Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒN TRỌNG THƯỞNG CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: TS: NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN, 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - 2012 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Những kiến thức sở 1.1 Hàm liên tục 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Các tính chất hàm liên tục 1.2 Khái niệm hàm khả vi 1.2.1 Các quy tắc tính đạo hàm 1.2.2 Đạo hàm hàm hợp đạo hàm hàm ngược 1.2.3 Đạo hàm phía 1.2.4 Vi phân 1.3 Các định lý Ferma, Rolle, Lagrange, Cauchy 1.4 Công thức Taylor, Mac-Laurin 1.5 Quy tắc Lopitan Ứng dụng định lý hàm khả vi 2.1 Ứng dụng khảo sát tính chất nghiệm phương trình 2.1.1 Sử dụng tính chất hàm liên tục 2.1.2 Sử dụng định lý Lagrange, Rolle,Cauchy chứng minh phương trình có nghiệm 2.1.3 Sử dụng định lý Rolle giải phương trình 2.2 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 2.2.1 Dùng định lý Lagrange để chứng minh bất đẳng thức 2.2.2 Dùng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để chứng minh bất đẳng thức 2.3 Ứng dụng tính giới hạn 2.3.1 Sử dụng định nghĩa đạo hàm tính giới hạn 2.3.2 Sử dụng khai triển Taylor tính giới hạn 2.3.3 Áp dụng quy tắc Lopitan tính giới hạn 2.4 Ứng dụng tính gần 2.4.1 Tính gần theo vi phân 2.4.2 Ứng dụng tính xấp xỉ cơng thức Taylor 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 8 10 11 13 17 20 20 20 25 31 33 33 38 42 42 46 48 54 54 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Các định lý hàm khả vi đóng vai trị quan trọng giải tích tốn học thường xun khai thác kỳ thi Olympic quốc gia, quốc tế, kỳ thi Olympic sinh viên Đây công cụ hiệu lực việc giải toán liên quan đến tồn nghiệm tính chất nghiệm dạng phương trình khác Việc sử dụng định nghĩa đạo hàm, khai triển Taylor, quy tắc Lopitan vào tốn tính giới hạn, xấp xỉ hữu hiệu Luận văn trình bày tương đối đầy đủ kiến thức hàm liên tục, hàm khả vi, định lý hàm khả vi Đưa số ứng dụng chúng vào việc khảo sát tính chất nghiệm phương trình, tốn bất đẳng thức Sử dụng đạo hàm, khai triển Taylor, quy tắc Lopitan tính giới hạn Chương 1: Trình bày kiến thức sở khái niệm hàm liên tục, khái niệm đạo hàm, hàm khả vi, định lý hàm khả vi quy tắc Lopitan, khai triển Taylor Chương 2: Một số ứng dụng định lý hàm khả vi Trình bày ứng dụng để giải tốn khảo sát tính chất nghiệm phương trình, bất đẳng thức, tính giới hạn, tính gần Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn minh Khoa giao đề tài tận tình định hướng cho tác giả hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến hội đồng khoa học trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên, tập thể lớp cao học toán K4C trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên, bạn bè, người thân động viên giúp đỡ tác giả nghiên cứu học tập Mặc dù cố gắng học tập nghiên cứu kĩ đề tài, song khó tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận bảo góp ý thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh có ý nghĩa Tác giả xin chân thành cảm ơn! THÁI NGUYÊN, năm 2012 Tác giả Đoàn trọng Thưởng 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Những