BAI GIAI TICH PHAN XAC DINH

 Thuộc công thức lượng giác : Công thức cộng góc ,nhân đôi ,nhân ba ,hạ bậc  Thuộc các công thức góc có liên quan đặc biệt : Đối,bù ,phụ hơn kém nhau. 1góc bẹt[r]

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Bài Tính tích phân sau :

 

2

a x  x dx

2

2

1

3

x

b x e dx

x 

 

 

 

 



2

1 x

c dx

x

 

2

2

x

d dx

x

 

 2

1 2

4 x

e dx

x 





 2

1

1

e

f x x dx

x x

 

  

 

 



   

2

1

1

g  x x x dx  

2

2

1

h x x x x dx  

4

3

1

i  x x x dx

2

3

2 x x

k dx

x

 

2

1

2

e

x x

l dx

x

  

8

3

1

1

3

m x dx

x

 



 

 



GIẢI

 

2

2

1

2

1 19

1

1

3 3

a x  x dx x x x         

     



2

2

2 3

1

3 1 1

3ln 3ln 3ln

3 3 3 3

x x e e

b x e dx x x e e e

x

  

       

            

       

       



2

2

2

1

1

1 1 1

ln ln ln

2

x

c dx dx x

x x x x

    

           

   

 

 

 

2

2

2

2 1

1

2

1 1 1

ln ln ln ln

2 2 2 2

d x x

d dx x

x x 

 



     

 

 

 2

1

6

2 2

2

2 2

4 8 16 16 1

16ln

7

x x x

e dx dx x x dx x x x

x x x



  



  

      

          

   

  

3

2

2

1

1 1 1

ln

3 3

e e

e

f x x dx x x x e

x x x e

   

          

   

   



     

2

2

3 2

1 1

2

1

5

g x x x dx x  dx x x  

 

 

 

2

2

2 2 3

1 1

1 71

3 60

h x x x x dx x x x dx x  x  x    

   

 

 

4

4 1

3 4

1 1

2 16

4

3

i x x x dx x  x  x dx x  x  x  

   

 

2

2 2

3

1 11

2 2

x x ln ln

k dx dx x

x x x x

    

        

   

 

 

2

1

1

2

5ln 7

e e e

x x

l dx dx x x x e e

x x x

   

          

 

8 2

3

3

1

1 1

4 125

3

3

m x dx x x dx x x

x



     

     

     

   

 

 

Bài Tính tích phân sau

2

1

a  x dx

5

2

2

dx b

x  x

  

2

2

1

c x x x x dx

2

2

xdx d

x

 

2

3

0

x

e dx

x



4

f x x  dx

GIẢI

       

2 1 3

2

2

1

1

2

1 1 3 2

3

a  x dxx d x  x  

       

5

5 3 3

2

2

2

1

2 2 7 3

4

2

dx

b x x dx x x

x x

 

            

    

 

 

2

2

2 2 3 3

1 1

1 7

3 20

c x x x x dx x x x dx x  x  x     

   

 

   

1 1

2

2 0

0

1

1

xdx

d d x x

x      



 

   

2 2 22

3 3 3

3 0

0

1

1

2

1

x

e dx x d x x

x



     



 

     

4 34

2 2

0

0

1

9 9

3

f x x  dxx  d x   x  

Bài Tính tích phân sau

0

sin

a x dx





 



 

 

  

2

3

2sin 3cos

b x x x dx





 

 6 

0

sin os2x

c x c dx



 

4

t anx

cos

d dx

x 



3

4

3tan

e xdx





 

4

6

cot

f x dx





 

2

0

1 sinx

dx g



 

2

0

1 osx

1+cosx

c

h dx



 

2

2

0

sin cos

i x xdx





 

3

6

t anx-cotx

k dx



 



2

2

sin

sin

x

l dx

x 









 



 

 

 



 

 



4

os

m c xdx





GIẢI

 

0

1

sin os 3

6

a x dx c x

 

 

   

     

   

   

 

2

2 2

2 3

1 3 2sin 3cos 2cos 3sin

2 18

b x x x dx x x x

 

 



 

         

 



 

6 6

0

1

sin os2x os3x+ sin

3

c x c dx c x

 



 

    

 



     

4

2

2

0

t anx 2

t anx t anx t anx

cos 3

d dx d

x

 



  

 

 

3

2

2

4

4

1

3tan 3 t anx-x 3

os

e xdx dx

c x

 

 

 



 

       

 

 

   

4 4

2 4

2

6

6 6

1

2cot 5 3 cot

sin sin

f x dx dx dx x x

x x

  

 

  



      

               

   

 

  

2

2

2

0

0

1

= tan

x sinx x 1 t an

1 t an 2

2

dx x

g d



   

 

 

   

 

       



   

 

 

2

2 2 2

2 0

0 0

2sin

1 osx 2

tan

1+cosx 2cos os 2

2

x

c x

h dx dx dx x

x x

c

   



 

 

   

        

 

 

 

  

2 2 2

2 2

0

0 0

1 1 os4x 1 1

sin cos sin sin

4 8

c

i x xdx xdx dx x x

   

 

     

           

     

  

   

3 3

3

6 6

sin 2 os2x

t anx-cotx ln sin sin sin

d x

c

k dx dx x

x x

  

 

   

  



    

  

 

2 2

2

2 2

sin

osx+sinx osx-sinx

4

ln osx+sinx ln

osx+sinx osx+sinx sin

4

x

d c c

l dx dx c

c c

x

  

 

  



 

  

 



 

 

     

 

    

 

 

  

   

3 4

4

0

0

1 1 1

os 4cos os4x 2sin sin

8 8 4 32

m c xdx x c dx x x x

  





   

             

   

 

Bài Tính tích phân sau :

 

1 1

0

0

1

ln ln

2

x x

x x

x x

x x x x

d e e

e e e

a dx e e

e e e e e

 



 



 

   

 

 

 

2

2 2

2

1 1

1

ln

ln ln ln ln

ln ln ln

x

d x x

x x

b dx dx x x

x x x x x x x



 

     

  

  

   

   

1 1 1

0

0 0

2

2

2

x x

x

x x

x x

e e

e

c dx dx e dx e x e

e e

 



      

 

  

 

ln ln

ln

0

1

ln ln ln

1

x x

x

x x

d e e

d dx e

e e



    

 

 

 

2

2 2

1

1

1

ln ln

x

x e x x

e e dx e dx e x e e

x x



   

       

   

 

 

 

1

1

0 0

2 2

x x

x x

e e e e

f dx   dx    

    

 

   

2

osx osx osx 2

0

0

c sinxdx=- c osx c

g e e d c e e

 



  

 

     

4 4

2

1

2

x

x x

e

h dx d e e e e

x    

 

 12    32  

1

1 ln 2

ln ln 1 ln 2

3

e e

e

x

i dx x d x x

x



      

 

   

1

1

ln 1

ln ln ln

2

e e

e

x

k dx xd x x

x   

 

   

2

1 1

0

1

2

x x

l xe dx e  e

 

 

1 1

1

0 0

1

1

ln 1 ln ln ln

1 1

x x x

x

x x x

e e e

m dx dx dx x e e

e e e e

   

             

     

  

II TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1 Dạng 1 ( Đặt ẩn phụ ) Bài Tính tích phân sau

   

1

1

19 19 20 21

0

0

1 1 1

1

20 21 20 21 420

a x  x dx x  x dx x  x    

 

 

 

1

3

x

b dx

x

 

Đặt :  

 

1 2

2

3

2

1

0

1

1 1

1

2 2 16

1

t x xdx

t x dt xdx dt

t t t

x

  

          

 



 

1

2

0

1

x x xdx

c dx

x  x

 

 

Đặt :

 

2

2

2

2

1

1

1 ;

1 1 1 2ln

2 ln

2 2

x t dt xdx x t

t dt

t dt t t t

t t

     

     

           

   

1

0

2

xdx d

x 

Đặt :

2

1

2 1;

2

t

t x dt dx x x t x t

x



           



Do :

 

1

3

0

1 1 1 1

2 3

2

t xdx

d dt t t

x

  

     

  

 

1

2

e x  x dx

Đặt : t 1 x2  x2  1 t2  xdxtdt x;  0 t1;x 1 t0

Do :

1

1

2 2

0

0

1

3

e x  x dx t dt t dt t  

 

  

1

3

0

f x  x dx

Đặt : t 1 x2  x2  1 t2  xdxtdt x;  0 t1;x 1 t0

Vậy :    

1

1 1

3 2 2

0

0

1 1

1 1

2 4

x  x dx x  x xdx  t tdt t t dt  t  t  

 

   

2 3

2 2

5

4

dx xdx

g

x x   x x 

 

Đặt :

2 4 2 4; ; 5 3; 2 3 4

t  x   x  t  xdx tdt x   t x  t

Vậy :  

4

2 4

2

2

3

3

5

1 1 1 ln ln ln ln 1 2 10

4

xdx tdt t

dt

t t t

t t

x x



   

         

  

    



  

3

2

2

1

x x

h dx

x

  

Đặt : t 1x2  x2  t2 1; xdx tdt x  0 t1;x 3 t2

Vậy :

     

2 2

3 3 2

3

2

0 1

2 1

2 1 15

ln ln

4

1

x x xdx t t

x x

dx dt t dt t t

t t

x x

  

    

          

   

 

   

 

ln ln

ln

0

1

ln ln ln

1

x x

x

x x

d e

e

i dx e

e e



    

 

 

       

ln

ln ln 1

2

3

0 0

1 2

1 x

x x x

x

e dx

k e d e e

e

  

      

 



 

1

2 ln

2 e

x

l dx

x

 

Đặt :

2

2 ln ln ; dx; 2,

t x t x tdt x t x e t

x

            

Vậy :

3

3

1

2 ln 3 2

2 3

e

x

dx t tdt t

x

   

   

 

 

1

1 3ln

ln

e

x

m xdx

x

 

Đặt :

2

1 3ln 3ln ; dx; 1;

t x t x tdt x t x e t

x

           

Vậy :  

2

2 2

4

1

1 1

1 3ln 2 1 116

ln ln 3ln

3 9 135

e e

x dx t

xdx x x t tdt t t dt t t

x x

   

         

 

2

2

0

sin

os 4sin

x

n dx

c x x



 

Đặt :

2 2 2

os 4sin os 4sin ; 3sin ;

0;

2

t c x x t c x x tdt xdx x

x x  t

       

    

Vậy :

2

2

2

2

0

0

sin 2 2

3 3

os 4sin

x

dx tdt dt t

t

c x x



 

    

 



  

3

2

osxsin

1 sin

c x

o dx

x 

 

Đặt :

2

1 sin sin ;sin 1; 1; 2

t  x dt xdx x t  x  t x  t

Vậy :

 

 

2

2

3

2

2

0 1

1

osxsin sin sin 1 1 ln

1 ln

1 sin sin 2 2

t dt

c x x xdx

dx dt t t

x x t t

 

   

        

   

   

6

2

0

sin

2sin os

xdx p

x c x



 

Đặt :

2

2sin os sin ; 1;

6

t x c x dt xdx x  t  x  t

Vậy :

5

6

4

2

0

sin

ln ln

2sin os

xdx dt

t

x c x t



  



 

2.Dạng 2.

Bài Tính tích phân sau phương pháp dổi biến số dạng 2

1

2

dx a

x

 

Đặt :

2

1

sin ostdt;x=0 t=0;x= ; 1 sin ost

x t dx c   t  x   t c

.( Do

 

1

6

2

6

0 0

ostdt 0;

6 1 cost

dx c

t dt t

x

 



 

 

      

      .

1

2

x

b dx

x

 

Đặt :

2

2sin 2cos ; 0; ; 2cos

x t dx tdt x  t x  t  x  t

 

   

3

1 6 6

2

2

0

0 0

2sin 2cos

8 sin sin os ost os cos 3

2cos 3

4

t tdt

x

dx t tdt c t d c c t t

t x

   

 

           

 



   

2

2

1

c x  x dx

.

 Đặt :

2

2sin 2cos ; ; ; 2cos

6

 Vậy :

 

2 2 2

2 2

1

6

6 6

1

4 4sin 2cos 2cos 4sin 2 os4t sin

2

x x dx t t tdt tdt c dt t t

   



  



 

         

 

   

3

3

dx d

x 



 Đặt :  

2

2

1

3 tan ; 0; ; 3 tan

os

x t dx dt x t x t x t

c t



           

  

3 3

2 2

0 0 0

3 3

3 os tan 3

dx dt

dt t

x c t t

  



 

    

 

   

  

     

1

2

2

0

1

1 2

dx

e dx I J

x x

x x

 

     

 

   

 

 Tính :

1

0

dx I

x

  

Đặt :

   

2

2

4

4

2

0

1

tan ; 0, ;1 tan

os

4 os tan

x t dx dt x t x t x t

c t

dt

J dt dt t

c t t

 







           

    



 

 Tính :

1

0

dx J

x

  

Đặt : tan os2 0; 3

dt

x t dx x t x t

c t



        

 Vậy :  

1 3

2 2

0 0 0

3 3

3 os tan 3

dx dt

I dt t

x c t t

  



 

     

 

   

  

 Do : I-J=

3

 



1

4

0

f

1

xdx

x x 



.

