Giải tích 1 bài 5 các định lý về hàm khả vi và ứng dụng

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §10 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG (TIẾP THEO) Đặt vấn đề 1 “Cấu trúc giới hoàn hảo nhất, sáng tạo người thơng minh Khơng có xảy giới mà khơng có tham gia lí thuyết cực đại, cực tiểu” – Euler 2 Tia sáng qua gương: Heron, cực tiểu đường đi, kỉ trước công nguyên PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn sin  3 Tia sáng qua nước, Fermat 1657,  const , cos  cực tiểu thời gian Công thức khai triển Taylor, Maclaurin (k) Định lí f(x) có f (x) (k = 1, 2, , n) liên tục x0 (n + 1) có f (x) U ( x0 ) n  f x   k 0 f k   x0  k!  x  x0  k  n 1 c  n 1  x  x0  ,   n  1! f với c x0 x0 + (x  x0),    Khi x0 = ta có cơng thức Maclaurin PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Viết công thức Taylor f(x) = x x0 = GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) f (1)  1, f (1)  x f (1)  24 x x 1  24, f x 1 (4)  4, f (1)  12 x x 1 (n ) (1)  24 x 1  24, f  12, (1)  0, n  5   c  f f k       +)f x  x 1  x 1 , k! 5! k 0 k   c  f x   k 0 f k  1 k  x  1 k! 12 24 24  x  1   x  1    x  1   x  1  2! 3! 4!          1 x   x   x   x  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x Ví dụ Viết cơng thức Maclaurin f(x) = xe đến x Công thức Maclaurin số hàm n c x x e  e  1 x    x n 1,  x   , c x; 2! n !  n  1 ! x n xk ec   x n 1,  x    n  1 ! k ! k 0  GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) (e x )( k ) (0)  1, k    n x k   x  n 1  (e ) 0 (e ) c k n 1  x  0   x  0 +) e   n  1! k ! k 0 x  n c x x e  1 x    x n 1,  x   2! n !  n  1 ! n 1 x3 x5 x n    sin x  x      1  2n  1! 3! 5!      sin  c  2n     x 2n  2,  x   , c x;   2n  ! PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  n sin(c+(2n+2) ) k ( 1) 2k 1 2n  2  x  x  2n  ! (2 k  1)! k 0  GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   +) (sinx) (0)  sin( x  k )  sin(k ) x 0 (k ) k  2j  0,  , k    j ( 1) , k  j  2n 1 +) sinx   k  (sinx)    x  k (k )! k 0  2n    (sinx) c 2n   x  0   2n   !   sin  c+(2n+2)  n k ( 1)  2n   2k 1  x  x  2n   ! (2 k  1)! k 0  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2n 1 x3 x5 x n   x     1   2n  1! 3! 5!     sin  c  2n      2n   !  x 2n  ,  x       cosc  2n   2n x x n x   x2n1,     cos x  1   1  2n!  2n  1! 2! 4!  x   , c x; PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn     cos c  2n   n 2k k x 2n1      1  x , x    2k !  2n  1! k 0    1    1     1  x     x  x  x  2! 3!    1   n  1 n  x  Rn  x  , x  , n!    1    n    n 1 n 1  Rn(x) = 1 c x ,  n  1! c x  10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (n) Định lí f (x) liên tục U  c  có (n  1) (n) f’(c) = f’’(c) = = f (c) = 0, f (c)  (n) Nếu n chẵn, đạt cực tiểu x = c f (c) > (n) đạt cực đại x = c f (c) < Nếu n lẻ khơng đạt cực trị x = c  Cách tìm cực trị : - Tìm điểm tới hạn ci  (a, b ) : f (ci )  , không tồn f (ci ) - Xét dấu f ( x ) x biến thiên qua ci , i  1, n 44 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn - Định nghĩa f(x) nhận giá trị lớn (GTLN) c [a ;b] : max f  c  a ; b  f ( x )  c,  x  [a ; b]   x0 , x1  [a ; b] : f ( x0 )  c, f ( x1)  c Tương tự định nghĩa f(x) nhận giá trị bé (GTBN) c [a ;b]  Cách tìm max f (GTLN), f (GTBN) -) Tìm điểm tới hạn ci (a ; b), i  1, n -) max f  max f  ci  , f  a  , f  b  ; a ; b  f  f  ci  , f  a  , f  b  a ; b  45 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 450m rào lại để thỏ không vào phá vườn Biết cạnh mảnh vườn tường Hỏi kích thước chiều dài cần rào ngắn bao nhiêu? Ví dụ Một kg khoai tây cửa hàng nhập vào có giá 70 cent, người bán hàng bán 500kg khoai tây với giá 1,5đôla/1kg Biết với cent mà người bán hàng hạ giá số lượng bán tăng gấp 25 lần Hỏi