phân tích : f(x)=
3
2
2 9 9
2
3 2
x x x x x
x x
x x x x x x
Phân tích :
2
1 2
A B x B A
x A B
x x x x x x
Đồng hệ số hai tử số :
5 14 19 14
( )
2 19
A B A
f x x
B A B x x
Vậy :
0
2
1
0 19 14
( ) 19 ln 14ln 32ln 19ln 1
2
I f x dx x dx x x x
x x
3
3
3 3
3
x x
l dx
x x
(20) Phân tích :
2
2
3
3 3 3 ( )
3 2 1
x x x x A B C
f x
x x x x x x x
2
2
2 2
1
B C x B C A x A B C
x x
Đồng hệ số hai tử số ta có :
2
3
3
2 ( )
1
2
B C A
A B C B f x
x x
x
A B C C
Vậy :
3
2
2
3
3 3
( ) 2ln ln ln
2
1 2
1
I f x dx dx x x
x x x
x
1
3
3
x
m dx
x
.
Phân tích :
2
3
( )
3 3
x A B C
f x
x
x x x
2
3
9
Cx B C x A B C
x
Đồng hệ số hai tử số :
3 2
1 9
2
3 ( )
9 9 3 1 9 3 1
0 1
9
A C
B C B f x
x
x x
A B C
C
Vậy :
1
3
0
1
( )
9 9
I f x dx dx
x
x x
2
1
1 3
ln ln
18 3x 1 3x x 96
Bài Tính tích phân sau :
2
1
2
a dx
x x
2
2
3
1
x
b dx
x
2
2
2
4
x x x
c dx
x
1
2
0
1
2
d dx
x x
1
2
1
1
x x
e dx
x
1
1
x
f dx
x
2
4
1
1
g dx
x x
2 2008
2008
1
1
x
h dx
x x
3
2 2
1
x
i dx
x
2
1
4
k dx
x
2
4
1
1
x
l dx
x
1
2
2
1
x
m dx
x
(21)GIẢI
2
1
2
a dx
x x
Phân tích :
2
2
1
1 os
( ) tan
2 1 0 , 2
4
dx dt
c t
f x x t
x x x x t x t
Vậy :
2 4
2
0
4
4 ( )
2 os tan
4
dt
I f x dx dt t
c t t
3
3
1
x
b dx
x
.
Phân tích :
2
2
3 ( )
1
x f x
x x
Vậy :
3 3
2
0 0
3
( ) 3 3 (1)
1
dx
I f x dx dx x J J
x
Tính :
3
dx J
x
Đặt :
2
1 os tan
0 0,
3
dx dt
c t
x t
x t x t
Do :
3 3
2 2
0 0
1
3 3
1 os tan 0 3
dx
J dt dt t I
x c t t
2
2
2
4
x x x
c dx
x
.
Phân tích :
3
2
2
( )
4
x x x
f x x
x x
Vậy :
2
2
0
2
1
( ) 2 (1)
0
I f x dx x dx x x J J
x
Tính :
2
1
J dx
x
Đặt :
2
2 os tan
0 0,
4
dx dt
c t
x t
x t x t
4
2
0
1 1
4 4 16 os tan 0
J dt dt t
c t t
Thay vào (1) : I 16
(22)
1
2
0
1
2
d dx
x x
.
Phân tích :
2 2 2
3
1 1
( )
2 3 2
x x
f x J K
x x x x x x x x
Tính :
2
1
J
x x
Phân tích : 2 2
1
3
3 2
A B C
x x
x x x
2
2 2
4
( )
3
3 2
A B x A B C x A B C
A B C
g x
x x
x x x x x
Đồng hệ số hai tử số :
2
0
1 1 ( )
3 2 1
A B A
A B C B g x
x x x
A B C C
Vậy :
1
2
0
1
1 1
( ) ln ln 3ln 2ln
3 2
J g x dx dx x x
x x x x
Tính :
1
2
1
K dx
x x
Phân tích :
2
2 2
6
( )
2
2 3
A B x A B C c A B C
A B C
h x
x x
x x x x x
Đồng hệ số hai tử số :
2
0
1 1
6 ( )
2 3
9 1
A B A
A B C B h x
x x x
A B C C
1
2
0
1
1 1 1
( ) ln ln 2ln 3ln
2 3 12
K h x dx dx x x
x x x x
Do : I=
2 3ln 2ln
3
-(
1 2ln 3ln
12
)=
7 12
1
2
1
1
x x
e dx
x
.
Phân tích :
3
2
1 ( )
1
x x
f x x
x x
Do :
1
2
0
1
1 1
( ) (1)
0
1 2
I f x dx x dx x J J
x
(23) Tính :
1 01
dx J
x
Đặt :
2
1 os tan
0 0,
4
dx dt
c t
x t
x t x t
Do :
1 4
2 2
0 0
1
4
1 os tan 0
dx
J dt dt t I
x c t t
1
1
x
f dx
x
.
Đặt :
2
1 2cos tan
0 0;
4
xdx dt
t
x t
x t x t
Vậy :
1 4
4 2
0 0
1 1
4 2cos tan 2 0
x
dx dt dt t
x t t
2
4
1
1
g dx
x x
.
Phân tích :
4
4 4 4
1
1
( )
4
1 1
d x
x dx
f x dx dx
x x x x x x
Do : Đặt :
3
4
1 ( )
4 1 2,
dt x dx dt
t x f x dx
t t
x t x t
2 5
1 2
5
1 1 1 3ln ln
( ) ln
2
4 4
dt t
I f x dx dt
t t t t t
2 2008
2008
1
1
x
h dx
x x
.