 Đặt :

1

2

4 2

0

1

2 ; 0; 1

1 2

xdx dt

x t dt xdx x t x t I

x x t t

           

   

 

 Tính :

1

2

0

1 2

I dt

t



 

 

   

 

   



Đặt :

1 3

tan

2 2 os

t u dt du

c u

   



 

2

2

1 3

1 tan ; ;

2

t   u t u  t u 

 

             

 

  

3 3

2

6

6

3 3

3 3

2 os tan

I du du u

c u u

  



 



 

    

 



 

0

2

dx g

x x

   .

 Ta có :  

2

2

2 1 tan ; 0;

os

dt

x x x x t dx x t x t

c t



               

 Vậy :

0 4

2 2 2 2

1 0

1

ost

2 os tan 1 tan os 2

dx dt dt

dt

t t

c

x x c t t c

  



  

 

   

 

 

   



4

0

0

tan tan

1 2 8

2 tan 2ln 2ln 2ln tan

2

tan tan tan tan

2 2

t t

d

t t t



 

 

 

 

   

         

 

     

 



2

3

1 x

h dx

x

 

 Đặt :

2

1

1 ost 2 ost

;

sin sin sint

2

4

x t

c c

x dx dt x

t t

x t



 

  



      

   

 t 2; sin , ost>0t c

 

 

  

 

 Vậy :

2 2 2

3

3

1

3

4

1 ost ost os2t 1

sin

sint 1 sin 2

sin

x c c c

dx dt dt t t

x t

t

  



 



    

       

 

 

 

 

  

 

1

3

1

dx i

x

 

 Đặt :

 23

2

0

1

tan ;

os os

4

x t

dt

x t dx x

c t x t  c t

  

 

     

    

  

 

1 4

4

2

3

0 0

3

1

ost sin

os

1

os

dx dt

c dt t

c t

x

c t

 



    



  

2

2

1

dx k

x x 



 Đặt :

2

2

1 ost ost

; ;

2

sin sin sint

3

x t

c c

x dx dt x

t t x t



 

  

 

     

   

 Vậy :

 

2

3 3

3

2

6

6

1 ost

1 ost sin 3 6 6 .

sin sint

dx c

dt dt t

c t

x x

t

 

 

 

  

 

        

 



  

2 2

2

1

x

l dx

x

 

.

 Đặt :

2

x=0 t=0

sin ostdt 2 ; ost x=

2

x t dx c x c

t 

  

     

  



 Vậy :

2

2

2 4 4

2

0

0 0

sin os2t 1 ostdt= sin

ost 2

1

x t c

dx c dt t t

c x

  



   

     

 



  

 

2

2

0

1

m x x x dx x  x dx

 Đặt :

2

0

1 sin 2

1 sin ; ost

ostdt

2

2

x t

x t

x t x x c

dx c

x t



 

  

  



        



    

 

     

2 2 2

2 2 3

0

-2

2

1 os2t 1

1 1 sin ost.costdt= os ost sin os

2 2 3

c

x x dx t c c td c t t c t

  



  



  

   

           

   

  

III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Bài Tính tích phân sau

4

0

sin

a x xdx



  

2

2

sin osxdx

b x x c



 

2

osxdx

c x c





2

4

0

os x

d xc dx





3

4

tan

e x xdx





 1 

0

x

f x e dx

ln

0

x

g xe dx

1

ln e

h x xdx  

3 2

ln

i  x  x dx

2

xsin

k e xdx





2 osx

c sin

l e xdx





1

ln e

m  xdx

3

1

ln e

o x xdx

1

ln

e

e

x

p dx

x

  

1

x

q x e x dx



 



4

0

sin

a x xdx





 Đặt :

4

4

0

1 1

sin os2x os2xdx= sin

2 4

sin os2x 0

2

u x du dx

x xdx xc c x

dv xdx v c

 





  



    

   



 

   

2 2

2

0 0

1

sin osxdx cos sin osxdx=I+ sin

3

0

b x x c x xdx xc x I

  



    

  

Ta có :

 

2 2

0 0

cos s inx sin sinxdx= osx

2

0

I x xdx xd x x c

  

 

 

       

Thay vào (1) :  

2

2

1 sin osxdx

2 3

x x c



 

     



2

osxdx

c x c





   

2 2 2

2 2

0 0 0

2

osxdx sinx sinx sin osx cos osxdx

0

x c x d x x xdx xd c x x c

        

       

 

 

    

 

2

2 sinx 2



  

 

      

 

2

4

0

os x

d xc dx





 Đặt :

2

1

2 0;

4 2

t x dt dx tdt dx x t x t

x

 

          

 Vậy :

 

2

2

4 2

2 2

0 0

os x ostdt= sin sin sin sin (1) 2

0

xc dx t c t d t t t t tdt J J

   



  

      

   

 Tính :

 

2 2

0 0

4 sin ost cos ostdt sin

0

J t tdt td c t t c t

  

 

 

   

 

   

          

 

 

   

   

  

 Vậy thay vào (1) ta có :

2

2

0

os x

xc dx





 

3

4

tan

e x xdx







 Đặt :

   

3

2

4

3

tan t anx-x t anx-x (1)

tan t anx-x

4

u x du dx

x xdx x dx J

dv xdx v

 

 



 

  



    



  

  

 Tính

   

3 3

2

4 4

osx

3

t anx-x t anxdx- tan

osx

4

d c

dx xdx x x x

c

   

   

 

 

    

   

 

2 2

1

3 ln osx ln

4 4 24

4

c



    

 



 

         

 

Vậy thay vào (1) :

2

2

4

3

tan ln

4 24

x xdx





  



 

      

 



       

1 1

2 2 2

0 0

1

1 1

2 2

0

2 2

x x x x x

f x e dx x d e  x e e dx  e e 

            

   

 

  

 

2

1

1

2 4

e e

e e

      

 

ln ln ln

0 0

ln ln

2ln 2ln 2 2ln

0

x x x x x

g xe dxxd e xe  e dx  e     

 2 2 2

1 1

1 1 1

ln ln ln

1

2 2

e e e e e

e

h x xdx xd x x x x dx e x

x

    

         

   

 

  

2

xsin

k e xdx





 Đặt :

3

2

3x

0

3

1

os5x.e os5x= (1)

1 5 5 5

sin os5x 0

5

x x

x

u e du e

I c e c J

dv xdx v c





   

    

   





 Đặt :

3

2 3

3 2

0

' '

1

sin sin (2)

1 5 5 5

' os5 ' sin 0

x x

x x

u e du e

J e x e xdx e I

dv c xdx v x







   

     

   





 Từ (1) (2) ta có hệ :

3

2

1

1

10

5

I J

e I

I J e







 

 



 



   

2

osx osx

0

c sin 2 c sinx.cosxdx

l e xdx e

 



 

 Đặt :

2

osx cosx osx

osx osx

0

osx sinx

2 osx 2 sinxe 2 2

sinx 0 0

c c

c c

u c du dx

I e c dx e e

dv e dx v e



 

  



     



  

 

3

ln e

m  xdx

 Đặt :

2

3

1

3ln ln

ln ln (1)

e

x e

u x du dx

I x x xdx e J

x

dv dx v x



  

     



  





 Đặt :

2

2

1

2ln ' ln '

ln ln (2)

' '

e

x e

u x du dx

J x x xdx e K

x

dv dx v x



  

    



  





 Đặt :

'' ln ''

ln

1

'' ''

e

dx

e e

u x u

K x x dx e x

x

dv dx v x



  

      



  





 Thay kết vào (1) ta có : I e  3e 2.1  6 2e

3

1

ln e

o x xdx

 Đặt :

2

4

4

3

2ln ln

1 1

ln ln (1)

1

1 4

4

e

x

u x du dx e

e

x I x x x xdx J

dv x dx v x



  



    



   





 Đặt :

 

4 4

4 4

3

' ln '

1 1 1

ln

1

1 4 4 4 16 16

' '

4

e

dx

u x du e e

e e e

x J x x x dx x e

dv x dx v x



  

 

        



   





 Thay kết vào (1) ta có :

4 1 3 1 1

4 16 32

e e e

I      

 

2

ln

e

e

x

p dx

x



 Đặt :

2

ln

1 1

ln 1

1

e

dx e e

u x du

x I x dx e

dx x x e x e

dv v e e

x x



  

  

       

  

 

   





 

0 0

2 3

1 1

x x (1)

q x e x dx xe dx x x dx I K

  

      

 Đặt :

 

0

2 2

2 2

2

1

0

1 1 1 1

1

1

1

2 2 4

2

x x x

x x

u x u dx

e

I xe e dx e

e e e

dv e dx v e 

  





 

         

 

       





 Đặt :

3

3

2

1

1 ; 0;

3

x t

x t t x x t x t

dx t dt

  

            

 

 Vậy :

   

1

3

0

1

1 1

1 3 3

0

7 28

I  t  t t dt t  t dt   t  t     

   

 

IV TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài Tính tích phân sau

2

0

a x dx

2

b x  x dx

2

c x  x dx

3

d x dx





  

5

2

2

e x x dx



  



3

0

2x

f   dx

4

g  x  x dx

3

3

0

4

h  x  x  dx

1

1

i x dx



 

GIẢI Bài 1.

2

0

a x dx

Do : x0; 2 x 0,  x  2 x

 Vậy :

 

2

2

2

2 2

0

I   x dx x x    

 



2

b x  x dx

Do : f x( )x3 x x x  21  0 x0,x1;x1

  f x( ) 0  x 1;2 ; ( ) 0 f x   x 0;1

 Vậy :

   

2

1

3 4

0

1

1 1

0

2 4 2

I  x x dx  x  x dx x  x   x   

   

 

2

c x  x dx

Vì : f x( )x22x 0  x1,x 3 f x( ) 0  x 1; ; ( ) 0 f x   x 0;1

   

1 2

2

0 1

( ) ( ) 2

I f x dx f x dx x x dx x x dx

         

2 1 2

3 3

0

3 3 3

x x x x x x  

         

                   

3

d x dx



 

- Vì : f x( )x21 0  x1;x 1 f x( ) 0   x  3; 1   1;3 ; ( ) 0 f x    x  1;1

- Vậy :      

1

2 2 3

3 1

1

1 1

1 1

3 1

3 3

I x dx x dx x dx x x x x x x



 



     

               

 

     

  

20 16 40 3 3

I

    

 

5

2

2

e x x dx



  



- Lập bảng xét dấu : f x( ) 4   x  2;2 ; ( ) 2 f x  x x 2;5

-Vậy :

5

2

2 2

2

( ) 4 16 32 44 2

f x dx dx xdx x x

 

        



  

3

0

2x

f   dx

- Nhận xét : 2x 0  x2. f x( ) 0  x 2;3 ; ( ) 0 f x   x 0; 2 - Vậy :

   

2

0

2

1

4 2 4 2 4

0

ln ln ln ln ln

x x x x

I   dx  dx x    x      

       

 

4

2

1

g  x  x dxx dx

- Ta có : x 0  x 3; ; x 0  x 1;3

-Vậy :    

3

2

1

3

1 1

3 3

1

2 2

I   x dx x sx x x   x  x   

   

 

3

3

0

4

h  x  x  xdxx xdx

-Vì : f x( ) 0  x 2;3 ; ( ), 0 f x   x 0;2

-    

2

0

2

I x xdx x xdx

     

   

 

2

2

4

2 0; 2

2 ; ( )

2 3

t t tdt t t dt

x t x t

t x t x dx tdt f x dx

t t dt

x t

   

      



       

 

  

 

- Vậy :

   

2

2 4 2 5

0

3

2 2 18 16

4 2 2

5 2 5

I  t  t dt t  t dt t  t   t  t    

   

 

1

1

4 (1)

i x dx xdx xdx J K

 

      

- Tính :

0

1

4 ;

J xdx



 

Đặt : t 4x  t2  4 x,dx2 ;tdt x 1 t 3,x 0 t2

- Vậy :

2

2

3

0

.2 2 3

J t tdt t dt t 

.