kiến thức sở 1.1 Hàm liên tục 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X ⊂ R, hàm số f : X → R điểm x0 ∈ X Nếu với ε > cho trước tồn δ > ( nói chung phụ thuộc vào ε ) cho với x ∈ {x ∈ X| |x−x0 | < δ} ta có |f (x)−f (x0 ) | < ε ta nói hàm f liên tục x0 - Nếu f liên tục điểm x ∈ X ta nói f liên tục X - Hàm f khơng liên tục điểm x0 gọi gián đoạn điểm - Giả sử X tập hợp số thực x0 ∈ R điểm tụ X,f hàm số xác định X Khi f liên tục điểm x0 , lim f (x) = f (x0 ) x→x0 - Giả sử f hàm số xác định tập số thực X Hàm số f liên tục điểm x0 ∈ X ∀{xn } ⊂ X : lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = f (x0 ) n→∞ n→∞ Ví dụ 1.1.1 a) Hàm f (x) = sinx liên tục R Thật giả sử x0 ∈ X với x ∈ R ta có | sin x − sin x0 | = cos x − x0 x + x0 sin 2 ≤ sin x − x0 ≤ |x − x0 | Với ε ta lấy δ = ε ∀ x ∈ R | x − x0 | < ε → |sin x − sin x0 | < ε Vậy hàm f (x) = sinx liên tục x0 liên tục R 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Các tính chất hàm liên tục Định lý 1.1.1 Nếu f g hai hàm xác định tập hợp X liên tục điểm x0 ∈ X αf + βg ( với α β số ), f.g hàm liên tục x0 Nếu g (x0 ) = fg hàm liên tục x0 Chứng minh định lý suy từ tính chất hàm liên tục Định lý 1.1.2 Giả sử A B tập R, f : A → B liên tục x0 ∈ A, g : B → R liên tục y0 = f (x0 ) ∈ B Khi hàm hợp gof : A → R liên tục x0 Chứng minh Cho trước ε > Vì g liên tục y0 nên tồn η > cho |g (y) − g (y0 ) | < ε với y ∈ B thỏa mãn |y − y0 | < η Do f liên tục x0 , với η > nói tồn δ > cho |f (x) − f (x0 )| < η, với x0 ∈ A thỏa mãn |x − x0 | < δ Khi đó, với x ∈ {x ∈ A| |x−x0 | < δ} ta có | (gof) (x)−(gof) (x0 ) | = |g(f (x))−g (f (x0 )) | < ε Vậy gof liên tục x0 Định nghĩa 1.1.2 Hàm f : A → R gọi liên tục bên phải điểm x0 ∈ A ε > cho trước tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ A| x0 ≤ x cho trước tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ A| x0 − δ ≤ x n Dãy {xn }n dãy bị chặn nên chứa dãy {xnk }k hội tụ đến x0 Vì a ≤ xnk ≤ b với k, nên cho k → ∞ ta suy a ≤ x0 ≤ b Do f liên tục x0 ta có f (xnk ) → f (x0 ), từ |f (xnk ) |−|f (x0 ) | (k → ∞) Mặt khác |f (xnk ) | ≥ nk , |f (xnk ) | → +∞ (k → ∞) ta đến mâu thuẫn Vậy hàm f bị chặn [a, b] 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1.4 Nếu hàm f liên tục đoạn [a, b] đạt giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, tức tồn hai số x0 , x0 ∈ [a, b] cho f (x0 ) = sup f (x), f (x0 ) = inf (x) x∈[a, b] x∈[a, b] Chứng minh Vì hàm f bị chặn đoạn [a, b], tồn sup f (x) = M, M < +∞, inf (x) = m, m > −∞ x∈[a, b] x∈[a, b] Theo định nghĩa cận đúng, tồn dãy xn ∈ [a, b] cho lim f (xn ) = M n→∞ Dãy {xn }n dãy bi chặn nên chứa dãy {xnk }k , xnk → x0 ∈ [a, b] Khi đó, f liên tục, ta có M = lim f (xn ) = lim f (xnk ) = f (x0 ).Vây hàm f đạt giá trị lớn n→∞ k→∞ [a, b] Tương tự ta chứng minh tồn x0 ∈ [a, b] cho f (x0 ) = m f đạt giá trị nhỏ đoạn Định lý 1.1.5 (định lý Bolzano - Cauchy thứ nhất) Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục đoạn [a, b] f (a) f (b) < Khi tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Định lý có ý nghĩa hình học rõ ràng : đường cong liên tục từ phía trục x sang phía