Phân tích :
2008 2008 2007 2007
2008 2008 2008 2008 2008 2008
1
( )
1 1 1
x x x x
f x
x x x x x x x x x
Vậy :
2 2007 2007 2007
2008
2008 2008
2008 2008
1 1
2
1
ln
1
1 2007 2007
1
x x x
I dx dx J dx J x
x x
x x
Tính :
2 2007
2008 2008
1
x
J dx
x x
Đặt :
2007 2008
8
2008 1 1
( )
2008 2008 1 1, 2
dt x dx dt
t x f x dx dt
t t t t
x t x t
Vậy :
8
2
1
9ln ln 2
1 1 ln
2008 2008 1 2008
t
J dt
t t t
(24)Cho nên :
8 8
9ln ln ln ln 2008 2007
I
3
2 2
1
x
i dx
x
Phân tích :
4
2 2 2
2 2 2
2
1 1
( )
1
1
1 1 1
x x x
f x J K
x x
x x x x
x
Tính
3
2
3
1 1
1 ln ln ln
1 1
x
J dx x
x x x
Tính :
3
2 2
1
K dx
x
Phân tích :
2 2 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
2
1 1 1
1
g x h x p x
x x x x x x
x
2
2
2 ( )
1 1 1 1
A B x C A x A C B
A B C
h x
x x x x x
Đồng hệ số hai tử số :
2
1
1 1
2 ( )
4 4
1 1
2
A A B
C A B h x
x x x
A C B
C
Vậy :
3
2
2
3
1 1 1 1
( ) ln ln
2
4 4
h x dx dx x x
x x x x
Cho nên :
3
2
ln ln ( )
4
h x dx
2
2
2 ( )
1 1 1
A B x C A x A C B
A B C
p x
x x x x x
Đồng hệ số hai tử số :
2
1
1 1
2 ( )
4 4
1 1
2
A A B
C A B h x
x x x
A C B
C
(25)
3
2
2
3
1 1 1 1
( ) ln ln
2
4 2 1 4
p x dx dx x x
x x x x
Cho nên :
3
2
ln ln ( )
4 12
p x dx
Vậy :
1 ln ln ln ln 1
2 4 12
I
2
1
4
k dx
x
Đặt :
2
2
1
2
os
2 tan ( )
2 os tan
0 0,
4
dx dt
dt
c t
x t f x dx dt
c t t
x t x t
Vậy :
2
0
1
( )
2 0
I f x dx dt
2
4
1
1
x
l dx
x
Phân tích :
2
4
2
1 1
( )
1
dx
x x
f x dx dx
x x
x
Đặt :
2
2
2
1
1 ;
1 1
( )
2 2 2
1 2,
2
dt dx t x
dt
x x
t x f x dx dt
x t t t
x t x t
Vậy :
5
2
5
1 1
ln ln
2 2 2 2 2 2
t
I dt
t t t
1
2
2
1
x
m dx
x
Phân tích :
4
2
2 2
2 1
( )
1 1
x x
f x x
x x x
Vậy :
1
2
2
0
1
1
1
0
1 3
I dx x dx J x x J
x
Tính :
1 01
dx J
x
Đặt :
2
1 os tan
0 0,
4
dx dt
c t
x t
x t x t
(26) Do :
1 4
2 2
0 0
1
4
1 os tan 0 4
dx
J dt dt t I
x c t t
VI TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
* Nhắc nhở học sinh :
Thuộc công thức lượng giác : Công thức cộng góc ,nhân đơi ,nhân ba ,hạ bậc Thuộc cơng thức góc có liên quan đặc biệt : Đối,bù ,phụ
1góc bẹt
Lẻ sin đặt cosx=t , lẻ cos đặt sinx=t Cịn chẵn sin,chẵn cos đặt
tanx =t
Đặc biệt ý đến hai cận để sử dụng phương pháp đổi biến số dạng
1
Ngồi cịn ý đến số cơng thức tính tích phân :
2
0
(sinx)dx= ( osx)dx
f f c
, 0
( ) ( )
b b
f x dx f b x dx
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Tính tích phân sau :
4
0
sin cos
a x xdx
4
0
t anxdx
b
2
0
sinx
1+3cosx
c dx
2
sin
d xdx
0
sin
e xdx
0
os
f c xdx
GIẢI
4
0
sin sinx 1 sin cos os3x+cosx
2 0
x
a x xdx dx c
4 4
0 0
osx
sinx ln
t anxdx ln osx cosx osx 0
d c
b dx c
c
2
0
1 3cos
sinx 1 2ln
ln 3cos
1+3cosx 3cos 0
d x
c dx x
x
2 2
3 2
0 0
1
sin os sinxdx= os osx os osx
3 0
d xdx c x c x d c c x c
(27)
2
0
1 1
sin os2x sin
2 2
e xdx c dx x x
2
0
1 1
os os6x sin
2
f c xdx c dx x x
Bài Tính tích phân sau :
2
2
0
sin cos
a x xdx
2
2
0
sin cos
b x xdx
2
4
0
sin cos
c x xdx
2
3
0
sin os
d x c x dx
2
0
sin cos
1 osx
x x
f dx
c
GIẢI
2
2
0
sin cos
a x xdx
2 2 1 os4x os2x
( ) sin cos sin os os4x+cos2x-cos4xcos2x
4 2 16
c c
f x x x x c x c
Do :
1
( ) 2cos cos os6x 32
f x x x c
2
0
1 1 1
( ) os6x-2cos4x+cos2x sin sin 2
32 32 2 0 32
I f x dx c dx x x x sin x
2
2 2
0
1
sin cos sin sin sinx sin sin 0 15
b x xdx x x d x x
2 2
4 4
0 0
sin cos sin sin sinx sin 2sin sin sinx
c x xdx x x d x x x d
Vậy :
5
1 1 48
sin sin sin
5 0 315
I x x x
2 2
3
0 0
os3x+3cosx 3sin sin
sin os os3x-sin3x+3cosx-3sinx
4 4
c x x
d x c x dx dx c dx
1 1
sin os3x+3sinx-3cosx x 3c 0
3
0
os
osx+1
c x
e dx
c
(28)
3
2
os os 1 os2x-2cosx
( ) os osx+1
osx+1 osx+1 osx+1 osx+1 osx+1
c x c x c
f x c x c
c c c c c
2
0
3 os2x-2cosx 1
3 sin 2sin
2 osx+1 2 0
c
I dx dx x x x J J
c
Tính :
2 2
2
0 0
1
tan tan 1;
osx+1 2cos 2 0
x x
J dx dx d I
x c
2
0
sin cos
1 osx
x x
f dx
c
2
sin cos 2sin cos 2cos 2
( ) s inx= cosx-1 sinx
1 osx osx osx osx osx
x x x x x
f x
c c c c c
2
0
osx 2
2cos 2 2sin 2ln osx 2 2ln
1 osx 0
d c
I x dx x x c
c
Bài Tính tích phân sau :
4
tan
a xdx
3
4
tan
b xdx
3
3
sinxcos
dx c
x
3
2
sin
1 os
x
d dx
c x
3
0
os
1 osx
c x
e dx
c
3
sin osx
dx f
x c
GIẢI
4
tan
a xdx
2
3
2
sin sinx os sinx sinx sinx
tan
os cosx os cosx cos cosx
x c x
x
c x c x x
4
3
0
osx osx ln ln osx
os osx os 0
d c d c
I c
c x c c x
3
4
tan
b xdx
.
2
2 2 4
4
4 2
1 os 1 cos os 1 2
tan tan
os os os os
c x x c x
x x
c x c x c x c x
(29)
3 3
2
4 4
1
1 tan t anx t anx t anx+ tan tan
3
4
I x d d dx x x x
3
3
sinxcos
dx c
x
2
3 2
1 1 1 tan
t anx t anx t anx s inx.cos t anx os os t anx t anx
x
dx dx d d
x c x c x
3
2
4
1 3 ln
t anx t anx ln t anx tan
t anx 2
4
I d x
3
2
sin
1 os
x
d dx
c x
.
3
2 2
d cosx
sin os
.s inxdx= sinxdx=d cosx
1 os os 1+cos os
x c x
dx
c x c x x c x
1
2
2
0 0
d(cosx)
d(cosx)-2 osx 2 1+cos 0
dt
I c J
x t
Tính :
1
2
0
1 1
dt
J dx
t x
Tính :
1 01
dx J
x
Đặt :
2
1 os tan
0 0,
4
dx dt
c t
x t
x t x t
Do :
1 4
2 2
0 0
1
1
1 os tan 0
dx
J dt dt t I
x c t t
3
0
os
1 osx
c x
e dx
c
.
3
2
os cos 1 1 os2x
dx= os osx+1-
osx+1-1 osx osx osx 1+cosx 1+cosx
c x x c
c x c c
c c c
2
2
0
1 1
3 os2x+2cosx dx- sin 2sin tan
2 2cos 2 0 0
2
x
I c dx x x x
x
(30)3
sin osx
dx f
x c
.