- Tính :

1

0

4

K   xdx

Đặt : t 4 x  t2  4 x 2tdtdx x  1 t 3;x 0 t2

Vậy :

3

2

2

2 16

.2

3 3

K  t tdtt dt t  

Do :

16 16 3 3

3

I  J K     

Bài Tính tích phân sau

2

0

os2x

a c dx



 

0

sin

b xdx



 

2

2

sinx

c dx



 



sinx

d dx



 

 

2

0

os2x

e c dx



 

0

os2x

f c dx



 

3

2

6

tan cot

g x x dx





 



3

3

2

osx cosx-cos

h c xdx



 



0

sinx

i dx



 

GIẢI

Bài

2 2

2

0 0

os2x 2sin sinx

a c dx xdx dx

  

  

  

-Do : x0;  sinx>0. sinx =sinx ;x ;2   sinx<0 sinx =-sinx

Vậy :

 

2

0

2

2 sinxdx+ sinxdx osx osx 1 1

I c c

 



 



 

 

          

    

 2

0 0

sin osx-sinx osx-sinx os x+

b xdx c dx c dx c dx

   



 

     

 

   

Do : cos x x x cos x x k x

       

 

   

                

   

   

4

0

4

2 os x+ os x+ sin sin x+ 2

4 4 0

4

I c c dx x







 

   



   

       

   

                

 

       

   

 

2

2

sinx

c dx



 



- Do : sinx<0 x - ;0 ;sinx>02 x 0;2

 

   

     

   

- Vậy :

 

0

0

0

sinxdx+ sinxdx=cosx osx 0

- 0

2

I c





 



       

sinx

d dx



 

 

Vì :

2

x x

1 sinx= cos -sin sinx os

2 2

x

c 

   

        

   

Mặt khác :

x

os ;

2 4 2

x x

c       k  k  x k 

 

Vậy :

2

2

x x

2 os os 2 sin 2 sin

2 4 4

2

x x

I c dx c dx





 

 

   

 



       

                

        

 

2

0

os2x

e c dx



 

Vì : 1cos2x=2cos2x 1cos2x  osx ;c

Do :

3

2

2

0 3

2

2

2

2 osxdx+ osxdx+ osxdx= sinx sinx sinx

0 2

2

I c c c

 



 



 

 

 

 

 

     

 

 

 

  

2

0

2

os2x osxdx- osxdx sinx sinx 2 2

f c dx c c



 



 



   

   

      

 

 

 

 

  

3

2

6

tan cot

g x x dx





 



- Vì :

2

2 2

2

4cos os2x

tan cot tan cot 2 ; ; ;2

sin sin2x 3

x c

x x x x x x

x

   

   

           

   

3

6

2cos 2cos ln sin 2 ln sin 2 ln3 ln 2ln 2

sin sin

6

x x

I dx dx x x

x x

 

 

 

 

 

 

        

 

 

3

3

2

osx cosx-cos

h c xdx



 



Vì : cosx c os3x c osx 1-cos 2xcosxsin2x cosx c os3x s inx cosx

0

0

sinxcosx cosx sinxcosx cosx

I dx dx J K



 

    

* Tính J: Đặt :

2

osx osx 2tdt=-sinxdx x=- 0; 1;

2

t c t c

t x t x t

 

    



        



Do :

1

2

0

1 2 2

0 5

J t t tdt t dt t 

* Tính K Giống ,ta có :

0

5 5

1

1

2

2

0

5

K t dt t dt  t   I  J K 

V TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỶ

* Trước làm tập , tổng hợp cho HS phương pháp phân tích hướng dẫn Bài Tính tích phân sau

3

dx

a

x x 

1

5

dx b

x  x



3

2

2

x dx c

x  x



 

1

3

1

x

d dx

x



  

3

9

x dx e

x



  

4

1

dx f

x x



 

4

2

1

dx g

x x

  

1

4 11

5

x dx

h

x x



 



1

0

1

1

x x

i dx

x

   

0

2

2 9

3

x x x

k dx

x x



  

 



3

3

3 3

3

x x

l dx

x x

 

 

  

1

3

3

x

m dx

x 

GIẢI

3

dx

a

x x 

 Phân tích :  

 

 

2

3 2

1

( )

1

1

A B x Cx A

A Bx C f x

x x x x x x x x

  



    

   

 Đồng hệ số hai tử số ta có :

2

0

1

0 ( )

1

1

A B A

x

C B f x

x x

A C

  

 

 

     

 



   



 

3

2

1

1 ln ln

( ) ln ln

1 2

x

f x dx dx x x

x x



   

         



   

 

1

5

dx b

x  x



 Phân tích :    

2

1 1

( )

5 3

f x

x x x x x x

   

     

 Vậy :

 

1

0

1 1

( ) ln ln 2ln ln

3

f x dx dx x x

x x

 

         

 

 

 

3

2

2

x dx c

x  x



.

 Phân tích :  

3

2

2 2

5 2

( ) 2

2 2 1

x x x

f x x x

x x x x x x x

   

        

        

 Vậy :  

3

2

0

5 2 ( )

2 1

x

I f x dx x dx

x x x

    

       

      

 

 



 2

2

1 3

2 ln 10 ln

2x x x x

 

        



 

 

1

3

1

x

d dx

x

 

.

 Phân tích :      

 

 

2

3 3

4 ( )

1

1 2 2

Cx B C x A B C

x A B C

f x

x

x x x x

    

    



   

 Đồng hệ số hai tử số :

 3  2

1

1 1

2 ( )

2 2 2

0 0

A C

B C B f x

x x

A B C C

   

 

 

      

 

 

    

  

 

 Vậy :      

1

3 2

0

1

1 1 1

( )

0 2(1 2 2

I f x dx dx

x

x x x

   

        

       

   

 

 

3

9

x dx e

x

 

.

 Phân tích :  

 

       

   

2

9 9

1 1 1

( )

1 1 1

x x

x x

f x

x x x x x x

    

     

     

 Vậy :            

3

9 8

2

3

1 1

( )

2

1 1

I f x dx dx

x x x x x x

   

          

         

   

 

4

1

dx f

x x



.

 Phân tích :  

   

 

2

2 2

1 Ax+B ( )

1 x 1

A C x A B x B

C f x

x x x x x

   

   

  

 Đồng hệ số hai tử số :

2

0

1 1 1 ( )

1

1

A C A

x

A B B f x

x x x x x

B C

  

 

 

 

         

 

 

   

 

 Vậy :

4

2

1

4

1 1

( ) ln ln ln 3ln

1

I f x dx dx x x

x x x x

   

              



   

 

 

4

2

4

1 1

ln ln ln ln

2

1

dx x

g dx

x x x x x



 

       

   

 

 

1

4 11

5

x dx

h

x x



 



.

 Phân tích :

 

   

2 2

2

4 11

( )

5 6

x

x x

f x

x x x x x x x x

 

 

   

       

 Vậy :

1

2

0

1

2 1

( ) 2ln ln ln

0

5 3

x x

I f x dx dx x x

x x x x x

 

 

          

    

 

 

1

0

1

1

x x

i dx

x

   

.

 Phân tích :      

3

2 2

1 1

( ) 1

1 1

x x x

f x x x x x x x

x x x x

 

             

   

 Vậy :

1

2

0

1

1 1 11

( ) 2 ln ln

0

1

I f x dx x x dx x x x x

x

   

              



   

 

0

2

2 9

3

x x x

k dx

x x



  

 



.

 Phân tích : f(x)=    

3

2

2 9 9

2

3 2

x x x x x

x x

x x x x x x

    

   

     

 Phân tích :    

 

   

2

1 2

A B x B A

x A B

x x x x x x

  



  

     

 Đồng hệ số hai tử số :

5 14 19 14

( )

2 19

A B A

f x x

B A B x x

  

 

    

 

     

 

 Vậy :

 

0

2

1

0 19 14

( ) 19 ln 14ln 32ln 19ln 1

2

I f x dx x dx x x x

x x

 

 

             



 

 

 

3

3

3 3

3

x x

l dx

x x

 

 



 Phân tích :        

2

2

3

3 3 3 ( )

3 2 1

x x x x A B C

f x

x x x x x x x

   

     

      



   

   

2

2

2 2

1

B C x B C A x A B C

x x

      

  Đồng hệ số hai tử số ta có :

  

 

2

3

3

2 ( )

1

2

B C A

A B C B f x

x x

x

A B C C

  

 

 

        

 

 



     

 

 Vậy :    

3

2

2

3

3 3

( ) 2ln ln ln

2

1 2

1

I f x dx dx x x

x x x

x

   

              

       

 

 

 

1

3

3

x

m dx

x 

.

 Phân tích :      

2

3

( )

3 3

x A B C

f x

x

x x x

    



  



 

 

2

3

9

Cx B C x A B C

x

    

 Đồng hệ số hai tử số :



 3  2  

1 9

2

3 ( )

9 9 3 1 9 3 1

0 1

9

A C

B C B f x

x

x x

A B C

C

   

 

 

       

 



 

    

 

  

 Vậy :      

1

3

0

1

( )

9 9

I f x dx dx

x

x x

 

     

    

 

 

    

2

1

1 3

ln ln

18 3x 1 3x x 96

 

       

   

 

Bài Tính tích phân sau :

2

1

2

a dx

x  x

  

2

2

3

1

x

b dx

x

  

2

2

2

4

x x x

c dx

x

  

 

   

1

2

0

1

2

d dx

x x



1

2

1

1

x x

e dx

x

   

1

1

x

f dx

x 



 

2

4

1

1

g dx

x x

  

2 2008

2008

1

1

x

h dx

x x

 

  

3

2 2

1

x

i dx

x  

2

1

4

k dx

x

 

2

4

1

1

x

l dx

x

  

1

2

2

1

x

m dx

x

GIẢI

2

1

2

a dx

x  x



 Phân tích :

 

2

2

1

1 os

( ) tan

2 1 0 , 2

4

dx dt

c t

f x x t

x x x x t  x t 

  

      

       

  



 Vậy :

 

2 4

2

0

4

4 ( )

2 os tan

4

dt

I f x dx dt t

c t t

 

 

  

 

    





  

 

3

3

1

x

b dx

x

  

.

 Phân tích :

2

2

3 ( )

1

x f x

x x



  

 

 Vậy :

3 3

2

0 0

3

( ) 3 3 (1)

1

dx

I f x dx dx x J J

x

      



  

 Tính :

3

dx J

x

  

Đặt :

2

1 os tan

0 0,

3

dx dt

c t

x t

x t x t 

  

  

      



 Do :  

3 3

2 2

0 0

1

3 3

1 os tan 0 3

dx

J dt dt t I

x c t t

 



 

       

 

  

2

2

2

4

x x x

c dx

x

  

 

.

 Phân tích :

3

2

2

( )

4

x x x

f x x

x x

  

   

 

 Vậy :

2

2

0

2

1

( ) 2 (1)

0

I f x dx x dx x x J J

x

   

           



   

 

 Tính :

2

1

J dx

x

  

Đặt :

2

2 os tan

0 0,

4

dx dt

c t

x t

x t x t 

  

  

      



  

4

2

0

1 1

4 4 16 os tan 0

J dt dt t

c t t

 

 

    



 

Thay vào (1) : I 16

   

1

2

0

1

2

d dx

x x



.

 Phân tích :

   

   

           

2 2 2

3

1 1

( )

2 3 2

x x

f x J K

x x x x x x x x

  

     

       

 Tính :    

2

1

J

x x



  Phân tích :    2  2

1

3

3 2

A B C

x x

x x      x

      

   

   

2

2 2

4

( )

3

3 2

A B x A B C x A B C

A B C

g x

x x

x x x x x

      

    

 

    

 Đồng hệ số hai tử số :

 2

0

1 1 ( )

3 2 1

A B A

A B C B g x

x x x

A B C C

  

 

 

        

 

  

     

 

 Vậy :

 

1

2

0

1

1 1

( ) ln ln 3ln 2ln

3 2

J g x dx dx x x

x x x x

   

              

       

 

 

Tính :    

1

2

1

K dx

x x



 



 Phân tích :

       

   

   

2

2 2

6

( )

2

2 3

A B x A B C c A B C

A B C

h x

x x

x x x x x

      

    

 

    

 Đồng hệ số hai tử số :

   2

0

1 1

6 ( )

2 3

9 1

A B A

A B C B h x

x x x

A B C C

  

 

 

        

 

  

     

 



   

1

2

0

1

1 1 1

( ) ln ln 2ln 3ln

2 3 12

K h x dx dx x x

x x x x

   

              

       

 

 

Do : I=

2 3ln 2ln

3

 

-(

1 2ln 3ln

12

 

)=

7 12



1

2

1

1

x x

e dx

x

   

.

 Phân tích :

3

2

1 ( )

1

x x

f x x

x x

 

  

 

 Do :

1

2

0

1

1 1

( ) (1)

0

1 2

I f x dx x dx x J J

x

 

        



 

 Tính :

1 01

dx J

x

  

Đặt :

2

1 os tan

0 0,

4

dx dt

c t

x t

x t x t 

  

  

      



 Do :  

1 4

2 2

0 0

1

4

1 os tan 0

dx

J dt dt t I

x c t t

 



 

       

 

  

1

1

x

f dx

x 



.