người bán hàng cần đưa giá khuyến để thu nhiều lợi nhuận Ví dụ Một tia sáng từ A đến mặt gương phẳng đến B theo luật phản xạ CMR: đường 46 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ngắn từ A đến B qua gương Có kết luận thay mặt gương mặt nước điểm B nằm nước? Ví dụ Tìm cực trị: a (K53) y   x  x  (ymin(4) = ymin(0) = 0; ymax(3) = 9) y   x  x  3 (ymin(0) = ymin(8) = 0; ymax(6) = 36 )   b) (K55) y  x  x 47 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3 20 3  (ymin(1) = ; ymax  = ) 25 5   y   x x  20  (ymin(0) = ; ymax  = ) 25 5 2 c) (K57) y  x  x  2  ( y    0, y max    ) 3 d) (K59) y  2x  x  x 1 48 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 85 85 ( y 1    , y max 1    ) 42 42 e(K60) y  arctan x  ln( x  1) 3 13 ( y max ( )  arctan  ln ) 2 3 ( y max ( 1)  ln2  ; y  ln( x  3)  arc co t x y (2)  ln5  arc cot ) 49 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( y f)(K62) y  x  2ln x x (3 2 2 )   ln 3 3) 2 y (1)  e , y (2)  e g)(K63) y  e ( x  x  7) ( max ) y  x ( x  3) h)(K64) y (1)  4, y (3)  ) ( max GIẢI 50 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) TXĐ  3 y  x ( x  3)  ( x  x  9x )  +) x  12 x  y  0 3 ( x  x  x )2 x  4x  x 1 0 x  ( x  x  x )2 Dễ thấy khơng có y (3) y (0) +) Xét dấu x=0; 1; có y   y m ax (1)  4, y (3)  Vdụ a (K53) Tìm giá trị lớn nhất, bé 51 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 2 y =   3x  6arccot x , 1  x  (max f = 3   / 2; f = 2 ) Tìm giá trị lớn nhất, bé y =  + 3x  6arccot x ,   x  (max f = 3 , f =   / 2) b(K55) Chứng minh x arctan x  ln 1  x  , x   Chứng minh x arctan x  ln 1  x  , x   52 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c(K63) Tìm giá trị nhỏ y  x  sin x, x  [0; ]   ( y ( )   ) 3 GIẢI 53 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn y    2cosx   cos x  , x  (0;  ) +)     x=  y ( )   3 3 +) y (0)  0, y ( )        Min y  Min 0;  ;     [0; ]   54 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Phương pháp Newton (tiếp tuyến) Ta cần giải gần phương trình f ( x )  , biết có nghiệm r (a;b) hàm f khả vi khoảng +) Lấy x1  (a; b ) , viết phương trình tiếp tuyến với y  f ( x ) ( x1; f ( x1)) , có y  f ( x1)( x  x1)  f ( x1) +) Tiếp tuyến cắt trục ox ( x2;0) , nên có f ( x1)  f ( x1)( x2  x1)  f ( x1)  x2  x1  ,  f ( x1) f ( x1)  +) Tiếp tục trình sau (n-1) bước, ta f ( xn ) xn 1  xn  , f ( xn ) 55 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn với f ( xn ) khơng đổi dấu ta có lim xn  r n  Ví dụ Tìm nghiệm gần phương trình cos x  x đến chữ số thập phân GIẢI 56 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Đặt f ( x )  cos x  x , có f (0)  1, f (1)  cos1    phương trình cho ln có nghiệm  (0;1) có nghiệm f ( x )   sin x   0, x  [0; 1] +)Theo ta có f ( x )   sin x   , nên có cos xn  xn xn 1  xn  sinx n  x1  1, x2  0,75036387 , ta có x3  0,73911289 , x  0,73908513 , x5  0,73908513 +) Lấy 57 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Do x , x5 trùng đến chữ số thập phân, nên nghiệm xác đến chữ số thập phân phương trình cho x  0,73908513 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 58 ... thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  n n ? ?1 x x x x n ln ? ?1  x   x      ( ? ?1) n ? ?1   ? ?1? ?? n  n  1? ?? ? ?1  c n ? ?1 n k n ? ?1 x x k ? ?1 n      ? ?1  ? ?1 , x ? ?1 n  k  n  1? ?? ? ?1  c  k ? ?1  Ví dụ Tính gần sin40... x x0 = GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) f (1)  1, f  (1)  x f  (1)  24 x x ? ?1  24, f x ? ?1 (4)  4, f  (1)  12 x x ? ?1 (n ) (1)  24 x ? ?1  24, f  12 , (1)  0,... x n ? ?1,  x    n  1? ??! k ! k 0  +) e 50 0 x2 c2 50 0 k e  (x )  ( x )5 01,  x   k! 5 01! k 0  c2 2k e  x  x1002,  x    f (999) (0)  k ! 5 01! k 0  Quy tắc L'Hospital, ứng dụng