4 4
osx osxdx dt
3
sin osx sin sin t x= t= ;x=
6
t c c
x c x x t t
2
4 2
4 2
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
t t
t t t t t t t t
t t t t t t
1
4
3
1 1 1 1 1
ln
2 1 3
2
t
I dt
t t t t t t t
14 ln 3 ln
3 27 3
I
Bài Tính tích phân sau
2
3
0
os sinxcos
a c x xdx
2
6
1 sin os2x
sinx+cosx
x c
b dx
3
2
t anx
cosx 1+cos
c dx
x
2
4
0
os2x sin os
d c x c x dx
4
sinx
t anx+e osx
e c dx
2 3
2
sin sin
f x xdx
GIẢI
2
3
0
os sinxcos
a c x xdx
.
1 cos s inxcos3x 5xdx 1 cos cos3x 3xcos sin2x xdx
Đặt :
2
3 3
2 3cos sin os os os
0 0,
2
tdt x xdx
t c x t c x c x t
x t x t
Vậy :
1
2
0
1
2 2 1 1
0
3 3 3 45
I t t tdt t t dt t t
2
6
1 sin os2x
sinx+cosx
x c
b dx
.
osx+sinx2 os2 sin2
1 sin os2x
2cos sinx+cosx osx+sinx
c c x x
x c
x c
(31)
2
6
2 2cos 2sin
6
I xdx x
3 3
2
2
2
4 4
t anxd tanx t anx tan xdx
1
cosx 1+cos cos 1 tan os
c dx
x x x
c x
Đặt :
1;
4
t anx
( )
1
x t x t
t
tdt f t dt
t
Đặt :
2 2
1
1 2,
tdt udu
u t u t
t u t u
Vậy :
2
2
2
2 2
udu
I du u
u
2
4
0
os2x sin os
d c x c x dx
Vì :
4 1 os4x
sin os sin os4x
2 2 4
c
x c x x c
2
0
3 7
os4x os2xdx os2x+ os6x sin sin
4 8 16 48 0
I c c c c dx x x
4 4
sinx sinx
0 0
t anx+e osx t anxdx+ osxdx
e c dx e c
Vậy :
1
4
sinx sinx 2
0
osx
sinx ln osx ln
osx 0
d c
I e d c e e
c
2 3
2
sin sin
f x xdx
.
Vì :
2
1 sin x ' 2sin osx=sin2x x c
Vậy :
2 3 4
2 2
0
1
1 sin sin sin
4 0
I x d x x
(32)
3
0
s inxln cosx
a dx
3
2
2
0
sin
tan os
x
b dx
x c x
3
2
3
1
sin cos
c dx
x x
2
3
1
sinx
d dx
2
0
2 osx
dx e
c
2
0
2 osx
dx f
c
GIẢI
3
0
s inxln cosx ln osx osx
a dx c d c
Đặt :
1 osx 1;
3
t c x t x t
1
1
2
1
1
2
1
ln ln ln ln 1 ln 1
2
2
I tdt tdt t t dt t t t
3
4
2
2
0
sin tan
t anx
tan os tan
x x
b dx d
x c x x
Đặt :
3
2
2
t
t anx f(x)dx= 0;
1
t
t dt tdt x t x t
t t
Đặt :
2 2
1
0 1;
du tdt
u t t u
t u t u
Vậy :
2
2
1
2 1 1 1 1
ln ln
2 2
u
I du du u
u u u u
3
2 2
3
1
t anx
sin cos tan
c dx d
x x x
Đặt :
3
t anx x=- 3;
3
dt
t t x t I
t
Đặt :
2
2
1
3 , 9 tan os
3tan
3 ,
3
dt du t u
c u
t u
t u t u
Vậy :
3
2
3
1 1
9 27 os tan
3
I du du u
c u u
(33)2
2 2
3 3
x
os sin os sin
1 2 2 x
ln sin os ln tan ln
x x x
sinx 2sin os sin os 2 2
2 2
x x x
c c x x
d dx dx dx lm c
x
c c
2
0
2 osx
dx e
c
Đặt :
2
2
2
1 1-t
tan 0, 1; ;
osx=2-2 2 os 1
2
x t
t x t x t dt dx c
x t t
c
Vậy :
1
2
2
0
2
2
1 3
1
1
I dt dt
t t
t
t
Đặt :
2
1 os tan
0 0,
3
dt du
c u
t u
t u t u
3
2
0
2 2
3 os tan 3 0 3
I du du u
c u u
2
0
2 osx
dx f
c
Đặt :
2
2
2
1 1-t
tan 0, 1; ; osx=2+
2 2 os 1
2
x t
t x t x t dt dx c
x t t
c
Vậy :
1
2
2
0
2
2
3
1
1
I dt dt
t t
t
t
Đặt :
2
3 os tan
0 0,
6
dt du
c u
t u
t u t u
6
2
0
2 3
2 3
os tan 0
I du du u
c u u
(34)2
0
osx
1+cosx
c
a dx
2
0
osx
2-cosx
c
b dx
2
0
sinx
2+sinx
c dx
2
0
1
sinx+cosx+1
d dx
2
2
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3
e dx
3
6
osx.cos x+
dx f
c
GIẢI
2 2
2
0 0
osx 1
1 tan
1+cosx osx 2cos 0 2
c x
a dx dx dx x
x c
2 2
0 0
osx
2
2-cosx osx osx
c dx
b dx dx dx J
c c
Tính :
2
02 osx
dx J
c
Đặt :
2
2
2
1 1-t
tan 0, 1; ;
osx=2-2 2 os 1
2
x t
t x t x t dt dx c
x t t
c
Vậy :
1
2
2
0
2
2
1 3
1
1
J dt dt
t t
t
t
Đặt :
2
1 os tan
0 0,
3
dt du
c u
t u
t u t u
3
2
0
2 2
3
2 os tan 3 0 3 3
J du du u I
c u u
2 2
0 0
sinx
2
2+sinx sinx sinx
dx
c dx dx x J
Tính :
2
02 sinx dx J
(35) Đặt :
2
2
2 2
2
tan ( )
2 1 3
0 0;
2 2 2
dt dx
x t dt dt
t f x dx
t t
x t x t t
Đặt :
1 3
tan ;
2 2 os
t u dt t u t u
c u
3
2
6
3 du 3 3
3
2 cos 1 tan 3 9
4
I du u I
u u
2
0
1
sinx+cosx+1
d dx
.
Đặt :
2
2
2
2
2
tan ( )
2 0 0; 1 1
1
2 1
dt dx
x t dt dt
t f x dx
t
t t
x t x t t
t t
Vậy :
1
0
1 ln ln
0
dt
I t
t
2
2
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3
e dx
. Phân tích :
osx-2sinx sinx+ 2A+B osx+ 3A+C
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3
B c C A B c
A
Đồng hệ số hai tử số :
2 1
osx-2sinx 1 ( )
sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3
3
A B A
c
A B B f x
A C C
Vậy :
2
2
ln sinx+2cosx+3 ln sinx+2cosx+3
2
dx
I x J
Tính :
2
2
sinx+2cosx+3
dx J
(36) Đặt :
2
2
2
2
2
2
1
tan ( )
1
2 2 2 1 1 4
1; 1 3
2 1 1
dt dx
x t dt dt
t f x dx
t t
t
x t x t t
t t
Đặt :
2
2 2
1 0;
1 4
1 tan
os
1 4 tan
t u t u
t u dt du
c u
t u
Vậy :
4
2
0
2 1
ln ln
2 8
os tan 0
du
J du I J
c u u
3
6
osx.cos x+
dx f
c
.