 Đặt :

2

1 2cos tan

0 0;

4

xdx dt

t

x t

x t x t 

  

  

      



 Vậy :  

1 4

4 2

0 0

1 1

4 2cos tan 2 0

x

dx dt dt t

x t t

 

 

   

 

  

 

2

4

1

1

g dx

x x



.

 Phân tích :    

 

 

4

4 4 4

1

1

( )

4

1 1

d x

x dx

f x dx dx

x x x x x x



  

  

 Do : Đặt :  

3

4

1 ( )

4 1 2,

dt x dx dt

t x f x dx

t t

x t x t

 

     



     



  

2 5

1 2

5

1 1 1 3ln ln

( ) ln

2

4 4

dt t

I f x dx dt

t t t t t

   

 

          

     

  

 

2 2008

2008

1

1

x

h dx

x x

  

.

 Phân tích :          

2008 2008 2007 2007

2008 2008 2008 2008 2008 2008

1

( )

1 1 1

x x x x

f x

x x x x x x x x x



    

    

 Vậy :  

2 2007 2007 2007

2008

2008 2008

2008 2008

1 1

2

1

ln

1

1 2007 2007

1

x x x

I dx dx J dx J x

x x

x x

       

 



  

Tính :  

2 2007

2008 2008

1

x

J dx

x x



 

 Đặt :  

2007 2008

8

2008 1 1

( )

2008 2008 1 1, 2

dt x dx dt

t x f x dx dt

t t t t

x t x t

   

        

 

       



 Vậy :

 

8

2

1

9ln ln 2

1 1 ln

2008 2008 1 2008

t

J dt

t t t

 

 

 

       

 

   

Cho nên :

 8  8

9ln ln ln ln 2008 2007

I      

 

3

2 2

1

x

i dx

x  

 Phân tích :

     

4

2 2 2

2 2 2

2

1 1

( )

1

1

1 1 1

x x x

f x J K

x x

x x x x

x

  

        

   

   

 

 

Tính

3

2

3

1 1

1 ln ln ln

1 1

x

J dx x

x x x

  

 

          

  

   



Tính :  

3

2 2

1

K dx

x

  

 Phân tích :

 2   2 2    2    2  

1 1 1

( ) ( ) ( )

2

1 1 1

1

g x h x p x

x x x x x x

x

 

       

       

  

  

   

   

2

2

2 ( )

1 1 1 1

A B x C A x A C B

A B C

h x

x x x x x

     

   

    

 Đồng hệ số hai tử số :

     2

1

1 1

2 ( )

4 4

1 1

2

A A B

C A B h x

x x x

A C B

C

  

 

 

 

       

 

  

    

 

  

 Vậy :        

3

2

2

3

1 1 1 1

( ) ln ln

2

4 4

h x dx dx x x

x x x x

   

           

   

   

 

 

Cho nên :

3

2

ln ln ( )

4

h x dx  



  

   

   

2

2

2 ( )

1 1 1

A B x C A x A C B

A B C

p x

x x x x x

     

   

    

 Đồng hệ số hai tử số :

     2

1

1 1

2 ( )

4 4

1 1

2

A A B

C A B h x

x x x

A C B

C

  

 

 

 

       

 

  

    

 

        

3

2

2

3

1 1 1 1

( ) ln ln

2

4 2 1 4

p x dx dx x x

x x x x

   

           

   

   

 

 

Cho nên :

3

2

ln ln ( )

4 12

p x dx  



Vậy :

1 ln ln ln ln 1

2 4 12

I         

 

 

2

1

4

k dx

x

 

 Đặt :

 

2

2

1

2

os

2 tan ( )

2 os tan

0 0,

4

dx dt

dt

c t

x t f x dx dt

c t t

x t x t 

  

     



      



 Vậy :

2

0

1

( )

2 0

I f x dx dt



 

   

2

4

1

1

x

l dx

x

  

 Phân tích :

2

4

2

1 1

( )

1

dx

x x

f x dx dx

x x

x

 



 

  

 

  



 

 

 Đặt :

2

2

2

1

1 ;

1 1

( )

2 2 2

1 2,

2

dt dx t x

dt

x x

t x f x dx dt

x t t t

x t x t

  

     

  

 



        

  

  

     



 Vậy :

5

2

5

1 1

ln ln

2 2 2 2 2 2

t

I dt

t t t

     

 

         

   

     



1

2

2

1

x

m dx

x

  

 Phân tích :

4

2

2 2

2 1

( )

1 1

x x

f x x

x x x

  

    

  

 Vậy :

 

1

2

2

0

1

1

1

0

1 3

I dx x dx J x x J

x

 

        

  

 

 Tính :

1 01

dx J

x

  

Đặt :

2

1 os tan

0 0,

4

dx dt

c t

x t

x t x t 

  

  

      

 Do :  

1 4

2 2

0 0

1

4

1 os tan 0 4

dx

J dt dt t I

x c t t

 



 

       

 

  

VI TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

* Nhắc nhở học sinh :

 Thuộc công thức lượng giác : Công thức cộng góc ,nhân đơi ,nhân ba ,hạ bậc  Thuộc cơng thức góc có liên quan đặc biệt : Đối,bù ,phụ

1góc bẹt

 Lẻ sin đặt cosx=t , lẻ cos đặt sinx=t Cịn chẵn sin,chẵn cos đặt

tanx =t

 Đặc biệt ý đến hai cận để sử dụng phương pháp đổi biến số dạng

1

 Ngồi cịn ý đến số cơng thức tính tích phân :

2

0

(sinx)dx= ( osx)dx

f f c

 

 

, 0

( ) ( )

b b

f x dx f b x dx

 

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài Tính tích phân sau :

4

0

sin cos

a x xdx





4

0

t anxdx

b 



2

0

sinx

1+3cosx

c dx





2

sin

d xdx





0

sin

e xdx





0

os

f c xdx





GIẢI

4

0

sin sinx 1 sin cos os3x+cosx

2 0

x

a x xdx dx c

 



  

     

 

 

 

4 4

0 0

osx

sinx ln

t anxdx ln osx cosx osx 0

d c

b dx c

c

  



    

  

 

2

0

1 3cos

sinx 1 2ln

ln 3cos

1+3cosx 3cos 0

d x

c dx x

x

 

 

   



 

     

2 2

3 2

0 0

1

sin os sinxdx= os osx os osx

3 0

d xdx c x c x d c c x c

  



 

      

 

 

2

0

1 1

sin os2x sin

2 2

e xdx c dx x x

 



 

      

 

 

 

2

0

1 1

os os6x sin

2

f c xdx c dx x x

  



 

      

 

 

Bài Tính tích phân sau :

2

2

0

sin cos

a x xdx





2

2

0

sin cos

b x xdx





2

4

0

sin cos

c x xdx





 

2

3

0

sin os

d x c x dx



 

2

0

sin cos

1 osx

x x

f dx

c 

 

GIẢI

2

2

0

sin cos

a x xdx





  

2 2 1 os4x os2x

( ) sin cos sin os os4x+cos2x-cos4xcos2x

4 2 16

c c

f x  x x x c x     c

 Do :  

1

( ) 2cos cos os6x 32

f x   x x c



 

2

0

1 1 1

( ) os6x-2cos4x+cos2x sin sin 2

32 32 2 0 32

I f x dx c dx x x x sin x

 

 

 

         

 

 

   

2

2 2

0

1

sin cos sin sin sinx sin sin 0 15

b x xdx x x d x x

 



 

     

 

 

       

2 2

4 4

0 0

sin cos sin sin sinx sin 2sin sin sinx

c x xdx x x d x x x d

  

    

  

Vậy :

5

1 1 48

sin sin sin

5 0 315

I x x x



   

       

   

   

2 2

3

0 0

os3x+3cosx 3sin sin

sin os os3x-sin3x+3cosx-3sinx

4 4

c x x

d x c x dx dx c dx

  



 

     

 

  

1 1

sin os3x+3sinx-3cosx x 3c 0



 

    

 

3

0

os

osx+1

c x

e dx

c 

  

3

2

os os 1 os2x-2cosx

( ) os osx+1

osx+1 osx+1 osx+1 osx+1 osx+1

c x c x c

f x c x c

c c c c c

 

       



2

0

3 os2x-2cosx 1

3 sin 2sin

2 osx+1 2 0

c

I dx dx x x x J J

c

 





 

   

            

   

 

Tính :

2 2

2

0 0

1

tan tan 1;

osx+1 2cos 2 0

x x

J dx dx d I

x c

  



 

 

       

 

  

2

0

sin cos

1 osx

x x

f dx

c 

 



 

2

sin cos 2sin cos 2cos 2

( ) s inx= cosx-1 sinx

1 osx osx osx osx osx

x x x x x

f x

c c c c c

    

       

        



     

2

0

osx 2

2cos 2 2sin 2ln osx 2 2ln

1 osx 0

d c

I x dx x x c

c

 



   

           

  

 

Bài Tính tích phân sau :

4

tan

a xdx





3

4

tan

b xdx







3

3

sinxcos

dx c

x 





3

2

sin

1 os

x

d dx

c x



 

3

0

os

1 osx

c x

e dx

c 

 

3

sin osx

dx f

x c 





GIẢI

4

tan

a xdx







2

3

2

sin sinx os sinx sinx sinx

tan

os cosx os cosx cos cosx

x c x

x

c x c x x



   



   

4

3

0

osx osx ln ln osx

os osx os 0

d c d c

I c

c x c c x

 



   

      

 

 

3

4

tan

b xdx







.



 

 

2

2 2 4

4

4 2

1 os 1 cos os 1 2

tan tan

os os os os

c x x c x

x x

c x c x c x c x

  



     

3 3

2

4 4

1

1 tan t anx t anx t anx+ tan tan

3

4

I x d d dx x x x

  

  

  



 

         

 

  

3

3

sinxcos

dx c

x 







   

2

3 2

1 1 1 tan

t anx t anx t anx s inx.cos t anx os os t anx t anx

x

dx dx d d

x c x c x

  

    

 



 

3

2

4

1 3 ln

t anx t anx ln t anx tan

t anx 2

4

I d x











   

        

   



3

2

sin

1 os

x

d dx

c x



 

.



   

3

2 2

d cosx

sin os

.s inxdx= sinxdx=d cosx

1 os os 1+cos os

x c x

dx

c x c x x c x

  

    

    



1

2

2

0 0

d(cosx)

d(cosx)-2 osx 2 1+cos 0

dt

I c J

x t

 



     



  

Tính :

1

2

0

1 1

dt

J dx

t x

 

 

 

 Tính :

1 01

dx J

x

  

Đặt :

2

1 os tan

0 0,

4

dx dt

c t

x t

x t x t 

  

  

      



 Do :  

1 4

2 2

0 0

1

1

1 os tan 0

dx

J dt dt t I

x c t t

 



 

       

 

  

3

0

os

1 osx

c x

e dx

c 

 

.



3

2

os cos 1 1 os2x

dx= os osx+1-

osx+1-1 osx osx osx 1+cosx 1+cosx

c x x c

c x c c

c c c

 

    

  



 

2

2

0

1 1

3 os2x+2cosx dx- sin 2sin tan

2 2cos 2 0 0

2

x

I c dx x x x

x

 

 



 

         

 

3

sin osx

dx f

x c 





.

    

4 4

osx osxdx dt

3

sin osx sin sin t x= t= ;x=

6

t c c

x c x x t   t

  

  



    



      

2

4 2

4 2

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

t t

t t t t t t t t

t t t t t t

   

           

  

    



1

4

3

1 1 1 1 1

ln

2 1 3

2

t

I dt

t t t t t t t

     

            

  

 

   





14 ln 3 ln

3 27 3

I   

       



 

Bài Tính tích phân sau

2

3

0

os sinxcos

a c x xdx



 

2

6

1 sin os2x

sinx+cosx

x c

b dx





 



3

2

t anx

cosx 1+cos

c dx

x 





 

2

4

0

os2x sin os

d c x c x dx





  

4

sinx

t anx+e osx

e c dx



  

2 3

2

sin sin

f x xdx



 

GIẢI

2

3

0

os sinxcos

a c x xdx



 

.