cắt trục Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả thiết f (a) < f (b) > Đặt A = {x ∈ [a, b] |f (x) ≤ 0} Vì a ∈ A nên A = φ Gọi c = sup A Ta chứng minh f (c) = Theo định nghĩa cận tồn dãy {tn }n ⊂ A cho lim tn = c x→∞ Vì f liên tục c nên f (c) = lim f (tn ) ≤ Do f (b) > nên c = b c < b n→∞ Nếu f (c) < f liên tục tai c, lim+ f (x) = f (c) < 0, tồn δ > cho x→c c + δ < b f (x) < với x ∈ [c, c + δ] Đặc biệt f (c + δ) < Vì c + δ ∈ A, điều mâu thuẫn với c lân cận A Vậy f (c) = Định lý 1.1.6 (định lý Bolzano - Cauchy thứ hai) Giả sử f liên tục [a, b] Khi f nhận giá trị trung gian f (a) f (b), tức với số thực λ nằm f (a) f (b), tồn c ∈ [a, b] cho f (c) = λ Chứng minh: Nếu f (a) = f (b) định lý hiển nhiên Giả sử f (a) = f (b) Không tổng quát ta xem f (a) < f (b) Giả sử λ cho f (a) < λ < f (b) Xét hàm g (x) = f (x) − λ Ta có g(a) < 0, g(b) > Theo định lý định lý Bolzano - Cauchy thứ tồn c ∈ (a, b) cho g(c) = hay f (c) − λ = Do f (c) = λ 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Khái niệm hàm khả vi Xét hàm số y = f (x) xác định lân cận điểm x0 ∈ R Cho x0 số gia ∆x bé cho x0 + ∆x ∈ U Khi ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) gọi số gia đối số ∆x điểm x0 (x0 ) ∆y = f (x0 +∆x)−f có giới hạn hữu hạn ∆x → Định nghĩa 1.2.1 Nếu tỉ số ∆x ∆x giới hạn gọi đạo hàm hàm f x x0 kí hiệu f (x0 ) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x→0 ∆x f (x0 ) = lim Khi ta nói hàm f khả vi x0 Ví dụ 1.2.1 Tính đạo hàm hàm số y = x2 điểm x0 = Giải Đặt f (x) = x2 ta có ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = (3 + ∆x) − 32 = ∆x (6 + ∆x) ∆y = lim (6 + ∆x) = ∆x→0 ∆x→0 ∆x lim Vậy f (x0 = 3) = Định nghĩa 1.2.2 Cho U tập hợp mở R, f : U → R hàm xác định U Hàm f gọi khả vi U f khả vi điểm U Khi hàm số gọi đạo hàm hàm số Nếu f liên tục U ta nói f khả vi liên tục U Định lý 1.2.1 Cho tập hợp mở U ⊂ R hàm số f : U → R Nếu f khả vi x0 ∈ U f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 ) h + r (h) h r (h) → h → Chứng minh Đặt f (x0 +h)−f (x0 ) h − f (x0 ) = r (h) Do f khả vi x0 có r (h) → h → Do f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 ) = r (h) Điều kiện cần để hàm f khả vi x0 f liên tục 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chú ý : - Nếu f liên tục x0 chưa f khả vi Chẳng hạn hàm f (x) = |x| liên tục x0 = 0, nhiên không tồn giới hạn lim f (0+∆x) = lim |∆x| tức f ∆x ∆x ∆x→0 ∆x→0 không khả vi x0 = - Nếu hàm số f có đạo hàm x0 liên tục điểm x0 1.2.1 Các quy tắc tính đạo hàm Định lý 1.2.2 Cho U tập mở R, f g : U → R hàm khả vi x0 ∈ U hàm f ± g, cf (c thuộc R), f.g fg (nếu g (x0 ) = 0) hàm khả vi x0 ta có (f ± g) (x0 ) = f (x0 ) ± g (x0 ) (cf ) (x0 ) = cf (x0 ) (f.g) (x0 ) = f (x0 ) g (x0 ) + f (x0 ) g (x0 ) f g 1.2.2 f (x0 )g(x0 )−f (x0 )g (x0 ) g (x0 ) (x0 ) = Đạo hàm hàm hợp đạo hàm hàm ngược Định lý 1.2.3 Cho tập hợp U , V R hàm f : U → V, g : V → R Giả sử f khả vi x0 ∈ U g khả vi y0 = f (x0 ) ∈ V Khi hàm hợp gof khả vi x0 (gof) (x0 ) = g [f (x0 )] f (x0 ) Chứng minh: Cho x0 số ∆x đủ bé cho x0 + ∆x ∈ U Khi f có số gia ∆f ; ứng với số gia ∆f hàm số h = gof có số gia ∆h, số gia h ứng với ∆x Nếu ∆f = ta có ∆h = g (f (x0 )) ∆f + r (∆f ) ∆f (1) r (∆f ) → ∆f → Đẳng thức ∆f = ∆h = g (f (x0 ) + ∆f ) − g (f (x0 )) = g (f (x0 )) − g (f (x0 )) = Chia hai vế cho ∆x ta ∆h ∆x = g (f (x0 )) ∆f + r (∆f ) ∆f → g (f (x0 )) f (x0 ) ∆x → ∆x ∆x Tức ta có (gof) (x0 ) = g (f (x0 )) f (x0 ) Ví dụ 1.2.2 Tính (ln |x|) , (x = 0) Ta có (ln |x|) = (|x|) = |x| , |x| − |x| , x>0 x : |f (n+1) (x) | ≤ M, ∀x ∈ [x0 , x0 + ∆x] Khi δ ≤ M ∆n+1 x (n+1)! 