Phân tích :
sin sin osx-sinx.cos x+
1 4
sin
osx.cos x+ osx.cos x+ osx.cos x+
4 4
x x x c
c c c
3
6
sin sin
sinx sinx
4
( ) ln osx ln os x+
cosx cosx
os os
4
x x
f x I dx c c
c x c x
osx 2
2 ln ln ln ln 6
cos x+
c I
Bài Tính tích phân sau :
2
2
1 sinx osx
1 sinx os
c
a dx
c x
3
4
sinx.cos x+
dx
b dx
3
6
sinx.sin x+
dx c
2
0
osxdx
d x c
4
0
1 os2x
xdx e
c
3
os
xdx f
c x
GIẢI
2
2
1 sinx osx
1 sinx os
c
a dx
c x
(37)
2
1 sinx
( ) s inx ; sinx x=0 0,
2 1+sinx sin 1
t
f x dx d dt t t x t
x t t
Phân tích :
2
2
( ) ( )
1 1
A B t B C t A C
A Bt C
f t dt
t t t t
Đồng hệ số hai tử số :
2
0
1 1 ( )
1
1
A B A
t
B C B f t dt dt
t t
A C C
Vậy :
1
2
0
1
1 1
ln ln ln
1 2
t
I dt t t
t t
3
4
sinx.cos x+
dx
b dx
.
Phân tích :
os os osx+sinx.sin x+
1 4
os
sinx.cos x+ sinx.cos x+ sinx.cos x+
4 4
c x x c x c
c
3
4
sin sin
osx osx osx
( ) 2 ln
sinx os x+ sinx os x+ cos x+
4 4
x x
c c c
f x I dx
c c
Vậy :
2 ln
I
3
6
sinx.sin x+
dx c
.
Phân tích :
sin sin osx-sinx.cos x+
1 . 2 6
sin
sinx.sin x+ sinx.sin x+ sinx.sin x+
6 6
x x x c
3
6
os x+ os x+
osx osx sinx 3
( ) 2ln 2ln
sinx sin sinx sin sin x+
6 6
c c
c c
f x I dx
x x
2 2
0 0
osxdx sinx sinx 2sin sinx 2cos
0
d x c x d x xdx x x
(38)
4 4
2
0 0
1 1
t anx tan t anxdx= tan ln osx ln
1 os2x 2cos 0 2 0
xdx xdx
e x d x x x x c
c x
3 3
2
0 0
3 t anx t anx t anxdx= xtanx+ln cosx ln
os 0 0
xdx
f xd x
c x
Bài Tính tích phân sau :
2
sin
a xdx
2
osxdx
b x c
2
2
sin x
c x e dx
2
1
os lnx
d c dx
3
ln s inx
os
e
c x
2
2
os
f x c xdx
GIẢI
2
sin
a xdx
Đặt :
3
3 , 3 . 0 0; 3
2
t x t x dx t dt x t x t
Vậy :
3
3 3
2
2 2
0
0
2 cos
3 sin ost ost
0
t tdt
I t tdt t d c t c
3 3 3
3 os sin ln ost 2 os sin ln os
2 2 2 2
0
I c t t c c c
2 2
2 2
2 2
0 0
osxdx sinx s inx 2 sin osx osxdx sinx
4 4
0 0
b x c x d x x xdx x c c
2
2
sin x
c x e dx
.
Đặt :
2
2
2 1
0
2
os2x os2xdx
sin os2x 0
2
x x
x x
u e du e dx
I e c e c e e J
dv xdx v c
Đặt :
2
2
2
0
' '
sin 2 sin
' os2xdx v'= sin 0
x x
x x
u e du e dx
J e x e xdx I
dv c x
(39) Vậy ta có hệ :
1
0
2 _
I J e e
I
I J e e
2
1
os lnx
d c dx
.
Đặt : ln ; 0; ln
t dx t
t x x e dt dx e dt x t x t
x
ln ln ln
0 0
ln
ostdt int sin ostdt=2sin ln2 2sin ln sin ln
t t t t
I e c e d s e t e c I I I
3
ln sinx
os
e
c x
.
Đặt :
3
2
osx ln sinx
osx
sinx t anx.ln sinx t anxdx=
1 sinx
t anx
os
c
u du dx
c I
dv dx v
c x
3 1 3 3ln ln ln ln
2 2
6
I x
2 2
2
0 0
1 os2x 1
os 2 os2xdx
2 2
c
f x c xdx x dx x dx x c
Tính :
2
2
1 1
2
2 2 0
x dx x x
Tính :
2 2
0 0
1
2 os2xdx= sin sin 2 sin os2x
2 0
x
x c x d x x xdx d c
Vậy :
os2x 2
I c
Bài Tính tích phân sau :
2
0
xsin
a e xdx
4
tan
b x xdx
0
sin os
c x xc xdx
2
2
sin
0
xsinx.cos
d e xdx
4
0
ln t anx
e dx
4
os
dx f
c x
(40)GIẢI
2
0
xsin
a e xdx
Sử dụng công thức hạ bậc :
2 2
0
1 1
os2xdx=
2 2
x x
I e dx e c e J
Tính :
2 2 2
0 0
1 1
os2xdx sin sin 2 sin os2x
2 4
x x x x x
J e c e d x e x e xdx e d c
2
2 2
0
1 1 1
os2x os2xdx
4 4 12
x x e e
J e c e c e J J J
Vậy :
2 1 1 5 7
2 12 12
e e e
I
2
4 4
2
2
0 0
1
tan
os os 0 32
xdx
b x xdx x dx xdx J x J
c x c x
Tính :
4 4
2
0 0
1 (t anx)=xtanx t anxdx= ln osx ln
os 0 0
dx
J x xd c
c x
Vậy :
2
1 ln 32
I
2
sin os
c x xc xdx
.
0 0
1 1
os cos os cos sin sinx
3 3 3
I xd c x x x c x xdx x d
Vậy :
3
1 1
sinx- sin 0
3 3 3
I x
.
4
0
ln t anx
e dx
.
Đặt : t x dt dx x t 4;x t
0 4
0 0
4
1 tan
ln tan ln ln ln ln tan tan tan
ln
t
I t dt dt dt t dt
t t
t I
(41)Vậy : 2I 4ln I 8ln
4
os
dx f
c x
.
Phân tích :
2
2
4 2
1 sin os 1 tan
os os os os
x c x
x
c x c x c x c x
Vậy :
4
2
0
1
tan t anx t anx tan t anx
3 0
I x d d x
VII TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ MŨ -LOGARIT * Nhắc nhở HS :
Thuộc công thức nguyên hàm sau :
ax ax ;
ln
x x
e dx e C a dx a C
a a
Sử dụng thành thạo cách tính tích phân : Đổi biến số , phần
.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Tính tích phân sau :
1
0
x x
e dx a
e
ln
0
5 x
dx b
e
1
0
4 x
dx c
e
ln8
ln
1 x x
e
d dx
e
ln8
2 ln
x x
e e e dx
ln
0
1
1 x x
e
f dx
e
GIẢI
1
0
1
ln ln ln
1
x x
x
x x
d e
e dx
a e e
e e
ln
0
5 x
dx b
e
.
Đặt : 1; ln 2
x x dt
t e dt e dx dx x t x t
t
Vậy :
2
1
2
1 1 1 1 12 ln ln ln ln
1
5 5 5 7
dt t
I dt
t t t t t
1
0
4 x
dx c
e
Đặt : 1;
x x dt
t e dt e dx dx x t x t e
t
(42) Vậy :
1 1 1 1
ln ln ln ln
4 4 4 4 4
e e e
dt t e e
I dt
t t t t t e e
ln8
ln
1 x x
e
d dx
e
.