 1 cos s inxcos3x 5xdx 1 cos cos3x 3xcos sin2x xdx

 Đặt :

2

3 3

2 3cos sin os os os

0 0,

2

tdt x xdx

t c x t c x c x t

x t x  t

 



        

      



 Vậy :

   

1

2

0

1

2 2 1 1

0

3 3 3 45

I  t  t tdt t  t dt  t  t     

   

 

2

6

1 sin os2x

sinx+cosx

x c

b dx





 



.



 osx+sinx2  os2 sin2 

1 sin os2x

2cos sinx+cosx osx+sinx

c c x x

x c

x c

 

 



2

6

2 2cos 2sin

6

I xdx x









   

 

3 3

2

2

2

4 4

t anxd tanx t anx tan xdx

1

cosx 1+cos cos 1 tan os

c dx

x x x

c x

  

  

 

 

  

 Đặt :

1;

4

t anx

( )

1

x t x t

t

tdt f t dt

t

 



     

 

  

 

 



 Đặt :

2 2

1

1 2,

tdt udu

u t u t

t u t u

 

      

     



 Vậy :

2

2

2

2 2

udu

I du u

u

    

 

2

4

0

os2x sin os

d c x c x dx



 

 Vì :

4 1 os4x

sin os sin os4x

2 2 4

c

x c x  x     c



2

0

3 7

os4x os2xdx os2x+ os6x sin sin

4 8 16 48 0

I c c c c dx x x

 



     

           

     

 

 

4 4

sinx sinx

0 0

t anx+e osx t anxdx+ osxdx

e c dx e c

  



  

 Vậy :

 

   

1

4

sinx sinx 2

0

osx

sinx ln osx ln

osx 0

d c

I e d c e e

c 



        

 

2 3

2

sin sin

f x xdx



 

.

 Vì :  

2

1 sin x ' 2sin osx=sin2x x c

 Vậy :

     

2 3 4

2 2

0

1

1 sin sin sin

4 0

I x d x x





     

 

3

0

s inxln cosx

a dx



  

3

2

2

0

sin

tan os

x

b dx

x c x



 

3

2

3

1

sin cos

c dx

x x





 



2

3

1

sinx

d dx





2

0

2 osx

dx e

c 

 

2

0

2 osx

dx f

c 

 

GIẢI

     

3

0

s inxln cosx ln osx osx

a dx c d c

 



 

 Đặt :

1 osx 1;

3

t c  x  t x  t



 

1

1

2

1

1

2

1

ln ln ln ln 1 ln 1

2

2

I tdt tdt t t dt t t t 

        

     

3

4

2

2

0

sin tan

t anx

tan os tan

x x

b dx d

x c x x

 



 

 

 Đặt :    

3

2

2

t

t anx f(x)dx= 0;

1

t

t dt tdt x t x t

t t



        

 

 Đặt :

2 2

1

0 1;

du tdt

u t t u

t u t u

 

      

     



 Vậy :

2

2

1

2 1 1 1 1

ln ln

2 2

u

I du du u

u u u u

    

         

   

 

 

3

2 2

3

1

t anx

sin cos tan

c dx d

x x x

 

 

 



 

 

 Đặt :

3

t anx x=- 3;

3

dt

t t x t I

t

 



        

 

 Đặt :

 

2

2

1

3 , 9 tan os

3tan

3 ,

3

dt du t u

c u

t u

t u  t u 



   



  

      



 Vậy :

 

3

2

3

1 1

9 27 os tan

3

I du du u

c u u

 

 

  

 

   





2

2 2

3 3

x

os sin os sin

1 2 2 x

ln sin os ln tan ln

x x x

sinx 2sin os sin os 2 2

2 2

x x x

c c x x

d dx dx dx lm c

x

c c

  

  





 

  

 

        

 

 

 

  

2

0

2 osx

dx e

c 

 

 Đặt :

2

2

2

1 1-t

tan 0, 1; ;

osx=2-2 2 os 1

2

x t

t x t x t dt dx c

x t t

c

 

 

           

 

 

 Vậy :  

1

2

2

0

2

2

1 3

1

1

I dt dt

t t

t

t

 



  

  



 

 

 Đặt :

2

1 os tan

0 0,

3

dt du

c u

t u

t u t u 

   

 



     



  

3

2

0

2 2

3 os tan 3 0 3

I du du u

c u u

 

 

    



 

2

0

2 osx

dx f

c 

 

 Đặt :

2

2

2

1 1-t

tan 0, 1; ; osx=2+

2 2 os 1

2

x t

t x t x t dt dx c

x t t

c

 

 

           

 

 

 Vậy :

 

1

2

2

0

2

2

3

1

1

I dt dt

t t

t

t

 



  

  



 

 

 Đặt :

2

3 os tan

0 0,

6

dt du

c u

t u

t u t u 

   

 



     



  

6

2

0

2 3

2 3

os tan 0

I du du u

c u u

 

 

    



 

2

0

osx

1+cosx

c

a dx





2

0

osx

2-cosx

c

b dx





2

0

sinx

2+sinx

c dx





2

0

1

sinx+cosx+1

d dx





2

2

sinx-cosx+1

sinx+2cosx+3

e dx



 



3

6

osx.cos x+

dx f

c 

   

 

 



GIẢI

2 2

2

0 0

osx 1

1 tan

1+cosx osx 2cos 0 2

c x

a dx dx dx x

x c

  

 

 

 

   

            



     

 

  

2 2

0 0

osx

2

2-cosx osx osx

c dx

b dx dx dx J

c c

   



 

       

 

 

   

Tính :

2

02 osx

dx J

c 

  

 Đặt :

2

2

2

1 1-t

tan 0, 1; ;

osx=2-2 2 os 1

2

x t

t x t x t dt dx c

x t t

c

 

 

           

 

 

 Vậy :  

1

2

2

0

2

2

1 3

1

1

J dt dt

t t

t

t

 



  

  



 

 

 Đặt :

2

1 os tan

0 0,

3

dt du

c u

t u

t u t u 

   

 



     



  

3

2

0

2 2

3

2 os tan 3 0 3 3

J du du u I

c u u

 



  

       



 

2 2

0 0

sinx

2

2+sinx sinx sinx

dx

c dx dx x J

  





 

       

 

 

  

Tính :

2

02 sinx dx J



 Đặt :

2

2

2 2

2

tan ( )

2 1 3

0 0;

2 2 2

dt dx

x t dt dt

t f x dx

t t

x t x  t t

 

 

     

   

        

   

  

  

 

 Đặt :

1 3

tan ;

2 2 os

t u dt t u t u

c u

 

          

  

3

2

6

3 du 3 3

3

2 cos 1 tan 3 9

4

I du u I

u u

 

 



  



       



 

2

0

1

sinx+cosx+1

d dx





.

 Đặt :  

2

2

2

2

2

tan ( )

2 0 0; 1 1

1

2 1

dt dx

x t dt dt

t f x dx

t

t t

x t x t t

t t

 



 

     



  

           

    

 Vậy :

1

0

1 ln ln

0

dt

I t

t

   

 

2

2

sinx-cosx+1

sinx+2cosx+3

e dx



 



. Phân tích :

 osx-2sinx  sinx+ 2A+B osx+ 3A+C   

sinx-cosx+1

sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3

B c C A B c

A 

   

Đồng hệ số hai tử số :

2 1

osx-2sinx 1 ( )

sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3

3

A B A

c

A B B f x

A C C

  

 

 

       

 

    

 

Vậy :

 

2

2

ln sinx+2cosx+3 ln sinx+2cosx+3

2

dx

I x J







 



       

 

Tính :

2

2

sinx+2cosx+3

dx J



 



 Đặt :

     

2

2

2

2

2

2

1

tan ( )

1

2 2 2 1 1 4

1; 1 3

2 1 1

dt dx

x t dt dt

t f x dx

t t

t

x t x t t

t t

 



 

     

    

           

    

 

 Đặt :    

2

2 2

1 0;

1 4

1 tan

os

1 4 tan

t u t u

t u dt du

c u

t u

 

     



     

    



 Vậy :  

4

2

0

2 1

ln ln

2 8

os tan 0

du

J du I J

c u u

 



  



          



 

3

6

osx.cos x+

dx f

c 

   

 

 



.

Phân tích :

sin sin osx-sinx.cos x+

1 4

sin

osx.cos x+ osx.cos x+ osx.cos x+

4 4

x x x c

c c c

  



  

       



     

 

 

     

 

     

     

     

3

6

sin sin

sinx sinx

4

( ) ln osx ln os x+

cosx cosx

os os

4

x x

f x I dx c c

c x c x





  



  

 

   

 

         

     

           

           

     

     



osx 2

2 ln ln ln ln 6

cos x+

c I



 

 

     

 

     

 

 

Bài Tính tích phân sau :

 

  

2

2

1 sinx osx

1 sinx os

c

a dx

c x





 



3

4

sinx.cos x+

dx

b dx



  

 

 



3

6

sinx.sin x+

dx c



   

 

 



 

2

0

osxdx

d x c



 

4

0

1 os2x

xdx e

c 

 

3

os

xdx f

c x





GIẢI

 

  

2

2

1 sinx osx

1 sinx os

c

a dx

c x





 



   

 

  

2

1 sinx

( ) s inx ; sinx x=0 0,

2 1+sinx sin 1

t

f x dx d dt t t x t

x t t



 

        

  

 Phân tích :

   

  

2

2

( ) ( )

1 1

A B t B C t A C

A Bt C

f t dt

t t t t

    



  

   

 Đồng hệ số hai tử số :

2

0

1 1 ( )

1

1

A B A

t

B C B f t dt dt

t t

A C C

  

 

   

      

   

 

 

    

 

 Vậy :

 

1

2

0

1

1 1

ln ln ln

1 2

t

I dt t t

t t

   

         

 

   



3

4

sinx.cos x+

dx

b dx



   

 

 



.

 Phân tích :

os os osx+sinx.sin x+

1 4

os

sinx.cos x+ sinx.cos x+ sinx.cos x+

4 4

c x x c x c

c

  



  

       



     

 

 

     

 

     

     

     



3

4

sin sin

osx osx osx

( ) 2 ln

sinx os x+ sinx os x+ cos x+

4 4

x x

c c c

f x I dx

c c





  

   

     

 

    

 

    

 

       

      

 

      

      

   



 Vậy :

2 ln

I 

3

6

sinx.sin x+

dx c



   

 

 



.

 Phân tích :

sin sin osx-sinx.cos x+

1 . 2 6

sin

sinx.sin x+ sinx.sin x+ sinx.sin x+

6 6

x  x x  c 



  

        



     

    

      

 

       

       

       



3

6

os x+ os x+

osx osx sinx 3

( ) 2ln 2ln

sinx sin sinx sin sin x+

6 6

c c

c c

f x I dx

x x





  

   

 

   

    

    

       

      

 

      

      



         

2 2

0 0

osxdx sinx sinx 2sin sinx 2cos

0

d x c x d x xdx x x

  

 



           

 

4 4

2

0 0

1 1

t anx tan t anxdx= tan ln osx ln

1 os2x 2cos 0 2 0

xdx xdx

e x d x x x x c

c x

   

 



        



   

   

3 3

2

0 0

3 t anx t anx t anxdx= xtanx+ln cosx ln

os 0 0

xdx

f xd x

c x

  

 



    

  

Bài Tính tích phân sau :

2

sin

a xdx





2

osxdx

b x c





2

2

sin x

c x e dx







 

2

1

os lnx

d c dx

 

3

ln s inx

os

e

c x



  

2

2

os

f x c xdx



 

GIẢI

2

sin

a xdx





Đặt :

3

3 , 3 . 0 0; 3

2

t x  t  x dx t dt x  t x  t 

 Vậy :

 

3

3 3

2

2 2

0

0

2 cos

3 sin ost ost

0

t tdt

I t tdt t d c t c



      

 

    

     

 

   

   

 



 



 

3 3 3

3 os sin ln ost 2 os sin ln os

2 2 2 2

0

I c t t c c c



      

     

          

     

 

2 2

2 2

2 2

0 0

osxdx sinx s inx 2 sin osx osxdx sinx

4 4

0 0

b x c x d x x xdx x c c

   

  

  

         

   

2

2

sin x

c x e dx







.

 Đặt :

2

2

2 1

0

2

os2x os2xdx

sin os2x 0

2

x x

x x

u e du e dx

I e c e c e e J

dv xdx v c







 

  

   

      

   





 Đặt :

2

2

2

0

' '

sin 2 sin

' os2xdx v'= sin 0

x x

x x

u e du e dx

J e x e xdx I

dv c x





 

 

   

    

  



 Vậy ta có hệ :

1

0

2 _

I J e e

I

I J e e

 

 

 

 

 



 



 

2

1

os lnx

d c dx

.

 Đặt : ln ; 0; ln

t dx t

t x x e dt dx e dt x t x t

x

            



       

ln ln ln

0 0

ln

ostdt int sin ostdt=2sin ln2 2sin ln sin ln

t t t t

I e c e d s e t e c I I I

          

 

3

ln sinx

os

e

c x







.