55 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 2.4.3 Sử dụng khai triển Mac-Laurin ex : ex = + x + xn x2 x3 + + + + o (xn ) 2! 3! n! n+1 x Với o (xn ) = eθx (n+1)! , < θ < để tính e đánh giá sai số n = 10 Giải Từ công thức với x = ta có: e≈1+1+ 1 + + + 2! 3! n! với sai số δ= e 3 eθ n=10 = < < = < (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! 11! 39916800 10000000 Ví dụ 2.4.4 Tính gần A = cos (0.2) với độ xác 10−7 Giải Phần dư khai triển Taylor hàm y = cosx dạng Lagrange |Rn (x) | = | Ta có |Rn (x) | = | f (2n+2) (ξ) 2n+2 x |, < ξ < x (2n + 2)! cos (x + (n + 1) π) |≤ (0.2)2n+2 (2n + 2)! (2n + 2)! Tìm n: |Rn | ≤ 1 2n+2 < 10−7 ⇒ n = (2n + 2)! Vậy x2 x4 0.22 0.24 cos x ≈ − + ⇒ cos (0.2) ≈ − + = 0, 980066667 2! 4! 2! 4! 56 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Đề tài đạt số kiến thức sau - Trình bày lý thuyết tính liên tục, khả vi hàm số, định lý hàm khả vi - Chỉ số ứng dụng định lý giải toán khảo sát nghiệm phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tính giới hạn, tính gần Đây tài liệu để thầy cô tham khảo, bạn học sinh giỏi, bạn sinh viên tìm hiểu ứng dụng tính chất hàm liên tục, ứng dụng định lý Lagrange, Rolle, Cauchy, khai triển Taylor, sử dụng quy tắc Lopitan 57 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Đêmiđôvic (1975), Bài tập giải tích tốn học NXB Đại học trung học chun nghiệp [2] Nguyễn xuân Liêm (1997), Giải tích, Tập Lý thuyết tập có hướng dấn, NXB Giáo Dục Hà Nội [3] Nguyễn văn Mậu - Lê ngọc Lăng (2004), Olympic toán sinh viên- Hội toán học Việt Nam [4] Phan huy Khải (2003), Toán nâng cao giải tích 1, 2, , NXB Hà Nội [5] Trần đức Long, Nguyễn đình Sang, Hồng quốc Tồn (2000) Giáo trình giải tích,Tập một, NXB Đại học quốc gia [6] S.M.Nikolsky (1981), A Course of Mathematical analysic, Mir publishers Moscow 58 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày 17 tháng 11 năm 2012 trình sửa theo ý kiến đóng góp thầy, hội đồng Thái Nguyên, ngày tháng 11 năm 2012 Xác nhận cán hướng dẫn TS NGUYỄN MINH KHOA 59 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... khái niệm hàm liên tục, khái niệm đạo hàm, hàm khả vi, định lý hàm khả vi quy tắc Lopitan, khai triển Taylor Chương 2: Một số ứng dụng định lý hàm khả vi Trình bày ứng dụng để giải tốn khảo sát... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Ứng dụng định lý hàm khả vi 2.1 2.1.1 Ứng dụng khảo sát tính chất nghiệm phương trình Sử dụng tính chất hàm liên tục Áp dụng định lý: - Nếu hàm số f liên tục [a, b] f... = 3) = Định nghĩa 1.2.2 Cho U tập hợp mở R, f : U → R hàm xác định U Hàm f gọi khả vi U f khả vi điểm U Khi hàm số gọi đạo hàm hàm số Nếu f liên tục U ta nói f khả vi liên tục U Định lý 1.2.1