Đặt :
8
2
3
8
2
1 2 10
3 ln 3; ln 8
x
x x tdt e dx tdt
t e t e I dt t
t
x t x t
ln8
2 ln
x x
e e e dx
.
Đặt :
2
1
ln 3; ln 8 x
x x tdt e dx
t e t e
x t x t
Vậy :
8 88 3
2
3
8
1 374.8 32.3 2
3
5 15
I t t tdt t t dt t t
ln ln ln ln
0 0
2 1
2 ln
1 1
x x
x x x
e
e dx
f dx dx dx J
e e e
Tính :
ln
0
x
dx J
e
.
Đặt :
2
1
2
1 ln ln
1
0 1; ln 2 x
x
dt
dt e dx dx tdt
t e t J dt t t
t t
x t x t
Vậy : I 2 ln 2 ln 2 3ln 2
Bài Tính tích phân sau :
2
1
1
1 x
a dx
e
2
0
1 x x
e
b dx
e
1
0
1 x x
e
c dx
e
1
ln
ln e
x
d dx
x x
1
0
1 x x
e
e dx
e
ln3
0
1 f
1
x dx
e
GIẢI
2 2
2
1 1
1
1
ln ln ln
1
1 1
x x
x
x x x
d e
e
a dx dx e e e
e e e
2
2
0
1
ln ln ln
0 1
x x
x
x x
d e
e
b dx e e
e e
1
0
1 x
x x
e dx
c dx
e e
(43) Đặt :
1
1
1 ln 1
1
1
0 1;
x e e
x
dt
e
dt e dx dx tdt
t e t J dt t t e e
t t
x t x t e
1
ln
ln e
x
d dx
x x
.
Đặt :
2
1
2
0
1
1
ln
1
d t
x t tdt
t x I
x e t t t
Vậy :
2
1
ln ln
2
I t
1
0
1
x
x x x
e dx
e dx
e e e
2
1
0 1;
x e
x
dt
dt e dx dx dt
t e t I
t t
x t x t e
Phân tích :
2
2 2
1
1 1
A C t A B t B
A B C
t t t t t t t
Đồng hệ số hai tử số :
2
0
1 1 ( )
1
1
A C A
A B B f t
t t t
B C
Vậy :
1 1 1
ln ln ln
1
e e
e e
I dt t t
t t t t e
ln3
0
1 f
1
x dx
e
.
Đặt :
2
2
1
1 2
0 2; ln x
x
e dx t tdt
dt dx dx
t e t t t
x t x t
Vậy :
2 2
2
2 2
2
2 1 1
ln ln
1 1 1
tdt t
I dt dt
t t t t t t t
Bài Tính tích phân sau :
2 x
sinx
a e dx
2
x
b x e dx
1
0
x
c x e dx
2
0
x osx osxdx
d e c c
1
0
ln
e x x dx
2
1
1 ln
e
x
f dx
x
(44)GIẢI
2 2
x
0 0
sinx osx osx osxdx
x x x
a e dx e d c e c e c e J
2
2
0
sinx sinx sinxdx=e
x x x
J e d e e I I J e
Vậy ta có hệ :
2
2
e e
I J e I
I J e
2 2
2 2 2
0 0
2
1 1 1
0
2 2 4
x x x x x x
b x e dx x d e x e e dx x e e e e
1 11
1
0 0
1
0
x x x x x x
c x e dx x d e x e e dx x e e e
2 2
2
0 0
x osx osxdx x osxdx+ os
d e c c e c c xdx J K
2 2
2
0 0
osxdx= sinx sinx sinxdx=e osx
x x x x x
J e c e d e e e d c
2 2
2 2
0
1 osx osxdx=e ;
2
x x e
J e e c e c J J e J
2
2
0
1 os2x 1
os sin 2
2 2 0
c
K c xdx dx x x
Vậy :
2 1
2
e I
.
1
0
ln ln 1
e x x dx x d x
.
Đặt : t 1 x x 0 t1;x 1 t 2 f t dt( ) lntdt
2
1
2
ln ln ln 2ln
1
I tdt t t dt t t t
2
1
1 ln
e
x
f dx
x
.
Đặt :
2 2
2ln
1 ln ln
1 1;
xdx tdt
x
t x t x
x t x e t
(45)Bài Tính tích phân sau
0
ln ln(ln )
e
x x
a dx
x
1
ln
ln
ln
e x
b x dx
x x
3
2
ln(ln )
e e
x
c dx
x
2
ln x
d dx
x
3
ln(s inx)
os
e dx
c x
0
ln( 1)
1
x
f dx
x
GIẢI
2 2
2
ln ln(ln ) ln ln(ln ) 1
ln ln(ln ) (ln )
1
2
e e e e
e e e e
e
x x x x
a dx dx dx x x d x J
x x x
Tính :
2
ln(ln ) (ln ) e
e
J x d x
Đặt :
2
1
ln 1; ln
t x x e t x e t J tdt
2
1
2
ln ln 2ln 2 2ln
1
J t t dt t t t
2
1 1
ln ln
ln ln
ln ln
e e e
x x
b x dx dx xdx J K
x x x x
-Tính J Đặt :
2 2
1
2 1
ln ln
1 1;
dx
tdt t
x
x t x t J tdt
t
x t x e t
Do :
2
2
1
1
2 2
3
J t dt t t
- Tính K
2
1 1
ln ln ln ln ln
1 1
e e e
e dx e e
K x x x x e xdx e x x dx e x x x e
x
- Vậy :
4
2
3
I e e
3
2
ln(ln )
e e
x
c dx
x
Đặt :
3
2
2
ln 2; ln
t x x e t x e t J tdt
3
2
3
ln ln 3ln 3 2ln 2 3ln 2ln
2
J t t dt t t t
2 2
2
1 1
2
ln ln ln 1 ln ln
1 2
x x x
d dx x d dx
x x x x x x
(46)
3 3
2
6 6
ln(sinx) cosx
ln(sinx).d(tanx)=tanx.ln(sinx) t anx t anx.ln(sinx )
os sinx
6
e dx dx x
c x
Vậy :
3 ln 2ln 2
I
.
1 1
0 0
1
ln( 1)
ln( 1) ( 1) 1.ln( 1) 2 ln 2
1
x x
f dx x d x x x dx J
x x
-Tính J;
1
0
1
2 2 2 ln 2.2 2 ln 2
1
J dx x I
x
VIII TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Dạng
Nếu hàm f(x) liên tục hàm số lẻ a b; :
( ) a
a
f x dx
.
Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn a b; :
( ) ( )
a a
a
f x dx f x dx
Vì tính chất khơng có SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau :
Bước 1: Phân tích
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx J K
Bước Tính tích phân
0
( ) a
J f x dx
phương pháp đổi biến số Đặt t=-x - Nếu f(x) hàm số lẻ J=-K suy I=J+K=0
- Nếu f(x) hàm số chẵn J=K suy I= J+K=2K Dạng Nếu f(x) liên tục hàm số chẵn R :
0
( )
( )
a a
x a
f x
dx f x dx
a
Để chứng minh tính chất ta làm tương tự :
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
1 1 1
x x x x x
f x f x f x f x f x
I dx dx dx J dx K dx
a a a a a
Để tính J ta đặt x=-t
Dạng Nếu f(x) liên tục 0;2
thì :
2
0
(sinx)dx= ( osx)dx
f f c
Để chứng minh tính chất ta đặt : t x
Dạng Nếu f(x) liên tục f(a+b-x)=f(x) f(a+b-x)=-f(x) đặt : t=a+b-x Đặc biệt , : a+b= đặt t=-x
(47)Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để tính nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm của hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ suy nguyên hàm
của hàm f(x) Ta thực bước sau :
Bước 1 Tìm hàm số g(x)
Bước 2 Xác định nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức :
1
( ) ( ) ( )
* ( ) ( ) ( )
F x G x A x C
F x G x B x C
Bước 3 Từ hệ (*) ta suy
1
( ) ( ) ( )
F x A x B x C
, nguyên hàm f(x)
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài
7
4
4
1
os
x x x x
a dx
c x
2
2
2
osx.ln x+ 1+x
b c dx
1
1
1-x osx.ln
1+x
c c dx
1
2
ln
d x x dx
1
4
1
1
x dx e
x x
1
2
sinx
1
x
f dx
x
GIẢI
0
7 7
4
4 4
0
4
1 1
os os os
x x x x x x x x x x x x
a dx dx dx J K
c x c x c x
Tính :
0
4
1 os
x x x x
J dx
c x
Đặt : t = -x , suy dt=-dx :
0 7
4 4
0
4
1
os os os
t t t t x x x x
J dt dx J K dx
c t c x c x
Vậy :
4
2
4
0
2
2 tan t anx tan
os 0
I J K dx x d x x
c x
2
2 2
0
2
osx.ln x+ 1+x osx.ln x+ 1+x osx.ln x+ 1+x
b c dx c dx c dx J K
(48) Tính :
0
2
2
osx.ln x+ 1+x
J c dx
Đặt : t = -x suy dt =- dx
0 2
2 2
0
2
os-t.ln -t+ 1+t ost ln cosxln x+ 1+x
J c dt c t t dt dx K
Vậy : I= J+K =0
1
0
2
1
2
1-x 1-x 1-x
osx.ln osx.ln osx.ln
1+x 1+x 1+x
c c dx c dx c dx J K
Tính :
0
1
1-x osx.ln
1+x
J c dx
Đặt : t = -x suy : dt =- dx , :
1
0 2
1 0
2
1-x 1+t 1-t 1-x
osx.ln os(-t).ln ost.ln osx.ln
1+x 1-t 1+t 1+x
J c dx c dt c dt c dx K
Vậy : I J K 0
1
2 2
1
ln ln ln
d x x dx x x dx x x dx J K
Tính :
0
2
ln
J x x dx
Đặt : t = -x , suy : dt = - dx Cho nên :
0 1
2 2
1 0
ln ln( ) ln ln
J x x dx t t dt t t dt x x dx K
Vậy : I J K 0.
1
4 4
1
1 1
x dx x dx x dx
e J K
x x x x x x
Tính :
0
4
1
x dx J
x x
Đặt : t = -x , suy : dt = -dx Cho nên :
0 1
4 4
1 1 1
x dx t dt t dt x dx
J K
x x t t t t x x
Vậy : I=J+K=2K=
1
4
0
2
1
x dx
x x
Đặt :
1
2
2
2 2
0
2 1
0 0; 1 2 1 3
2
du xdx du du
u x K
x u x u u u
u
(49) Đặt :
6
2
6
3
1 2 os
tan
3
2 2 2 os 1 tan
0 ; 4
6
du dt
c t
u t K dt
c t t
u t u t
Vậy :
6
6
1 3
2 3
6
K dt t
Do :
3
3
I K
1 4
2 2
1
sinx sinx sinx
1 1
x x x
f dx dx dx J K
x x x
Tính :
0
2
sinx
x
J dx
x
Đặt : t = -x , suy : dt = -dx
Do :
0 4
2
1
sinx sint sinx
1 1
x t x
J dx dt dx
x t x
1 4 1
4 4
0 0 0
sinx sinx
1 1 1
x x x dx dt
J K dx dx dx H
x x x x t
Đặt :
4
2
2
0
os
tan
4 os tan 0 0;
4
du dt
du
c u
t u H du u
c u u
t u t u
Vậy : I
Bài Tính tích phân sau :
5
2
sin
1 osx
x
a dx
c
2
2
4 sin
xdx b
x
2
2
osx
4-sin
x c
c dx
x
1
1
2x
x
d dx
1
1
1
1 2x
x
e dx
1
2
1 x
dx f
e x
GIẢI
0
5 5
2
0
2
sin sin sin
1 osx osx osx
x x x
a dx dx dx J K
c c c
Tính :
0
2
sin osx
x
K dx
c
(50)
5
0 5
0
2
sin
sin sin sin
1 osx os ost osx
t
x t x
K dx dt dt dx K
c c t c c
Vậy : I=J+K =0
0
2
2 2
0
2
4 sin sin sin
xdx xdx xdx
b J K
x x x
Tính :
0
2
4 sin
xdx J
x
Đặt t = -x suy : dt = -dx ,
0 2
2 2
0
2
0 sin sin sin
tdt tdt xdx
J K I J K
t t x
0
2
2 2
0
2
osx osx osx
4-sin 4-sin 4-sin
x c x c x c
c dx dx dx J K
x x x
Tính :
0
2
osx 4-sin
x c
J dx
x
Đặt t = -x suy : dt = -dx , cho nên
0 2
2 2
0
2
os(-t) ost osx ( )
4 sin ( ) 4-sin 4-sin
t c t c x c
J dt dt dx
t t x
.