 Đặt :

 

 

3

2

osx ln sinx

osx

sinx t anx.ln sinx t anxdx=

1 sinx

t anx

os

c

u du dx

c I

dv dx v

c x







 

  



  



   







3 1 3 3ln ln ln ln

2 2

6

I x



 

 

       

 

 

     

2 2

2

0 0

1 os2x 1

os 2 os2xdx

2 2

c

f x c xdx x dx x dx x c

   



   

          

   

   

 Tính :

2

2

1 1

2

2 2 0

x dx x x





 

 

   

      

   

     



 Tính :

       

2 2

0 0

1

2 os2xdx= sin sin 2 sin os2x

2 0

x

x c x d x x xdx d c

   

 

     

   

 Vậy :

os2x 2

I c



 

Bài Tính tích phân sau :

2

0

xsin

a e xdx





4

tan

b x xdx





0

sin os

c x xc xdx





2

2

sin

0

xsinx.cos

d e xdx



  

4

0

ln t anx

e dx



 

4

os

dx f

c x



GIẢI

2

0

xsin

a e xdx





Sử dụng công thức hạ bậc :

  

2 2

0

1 1

os2xdx=

2 2

x x

I e dx e c e J

 



    

Tính :

   

2 2 2

0 0

1 1

os2xdx sin sin 2 sin os2x

2 4

x x x x x

J e c e d x e x e xdx e d c

      

       

 

 

   



2

2 2

0

1 1 1

os2x os2xdx

4 4 12

x x e e

J e c e c e J J J

  





   

          

  

 Vậy :

2 1 1 5 7

2 12 12

e e e

I

  

  

  

2

4 4

2

2

0 0

1

tan

os os 0 32

xdx

b x xdx x dx xdx J x J

c x c x

   





 

         

 

   

Tính :

4 4

2

0 0

1 (t anx)=xtanx t anxdx= ln osx ln

os 0 0

dx

J x xd c

c x

  

 

 

      

Vậy :

2

1 ln 32

I    

2

sin os

c x xc xdx





.



     

0 0

1 1

os cos os cos sin sinx

3 3 3

I xd c x x x c x xdx x d

   



        

 Vậy :

 

3

1 1

sinx- sin 0

3 3 3

I    x    

  .

 

4

0

ln t anx

e dx



 

.

Đặt : t x dt dx x t 4;x t

  

          

 

 

0 4

0 0

4

1 tan

ln tan ln ln ln ln tan tan tan

ln

t

I t dt dt dt t dt

t t

t I

  







     

              

 

   

 

 

Vậy : 2I 4ln I 8ln

 

  

4

os

dx f

c x





.

 Phân tích :

2

2

4 2

1 sin os 1 tan

os os os os

x c x

x

c x c x c x c x



  

 Vậy :

   

4

2

0

1

tan t anx t anx tan t anx

3 0

I x d d x

 



 

     

 

 

VII TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ MŨ -LOGARIT * Nhắc nhở HS :

 Thuộc công thức nguyên hàm sau :

ax ax ;

ln

x x

e dx e C a dx a C

a a

   

 

 Sử dụng thành thạo cách tính tích phân : Đổi biến số , phần

.

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài Tính tích phân sau :

1

0

x x

e dx a

e

 

ln

0

5 x

dx b

e 



1

0

4 x

dx c

e 



ln8

ln

1 x x

e

d dx

e 



ln8

2 ln

x x

e  e  e dx

ln

0

1

1 x x

e

f dx

e

  

GIẢI

 

 

1

0

1

ln ln ln

1

x x

x

x x

d e

e dx

a e e

e e



     

 

 

ln

0

5 x

dx b

e 



.

 Đặt : 1; ln 2

x x dt

t e dt e dx dx x t x t

t

           

 Vậy :  

2

1

2

1 1 1 1 12 ln ln ln ln

1

5 5 5 7

dt t

I dt

t t t t t

   

         

      

 

1

0

4 x

dx c

e 



 Đặt : 1;

x x dt

t e dt e dx dx x t x t e

t

 Vậy :  

1 1 1 1

ln ln ln ln

4 4 4 4 4

e e e

dt t e e

I dt

t t t t t e e

   

         

        

 

ln8

ln

1 x x

e

d dx

e 



.

 Đặt :

8

2

3

8

2

1 2 10

3 ln 3; ln 8

x

x x tdt e dx tdt

t e t e I dt t

t

x t x t

 

           

     

  

ln8

2 ln

x x

e  e  e dx

.

 Đặt :

2

1

ln 3; ln 8 x

x x tdt e dx

t e t e

x t x t

 

       

     



 Vậy :

   

8 88 3

2

3

8

1 374.8 32.3 2

3

5 15

I  t t  tdt  t  t dt  t  t   

 

 

 

ln ln ln ln

0 0

2 1

2 ln

1 1

x x

x x x

e

e dx

f dx dx dx J

e e e

 



    

  

   

Tính :

ln

0

x

dx J

e

  

.

 Đặt :

 

2

1

2

1 ln ln

1

0 1; ln 2 x

x

dt

dt e dx dx tdt

t e t J dt t t

t t

x t x t



    



           

    

     



 

 Vậy : I 2 ln 2   ln 2 3ln 2 

Bài Tính tích phân sau :

2

1

1

1 x

a dx

e

 

2

0

1 x x

e

b dx

e 



1

0

1 x x

e

c dx

e  

 

 

1

ln

ln e

x

d dx

x x



1

0

1 x x

e

e dx

e  

 

ln3

0

1 f

1

x dx

e 



GIẢI

 

   

2 2

2

1 1

1

1

ln ln ln

1

1 1

x x

x

x x x

d e

e

a dx dx e e e

e e e



       

  

  

 

 

2

2

0

1

ln ln ln

0 1

x x

x

x x

d e

e

b dx e e

e e



     

 

 

1

0

1 x

x x

e dx

c dx

e e



 

 

 Đặt :

 

1

1

1 ln 1

1

1

0 1;

x e e

x

dt

e

dt e dx dx tdt

t e t J dt t t e e

t t

x t x t e



    



              

    

     



 

 

1

ln

ln e

x

d dx

x x



.

 Đặt :

 2

1

2

0

1

1

ln

1

d t

x t tdt

t x I

x e t t t



  



      

    

  

 Vậy :  

2

1

ln ln

2

I  t 

 

1

0

1

x

x x x

e dx

e dx

e e e



  



 

  

2

1

0 1;

x e

x

dt

dt e dx dx dt

t e t I

t t

x t x t e



  



   

 

     





 Phân tích :  

   

 

2

2 2

1

1 1

A C t A B t B

A B C

t t t t t t t

   

   

  

 Đồng hệ số hai tử số :

2

0

1 1 ( )

1

1

A C A

A B B f t

t t t

B C

  

 

 

       

 



   

 

 Vậy :

1 1 1

ln ln ln

1

e e

e e

I dt t t

t t t t e

 

     

             



     



ln3

0

1 f

1

x dx

e 



.

 Đặt :

2

2

1

1 2

0 2; ln x

x

e dx t tdt

dt dx dx

t e t t t

x t x t

 

   



   



      



 Vậy :      

2 2

2

2 2

2

2 1 1

ln ln

1 1 1

tdt t

I dt dt

t t t t t t t

 

 

       

        

  

Bài Tính tích phân sau :

2 x

sinx

a e dx





2

x

b x e dx

1

0

x

c x e dx



 

2

0

x osx osxdx

d e c c





  

1

0

ln

e x x dx

2

1

1 ln

e

x

f dx

x

GIẢI  

2 2

x

0 0

sinx osx osx osxdx

x x x

a e dx e d c e c e c e J

  



 

 

     

 

 

  



 

2

2

0

sinx sinx sinxdx=e

x x x

J e d e e I I J e

 

 



       

 Vậy ta có hệ :

2

2

e e

I J e I

I J e

 

 

    



  



 

2 2

2 2 2

0 0

2

1 1 1

0

2 2 4

x x x x x x

b x e dx x d e  x e  e dx  x e  e   e e 

 

 

 

  

 

1 11

1

0 0

1

0

x x x x x x

c x e dx x d e x e e dx  x e e e

 

          

 

 

  

 

2 2

2

0 0

x osx osxdx x osxdx+ os

d e c c e c c xdx J K

  

   

  



   

2 2

2

0 0

osxdx= sinx sinx sinxdx=e osx

x x x x x

J e c e d e e e d c

   





     



2 2

2 2

0

1 osx osxdx=e ;

2

x x e

J e e c e c J J e J

 

   



           



2

2

0

1 os2x 1

os sin 2

2 2 0

c

K c xdx dx x x

 

 

  

      

 

 

Vậy :

2 1

2

e I



 

 

.

     

1

0

ln ln 1

e x x dx x d x

.

 Đặt : t  1 x x 0 t1;x 1 t 2 f t dt( ) lntdt



 

2

1

2

ln ln ln 2ln

1

I tdt t t dt t t t

        

2

1

1 ln

e

x

f dx

x

 

.

 Đặt :

2 2

2ln

1 ln ln

1 1;

xdx tdt

x

t x t x

x t x e t



 



     



     

Bài Tính tích phân sau

0

ln ln(ln )

e

x x

a dx

x





1

ln

ln

ln

e x

b x dx

x x

 



 



 



3

2

ln(ln )

e e

x

c dx

x



2

ln x

d dx

x



3

ln(s inx)

os

e dx

c x







0

ln( 1)

1

x

f dx

x

  

GIẢI

2 2

2

ln ln(ln ) ln ln(ln ) 1

ln ln(ln ) (ln )

1

2

e e e e

e e e e

e

x x x x

a dx dx dx x x d x J

x x x



     

   

 Tính :

2

ln(ln ) (ln ) e

e

J  x d x

Đặt :

2

1

ln 1; ln

t x x e  t x e  t  J  tdt



 

2

1

2

ln ln 2ln 2 2ln

1

J t t dt t t t

          

2

1 1

ln ln

ln ln

ln ln

e e e

x x

b x dx dx xdx J K

x x x x

 

    

 

 

 

  

-Tính J Đặt :

2 2

1

2 1

ln ln

1 1;

dx

tdt t

x

x t x t J tdt

t

x t x e t



 



       



     





Do :  

2

2

1

1

2 2

3

J  t  dt  t  t  

 



- Tính K

 

2

1 1

ln ln ln ln ln

1 1

e e e

e dx e e

K x x x x e xdx e x x dx e x x x e

x

 

            

 

  

- Vậy :

4

2

3

I    e   e

3

2

ln(ln )

e e

x

c dx

x



 Đặt :

3

2

2

ln 2; ln

t x x e  t x e  t  J  tdt



   

3

2

3

ln ln 3ln 3 2ln 2 3ln 2ln

2

J t t dt t t t

            

2 2

2

1 1

2

ln ln ln 1 ln ln

1 2

x x x

d dx x d dx

x x x x x x

 

   

           

     

 

3 3

2

6 6

ln(sinx) cosx

ln(sinx).d(tanx)=tanx.ln(sinx) t anx t anx.ln(sinx )

os sinx

6

e dx dx x

c x

  

  

 

 

   

  

Vậy :

3 ln 2ln 2

I    

.

1 1

0 0

1

ln( 1)

ln( 1) ( 1) 1.ln( 1) 2 ln 2

1

x x

f dx x d x x x dx J

x x

 

 

          



  

  

-Tính J;  

1

0

1

2 2 2 ln 2.2 2 ln 2

1

J dx x I

x

        

 

VIII TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Dạng

 Nếu hàm f(x) liên tục hàm số lẻ a b;  :

( ) a

a

f x dx 

 

.

 Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn a b;  :

( ) ( )

a a

a

f x dx f x dx





 

Vì tính chất khơng có SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau :

Bước 1: Phân tích

0

0

( ) ( ) ( )

a a

a a

I f x dx f x dx f x dx J K

 

    

Bước Tính tích phân

0

( ) a

J f x dx





phương pháp đổi biến số Đặt t=-x - Nếu f(x) hàm số lẻ J=-K suy I=J+K=0

- Nếu f(x) hàm số chẵn J=K suy I= J+K=2K Dạng Nếu f(x) liên tục hàm số chẵn R :

0

( )

( )

a a

x a

f x

dx f x dx

a 

 

 

Để chứng minh tính chất ta làm tương tự :

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;

1 1 1

x x x x x

f x f x f x f x f x

I dx dx dx J dx K dx

a a a a a

  

  

  

 

      

      

    

Để tính J ta đặt x=-t

Dạng Nếu f(x) liên tục 0;2



 

 

  thì :

2

0

(sinx)dx= ( osx)dx

f f c

 

 

Để chứng minh tính chất ta đặt : t x



 

Dạng Nếu f(x) liên tục f(a+b-x)=f(x) f(a+b-x)=-f(x) đặt : t=a+b-x Đặc biệt , : a+b= đặt t=-x

Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ

Để tính nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm của hàm số f(x)  g(x) dễ xác định so với f(x) Từ suy nguyên hàm

của hàm f(x) Ta thực bước sau :

Bước 1 Tìm hàm số g(x)

Bước 2 Xác định nguyên hàm hàm số f(x)  g(x), tức :  

1

( ) ( ) ( )

* ( ) ( ) ( )

F x G x A x C

F x G x B x C

  

 

  



Bước 3 Từ hệ (*) ta suy  

1

( ) ( ) ( )

F x  A x B x C

, nguyên hàm f(x)

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài

7

4

4

1

os

x x x x

a dx

c x



 

   

  

2

2

2

osx.ln x+ 1+x

b c dx



 



1

1

1-x osx.ln

1+x

c c dx



 

 

 



 

1

2

ln

d x x dx



 



1

4

1

1

x dx e

x x

  

1

2

sinx

1

x

f dx

x 

  

GIẢI

0

7 7

4

4 4

0

4

1 1

os os os

x x x x x x x x x x x x

a dx dx dx J K

c x c x c x

 

 

 

           

   

  

 Tính :

0

4

1 os

x x x x

J dx

c x

 

   



Đặt : t = -x , suy dt=-dx :



0 7

4 4

0

4

1

os os os

t t t t x x x x

J dt dx J K dx

c t c x c x

 

 

         

     

 Vậy :

   

4

2

4

0

2

2 tan t anx tan

os 0

I J K dx x d x x

c x

 

 

 

          

 

 

     

2

2 2

0

2

osx.ln x+ 1+x osx.ln x+ 1+x osx.ln x+ 1+x

b c dx c dx c dx J K

 

 

 

   

 Tính :

 

0

2

2

osx.ln x+ 1+x

J c dx

 



Đặt : t = -x suy dt =- dx



     

0 2

2 2

0

2

os-t.ln -t+ 1+t ost ln cosxln x+ 1+x

J c dt c t t dt dx K

 



      

 Vậy : I= J+K =0

1

0

2

1

2

1-x 1-x 1-x

osx.ln osx.ln osx.ln

1+x 1+x 1+x

c c dx c dx c dx J K

 

     

   

     

     

  

 Tính :

0

1

1-x osx.ln

1+x

J c dx



 

  

 



Đặt : t = -x suy : dt =- dx , :



1

0 2

1 0

2

1-x 1+t 1-t 1-x

osx.ln os(-t).ln ost.ln osx.ln

1+x 1-t 1+t 1+x

J c dx c dt c dt c dx K



       

             

       

   

 Vậy :  I  J K 0

     

1

2 2

1

ln ln ln

d x x dx x x dx x x dx J K

 

         

  

 Tính :  

0

2

ln

J x x dx



  

Đặt : t = -x , suy : dt = - dx Cho nên :



     

0 1

2 2

1 0

ln ln( ) ln ln

J x x dx t t dt t t dt x x dx K



              

 Vậy : I  J K 0.

1

4 4

1

1 1

x dx x dx x dx

e J K

x x x x x x

 

   

     

  

 Tính :

0

4

1

x dx J

x x





 



Đặt : t = -x , suy : dt = -dx Cho nên :



0 1

4 4

1 1 1

x dx t dt t dt x dx

J K

x x t t t t x x





    

       

   

 Vậy : I=J+K=2K=

1

4

0

2

1

x dx

x  x 



Đặt :

1

2

2

2 2

0

2 1

0 0; 1 2 1 3

2

du xdx du du

u x K

x u x u u u

u

 

     

         

  

  

 

   

 Đặt :

 

6

2

6

3

1 2 os

tan

3

2 2 2 os 1 tan

0 ; 4

6

du dt

c t

u t K dt

c t t

u t u t





 



   

     

 

     





 Vậy :

6

6

1 3

2 3

6

K dt t





  



  

 

Do :

3

3

I  K 

1 4

2 2

1

sinx sinx sinx

1 1

x x x

f dx dx dx J K

x x x

 

  

   

  

  

 Tính :

0

2

sinx

x

J dx

x 

 

 

Đặt : t = -x , suy : dt = -dx

 Do :

0 4

2

1

sinx sint sinx

1 1

x t x

J dx dt dx

x t x



  

  

  

  



1 4 1

4 4

0 0 0

sinx sinx

1 1 1

x x x dx dt

J K dx dx dx H

x x x x t

 

       

    

    

 Đặt :

 

4

2

2

0

os

tan

4 os tan 0 0;

4

du dt

du

c u

t u H du u

c u u

t u t u



 

  

  

       



      



 

 Vậy : I  

Bài Tính tích phân sau :

5

2

sin

1 osx

x

a dx

c 



 



2

2

4 sin

xdx b

x 



 



2

2

osx

4-sin

x c

c dx

x 

 

 

1

1

2x

x

d dx

 

1

1

1

1 2x

x

e dx



 

    

1

2

1 x

dx f

e x

  

GIẢI

0

5 5

2

0

2

sin sin sin

1 osx osx osx

x x x

a dx dx dx J K

c c c

 

 

 

   

  

  

 Tính :

0

2

sin osx

x

K dx

c  

  



   

5

0 5

0

2

sin

sin sin sin

1 osx os ost osx

t

x t x

K dx dt dt dx K

c c t c c

 

 





    

    

   

 Vậy : I=J+K =0

0

2

2 2

0

2

4 sin sin sin

xdx xdx xdx

b J K

x x x

 

 

 

   

  

  

 Tính :

0

2

4 sin

xdx J

x 



  

Đặt t = -x suy : dt = -dx ,



0 2

2 2

0

2

0 sin sin sin

tdt tdt xdx

J K I J K

t t x

 



 

       

  

  

0

2

2 2

0

2

osx osx osx

4-sin 4-sin 4-sin

x c x c x c

c dx dx dx J K

x x x

 

 

 

  

   

  

 Tính :

0

2

osx 4-sin

x c

J dx

x 







Đặt t = -x suy : dt = -dx , cho nên



0 2

2 2

0

2

os(-t) ost osx ( )

4 sin ( ) 4-sin 4-sin

t c t c x c

J dt dt dx

t t x

 



     

   

 

  

.



 

2 2

2 2

0 0

sinx

osx osx osx (sinx ln 4-sin 4-sin sin 2 sinx 2+sinx 2 0

d

x c x c c d x

J K dx dx dx

x x x x

   



 

   

       

    

   

 Vậy : I=

1 ln

   



1 4

1

2x 2x 2x

x x x

d dx dx dx J K

 

   

  

  

 Tính :

0

12

x

x

J dx



  

Đặt : t = -x suy : dt = -dx , cho nên



0 4 4

1 0

( ) 2

2 2

t x

x t t x

x t t x

J dx  dt dt dx





    

   

   



1 4

4

0 0

1

2 1

0

2 5

x

x x

x x

I  J K  dx dx x dx x 

 

  

1 2

1

1 1

1 2x 2x 2x

x x x

e dx dx dx J K

 

  

   

  

 Tính :

0

1

1 2x

x

J dx



 

 

Đặt t = -x , suy : dt = -dx Cho nên



0 0 2

1 1

1 ( )

1

1 2

x

x t x

t

x x

J dx J  dt J dx

  

 

 

    

  

    



1 2

2

0 0

2 1

1 2

x

x x

x x

I J K  dx  x dx

      

 

  

* Ta tính :

1

2

1 x dx



cách :

 Đặt :

 

2 2

2

2

0

ostdt;1-x sin os

1

sin os os2t

2 x=0 t=;x=1 t=

2

dx c t c t

x t I c tdt c dt

 



    



     

  



 

 Vậy :

1

sin 2 2 0

I t t

 

 

    

 

           

1

2 2

1

1 1 1

x x x

dx dx dx

f J K

e x e x e x

 

   

     

  

 Tính :    

0

2

1 x 1

dx J

e x





 



Đặt : t = -x ,suy : dt = -dx Cho nên

            

0 1

2 2

1 1 1 1

t x

t t x

dt e dt e dx

J

e t e t e x



  

     

  

 Vậy :        

1

2

2

0

1

1

1 1

x

x x

e dx

J K dx

x

e x e x

 

 

   

      

 

 

 Tính :

1

0

dx

x 



Đặt :

 

4

2

0

1 os tan

os tan 0;

4

dx dt

dt

c t

x t I

c t t

x t x t



 

 

     



      





 Vậy : I=

4

0

4

dt t 

 

 



Bài Tính tích phân sau :

2

sin

3x

x

a dx





 

1

1

1

1 2x

x

b dx



 

    

1

2

4x 1

dx c

x

  

2

2

s inxsin3xcos5x

1 x

d dx

e 



 



6

4

4

sin os

6x

x c x

e dx



 

  

2

x

sinx

1+2

x

f dx



 



0

2 2

0

sin sin sin

3x 3x 3x

x x x

a dx dx dx J K

 

 

 

   

  

  

Nếu áp dụng toán dạng ( Như tập : 1-2 ) Thì ta viết gọn lại sau :

 

2

2

0

sin 1

sin os2x sin

3x 2 2

x

a dx xdx c dx x x

  



 



 

       

  

  

 

1

2

1

1

1 1

1

0

1 2x 3

x

b dx x dx x x



  

       

  

 

    

1

2

1

1 4x 1

dx dx

c

x x



 

 

 

Đặt :

 

4

2

0

1 os tan

os tan 0;

4

dx dt

dt

c t

x t I

c t t

x t x t



 

 

     



      





Vậy : I=

4

0

4

dt t 

 

 



2 2

0

2

sinxsin3xcos5x 1 1 sinxsin3xcos5xdx= os3x+ os7x- osx- os9x

1 x 4 4

d dx c c c c dx

e

  

 

 

  

  

  

1 1 1 1 146

sin sin sinx- sin

12 28 36 12 28 36 369

I x x x



 

         

 

 

6

4 4

6

0

4

sin os 5

sin os os4x sin 4

6 8 32 32

0 x

x c x

e dx x c x dx c dx x x

  



 



     

         

    

  

   

2

2 2

2 2

x

0 0

2

sinx

s inxdx=- osx osx 2 cos 2 1+2

0

x

f dx x x d c x c x xdx K K

   







 

 

       

 

 

   

- Tính :

2 2

0 0

osxdx= (sinx)=x.sinx sinxdx= osx

2

0

K x c x d c

  

 

 

      

. - Vậy : I 2K 2





 

     

 

Bài Tính tích phân sau :

 

n

* n

0

os

os sinn

c x

a dx n N

c x x



 



7

7

0

sin

os sin

x

b dx

c x x



 

2

0

sinx

sinx osx

c dx

c 

 

2010

2010 2010

0

sin

sin os

x

d dx

x c x



 

4

4

0

os

sin os

c x

e dx

x c x



 

6

6

0

sin

sin os

x

f dx

x c x



 

 

n

* n

0

os

os sinn

c x

a dx n N

c x x



 



Đặt : 2;

dt dx

t x

x t x t



 

  

  

      



n

0 2

n n

n 0 0

2

os

sin sin

sin os sin os sin os

2

n n

n n

n

c t

t x

I dt dx

t c t x c x

t c t dt

 





 

 



 

 

    

 

   

  

   

   

  

2

0

2

2

I dx x I





 

    

Tương tự cách làm phần a Các phần sau có kết nhau

7

2

7

0

sin

2

os sin 0

x

b dx I dx x I

c x x

 



 

     



 

2

0

sinx

2

2

sinx osx 0

c dx I dx x I

c

 



 

     



 

2010

2

2010 2010

0

sin

2

sin os 0

x

d dx I dx x I

x c x

 



 

     



 

4

2

4

0

os

2

sin os 0

c x

e dx I dx x I

x c x

 



 

     



 

6

2

6

0

sin

2

sin os 0

x

f dx I dx x I

x c x

 



 

     



 

Bài Tính tích phân sau :

2

.sinx

4-cos

x

a dx

x 



0

osx

4-sin

x c

b dx

x 

 

2

0

1 sinx ln

1+cosx

c dx





 

 

 



 

4

0

ln t anx

d dx



 

2

3

os

e x c xdx





0

.sin

f x xdx





GIẢI

2

.sinx

4-cos

x

a dx

x 



 Đặt :

   

 

0

2

sin

0 ; os

dx dt t t

t x I dt

x t x t  c t

 



  

  



      

       



2

0

sinx sinx

2 ;

4-cos 4-cos

x

I dx dx J I I J I J

x x

 



  

          

 Tính :

2

0 0

s inx ( osx) ( osx ( osx osx-2 ln ln

0 4-cos os 4 cosx-2 cosx+2 cosx+2

d c d c d c c

J

x c x

   

 

      

  

  

 Vậy :

1

ln ln 2

I  

2

osx

4-sin

x c

b dx

x 

 

( Sai đề )

2

0

1 sinx ln

1+cosx

c dx





 

 

 



 Đặt :

 

0

2

1 sin ln

2 ; 1+cos

2 2

t

dx dt

t x I dt

x t x t  t

 

 



  

 



   

 

  

     

          

 

  

 

 





1

2

0

1 ost sinx

ln ln 0;

1+sint 1+cosx

c

I dt dx I I I

 



 

   

          

   

 

 

4

0

ln t anx

d dx



 

.