2 2
2 2
0 0
sinx
osx osx osx (sinx ln 4-sin 4-sin sin 2 sinx 2+sinx 2 0
d
x c x c c d x
J K dx dx dx
x x x x
Vậy : I=
1 ln
1 4
1
2x 2x 2x
x x x
d dx dx dx J K
Tính :
0
12
x
x
J dx
Đặt : t = -x suy : dt = -dx , cho nên
0 4 4
1 0
( ) 2
2 2
t x
x t t x
x t t x
J dx dt dt dx
1 4
4
0 0
1
2 1
0
2 5
x
x x
x x
I J K dx dx x dx x
1 2
1
1 1
1 2x 2x 2x
x x x
e dx dx dx J K
(51) Tính :
0
1
1 2x
x
J dx
Đặt t = -x , suy : dt = -dx Cho nên
0 0 2
1 1
1 ( )
1
1 2
x
x t x
t
x x
J dx J dt J dx
1 2
2
0 0
2 1
1 2
x
x x
x x
I J K dx x dx
* Ta tính :
1
2
1 x dx
cách :
Đặt :
2 2
2
2
0
ostdt;1-x sin os
1
sin os os2t
2 x=0 t=;x=1 t=
2
dx c t c t
x t I c tdt c dt
Vậy :
1
sin 2 2 0
I t t
1
2 2
1
1 1 1
x x x
dx dx dx
f J K
e x e x e x
Tính :
0
2
1 x 1
dx J
e x
Đặt : t = -x ,suy : dt = -dx Cho nên
0 1
2 2
1 1 1 1
t x
t t x
dt e dt e dx
J
e t e t e x
Vậy :
1
2
2
0
1
1
1 1
x
x x
e dx
J K dx
x
e x e x
Tính :
1
0
dx
x
Đặt :
4
2
0
1 os tan
os tan 0;
4
dx dt
dt
c t
x t I
c t t
x t x t
Vậy : I=
4
0
4
dt t
Bài Tính tích phân sau :
2
sin
3x
x
a dx
1
1
1
1 2x
x
b dx
1
2
4x 1
dx c
x
2
2
s inxsin3xcos5x
1 x
d dx
e
6
4
4
sin os
6x
x c x
e dx
2
x
sinx
1+2
x
f dx
(52)0
2 2
0
sin sin sin
3x 3x 3x
x x x
a dx dx dx J K
Nếu áp dụng toán dạng ( Như tập : 1-2 ) Thì ta viết gọn lại sau :
2
2
0
sin 1
sin os2x sin
3x 2 2
x
a dx xdx c dx x x
1
2
1
1
1 1
1
0
1 2x 3
x
b dx x dx x x
1
2
1
1 4x 1
dx dx
c
x x
Đặt :
4
2
0
1 os tan
os tan 0;
4
dx dt
dt
c t
x t I
c t t
x t x t
Vậy : I=
4
0
4
dt t
2 2
0
2
sinxsin3xcos5x 1 1 sinxsin3xcos5xdx= os3x+ os7x- osx- os9x
1 x 4 4
d dx c c c c dx
e
1 1 1 1 146
sin sin sinx- sin
12 28 36 12 28 36 369
I x x x
6
4 4
6
0
4
sin os 5
sin os os4x sin 4
6 8 32 32
0 x
x c x
e dx x c x dx c dx x x
2
2 2
2 2
x
0 0
2
sinx
s inxdx=- osx osx 2 cos 2 1+2
0
x
f dx x x d c x c x xdx K K
- Tính :
2 2
0 0
osxdx= (sinx)=x.sinx sinxdx= osx
2
0
K x c x d c
. - Vậy : I 2K 2
Bài Tính tích phân sau :
n
* n
0
os
os sinn
c x
a dx n N
c x x
7
7
0
sin
os sin
x
b dx
c x x
2
0
sinx
sinx osx
c dx
c
2010
2010 2010
0
sin
sin os
x
d dx
x c x
4
4
0
os
sin os
c x
e dx
x c x
6
6
0
sin
sin os
x
f dx
x c x
(53)
n
* n
0
os
os sinn
c x
a dx n N
c x x
Đặt : 2;
dt dx
t x
x t x t
n
0 2
n n
n 0 0
2
os
sin sin
sin os sin os sin os
2
n n
n n
n
c t
t x
I dt dx
t c t x c x
t c t dt
2
0
2
2
I dx x I
Tương tự cách làm phần a Các phần sau có kết nhau
7
2
7
0
sin
2
os sin 0
x
b dx I dx x I
c x x
2
0
sinx
2
2
sinx osx 0
c dx I dx x I
c
2010
2
2010 2010
0
sin
2
sin os 0
x
d dx I dx x I
x c x
4
2
4
0
os
2
sin os 0
c x
e dx I dx x I
x c x
6
2
6
0
sin
2
sin os 0
x
f dx I dx x I
x c x
Bài Tính tích phân sau :
2
.sinx
4-cos
x
a dx
x
0
osx
4-sin
x c
b dx
x
2
0
1 sinx ln
1+cosx
c dx
4
0
ln t anx
d dx
2
3
os
e x c xdx
0
.sin
f x xdx
GIẢI
2
.sinx
4-cos
x
a dx
x
Đặt :
0
2
sin
0 ; os
dx dt t t
t x I dt
x t x t c t
(54)
2
0
sinx sinx
2 ;
4-cos 4-cos
x
I dx dx J I I J I J
x x
Tính :
2
0 0
s inx ( osx) ( osx ( osx osx-2 ln ln
0 4-cos os 4 cosx-2 cosx+2 cosx+2
d c d c d c c
J
x c x
Vậy :
1
ln ln 2
I
2
osx
4-sin
x c
b dx
x
( Sai đề )
2
0
1 sinx ln
1+cosx
c dx
Đặt :
0
2
1 sin ln
2 ; 1+cos
2 2
t
dx dt
t x I dt
x t x t t
1
2
0
1 ost sinx
ln ln 0;
1+sint 1+cosx
c
I dt dx I I I
4
0
ln t anx
d dx
.
Đặt :
0
4
ln tan
4 ;
4
dx dt
t x I t dt
x t x t
4 4
0 0
1 t anx
ln ln ln ln t anx ln
1+tanx t anx
I dx dx dx dx I
Vậy : 2I 4ln I 8ln
2
3
os
e x c xdx
.
Đặt :
0
3
2 os
0 ;
dx dt
t x I t c t dt
x t x t
2 2
3
0 0
1
2 os os os3x+3cosx
I c xdx x c xdx c dx I
Vậy :
2
0
2
os3x+3cosx sin 3sin 0
4
I c dx x x
3
.sin
f x xdx
(55) Đặt :
0
3
sin
0 ;
dx dt
t x I t t dt
x t x t
3
0 0
sin sin sin 3sin sin
I x xdx xdx x xdx x x dx I
Vậy :
0
1 3sin sin 3cos os3x
0
8 3
I x x dx x c
Bài Tính tích phân sau :
0
1 sinx
xdx a
0
.sinx
2+cos x
x
b dx
0
.sinx
1+cos
x
c dx
x
4
0
sin ln(1 t anx)dx
d x
0
.sinx
9+4cos
x
e dx
x
0
.sinx.cos
f x xdx
GIẢI
0
1 sinx
xdx a
Đặt :
0
0 , sin
dx dt t dt
t x I
x t x t t
2
0 0
1
tan
0 sinx s inx os 2
2
dx xdx x
I dx I I
x c
2
.sinx
2+cos x
x
b dx
.
Đặt :
0
2
sin
0 , os
dx dt t t dt
t x I
x t x t c t
2
0 0
osx sinx sin
ln os 0 2-cosx os x os x
d c
x x
I dx dx I I c x
c c
2
.sinx
1+cos
x
c dx
x
Giống cách giải câu b.(Học sinh tự giải )
4
0
sin ln(1 t anx)dx
d x
.
Đặt :
0
4
sin ln tan
4 ; 4
4
dx dt
t x I t t dt
x t x t
4 4
0 0
ln sin ln ln(1 t anx ln sin sin
2
I x dx xdx I I xdx
(56) Vậy :
ln ln os4x
2 4
0
I c
2
.sinx
9+4cos
x
e dx
x
.
Đặt :
0
2
sin
0 ; 4cos
dx dt t t dt
t x I
x t x t t
2 2
0 0
sinxdx sinx ( osx)
ln 4cos 0 9+4cos 9+4cos 4cos
x d c
I dx I I x
x x x
4
.sinx.cos
f x xdx
.
Đặt :
0
4
sin os
0 ;
dx dt
t x I t t c t dt
x t x t
4 4
0 0
sinx.cos sinx.cos os osx
I xdx x xdx c x d c I
5
1 os
0
2 5
I c x
Bài Tính tích phân sau
2
0
sinx
sinx-cosx
a dx
2
0
sinx
sinx+cosx
b dx
2
2sin sin
c x xdx
2
2cos sin
d x xdx
1
1
xex x
e dx
e e
1
1
xe x x
f dx
e e
GIẢI
2
0
sinx
sinx-cosx
a dx
Chọn :
2 2
0 0
osx sinx+cosx
;
sinx-cosx 0 sinx-cosx
c
J dx I J dx x I J dx
2
0
sinx-cosx
ln sinx-cosx sinx-cosx 0
d I J
(57) Vậy :
2
4
I J
I I J
2
0
sinx
sinx+cosx
b I dx
Chọn :
2
0
osx sinx+cosx
c
J dx
2
0
sinx+cosx
; ln osx+sinx
2
2 sinx+cosx
0
d
I J dx x J I c
Vậy :
2
4
I J
I J I
2
2sin sin
c I x xdx
Chọn :
2
2cos sin
J x xdx
2
2
0
2 sin os sin 2 sin os2x 2
I J x c x xdx xdx c
2 2
2
0 0
1
2 os sin sin 2 os2x.sin2xdx= sin os4x 0
J I c x x xdx c xdx c
Vậy : I=1
2
2cos sin
d x xdx
Giải giống 6-c Ta có kết : I =
1
1
x
x x
e
e dx
e e
Chọn :
1
x
x x
e
J dx
e e
1 1
1 1
1
2 ln
1
x x
x x
x x
x x x x
d e e
e e
I J dx x I J dx e e
e e e e
Vậy : I=1.
1
1
x
x x
e
f dx
e e
( Cách giải giống câu e )
BÀI TẬP ƠN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN
Bài Tính tích phân sau
2
a x x dx
3
8
2
1
x
b dx
x x
3
(58)
2
1
1
2
x
d dx
x
0
2
dx e
x x
2
2
2
4
x x x
f dx
x
GIẢI
2
a x x dx
.Bằng cách xét dấu ta thấy : f x( )x3 x0, x 1;2 ; ( ) 0 f x x 0;1
Vậy :
1
3 4
0
1
1 1
0
2 4 2
I x x dx x x dx x x x x
4
3 3
2
8 4 4
2 2
1 1 1
x d x
x x x dx
b dx
x x x x
Đặt :
81 81 81
4
2
16 16 16
4 1
4
2 16, 81 1
t x dt x dx tdt dt dt
I
t
x t x t t t
81
1 1 1
ln ln 80 ln15 16
4 80 15
I t
t
3
2
2
1
3
1
1
1
3
c x x dxx dx x
2
1
1
2
x
d dx
x
Nhận xét :
2
2
1
( ) 1
2 2
x f x
x x x x
Vậy :
2 39
6ln 6ln
2
I x x
x
0
2
2 2
1
2 1 3
dx dx
e
x x x
Đặt :
6
2
2
0
3
3 os
1 tan
os 3(1 tan ) 0,
6
dx dt dt
c t
x t I dt
c t t
x t x t
Vậy :
3
3 18
I
2 2
2
0
2
4
x x x
f dx x dx
x x
2
2
2
1 16
2
2
dx
I x x J
x
(59) Đặt :
4
2
2
0
2 os
2 tan
os tan 0,
4
dx dt
dt
c t
x t J dt
c t t
x t x t
Vậy :
16 ;
4
4
J t I
Bài Tính tích phân sau :
5
1
2
a x x dx
1
2
dx b
x x
1
2
1
x
c dx
x
1
3
1
xdx d
x
1
2
1
xdx e
x
1
xdx f
x
GIẢI
5
1
2
a x x dx
Bằng cách xét dấu : f x( ) 2 x x 1; ; ( ) 4 f x x 2;5
- Vậy :
2
2
1
2
2 4 20 15
I xdx dx x x
1
2
0
1
1 1 2
ln ln
1
2 2 2 2 2
x dx
b dx
x x x x x
2
1
2
0
1
1
x d x x
c dx
x x
.
Đặt :
1
2
0
1
0 0; 1
1
tdt
t x x t x t I dt
t t
Vậy :
ln 1 1 ln
I t t
1
3
0
1
1 1 1
0
1
1 1
xdx
d dx
x
x x x x
1
2
0
1
1 1
ln ln
0
1
1
xdx
e dx x
x x
x x
2
1
2
2
0
1
1 1
ln ln
0
1 2
d x
xdx
f x
x x
Bài Tính tích phân sau :
2
1
1
x
a dx
x x
3
3
0
b x x dx
9
(60)
3
2
1
x x
d dx
x
4
1
2
5
dx e
x
2
5
1
x
f dx
x
GIẢI
2
1
1
x
a dx
x x
.
Đặt :
1
2
2
0
2 1
1 2
1 0, 1
dx tdt t
t x x t I tdt t dt
x t x t t t
Vậy :
2
1
2 ln
I t t
3
3 2
0
1
b x x dxx x xdx
.
Đặt :
2
2 2 2
1
1 1
0 1,
xdx tdt
t x x t I t t dt
x t x t
Vậy :
2
4
1
2 1 58
1 15
I t t dt t t
9
c x xdx
.
Đặt :
2
2
0
2
1 1
1 0,
dx tdt
t x x t I t t tdt
x t x t
Vậy :
0
2
2
0
1 112
2
2
3 15
I t t dt t t
2
3 3
2
0
2
1
x x xdx
x x
d dx
x x
Đặt :
2
2 2
2
1
1 1;
1
0 1,
t t t tdt
x t xdx tdt
t x I t tdt
t
x t x t
Vậy :
5 2
1 59
1 5
I t t
4
1
2
5
dx e
x
.
Đặt :
3
2
2
5, 2.2
5
4
1 2,
x t dx tdt tdt
t x I dt
t t
x t x t
Vậy :
3
4 4ln 4 ln ln 4ln
2
(61)
5
2
5
5
0
1
1 2
33
0
5 5
1
d x x
f dx x
x x
Bài Tính tích phân sau :
1
5
0
a x x dx
3
2
0
b x x dx
2
2
0
c x x dx
2
1
2
xdx d
x x
0
1
e x xdx
1
3
0
f x x dx
GIẢI
1
5
0
1
a x x dxx x xdx
Đặt :
0
2
2
2 2
1
1 ;
1
0 1,
x t xdx tdt
t x I t t tdt t t t dt
x t x t
Vậy :
7
1 105
I t t t
3
2 2
0
b x x dxx x xdx
Đặt :
2 2
2
1
1;
1
0 1,
x t xdx tdt
t x I t t tdt t t dt
x t x t
Vậy :
5
1 58 15
I t t
2
2
0
c x x dx
.
Đặt :
2
2
2
0
2 ost ; ost
2sin 4sin 2cos 2cos 4sin x=0 t=0.x=2 t=
2
dx c dt x c
x t I t t tdt tdt
Vậy :
2
0
1
1 os4t sin 4 0
I c dt t t
2 2 1 1
2
1 1
1
2 2
2
2
xdx
d x x dx x x dx
x x
- Vậy :
3
2 2
1 2 22
2
1
2 3
I x x
0
1
e x xdx
Đặt :
1
2
2
0
1;
1 2
1 0,
x t dx tdt
t x I t t tdt t t dt
x t x t
(62) Vậy :
5
1 1
2
0
5 15
I t t
1
3 2
0
3
f x x dxx x xdx
Đặt :
2 2
2
3
3;
3
0 3,
x t xdx tdt
t x I t t tdt t t dt
x t x t
Vậy :
5
1 56 12 3 15
I t t
Bài Tính tích phân sau :
3
1
3
3
x
a dx
x x
7 / 3
1
3
x
b dx
x
10
5
2
dx c
x x
1
2
0
1
x x
d dx
x
3
0
e x x dx
1
3
0
f x x dx
GIẢI
3
1
3
3
x
a dx
x x
Đặt :
2
1
1 0;
dx tdt
t x x t
x t x t
Vậy :
2 2
2
0 0
2 2
4
2 2 3 3ln
0
3 2 2
t t t
t
I tdt dt t dt t t t
t t t t t