 Đặt :

 

0

4

ln tan

4 ;

4

dx dt

t x I t dt

x t x t 

 

 

 

  



          

         







 

4 4

0 0

1 t anx

ln ln ln ln t anx ln

1+tanx t anx

I dx dx dx dx I

   

 

   

            



   

   

 Vậy : 2I 4ln I 8ln

 

  

2

3

os

e x c xdx





.

 Đặt :

     

0

3

2 os

0 ;

dx dt

t x I t c t dt

x t x t 

  

 

 

         

     

 



 

2 2

3

0 0

1

2 os os os3x+3cosx

I c xdx x c xdx c dx I

  

 

       

 Vậy :

 

2

0

2

os3x+3cosx sin 3sin 0

4

I c dx x x

 

   

     

 



3

.sin

f x xdx





 Đặt :

     

0

3

sin

0 ;

dx dt

t x I t t dt

x t x t 

  

 

 

        

     

 



  3  

0 0

sin sin sin 3sin sin

I x xdx xdx x xdx x x dx I

   



 

          

 Vậy :

 

0

1 3sin sin 3cos os3x

0

8 3

I x x dx x c

 

    

      

 



Bài Tính tích phân sau :

0

1 sinx

xdx a







0

.sinx

2+cos x

x

b dx





0

.sinx

1+cos

x

c dx

x 



4

0

sin ln(1 t anx)dx

d x







0

.sinx

9+4cos

x

e dx

x 



0

.sinx.cos

f x xdx





GIẢI

0

1 sinx

xdx a



 

 Đặt :

     

0

0 , sin

dx dt t dt

t x I

x t x t  t

 

  

  



     

       

 



2

0 0

1

tan

0 sinx s inx os 2

2

dx xdx x

I dx I I

x c

   

  

 



 

          

      

 

 

  

2

.sinx

2+cos x

x

b dx





.

 Đặt :

       

0

2

sin

0 , os

dx dt t t dt

t x I

x t x t  c t

 



  

   



     

       

 



 

 

2

0 0

osx sinx sin

ln os 0 2-cosx os x os x

d c

x x

I dx dx I I c x

c c

   



 

       

 

  

2

.sinx

1+cos

x

c dx

x 



Giống cách giải câu b.(Học sinh tự giải )

4

0

sin ln(1 t anx)dx

d x



 

.

 Đặt :

 

0

4

sin ln tan

4 ; 4

4

dx dt

t x I t t dt

x t x t 

  

 

 

 

   



            

           







 

4 4

0 0

ln sin ln ln(1 t anx ln sin sin

2

I x dx xdx I I xdx

  

 Vậy :

ln ln os4x

2 4

0

I c



 

2

.sinx

9+4cos

x

e dx

x 



.

 Đặt :

       

0

2

sin

0 ; 4cos

dx dt t t dt

t x I

x t x t  t

 



  

   



     

       

 



 

2 2

0 0

sinxdx sinx ( osx)

ln 4cos 0 9+4cos 9+4cos 4cos

x d c

I dx I I x

x x x

   



 

        



  

4

.sinx.cos

f x xdx





.

 Đặt :

       

0

4

sin os

0 ;

dx dt

t x I t t c t dt

x t x t 

   

 

 

         

     

 



 

4 4

0 0

sinx.cos sinx.cos os osx

I xdx x xdx c x d c I

  

 

       



5

1 os

0

2 5

I   c x  

    

 

Bài Tính tích phân sau

2

0

sinx

sinx-cosx

a dx





2

0

sinx

sinx+cosx

b dx





2

2sin sin

c x xdx





2

2cos sin

d x xdx





1

1

xex x

e dx

e e

 

1

1

xe x x

f dx

e e

   

GIẢI

2

0

sinx

sinx-cosx

a dx





 Chọn :

2 2

0 0

osx sinx+cosx

;

sinx-cosx 0 sinx-cosx

c

J dx I J dx x I J dx

  

  

       



 

2

0

sinx-cosx

ln sinx-cosx sinx-cosx 0

d I J





 Vậy :

2

4

I J

I I J



 

 



 



  



2

0

sinx

sinx+cosx

b I dx





Chọn :

2

0

osx sinx+cosx

c

J dx







 

2

0

sinx+cosx

; ln osx+sinx

2

2 sinx+cosx

0

d

I J dx x J I c

 

 



       

 Vậy :

2

4

I J

I J I



 

 



 



   

2

2sin sin

c I x xdx





Chọn :

2

2cos sin

J x xdx







 

2

2

0

2 sin os sin 2 sin os2x 2

I J x c x xdx xdx c

 



       



 

2 2

2

0 0

1

2 os sin sin 2 os2x.sin2xdx= sin os4x 0

J I c x x xdx c xdx c

  



        

 Vậy : I=1

2

2cos sin

d x xdx





Giải giống 6-c Ta có kết : I =

1

1

x

x x

e

e dx

e e

  Chọn :

1

x

x x

e

J dx

e e

  

   



 

1 1

1 1

1

2 ln

1

x x

x x

x x

x x x x

d e e

e e

I J dx x I J dx e e

e e e e

 



 

  

 

         

   

  

 Vậy : I=1.

1

1

x

x x

e

f dx

e e

 

  ( Cách giải giống câu e )

BÀI TẬP ƠN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN

Bài Tính tích phân sau

2

a x  x dx

3

8

2

1

x

b dx

x x

 



3

2

1

1

2

x

d dx

x 



 

 



 



0

2

dx e

x x

  

2

2

2

4

x x x

f dx

x

  

 

GIẢI

2

a x  x dx

.Bằng cách xét dấu ta thấy : f x( )x3 x0, x 1;2 ; ( ) 0 f x   x 0;1

Vậy :    

1

3 4

0

1

1 1

0

2 4 2

I  x x dx  x  x dx x  x   x  x  

   

 

 

 

 

4

3 3

2

8 4 4

2 2

1 1 1

x d x

x x x dx

b dx

x x  x  x

   

  

 Đặt :    

81 81 81

4

2

16 16 16

4 1

4

2 16, 81 1

t x dt x dx tdt dt dt

I

t

x t x t t t

 

   

     





         

    



81

1 1 1

ln ln 80 ln15 16

4 80 15

I t

t

   

          



   

   

3

2

2

1

3

1

1

1

3

c x  x dxx dx x 

2

1

1

2

x

d dx

x 



 

 



 



 Nhận xét :  

2

2

1

( ) 1

2 2

x f x

x x x x



   

       

  

    

 Vậy :

2 39

6ln 6ln

2

I x x

x

 

      

 

 

   

0

2

2 2

1

2 1 3

dx dx

e

x x x

 



   

 

 Đặt :

6

2

2

0

3

3 os

1 tan

os 3(1 tan ) 0,

6

dx dt dt

c t

x t I dt

c t t

x t x t

 

 

  

     

 

     



 

 Vậy :

3

3 18

I   

2 2

2

0

2

4

x x x

f dx x dx

x x

    

    

   

 



2

2

2

1 16

2

2

dx

I x x J

x

 

     



 Đặt :

 

4

2

2

0

2 os

2 tan

os tan 0,

4

dx dt

dt

c t

x t J dt

c t t

x t x t

 

 

 

     



      



 

 Vậy :

16 ;

4

4

J t I



 

    

Bài Tính tích phân sau :

 

5

1

2

a x x dx



  



1

2

dx b

x  x



1

2

1

x

c dx

x 



 

1

3

1

xdx d

x

  

1

2

1

xdx e

x 

1

xdx f

x

 

GIẢI

 

5

1

2

a x x dx



  



Bằng cách xét dấu : f x( ) 2 x x   1; ; ( ) 4 f x   x 2;5

- Vậy :

2

2

1

2

2 4 20 15

I xdx dx x x



        



 

1

2

0

1

1 1 2

ln ln

1

2 2 2 2 2

x dx

b dx

x x x x x

 



 

     

      

 

 

 

2

1

2

0

1

1

x d x x

c dx

x   x 

 

.

 Đặt :

1

2

0

1

0 0; 1

1

tdt

t x x t x t I dt

t t

 

             

   

 

 Vậy :

 ln 1 1 ln

I  t t  

       

1

3

0

1

1 1 1

0

1

1 1

xdx

d dx

x

x x x x

   

        

  

       

 

   

1

2

0

1

1 1

ln ln

0

1

1

xdx

e dx x

x x

x x

   

         

   

   

 

 

 

2

1

2

2

0

1

1 1

ln ln

0

1 2

d x

xdx

f x

x x



   

 

 

Bài Tính tích phân sau :

2

1

1

x

a dx

x x 

3

3

0

b x x dx

9

3

2

1

x x

d dx

x

  

4

1

2

5

dx e

x

  

2

5

1

x

f dx

x 



GIẢI

2

1

1

x

a dx

x x 

.

 Đặt :

1

2

2

0

2 1

1 2

1 0, 1

dx tdt t

t x x t I tdt t dt

x t x t t t



   

            

         

  

 Vậy :

2

1

2 ln

I   t  t  

 

3

3 2

0

1

b x x dxx x xdx

.

 Đặt :

 

2

2 2 2

1

1 1

0 1,

xdx tdt

t x x t I t t dt

x t x t

 

        

     

 

 Vậy :  

2

4

1

2 1 58

1 15

I  t  t dt t  t  

 



9

c x  xdx

.

 Đặt :

   

2

2

0

2

1 1

1 0,

dx tdt

t x x t I t t tdt

x t x t



 

          

     

 

 Vậy :  

0

2

2

0

1 112

2

2

3 15

I t t dt t t



 

      



 



 

2

3 3

2

0

2

1

x x xdx

x x

d dx

x x

 



 

 

 Đặt :

   

 

2

2 2

2

1

1 1;

1

0 1,

t t t tdt

x t xdx tdt

t x I t tdt

t

x t x t

 

   

       

     

  

 Vậy :

5 2

1 59

1 5

I   t  t  

 

4

1

2

5

dx e

x

   .

 Đặt :

3

2

2

5, 2.2

5

4

1 2,

x t dx tdt tdt

t x I dt

t t

x t x t

     

         

 

       

  

 Vậy :  

 

3

4 4ln 4 ln ln 4ln

2

 

 

5

2

5

5

0

1

1 2

33

0

5 5

1

d x x

f dx x

x x



    

 

 

Bài Tính tích phân sau :

1

5

0

a x  x dx

3

2

0

b  x x dx

2

2

0

c x  x dx

2

1

2

xdx d

x x

  



0

1

e x xdx



 

1

3

0

f x x  dx

GIẢI

1

5

0

1

a x  x dxx  x xdx

 Đặt :

     

0

2

2

2 2

1

1 ;

1

0 1,

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t t dt

x t x t

   

          

     

  

 Vậy :

7

1 105

I  t  t  t  

 

3

2 2

0

b  x x dxx x xdx

 Đặt :

   

2 2

2

1

1;

1

0 1,

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     

  

 Vậy :

5

1 58 15

I  t  t  

 

2

2

0

c x  x dx

.

 Đặt :

2

2

2

0

2 ost ; ost

2sin 4sin 2cos 2cos 4sin x=0 t=0.x=2 t=

2

dx c dt x c

x t I t t tdt tdt

 



   



    



 



 

 Vậy :

 

2

0

1

1 os4t sin 4 0

I c dt t t



 

 

     

 



     

2 2 1 1

2

1 1

1

2 2

2

2

xdx

d x x dx x x dx

x x

 

         

    

  

- Vậy :    

3

2 2

1 2 22

2

1

2 3

I   x   x   

 

0

1

e x xdx



 

 Đặt :

   

1

2

2

0

1;

1 2

1 0,

x t dx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     

 Vậy :

5

1 1

2

0

5 15

I   t  t     

   

1

3 2

0

3

f x x  dxx x  xdx

 Đặt :

   

2 2

2

3

3;

3

0 3,

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     

  

 Vậy :

5

1 56 12 3 15

I  t  t   

 

Bài Tính tích phân sau :

3

1

3

3

x

a dx

x x



    

7 / 3

1

3

x

b dx

x

  

10

5

2

dx c

x x



 

1

2

0

1

x x

d dx

x

 

 3

0

e  x  x dx

1

3

0

f x  x dx

GIẢI

3

1

3

3

x

a dx

x x



    

 Đặt :

2

1

1 0;

dx tdt

t x x t

x t x t

 

      

     

  Vậy :

       

2 2

2

0 0

2 2

4

2 2 3 3ln

0

3 2 2

t t t

t

I tdt dt t dt t t t

t t t t t

 

    

            

        

  